下载文档原格式
专题基本不等式【知识导图】【目标导航】1.记住基本不等式；2．会用基本不等式证明简单的不等式；3．会用基本不等式求代数式的最值.【重难点精讲】重点一、重要不等式当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．重点二、基本不等式当a>0，b>0时有ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．重点三、基本不等式与最值已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．重点四、基本不等式与最值x ＋y ＝s (定和)⇒xy ≤s 24(当且仅当x ＝y 时取等号) xy ＝p (定积)⇒x ＋y ≥2p (当且仅当x ＝y 时取等号)【典题精练】考点1、利用基本不等式求函数的最值例1．函数1(2)2y x x x =+>-的最小值为__________． 【答案】4【解析】∵2x >，∴20x ->．∴111(2)22(2)24222y x x x x x x =+=-++≥-⨯+=--- ，当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立．∴函数1(2)2y x x x =+>-的最小值为4． 答案：4考点点睛：1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式． 考点2、变形技巧：“1”的代换例2．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中】若正数a ，b 满足121a b +=，则2b a+的最小值为( )A ．42B ．82C ．8D ．9 【答案】D【解析】0a Q >，0b >，且121a b +=， 则2212252549b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=++=≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22ab ab =即13a =，3b =时取等号． 故选D ．考点点睛：1.应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形的目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件．2．若条件式是ax ＋by ＝c (a ，b ，c 都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如x ＋y ＝1(x >0，y >0)求1x＋2y 的最值时，可以将1＝x ＋y,2＝2(x ＋y )代入，也可以变形1x ＋2y ＝(1x ＋2y )·1＝(1x ＋2y)·(xy )．两种方法本质相同，若已知条件为2x ＋y ＝3(x >0，y >0)，求3x ＋2y 的最值时，可利用3x ＋2y ＝13(3x ＋2y)(2x ＋y )变形． 3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加以限制．考点3、忽视等号成立的条件而致误例3．已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．【答案】3＋2 2【解析】[错解]由1＝x ＋2y ≥22xy ，得1xy ≥22， ∴1x ＋1y ≥21xy ＝2xy ≥42，即1x ＋1y 的最小值为42． [辨析]两个等号不能同时取到，前一个不等式等号成立的条件是x ＝2y ＝12，后一个不等式等号则是当x ＝y 时成立．[正解]∵x 、y 为正数，且x ＋2y ＝1．∴1x ＋1y ＝(x ＋2y )(1x ＋1y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为3＋22．考点4、利用基本不等式比较数的大小例4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 之间的大小关系是 ． 【答案】m >n 【解析】 ∵a >2，∴a －2>0.又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2， ∴m ≥2a －2×1a －2＋2＝4，即m ∈[4，＋∞)． 由b ≠0，得b 2≠0，∴2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴n ∈(0,4)．综上易得m >n ．考点5、不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法例5．已知,,a b c 是全不相等的正实数，证明：3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. 【答案】详见解析【解析】（方法一） ∵a,b,c 全不相等，∴,,b a c a c b a b a c b c 与与与全不相等 ∴b a a b +＞2，c a a c +＞2，c b b c+＞2 三式相加得，b c c a a b a a b b c c+++++＞6 ∴(1)(1)(1)b c c a a b a a b b c c+-++-++-＞3 即b c a a c b a b c a b c+-+-+-++＞3 （方法二）要证b c a a c b a b c a b c+-+-+-++＞3 只需证明111b c c a a b a a b b c c+-++-++-＞3 即证b c c a a b a a b b c c+++++＞6 而事实上，由a,b,c 是全不相等的正实数，∴b a a b +＞2，c a a c +＞2，c b b c+＞2 ∴b c c a a b a a b b c c+++++＞6 ∴b c a a c b a b c a b c+-+-+-++＞3得证考点点睛：证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证．考点6、求参数的取值范围问题例6．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】已知0m >，0n >，141m n+=，若不等式22m n x x a +≥-++对已知的m ，n 及任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)8,+∞B ．[)3,+∞C ．(],3-∞D ．(],8-∞ 【答案】D【解析】∵()1445n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭4529n m m n ≥+⨯=， 当且仅当4n m m n=时等号成立， ∴229x x a -++≤，即()222918a x x x ≤-+=-+，∴8a ≤.故选：D考点点睛：1.恒成立问题求参数的取值范围，常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；2.解题思路来源于细致的观察，丰富的联想和充分的知识、技能的储备，要注意总结记忆．考点7、均值不等式在实际问题中的应用例7．如图，金砂公园有一块边长为2的等边ABC V 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.（Ⅰ）设AD x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）如果DE 是灌溉水管，我们希望它最短，则DE 的位置应在哪里？请予以证明.【答案】（Ⅰ）2242(12)y x x x=+-≤≤；（Ⅱ）//DE BC ，且2DE =. 【解析】 （Ⅰ）在ADE V 中，222222cos60y x AE x AE x AE x AE =+-⋅⋅=+-⋅o ①， 又12ADE ABC S S =V V ，即11sin 6022sin 6024x AE ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅o o ，即2AE x=②， 将②代入①，得222222422y x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 又2x ≤，若1x <，则22AE x=>不符合题意，所以1x ≥， 因此2242(12)y x x x =+-≤≤； （Ⅱ）如果DE 是水管， 因为2242422y x x =+-≥-=， 当且仅当224x x=，即2x =时“＝”成立， 故//DE BC ，且2DE =.。
高一必修五不等式的知识点不等式是数学中常见的一种数学关系符号，用于表示两个数或两个算式之间的大小关系。
高中数学中，不等式是一个重要的知识点，其中必修五的学习内容涉及到不等式的基本概念、性质、解法等。
下面将介绍高一必修五不等式的主要知识点。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号表示两个数或两个算式之间的大小关系。
不等式中的不等号可以是小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）或大于等于号（≥）。
二、不等式的性质1. 加法性性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等式的方向不变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c。
2. 乘法性性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不变；对于不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向改变。
例如，若a > b（a > 0），则 a · c > b · c。
3. 反身性：任何数与自身进行大小比较时都满足等式关系。
例如，a = a。
4. 传递性：若 a > b，b > c，则 a > c。
例如，若a > b，b > c，则 a > c。
5. 两边加或减一个相同的数对不等式关系不会改变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c。
三、不等式的解法1. 图解法：通过在数轴上绘制对应数值的数轴图形，来解读不等式的解集。
例如，对于不等式 x > 3，可以在数轴上绘制一个开口向右的箭头，并在箭头右侧标记出无限大的数集。
2. 几何法：利用几何图形，如包含在坐标系上的点、线段、平面等，来求解不等式的解集。
例如，对于不等式 2x + y > 5，可以在坐标系上绘制直线 2x + y = 5，然后根据不等式的要求确定直线上、下两侧的解集。
3. 符号法：通过变量和符号的运算来对不等式进行转化，从而求解不等式的解集。
例如，对于不等式 3x + 2 < 10，可以通过减去2再除以3的方式将不等式转化为 x < 2。
高一必修5不等式知识点及应用。
高一必修5不等式知识点及应用在高一数学课程中，不等式是一个重要的内容，也是学生们经常接触到的概念。
不等式是比较两个数的大小关系的数学语句。
在本文中，我们将介绍高一必修5中的一些重要的不等式知识点，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、一元二次不等式一元二次不等式是高一必修5中重要的不等式类型之一，也是解不等式的基础。
一元二次不等式是指类似于 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx +c ≤ 0 的形式的不等式。
解一元二次不等式的关键是确定不等式的根号部分与零的关系，通过这个关系来确定不等式的解集。
一元二次不等式的应用非常广泛，尤其在实际问题中。
比如，我们可以利用一元二次不等式来描述一个物体的运动轨迹、确定一个方程的解集范围等等。
一元二次不等式的解集可以帮助我们更好地理解和分析实际问题，提高对问题的解决能力。
二、绝对值不等式绝对值不等式也是高一必修5中一个重要的不等式类型。
绝对值不等式是指类似于 |x - a| > b 或 |x - a| ≤ b 的形式的不等式，其中 a 和 b 是实数。
解绝对值不等式的关键是利用绝对值的定义和性质，将不等式转化为两个简单的不等式，并对每个不等式分别进行求解。
解绝对值不等式的过程可能会有一些繁琐，但是通过理解和掌握绝对值的性质和解绝对值不等式的方法，我们可以更加轻松地解决问题。
绝对值不等式在现实生活中也有广泛的应用。
比如，我们可以利用绝对值不等式来确定一个测量误差的范围、解决某些优化问题等等。
绝对值不等式的应用使我们能够更加准确地处理实际问题，提高解决问题的能力。
三、指数不等式指数不等式也是高一必修5中一个重要的不等式类型。
指数不等式是指形如 a^x > b 或a^x ≤ b 的不等式，其中 a 是正实数且不等于 1， b是正实数。
解指数不等式的关键是利用指数函数的性质和对数函数的性质，将不等式转化为对数形式，并利用对数的性质求解。
高三数学必修五基本不等式及其解法知识点（人教版）知识
点总结
数学是一切科学的基础，以下是为大家整理的高三数学必修五基本不等式及其解法知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，一直陪伴您。
不等式的性质：① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1) a>bb
(2) a>b, b>ca>c (传递性)
(3) a>ba+c>b+c (c∈R)
(4) c>0时，a>bac>bc
cbac
运算性质有：
(1) a>b, c>da+c>b+d。
(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。
(3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。
(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
最后，希望小编整理的高三数学必修五基本不等式及其解法知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。
数学·必修5(人教A版)一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等．不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用不等式解应用题的基本步骤：①审题；②建立不等式模型；③解决数学问题；④作答．本章中，不等式的证明是难点，解不等式是重点，含参数的不等式综合题是高考命题的热点．掌握不等式的意义和实数的符号法则，是分散难点和解决难点的关键．如能熟悉不等式的性质，认清基本不等式的特点，灵活运用比较、分析、综合等基本方法，认真进行思考和探索，是不难找到解题途径的．要善于进行转化变形，即化无理为有理、化分式为整式、化高次为低次、化绝对值为非绝对值等等，以突破解证不等式这一难关．通过本章的学习达到以下基本目标：1．会用不等式(组)表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式(组)表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确基本不等式及其成立条件，会灵活应用基本不等式证明或求解最值．二、主干知识1．不等式与不等关系．不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．双向性主要有：(1)不等式的基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，这是比较两个实数的大小的依据；(2)a >b ⇔b <a ；(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要有：(1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(3)a >b ，c >0(c < 0)⇒ac >bc (ac <bc )；(4)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)a >b >0,0<c <d ⇒a c ＞b d ；(6)a >b >0，m ∈N *⇒a m >b m ；(7)a >b >0，n ∈N *，n >1⇒n a >n b .特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即： 若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；若a ＞b ＞0,0＜c ＜d ，则a c ＞b d .(3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：若a ＞b ＞0，n ∈N *，n >1，则a n ＞b n 或n a ＞nb .(4)若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b .如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．2．一元二次不等式及其解法解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax 2＋bx ＋c ＞0的形式，②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解，③画出相应的二次函数的图象，④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．设相应二次函数的图象开口向上，并与x 轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x 1，x 2，要分x 1＞x 2、x 1＝x 2、x 1＜x 2讨论．(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝(a>0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2(x1<x2){x|x<x1，或x>x2}{x|x1＜x＜x2}Δ＝0有两相等实根x1＝x2＝－b2a{x|x≠－b2a}∅Δ＜0无实根R∅特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点；③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值：若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C ＜0所表示的平面区域．也可采用：把二元一次不等式改写成y＞kx ＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．(2)线性规划的有关概念：①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．(3)解简单线性规划问题的基本步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．具体来讲有以下5步：a．画图：画出线性约束条件所表示的平面区域即可行域；b．定线：令z＝0，得一过原点的直线；c．平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；d．求最优解：通过解方程组求出最优解；e．求最值：求出线性目标函数的最大或最小值．特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)Ax＋By＋C＞0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的上方，Ax ＋By＋C＜0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的下方．(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧．(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．4．基本不等式ab≤a＋b 2.(1)基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么ab≤a＋b2.当且仅当a＝b时，等号成立．①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②如果把a＋b2看做是正数a，b的等差中项，ab看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．③基本不等式ab≤a＋b2几何意义是“半径不小于半弦”．(2)对基本不等式的理解：①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a ，b 的和与两正数a ，b 的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．②“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义：a ．当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＝b ⇒a ＋b 2＝ab ； b ．仅当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＋b 2＝ab ⇒a ＝b ； 综合起来，其含意是：a ＋b 2＝ab ⇔a ＝b . (3)设a ，b ∈R ，不等式a 2＋b 2≥2ab ⇔ab ≤a 2＋b 22⇔ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)基本不等式的几种变式：设a ＞0，b ＞0，则a ＋1a ≥2，b a ＋a b ≥2，a 2b ≥2a －b .(5)常用的几个不等式：① a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；②设a ，b ，c ∈R ，则a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)；③真分数的性质：若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m a ＋m(糖水的浓度问题)．特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．题型1 恒成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min ＞A ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max ＜B .设函数f (x )＝x ，g (x ) ＝x ＋a (a >0)，若x ∈[1,4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1⇔－1≤f (x )－ag (x )f (x )≤1，得0≤ag (x )f (x )≤2， 即ax ＋a 2x ≤2在x ∈[1,4]上恒成立，也就是ax ＋a 2≤2x 在x ∈[1,4]上恒成立．令t ＝x ，则t ≥0，且x ＝t 2，由此可得 at 2－2t ＋a 2≤0在t ∈[1,2]上恒成立，设g (t ) ＝ at 2－2t ＋a 2，则只需⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≤0，g (2)≤0⇒⎩⎨⎧a －2＋a 2≤0，4a －4＋a 2≤0，解得 0<a ≤22－2，即满足题意的a 的取值范围是(0,22－2]．题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立，则等价于在区间D 上的f (x )max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立，则等价于在区间D 上的f (x )min ＜B .若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a的取值范围．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值＜a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．题型3 恰成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＞A 的解集为D ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＜B 的解集为D .已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解析：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，⇒x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，得：Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8,0}．题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值．解析：∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6,8－3x ＞0， ∴y ＝x (8－3x )＝13·3x ·(8－3x )≤132+-⎛⎫⎪⎝⎭3x 83x 2＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，∴当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)．求函数f (x )的最小值．解析：f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1＞0，2x ＋1＞0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值． 此时f (x )min ＝22－1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z ＝ax ＋by ＋c 在直线ax ＋by ＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案：A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．当m 为何值时，方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根？解析：方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(4m )2－4×2×(3m －1)≥0，－b a ＝－4m 2＝－2m ＜0，c a ＝3m －12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1，m ＞0，m ＞13.∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m 13＜m ≤12或m ≥1时，原方程有两个负根．题型7 不等式与函数的综合问题定义在(－1,1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．解析：∵f (x )的定义域为(－1,1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，∴⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，∴0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)． 由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)， ∴f (1－a )＜f (a 2－1)． 又f (x )在(－1,1)上是减函数，∴1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是(0,1)．题型8 求分式函数的最值求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值．解析：y ＝(x 4＋2x 2＋1)＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2(x 2＋1)·1x 2＋1＋1＝3，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x 2＋1＝1，即x ＝0时等号成立．。
人教版高三数学必修5知识点：《不等式》知识点总结
数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，小编准备了人教版高三数学必修5知识点，具体请看以下内容。
(1)不等关系
感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。
(2)一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(参见例2)。
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(参见例
3)。
(4)基本不等式：。
①探索并了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(参见例4)。
高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理的人教版高三数学必修5知识点，希望大家喜欢。
人教版高中数学必修五知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】不等关系与不等式【学习目标】1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系.2．会用差值法比较两实数的大小；3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立。
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立。
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c ∈R)(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有：(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅(3) 可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈⇒>>(4)可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>⇒>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小。
千里之行，始于足下。
202X年高中数学人教版必修五不等式学问点最完全精炼总结高中数学人教版必修五中的不等式部分是数学中格外重要的一个章节，把握好不等式的学问对于解决很多其他数学问题都是至关重要的。
下面是对202X年高中数学人教版必修五不等式学问点的最完全精炼总结，总计。
一、基本概念与性质1. 不等式的基本性质：加减等于一个不等式，两边乘（除）同一个正（负）数不等号方向不变，两边乘（除）同一个非负数不等号方向可能转变。
2. 确定值不等式的性质：|a| < b 等价于 -b < a < b；|a| > b 等价于a < -b 或 a > b。
3. 等式的确定值不等式：若 |a| = b，则 a = b 或 a = -b。
二、一次不等式1. 一次不等式的解集表示法：解集用数学符号表示为 { x | x ∈ R, x >a } 或 (a, +∞)。
2. 一次不等式的求解方法：移项、换边、乘除法求解。
3. 不等式的区间解法：将解集表示为一个或多个区间的并集。
4. 求不等式的整数解：通过查找使不等式成立的整数解来确定整数解集。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
5. 不等关系的性质：不等式两边同时加上（减去）一个相同的数不等号方向不变，两边同时乘（除）一个正数不等号方向不变，两边同时乘（除）一个负数不等号方向转变。
三、二次不等式1. 二次不等式的解集表示法：解集用数学符号表示为 { x | x ∈ R, x > a, x < b } 或 (a, b)。
2. 二次函数与二次不等式的关系：二次函数的图像与二次不等式的解集有亲密关系。
3. 二次不等式的判别法：依据二次不等式的判别式Δ = b^2 - 4ac 的正负确定二次不等式的解集。
4. 二次不等式的求解方法：配方法、因式分解法、二次函数法等。
5. 不等式组的解集：将多个不等式组合在一起，求解出满足全部不等式的解。
必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结如下：1. 一次性解决n个一元一次方程组将所有的方程相加得到等式，将所有的不等式相加得到不等式。
2. 均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，则有：（1）算术平均值和几何平均值：(a1+a2+…+an)/n >= (a1×a2×…×an)^(1/n)（2）加权平均值和几何平均值：(a1*w1+a2*w2+…+an*wn)/(w1+w2+…+wn) >= (a1^w1×a2^w2×…×an^wn)^(1/(w1+w2+…+wn))其中，w1、w2、…、wn是正实数，满足w1+w2+…+wn=1。
3. 广义均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，m和p同为实数且m < p，则有：(a1^m+a2^m+…+an^m)/n >= (a1^p+a2^p+…+an^p)/n当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。
4. 柯西不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，则有：(a1*b1+a2*b2+…+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+…+an^2)*(b1^2+b2^2+…+bn^2)当且仅当ai/k1=bi/k2时，等号成立。
其中，k1和k2是实数。
5. 阿贝尔不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，满足a1 >= a2 >= … >= an和b1 <= b2 <= … <= bn，则有：a1*b1+a2*b2+…+an*bn >= a1*bk1+a2*bk2+…+an*bkn，其中，k1、k2、…、kn是排列1、2、…、n的一个排序方式。
6. 连续不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，如果a1 <= a2 <= … <= an，则有：（1）(a1+a2+…+an)^2 <= n*(a1^2+a2^2+…+an^2)（2）(a1+a2+…+an)^2 >= n*a1*a2*…*an其中，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。
人教版高中数学必修五知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】基本不等式【学习目标】1. 理解基本不等式的内容及其证明.2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.【要点梳理】要点一：基本不等式1.对公式222a b ab +≥及2a b +≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”.2.由公式222a b ab +≥和2a b +≥ ①2b a a b+≥（,a b 同号）； ②2b a a b+≤-（,a b 异号）；③20,0)112a b a b a b +≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.a +b 2的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a 、b ，这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：如果0a >，0b >,则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2a b +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.要点诠释：特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：如果0a >，0b >,则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2a b +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）.2a b +≤的几何意义 如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称2b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2a b +≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.要点诠释：1．两个不等式：222a b ab +≥与2a b +≥a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如22(3)(2)2(3)(2)-+-≥⨯-⨯-是成立的，而(3)(2)2-+-≥的.2．两个不等式：222a b ab +≥与2a b +≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.当a=b 取等号，其含义是2a b a b +=⇒=；仅当a=b 取等号，其含义是2a b a b +=⇒=.综合上述两条，a=b 是2a b +=的充要条件. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.【典型例题】类型一：对公式222a b ab +≥及2a b +≥ 例1. 0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 .（1）a b++； （2）11()()a b a b ++的最小值为4；（3）14a a ++的最小值为2-. 【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵0a >，0b >，∴a b++≥≥2a b ==时取等号）.（2）∵0a >，0b >，∴11()()4a ba b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.（3）∵0a >，∴11444244a a a a +=++-≥=-++， （当且仅当144a a +=+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即124a a +>-+ 【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.举一反三：【变式1】下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，1lg 2lg x x +≥B ．当x >02≥C ．当x ≥2时，1x x+的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，1x x -无最大值 【答案】 B【变式2】（2016 上海模拟）已知函数2()a x f x x+=，（a ＞0），x ∈（0，b ），则下列判断正确的是（ ）A ．当b >f （x ）的最小值为B ．当0b <≤f （x ）的最小值为C ．当0b <≤f （x ）的最小值为2a b b+D ．对任意的b ＞0，f （x ）的最小值均为【答案】∵2()a x a f x x x x+==+，∴当b >()f x ≥当且仅当a x x =，即x =当0b <≤y=f （x ）在（0，b ）上单调递减， ∴2()a b f x b+<，故f （x ）不存在最小值； 故选A 。
类型二：利用基本不等式证明不等式例2. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。
【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【总结升华】1. 在运用ab b a ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.举一反三：【变式】已知x 、y 都是正数，求证：223333()()()8x y x y x y x y +++≥.【答案】∵x 、y 都是正数，∴0x >，0y >，20x >，20y >，30x >，30y >0x y +≥>（当且仅当x y =时，取等号）220x y +≥> （当且仅当x y =时，取等号）330x y +≥>（当且仅当x y =时，取等号）∴223333()()()8x y x y x y x y +++≥=（当且仅当x y =时，取等号）即223333()()()8x y x y x y x y +++≥.例3.已知3a >，求证:473a a +≥- 【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.【解析】44(3)333733a a a a +=+-+≥==-- （当且仅当433a a =--即5a =,等号成立）. 【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.举一反三：【变式1】已知x 、y 都是正数，求证：2y x x y+≥. 【答案】∵x 、y 都是正数 ，∴0x y >，0y x>，∴2x y y x +≥=（当且仅当y x x y =即x y =时,等号成立） 故2y x x y+≥. 【基本不等式392186 例题3】【变式2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc ca ab a b c a b c++≥++. 【答案】证明： ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴2bc ac c a b +≥=，2ac ab a b c +≥=，2bc ab b a c +≥=. ∴bc ca ab a b c a b c++≥++. 类型三：利用基本不等式求最值例4. 求函数9()45f x x x =+-(5x >)的最小值. 【思路点拨】本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数.【解析】∵5x >，∴50x ->∴9()4(5)2020325f x x x =-++≥=- （当且仅当94(5)5x x -=-即352x -=时，取等号） 故当132x =时，函数9()45f x x x =+-(5x >)的最小值为32. 【总结升华】1. 形如()B f x Ax x=+（0x >，0A >，0B >）的函数的最值可以用基本不等式求最值； 2. 利用基本不等式求最值时,应注意“一正”，“二定”，“三相等”的条件.举一反三：【变式1】已知0x ≠，当x 取什么值时，函数2281()f x x x =+的值最小？最小值是多少？【答案】∵0x ≠，∴20x >，∴2281()18f x x x =+≥=（当且仅当2281x x =即3x =±时，取等号） 故当3x =±时，2281x x+的值最小为18. 【变式2】已知0x <，求16()204f x x x=++的最大值. 【答案】∵0x <，∴0x ->，∴4()224x x -+≥=⨯=-（当且仅当4x x-=-，即2x =-时，等号成立） ∴4()204[()]20444f x x x =--+≤-⨯=-（当且仅当4x x-=-，即2x =-时，等号成立） 故当2x =-时，()f x 的最大值为4.例5. 已知x ＞0，y ＞0，且191x y+=，求x+y 的最小值. 【思路点拨】要求x y +的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.【解析】方法一：∵191x y +=，∴199()10y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭∵x ＞0，y ＞0，∴96y x x y +≥= （当且仅当9y x x y=，即y=3x 时，取等号） 又191x y+=，∴x=4，y=12 ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16.方法二：由191x y +=，得9y x y =- ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞999991(9)109999y y x y y y y y y y y y -++=+=+=++=-++---- ∵y ＞9，∴y －9＞0，∴9969y y -+≥=- （当且仅当999y y -=-，即y=12时，取等号，此时x=4） ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16.【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法，方法二用了消元的方式化为函数的最值来求. 举一反三：【基本不等式392186 例题1】【变式1】已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则11x y +的最小值为________；【答案】 3+【变式2】(2015 福建文)若直线1(00)xya b a b +=>>，过点(1，1)，则a+b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】 由已知得111a b +=， 则11()()2b aa b a b a b a b +=++=++，因为a ＞0，b ＞0，所以2，+≥=baa b因为a ＞0，b ＞0，所以2，+≥=baa b故a+b ≥4，当baa b =，即a=b=2时取等号．例6.已知,0a b >，（1）若4ab =,求a b +的最小值；（2）若4a b +=,求ab 的最大值.【解析】（1）方法一：∵,0a b >且4ab =,∴4a b +≥=，即4a b +≥（当且仅当2a b ==时取等号）∴2a b ==，a b +的最小值为4.方法二：∵,0a b >且4ab =,∴44a b a a +=+≥=，即4a b +≥（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，a b +的最小值为4.（2）方法一：∵,0a b >，∴4a b =+≥4ab ≥（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，ab 的最大值为4.方法二：∵,0a b >，∴2()42a b ab +≤=，（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，ab 的最大值为4.方法三：∵,0a b >，4a b +=，∴22(4)4(2)44ab a a a a a =-=-+=--+≤（当且仅当2a b ==时取等号）∴2a b ==，ab 的最大值为4.【总结升华】1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若,a b R +∈，且a b M +=，M 为定值，则24M ab ≤，等号当且仅当2M a b ==时成立. 2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若,a b R +∈，且ab P =，P 为定值，则a b +≥，等号当且仅当a b ==.举一反三：【变式1】已知0x >，0y >，9xy =，求x y +的最小值.【答案】∵0x >，0y >，9xy =，∴由6x y +≥=（等号当且仅当3x y ==时成立）故当3x y ==时，xy 的最小值为6.【变式2】已知0x >，0y >，8x y +=，求xy 的最大值.【答案】解法一：∵0x >，0y >，8x y +=， ∴28(8)()162x x xy x x +-=-≤=（当且仅当8x x =-即4x =时，等号成立）故当4x =时，xy 的最大值为16.解法二：∵0x >，0y >，8x y =+≥8422x y +≤==，可得16xy ≤，（当且仅当4x y ==时，等号成立） 故当4x =时，xy 的最大值为16.类型四：利用基本不等式解应用题例7. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为28m . 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【解析】由题意可得1822x x y x ⋅+⋅=，∴2884(04x x y x x x -==-<<.于是，框架用料长度为222l x y x =++316(2x x =++≥=当316(2x x +=，即8x ==-.此时， 2.343x ≈， 2.828y =≈.故当x 约为2.343 m ，y 约为2.828 m 时用料最省.【总结升华】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.举一反三：【变式1】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【解析】(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于23x y +≥=∴18≤，得272xy ≤， 即272S ≤，当且仅当2x ＝3y 时等号成立． 由231823x y x y +=⎧⎨=⎩，解得 4.53x y =⎧⎨=⎩故每间虎笼长为4.5 m 、宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2324x y +≥==，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由2324x y xy =⎧⎨=⎩，解得64x y =⎧⎨=⎩. 故每间虎笼长为6 m 、宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小．【变式2】(2014 湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝lv v v 2018760002++． (Ⅰ)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为 辆/小时；(Ⅱ)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加 辆/小时．【答案】(Ⅰ)F ＝18121760002018760002++=++vv l v v v ， ∵v ＋v121≥2121＝22，当v ＝11时取最小值， ∴19001812176000F ≤++=v v ， 故最大车流量为：1900辆/小时；(Ⅱ)F ＝l v v v 2018760002++＝10018760002++v v v ＝1810076000++vv ，∵v ＋v100≥2100＝20， ∴F ≤2000，2000－1900＝100(辆/小时)故最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加100辆/小时．。
