江苏省常州市教学研究合作联盟2018-2019学年高一下学期期中质量调研数学试题 含解析

江苏省常州市2019版高一下学期数学期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·宝安期末) 在△ABC中，a= ，b= ，B=45°，则A等于（）A . 30°B . 60°C . 60°或120°D . 30°或150°2. （2分） (2016高二上·洛阳期中) 数列1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11，…的一个通项公式为（）A .B .C .D .3. （2分）设a= ，c=x+y，若对任意正实数x，y都存在以a，b，c为三边的三角形，则实数p的取值范围是（）A . （1，3）B . （0，1）∪（3，+∞）C . （2，4）D . （2，3）4. （2分）△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（ a﹣b）sinB，则角C=（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°5. （2分） (2018高一下·唐山期末) 等差数列的前项和为，若，则（）A . 4B . 8C . 12D . 166. （2分）设实数x，y满足：，则z=2x+4y的最小值是（）A .B .C . 1D . 87. （2分） (2019高二上·洛阳期中) 已知等比数列满足：，且，则等于（）A .B .C .D .8. （2分）设函数，则不等式的解集是（）A .B .C .D .9. （2分）已知数列则是这个数列的（）A . 第10项B . 第11项C . 第12项D . 第21项10. （2分） (2019高一下·浙江期中) 在中，分别是角的对边，满足，则的形状为（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰三角形D . 锐角三角形11. （2分） (2020高一下·七台河期末) 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项的和为（）A . -24B . 3C . 8D . 1112. （2分） (2019高二下·广东期中) 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2015·岳阳模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则a=________．14. （1分）(2019·四川模拟) 已知数列中，，，则数列的通项公式 ________．15. （1分）(2020高一下·天津期中) 在中，角所对的边分别为，若，，则 =________16. （1分）(2017·重庆模拟) 已知x，y满足约束条件，若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为1，则m的值是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2016高二上·宁远期中) 建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的猪圈，底面为长方形的猪圈正面的造价为120元/m2 ，侧面的造价为80元/m2 ，屋顶造价为1120元．如果墙高3m，且不计猪圈背面的费用，问怎样设计能使猪圈的总造价最低，最低总造价是多少元？18. （5分）(2017·江苏模拟) 己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=（1）求证：数列{ }为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn ，对任意的n∈N* ，均存在m∈N* ，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm 成立，求满足条件的所有整数a1的值．19. （10分）(2018·吉林模拟) 在中，内角的边长分别为，且 .（1）若，，求的值；（2）若，且的面积，求和的值.20. （5分） (2018高三上·寿光期末) 若数列的前项和满足： .（1）证明：数列为等比数列，并求；（2）若，，求数列的前项和 .21. （10分） (2016高二上·大名期中) 已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN= π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c= ，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．22. （10分） (2016高二上·高青期中) 设等比数列{an}的前项n和Sn ， a2= ，且S1+ ，S2 ， S3成等差数列，数列{bn}满足bn=2n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设cn=anbn ，若对任意n∈N+ ，不等式c1+c2+…+cn≥ λ+2Sn﹣1恒成立，求λ的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

常州市教育学会学生学业水平监测高一数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．掷一枚质地均匀的硬币，连续出现5次正面向上，则第6次出现反面向上的概率（ ） A ．大于12B ．等于12C ．小于12D ．以上都有可能2．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：4，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为（ ） A ．45B ．15C ．12D ．273．在平面直角坐标系中，过点（2，0）且斜率为﹣1的直线不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．直线√3x +y ﹣1＝0的倾斜角为（ ） A ．π3B ．−π3C ．2π3D ．−2π35．在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，那么△ABC 最小内角的余弦值为（ ） A ．524B ．1116C ．78D ．−146．已知圆锥的高和底面半径都为1，则其侧面积为（ ） A ．√2πB ．πC ．π3D ．（√2+1）π7．已知一个正四棱锥的所有棱长都为1，则此四棱锥的体积为（ ） A ．√212B ．√22C ．√26D ．√238．平行直线ax +2y ﹣3＝0和2x +ay +1﹣2a ＝0之间的距离为（ ） A ．√22B ．2C ．2√2D ．129．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β； ②m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n ； ④m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n ．上述说法中，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中，错误的是（ ）A ．AC ⊥SBB ．BC ∥平面SADC ．SA 和SC 与平面SBD 所成的角相等D ．异面直线AB 与SC 所成的角和异面直线CD 与SA 所成的角相等11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx ﹣y +4＝0与直线l 2：x +ky ﹣3＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线4x ﹣3y +10＝0的距离的最大值为（ ） A ．2B ．92C ．112D ．74二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝ ． 15．已知直线l 过点（1，0）且与直线√2x +y ﹣1＝0垂直，l 与圆C ：（x ﹣6）2+（y −√2）2＝12交于A ，B 两点，则弦AB 的长为 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝x +m 和圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4．若直线l 上存在点P ，使PO →•PC →≤0，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

江苏省常州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2018·内江模拟) （）A .B .C .D .2. （2分）在中，角所对边长分别为，若，则角的最大值为（）A .B .C .D .3. （2分）已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度4. （2分） (2018高一下·四川期末) 设单位向量，则的值为（）A .B .C .D .5. （2分）已知=（1，2），=（﹣3，2），k+与﹣3平行，则k的值为（）A . 3B .C .D . -6. （2分）(2020·江西模拟) 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高三·银川月考) 已知数列满足：，设数列的前项和为，则（）A . 1007B . 1008C . 1009.5D . 10108. （2分）如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A出出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是（）km．A . 5（+ ）B . 5（﹣）C . 10（+ ）D . 10（﹣）9. （2分）设为等差数列，且，则数列的前13项的和为（）A . 63B . 109C . 117D . 21010. （2分） (2019高一下·诸暨期中) 在中，若，则的形状是（）A . 直角三角形B . 等腰或直角三角形C . 不能确定D . 等腰三角形11. （2分） (2020高一下·佛山月考) 已知数列为等差数列，首项，若，则使得的n的最大值为（）A . 2007B . 2008C . 2009D . 201012. （2分）已知是外接圆的圆心，、、为的内角，若，则的值为（）A . 1B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分）(2019·北京模拟) 在各项均为正数的等比数列中，，且 .（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.14. （2分） (2019高二下·绍兴期中) 等差数列的前n项和为，，，则________； ________.15. （1分） (2018高一下·北京期中) 定义：称为n个正数p1 ， p2 ，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为an=________.16. （1分）已知等比数列{an}的首项a1=2013，公比q=﹣，数列{an}前n项的积记为Tn ，则使得Tn 取得最大值时n的值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一下·上海月考) 在△ 中，角、、的对边分别为、、，且满足 .（1）求角的大小；（2）若，求△ 的面积最大值及取得最大值时角的大小.18. （10分）向量 , ,已知，且有函数 .（1）求函数的解析式及周期；（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，边 , ，求的长及的面积.19. （10分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN= π，在△ABC中，角A、B、C 所对的边分别是a、b、c．（1）若b﹣a=c﹣b=2．求c的值；（2）若c= ，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．20. （10分） (2020高二上·吴起期末) 已知为等差数列,其前项和为 , 为等比数列,满足:, , ,（1）求和 ;（2）设 ,求数列的前项和 .21. （5分） (2017高三上·定西期中) 已知a2 ， a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{an}是公差为正的等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn ，且Tn=1 bn ．（n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=anbn ，求数列{cn}的前n项和Sn ．22. （15分） (2017高一下·长春期末) 数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=n（n+1）（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：an= + + +…+ ，求数列{bn}的通项公式；（3）令cn= （n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn ．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

2018～2019学年度第二学期高一年级阶段性调研测试数学试题注意事项：1.请将本试卷答案填写在答题卡相应位置上；2.考试时间120分钟，试卷总分120分；参考公式：球的表面积24S R π=，其中R 是球的半径.一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案填在答题卡指定位置上.1.已知点(1,2),(5,6)A B ，则线段AB 中点的坐标为（ ） A. (2,3)B. (3,2)C. (3,4)D. (4,3)2.已知点(,3)A a -，点(5,)B a -，直线AB 的斜率为1，则a 的值为（ ） A. 4B. 3-C. 3D. 4-3.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ）A.23B. 23-C. 13-D. 14-4.长方体三个面，则长方体的体积等于（ ） A. 6B.C. D. 365.若三条线段的长分别为2，3，4，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形6.如果0ac <，0bc >，那么直线0ax by c ++=不通过（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是（ ） A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形8.已知四边形ABCD 内接于圆O ，120BAD ︒∠=，1AB =，2AD CD ==，则四边形ABCD 面积的大小是（ ） A. B. C. D. 不能确定二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.把答案填在答题卡指定位置上.9.过点(2,3)，且与直线30x y --=垂直的直线方程为____________. 10.直线51220x y --=与直线512150x y -+=之间的距离为________. 11.已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题：（1）,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒；（2）//,⊥⇒⊥n m n m αα；（3）//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒；（4）,//m m n n αα⊥⊥⇒；正确命题的序号为______.12.ABC V 中，60,,C BC a AC b ︒===，且,a b 是方程213400x x -+=的两个根，则AB 的长为______. 13.设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.14.某人在高出海面600米的山上P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为30°，航标B 在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为________米．15.已知点(4,1),(3,1)A B --，若直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是_________． 16.锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若a =22bc +的取值范围是______.三、解答题：本大题共6小题，共64分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.根据下列条件分别求出直线的方程：（1）过点(3,2)-，斜率为3； （2）过点(2,0),(0,3)-.18.在ABC V 中，,,a b c 分别是,,A B C 对边.（1）已知1,60,a A c ︒===C ； （2）已知2cos c a B =，试ABC V 判断形状.19.如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，求证：AC BD '⊥.20.已知,,a b c 分别为ABC V 三个内角,,A B C 的对边，3sin cos c a C c A =-. （1）求A ；（2）若M 是上BC 一点，且2BC MC =u u u r u u u u r ，3b =，33AM =，求a 的值.21.在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60,,2ABC PA AC a PB PD a ︒∠=====.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ； （2）点E 在棱PD 上.①如图1，若点E 是线段PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ；②如图2，若:2:1PE ED =，在棱PC 上是否存在点F ，使得//BF 平面AEC ？证明你的结论.22.L 市实施全域旅游，将乡村旅游公路建设与特色田园乡村发展结合，精心打造全长365公里的“1号公路”，对内串联区域内主要景区景点和自然村，对外通达周边县（市），以路引景、为景串线，形成一个“大环小圈、内连外引”的路网体系.如今的“1号公路”，不仅成为该市旅游业的“颜值担当”，更成为推动乡村振兴的“实力担当”，农村居住环境日益改善，新农村别墅随处可见.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形.点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为,H M （即：FH ⊥平面ABCD ，垂足为H ；FM BC ⊥，垂足为M ）.已知5,10HM m BC m ==，梯形ABFE 的面积是FBCV 面积的2.2倍.04FMHπθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.（1）当6πθ=时，求屋顶面积的大小；（2）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（3）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为a （a 为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16a .现欲造一栋上、下总高度为6m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？2018～2019学年度第二学期高一年级阶段性调研测试数学试题注意事项：1.请将本试卷答案填写在答题卡相应位置上；2.考试时间120分钟，试卷总分120分；参考公式：球的表面积24S R π=，其中R 是球的半径.一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案填在答题卡指定位置上.1.已知点(1,2),(5,6)A B ，则线段AB 中点的坐标为（ ） A. (2,3) B. (3,2)C. (3,4)D. (4,3)【答案】C 【解析】 【分析】根据中点坐标公式计算即可.【详解】由中点坐标公式得：1532x +==，2642y +==. 所以AB 中点的坐标为(3,4). 故选：C【点睛】本题主要考查中点坐标的计算，熟记公式是解题的关键，属于简单题. 2.已知点(,3)A a -，点(5,)B a -，直线AB 的斜率为1，则a 的值为（ ） A. 4 B. 3-C. 3D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】带入两点斜率公式解方程即可. 【详解】315()AB a k a --==--，解得：4a =-.故选：D【点睛】本题主要考查两点斜率公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题. 3.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ）A.23B. 23-C. 13-D. 14-【答案】D 【解析】解：由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4 可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，CosC=1-4,选D 4.，则长方体的体积等于（ ） A. 6 B.C.D. 36【答案】B 【解析】【分析】首先设长方体的边长分别为,,a b c，根据题意得到ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，再计算体积即可.【详解】设长方体的边长分别为,,a b c ，有题知：2226ab ac a b c bc ⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎪=⎪⎩. V abc ==故选：B【点睛】本题主要考查长方体的侧面积和体积，属于简单题. 5.若三条线段的长分别为2，3，4，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形【答案】C 【解析】 【分析】首先根据三角形满足任意两边之和大于第三边，得到可以构成三角形.再根据cos 0C <即可判定三角形的形状.【详解】有题知：三角形满足任意两边之和大于第三边， 所以三条线段的长分别为2，3，4可以构成三角形. 设2a =，3b =，4c =，则2222341cos 02234C +-==-<⨯⨯.所以角C 为钝角，三角形为钝角三角形. 故选：C【点睛】本题主要考查三角形的形状，同时考查了余弦定理，属于简单题.6.如果0ac <，0bc >，那么直线0ax by c ++=不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】判断直线0ax by c ++=在x 轴和y 轴上截距的正负，作出直线的图象可得出结论. 【详解】直线0ax by c ++=在x 轴上的截距为0c a ->，在y 轴上的截距为0cb-<，如下图所示：因此，直线0ax by c ++=不通过第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查直线图象的应用，一般结合截距或斜率来理解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 7.空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形C. 矩形D. 正方形【答案】C 【解析】 【分析】首先画出图形，根据中位线定理和平行的传递性即可判定四边形EFGH 为平行四边形.再根据对角线相互垂直可判定四边形EFGH 为矩形. 【详解】如图所示，空间四边形ABCD 中，AC BD ⊥，,,,E F G H 分别为,,,AB BC CD AD 的中点.所以//EH BD ，1=2EH BD ，//FG BD ，1=2FG BD . 所以//EH FG 且=EH FG ，即四边形EFGH 为平行四边形.又因为////EH BDEF AC EH EF AC BD ⎧⎪⇒⊥⎨⎪⊥⎩.所以四边形EFGH 为矩形. 故选：C【点睛】本题主要考查空间直线平行的传递性，同时考查了三角形的中位线定理，属于简单题.8.已知四边形ABCD 内接于圆O ，120BAD ︒∠=，1AB =，2AD CD ==，则四边形ABCD 面积的大小是（ ） A. 43 B. 3 C. 3 D. 不能确定【答案】C 【解析】 分析】首先根据题意计算ABD S ，根据余弦定理求出BD ，根据四边形ABCD 内接于圆O ，得到60BCD ∠=o ，在BCD V 中，根据余弦定理求出CD ，再求BCD S ，最后得到=ABCD ABD BCD S S S +V V 即可. 【详解】由图知：1133=sin1201222ABD S AB AD =⨯⨯o g g . 在ABD △中，2222cos120BD AB AD AB AD =+-o g g22112212()72=+-⨯⨯⨯-=.所以7BD =因为18060BCD BAD ∠=-∠=o o .所以在BCD V 中，2222cos60BD BC CD BC CD =+-o g g ， 整理得：2230BC BC --=，解得3BC =. 所以11333=sin 603222BCD S BC CD =⨯⨯o g g . 所以333=23ABCD ABD BCD S S S +==V V 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理的面积公式，同时考查了余弦定理，属于中档题.二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.把答案填在答题卡指定位置上.9.过点(2,3)，且与直线30x y --=垂直的直线方程为____________. 【答案】50x y +-= 【解析】 【分析】首先求出直线30x y --=的斜率，再根据两条直线垂直和点(2,3)即可写出直线方程. 【详解】直线30x y --=的斜率为1，故所求直线斜率为1-. 直线方程为：3(2)y x -=--，即50x y +-=. 故答案为：50x y +-=【点睛】本题主要考查两条直线的垂直关系，同时考查了直线的点斜式方程的求法，属于简单题. 10.直线51220x y --=与直线512150x y -+=之间的距离为________. 【答案】1713【解析】 【分析】将直线方程代入平行线间的距离公式即可. 【详解】1713d ==. 故答案为：1713【点睛】本题主要考查平行线间的距离，熟记公式为解题的关键，属于简单题. 11.已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题：（1）,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒；（2）//,⊥⇒⊥n m n m αα；（3）//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒；（4）,//m m n n αα⊥⊥⇒；正确命题的序号为______.【答案】（2） 【解析】 【分析】根据面面平行的判定即可得到（1）错误，根据线面垂直的判定即可得到（2）正确，根据面面平行的性质即可得到（3）错误，根据线面垂直的性质即可得到（4）错误.【详解】对于（1），一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面才能得到面面平行， 所以（1）缺少m n A =I ，故（1）错误.对于（2），两条平行的直线中，一条垂直于平面，另一条也垂直于平面，故（2）正确.对于（3），//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒或,m n 为异面直线， 故（3）错误.对于（4）,m m n α⊥⊥⇒n 可能在α平面内， 故（4）错误. 故答案为：（2）【点睛】本题主要考查面面平行的判定，线面垂直的判定，面面平行的性质和线面垂直的性质，属于简单题.12.ABC V 中，60,,C BC a AC b ︒===，且,a b 是方程213400x x -+=的两个根，则AB 的长为______. 【答案】7 【解析】 【分析】首先根据根系关系得到13a b +=，40ab =，再根据余弦定理即可求出AB . 【详解】有题知：13a b +=，40ab =， 根据余弦定理得：222=2cos60AB a b ab o +-22=()22cos 60()3a b ab ab a b ab o +--=+-21312049=-=.所以7AB =. 故答案为：7【点睛】本题主要考查余弦定理，同时考查了二次方程的根系关系，属于简单题.13.设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O的表面积为____________. 【答案】3π 【解析】 【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解．【详解】先把三棱锥P ABC -扩展为正方体，则正方体的体对角线的长为3,所以球的半径为32， 所以球的表面积为234π3π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：222l a b c =++（其中,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）． 14.某人在高出海面600米的山上P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为30°，航标B 在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为________米． 【答案】600 【解析】 【分析】求出BC ，AC 的值，由余弦定理再求AB ，即可得结论． 【详解】航标A 在正东，俯角为30°，由题意得∠APC ＝60°，∠PAC ＝30°． 航标B 在南偏东60°，俯角为45°，则有∠ACB ＝30°，∠CPB ＝45°． 故有BC ＝PC ＝600，AC ＝tan30PCo3＝3 所以，由余弦定理知AB 2＝BC 2+AC 2﹣2BC•AC•COS ∠ACB ＝360000+360000×3﹣2×36006003⨯＝360000． 可求得AB ＝600．故答案为600．【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，属于基础题．15.已知点(4,1),(3,1)A B --，若直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是_________． 【答案】(]1,,14⎡⎫+∞⋃-∞-⎪⎢⎣⎭【解析】分析：作出图象，通过图形观察直线与线段AB 有交点时的斜率变化．详解：如图，直线2y kx =+是过定点(0,2)P 且斜率为k 的直线，2110(4)4PA k -==--，2(1)103PB k --==--，∴1k ≤-或14k ≥． 故答案为1(,1][,)4-∞-⋃+∞．点睛：本题考查直线与线段相交问题，解题时可根据图形观察出直线斜率的变化情况，注意到过P 点与x 轴垂直的直线与线段AB 有交点，因此直线k 的范围是在PA k 和PB k 的两侧，若过P 点与x 轴垂直的直线与线段AB 没有交点，因此直线k 的范围是在PA k 和PB k 之间．16.锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若3a =22b c +的取值范围是______.【答案】(20,24] 【解析】 【分析】首先根据正弦定理得到222b c a bc +-=，余弦定理得到1cos 2A =，3A π=.再根据正弦定理得到4sin b B =，24sin()3c B π=-，化简22b c +得到228sin(2)166b c B π+=-+，再根据B 的范围即可求出22b c +的取值范围.【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-， 所以()()()a b a b c b c -+=-，即：222b c a bc +-=.2221cos 222b c a bc A bc bc +-===.因为02A π<<，所以3A π=.因为4sin sin sin3b c B C π===， 所以4sin b B =，24sin 4sin()3c C B π==-.所以22241cos(2)21cos 2316sin 16sin()1616322B B b c B B ππ---+=+-=⨯+⨯ 444168cos 28cos(2)168cos 28(cos cos 2sin sin 2)333B B B B B πππ=---=--+24cos 2168sin(2)166B B B π=-+=-+.因为02B π<<，203B ππ<-<，所以62B ππ<<.因为5666B πππ<2-<，所以1sin(2)126B π<-≤.208sin(2)16246B π<-+≤，即22(20,24]b c +∈.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同时考查了三角函数的值域问题，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共64分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.根据下列条件分别求出直线的方程： （1）过点(3,2)-（2）过点(2,0),(0,3)-.【答案】（1）30x --=；（2）3260x y --= 【解析】 【分析】（1）根据题意代入直线方程点斜式即可. （2）根据题意代入直线方程截距式即可.【详解】（1）设直线的点斜式方程为()00y y k x x -=- 代入条件得直线方程为：23)y x +=-，即30x ---=.（2）设直线的截距式方程为1x ya b += 代入可得直线方程为：123x y+=-，即3260x y --=. 【点睛】本题主要考查直线方程的点斜式和截距式，熟记公式是解题的关键，属于简单题. 18.在ABC V 中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边. （1）已知1,60,a A c ︒===C ； （2）已知2cos c a B =，试ABC V 判断的形状. 【答案】（1）6π；（2）等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理sin sin a cA C=即可得到角C的值. （2）根据2cos c a B =和222cos 2a c b B ac+-=得到a b =，再由6C π=即可判断ABC V 的形状.【详解】（1）在ABC V 中由正弦定理sin sin a cA C=得： 13sin 60sin C︒=，即1sin 2C = 因为a c >，所以A C >，所以02C <<π，6C π=.（2）由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=得22222222a c b a c b c a ac c+-+-=⋅=所以22a b =，即a b =. 又因为6C π=，所以ABC V 是等腰三角形.【点睛】本题第一问考查了正弦定理，第二问考查了三角形的形状，同时考查了余弦定理，属于简单题. 19.如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，求证：AC BD '⊥.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】首先根据DD AC '⊥，DB AC ⊥得到AC ⊥面BDD '，再根据线面垂直的性质即可得到AC BD '⊥. 【详解】在正方体ABCD A B C D ''''-中，DD '⊥面ABCD . ∵AC ⊂面ABCD ，∴DD AC '⊥.在正方体ABCD A B C D ''''-中，四边形ABCD 是正方形， ∴DB AC ⊥.∵BD ⊂面ABCD ，DD '⊂面ABCD ，BD DD D '⋂=， ∴AC ⊥面BDD '，∵BD '⊂面BDD '，∴AC BD '⊥.【点睛】本题主要考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时考查了线面垂直的判定，属于简单题. 20.已知,,a b c 分别为ABC V 三个内角,,A B C 的对边，3sin cos c a C c A =-. （1）求A ；（2）若M 是上BC 一点，且2BC MC =u u u r u u u u r，3b =，33AM =，求a 的值.【答案】（1）3π；（2）3 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理得到sin sin sin cos C A C C A =-，再由辅助角公式得到1sin()62A π-=，即可求出A 的值.（2）首先根据题意得到M 是BC 中点，即1()2AM AC AB =+u u u u r u u u r u u u r，再平方即可得到3c =，再利用余弦定理即可求出a 的值.【详解】（1）在ABC V 中由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，∴sin sin sin cos C A C C A =-，∵sin 0C >，得：1sin cos A A =-，即1sin()62A π-=∵5(,)666A πππ-∈-，∴66A ππ-=，∴3A π=.（2）∵2BC MC =u u u r u u u u r，∴M 是BC 中点，1()2AM AC AB =+u u u u r u u u r u u u r .则2221(2)4AM AC AB AB AC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ，∴代入得：22211(323)42c c =++⨯⨯⨯， 即23180c c +-=，∴3c =或6c =-（舍）.在ABC V 中，2222cos 99233cos 93a b c bc A π=+-=+-⨯⨯=∴3a =【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，同时考查了向量的线性运算，属于中档题.21.在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60,,ABC PA AC a PB PD ︒∠=====.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ； （2）点E 在棱PD 上.①如图1，若点E 是线段PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ；②如图2，若:2:1PE ED =，在棱PC 上是否存在点F ，使得//BF 平面AEC ？证明你的结论. 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到ABC V 是等边三角形，根据勾股定理得到PA AB ⊥，PA AD ⊥，再根据线面垂直的判定即可证明PA ⊥平面ABCD .（2）①根据三角形中位线即可得到//EO PB ，再根据线面平行的判定即可证明//PB 平面AEC .②存在F 是PC 中点，使得//BF 平面AEC ，取PE 中点Q ，连结,BQ FQ .根据三角形中位线即可得到//QB 面AEC ，//QF 面AEC ，即平面//QBF 平面AEC ，再利用面面平行的性质即可得到//BF 平面AEC .【详解】（1）在菱形ABCD 中，AB BC =60ABC ︒∠=， ∴ABC V 是等边三角形. 又AC a =，故菱形边长为a ，在PAB △中，22222PA AB a PB +==，则PA AB ⊥ 同理PA AD ⊥.又,AD AB ⊂面ABCD ，AD AB A ⋂=， ∴PA ⊥平面ABCD .（2）①连结BD 交AC 于O ，连接EO .在菱形ABCD 中O 为BD 中点又E 是线段PD 的中点， 所以//EO PB .∵EO ⊂面AEC ，PB ⊄面AEC ， ∴//PB 面AEC . ②存在，F 是PC 中点. 取PE 中点Q ，连结,BQ FQ .在BQD V 中12EQ PE ED ==，O 为BD 中点，则//EO QB ， 又∵EO ⊂面AEC ，QB ⊄面AEC ，∴//QB 面AEC . 同理//QF 面AEC .又∵,QB QF ⊂面BQF ，QB QF Q =I ， 所以平面//QBF 平面AEC ， 又BF ⊂面BQF ∴//BF 平面AEC .【点睛】本题第一问考查线面垂直的证明，第二问考查了线面平行的证明，同时考查了面面垂直的性质，属于中档题.22.L 市实施全域旅游，将乡村旅游公路建设与特色田园乡村发展结合，精心打造全长365公里的“1号公路”，对内串联区域内主要景区景点和自然村，对外通达周边县（市），以路引景、为景串线，形成一个“大环小圈、内连外引”的路网体系.如今的“1号公路”，不仅成为该市旅游业的“颜值担当”，更成为推动乡村振兴的“实力担当”，农村居住环境日益改善，新农村别墅随处可见.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形.点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为,H M （即：FH ⊥平面ABCD ，垂足为H ；FM BC ⊥，垂足为M ）.已知5,10HM m BC m ==，梯形ABFE 的面积是FBCV 面积的2.2倍.04FMH πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.（1）当6πθ=时，求屋顶面积的大小；（2）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（3）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为a （a 为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16a .现欲造一栋上、下总高度为6m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 【答案】（1232033m ；（2）1600cos 4S πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；（3）6π【解析】 【分析】（1）首先根据已知得到FH HM ⊥，根据6πθ=得到103FM =. （2）首先利用θ表示出FM ，从而得到FBC V 的面积为25cos θ，再由已知条件即可得到屋顶面积S 关于θ的函数关系式.（3）首先根据题意得到：别墅总造价为sin 2(9680)cos y a θθ-=-⨯，再利用换元法和三角函数的性质即可得到最小值.【详解】（1）由题意FH ⊥平面,ABCD FM BC ⊥.又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH HM ⊥.在Rt FHM V 中，5,6HM FMH π=∠=，所以5cos 6FM π==因此FBC V的面积为1102⨯=.则屋顶面积22222 2.2FBC ABFE S S S =+=+=V 梯形 （2）在Rt FHM V中，5,HM FMH θ=∠=， 所以5cos FM θ=. 因此FBC V 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=. 从而屋顶面积25251602222 2.2cos cos cos FBC BFE S S S θθθ=+=⨯+⨯⨯=V 梯形A . 所以屋顶面积S 关于θ的函数关系式1600cos 4S πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭. （3）在Rt FHM V中，5tan FH θ=，所以主体高度为65tan h θ=-. 所以别墅总造价为16016(65tan )16cos y S a h a a a θθ=⋅+⋅=⋅+-⋅ 16080sin 96cos cos a a a θθθ=-+sin 2(9680)cos a θθ-=-⨯. 令sin 2cos k θθ-=，则(9680)y k a =-. 设(cos ,sin )P θθ，由三角函数定义可知点(cos ,sin )P θθ是单位圆上一个动点，可知k 为经过点P 与点(0,2)T 的直线的斜率.直线PT 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=.因为直线PT 与单位圆相切或相交，所以单位圆圆心O 到直线PT 的距离1d ≤，1≤，解得k ≤k ≥因为sin 20cos 4k θπθθ-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，所以k 0<，所以k ≤所以(9680)(96y k a a =-≥+，当且仅当k ==”此时sin 2cos k θθ-==sin()13πθ+=. 因为04πθ<<，因为6πθ=. 即6πθ=时y 有最小值. 答：当6πθ=时，总造价最低.【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，同时考查了利用换元法和三角函数的性质求值域，属于难题.。

常州市“教学研究合作联盟”2018学年度第二学期期中质量调研高一数学试题注意事项：1.作答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.2.球的体积公式为(其中为球的半径) .一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题将直线化成斜截式，可得答案.【详解】由题将直线的化简可得，所以斜率为故选D【点睛】本题考查了直线的方程，一般式化为斜截式，属于基础题.2.在下列命题中，不是公理的是（）A. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.B. 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.C. 垂直于同一条直线的两个平面相互平行.D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.【答案】C【解析】【分析】由题易知A、B、D答案是公理，可得结果.【详解】对于答案A、B、D分别是公理1、3、2；答案C不是公理，故选C【点睛】本题考查了点、线、面的公理，熟悉公理是解题关键，属于基础题.3.在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：正弦定理解三角形4.若，则直线一定不过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】将直线化简为斜截式，可得斜率和截距的正负，判断出直线经过的象限，可得结果.【详解】由题，直线化简为：因为，所以所以直线过第一、二、四象限故选C【点睛】本题考查了直线的方程，求得斜率和截距的正负是解题的关键，属于较为基础题.5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则【答案】D 【解析】 试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系. 6.设直线在轴上截距为，在轴上的截距为，则（ ） A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由截距的定义，分别求出直线在x 轴和y 轴的截距即可. 【详解】由直线令 令 即故选B【点睛】本题主要考查了直线在坐标轴上的截距，熟悉截距的定义是解题的关键，属于基础题. 7.在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，，，则（ ） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题，先利用正切的和差角求得，可得，再利用余弦定理求得结果.【详解】由题，解得所以因为，，由余弦定理解得故选C【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，属于基础题.8.已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为，则实数的值为（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题易知，正四棱柱的体对角线是外接球的直径，可求得球半径，再利用球的体积公式，求得答案即可.【详解】由题，几何体为正四棱柱，故其外接球的直径为正四棱柱的体对角线，正四棱柱的体对角线为：所以外接球的半径：其体积为解得故选A【点睛】本题考查了几何体的外接球的知识，熟悉正四棱柱的外接球直径是其体对角线是解题的关键所在，属于中档题.9.记，方程表示的直线为，直线不过点，直线，则直线，的位置关系为（）A. 一定平行B. 平行或重合C. 一定垂直D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由题，不过点，可得，将直线易知和直线的斜率相等，截距不相等，可得答案.【详解】因为不过点，所以直线可得：且所以直线，的斜率相等，截距不相等，所以直线，平行故选A【点睛】本题考查了直线的位置关系，斜率相等，截距不相等的直线是平行的，属于较为基础题.10.在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，则（）A. 一定是直角三角形B. 一定是等腰三角形C. 一定是等腰直角三角形D. 是等腰或直角三角形【答案】B【解析】【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得，再利用余弦定理可得，可得结果.【详解】由题，已知，由正弦定理可得：即又因为所以即由余弦定理：即所以所以三角形一定是等腰三角形故选B【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.11.已知函数，当时，，其图像的右端点为，当时，其图象是以为端点且斜率为的射线，若，，互不相等，且，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由题，求得函数，由题易知在二次函数图上，在射线上，求得，c 的范围是，可得结果.【详解】由题，求得点A(10,1)，所以当的射线方程：故函数当时，，易知二次函数顶点B(5,-24)因为，设易知在二次函数图上，在射线上，所以，又因为A(10,1)、B(5,-24)令解得所以c的范围是即的取值范围是故选D【点睛】本题考查了函数的综合应用，分段函数的求法，属于中档偏上的题目.12.如图，直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取上靠近的四等分点为E，由题易知，再利用空间向量证得，即当F 在上时，平面，然后求得答案.【详解】取上靠近的四等分点为E，连接,当点F在上时，平面，证明如下：因为直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，所以平面，所以以为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建系；所以即此时，即所以平面，故当F在上时，平面，很明显，当E、F重合时，线段最长，此时故选A【点睛】本题考查了立体几何的综合知识，属于探索性题型，熟悉空间向量与立体几何以及立体几何的定理是解题的关键，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.与直线有相同的纵截距且与直线垂直的直线方程为_____．【答案】【解析】【分析】由题易知直线的斜率为，纵截距为-4，可得结果.【详解】由题易知直线的斜率为，纵截距为-4，所以直线有相同的纵截距且与直线垂直的直线方程为：即故答案为【点睛】本题考查了直线的方程，清楚垂直直线的斜率关系是解题的关键，属于基础题.14.已知直线：和两点，使得直线与线段有公共点（含端点）的的范围是________．【答案】【解析】【分析】由题易得直线过定点，再利用两点的斜率求得，可得结果.【详解】由题，直线化简可得：易知直线过定点所以要使直线与线段有公共点，即故答案为【点睛】本题考查了直线的相交问题，利用图形以及斜率是解题的关键，属于基础题.15.用一个边长为的正方形卷成一个圆柱的侧面,再用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面,则该圆柱与圆锥的体积之比为 ___．【答案】【解析】【分析】由题易知圆柱的底面面的周长为2R，求得体积，再半圆弧为圆锥的底面圆的周长，易求得，即可得出答案.【详解】由题，圆柱的底面面的周长为2R，设底面圆的半径为，可得圆柱的高为2R，所以体积为：用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面,易知半圆弧为圆锥的底面圆的周长：，设圆锥下底面圆半径，可得，圆锥的高：所以圆锥的体积：所以故答案为【点睛】本题考查了立体几何的圆柱以及圆锥，熟悉图形的构造是解题的关键，一定要清楚知道下底面的圆的周长，属于中档题.16.在中，内角所对应的边分别为,边上的高为，则的最大值为_____.【答案】4 【解析】【分析】由面积公式可得，再用余弦定理可得，即得出结果.【详解】由题，三角形的面积：由余弦定理：可得：所以所以的最大值为4故答案为4【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，边所在的直线方程为，其中顶点的纵坐标为1，顶点的坐标为.（1）求边上的高所在的直线方程；（2）若的中点分别为，，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题易知边上的高过,斜率为3，可得结果.（1）求得点A的坐标可得点E的坐标，易知直线EF和直线AB的斜率一样，可得方程. 【详解】（1）边上的高过,因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直，故其斜率为3,方程为:(2) 由题点坐标为,的中点是的一条中位线,所以,，其斜率为：，所以的斜率为所以直线的方程为：化简可得：.【点睛】本题考查了直线方程的求法，主要考查直线的点斜式方程，以及化简为一般式，属于基础题.18.如图所示，在四棱锥中，，，面面．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题可得根据线面平行的判断定理可证平面；（2）由题，易得，再利用面面可得面，即得证.详解】(1) 面,面,∴平面(2) ∵∴∵面面,面面,面, ∴面,又面,∴面面【点睛】本题主要考查了空间几何中平行以及垂直的判断定理和性质定理，熟悉定理是解题的关键，属于较为基础题.19.在中，，，，点在边上．（1）求的长度及的值； （2）求的长度及的面积．【答案】（1），；（2）,S=6【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得BC 的长，再利用正弦定理可得的值； （2）先求出,在三角形ABD 中，利用余弦定理求得AD 的长，再可得结果.【详解】(1) 在中,由余弦定理得:在中,由正弦定理得:得:(2) ∵,,记,在中,由余弦定理得: ,得(另:得)【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及利用正余弦定理解三角形，三角形面积的求法，属于中档题.20.如图所示，在三棱柱中，，，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：面，并求与面所成的角；（3）若，，求四棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）；（3）1【解析】【分析】（1）连，可得是的中位线,，得证；（2）利用余弦定理可得，即，同理，得证，易知为求与面所成的角，求得结果；（3）由题求得,,，可得结果.【详解】(1)连,在三棱柱中，四边形是平行四边形, 过的中点,是中点, 是的中位线,所以,面,面,所以∥平面(2)在中,由余弦定理得,所以,同理: ,面,面,所以面,所以与面所成的角为(3)由(2)知,是三棱锥的高, ,即,【点睛】本题考查了立体几何中平行与垂直的关系和体积的求法，属于综合题目，熟悉平行与垂直的判断以及性质定理是解题的关键，属于中档题.21.某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上）,并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位:百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由题再在和中分别使用余弦定理可得，，最后求得得出结果；（2）由题求得半径，中由正弦定理，在中由余弦定理,建立等式求得结果即可.【详解】（1）∵，在和中分别使用余弦定理得：，得：，∴∴四边形的面积（2）∵圆形广场的面积为∴圆形广场的半径，在中由正弦定理知：,在中由余弦定理知：,∴化简得：解得：或【点睛】本题考查了解三角形的实际应用问题，熟练正余弦定理和面积公式是解题的关键，属于较难题目.22.如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内有定点和射线，已知，的倾斜角分别为，，，，轴上的动点与，共线．（1）求点坐标（用表示）；（2）求面积关于的表达式；（3）求面积的最小时直线的方程．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）由题易知，可得C点坐标；（2）由题易知直线, 设，共线,即斜率相等，可得，再利用面积公式求得结果；（3）由（2）易知，将分母看做关于的二次函数，求最值即可得出结果.【详解】(1) ，又(2)直线,设共线,∴解得:,∴(3)法一、记(ⅰ)若即,函数在上递减，当且仅当即时取得最小值,此时,直线的方程为:(ⅱ)若即,函数在上递增，上递减，当且仅当即时取得最小值,此时,直线的方程为:法二、记,以下用单调性的定义证明“对勾”函数的单调性（略）(ⅰ)若,,在上递减,当且仅当即时取得最小值,此时,直线的方程为:(ⅱ)若,,在上递减, 在上递增,当且仅当即时取得最小值,此时,直线的方程为:（法二中“对勾”函数的单调性未证明的不扣分）【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，综合性很强，熟悉直线的方程与斜率的关系，以及与函数的基本性质是解题的关键所在，属于难题.。

江苏省常州高级中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题说明：1. 以下题目的答案做在答卷纸上.2. 本卷总分160分，考试时间120分钟.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1.数列{}n a 中，)2(1,1111≥+==--n a a a a n n n ，则3a = ▲ ．2.在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则A 为 ▲ ．3.在函数①1y x x =+,②1sin sin y x x =+π0 2x ∈（，）,③2y =,④42x x y e e =+-中， 最小值为2的函数的序号是 ▲ ．4.设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和．若27a =，77S =-，则7a 的值为 ▲ ．5.在ABC ∆中，若3,6==a A π，则=++++CB A cb a sin sin sin ▲ ．6.已知数列{}n a 满足*1112,()1nn na a a n a ++==∈-N ，则2018a 的值为 ▲ ． 7.设正项等比数列{a n }满足4352a a a -=．若存在两项a n 、a m ，使得m n a a a ⋅=41，则n m + 的值为 ▲ ．8.在△ABC 中，若1a =，b =，6π=A ，则△ABC 的面积是 ▲ ．9.已知数列{}n a 的通项公式,12+=n a n 则1132211111+-++⋅⋅⋅++n n n n a a a a a a a a = ▲ ． 10.在ABC ∆中,,2,60a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围为 ▲ ． 11.在△ABC 中，已知π32,4==A BC ，则AC AB ⋅的最小值为 ▲ ． 12.已知钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．13.已知数列{}n a 为公比不为1的等比数列，满足12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，且对任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，则k 的值为 ▲ ．（第12题）14.已知,4,,=+∈b a R b a 则111122+++b a 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分14分)在等比数列}{n a 中， 0n a >，公比)1,0(∈q ，252825351=++a a a a a a ， 且2是3a 与5a 的等比中项．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设n n a b 2log =，数列}{n b 的前n 项和为n S ，当nS S S n +++ 2121最大时，求n 的值．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c B c C b +=cos sin 3 (1)求角B ； (2)若2b ac =，求11tan tan A C+的值．17．(本小题满分14分)某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为 1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．(本小题满分16分)已知0x >，0y >，24xy x y a =++. (1)当16a =时，求xy 的最小值；(2)当0a =时，求212x y x y+++的最小值.19．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． (1)求证：数列{}n a 为等比数列； (2)若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+，求数列{}n b 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和．20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）． (1)若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +--≥-恒成立，求a 的取值范围．江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数 学 试 卷(附加)命题人：徐惠杰 2018.4说明：1. 以下题目均为必做题，请将答案写在答卷纸上. 2. 本卷总分40分，考试时间30分钟. 一、 填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分． 1.等比数列{}na 中，若对任意正整数n 都有1221nn a a a ++⋅⋅⋅+=-，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+= ▲ ．2.在△ABC 中,A B 2=,则ab的取值范围是 ▲ ．3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列，则10a = ▲ ．4.正数y x ,满足111=+y x ，则1813-+-y yx x 的最小值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共16分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 5.在数列{}n a 中，11a =，283a =，111(1)n n nn a a n λ++=++，λ为常数，*n ∈N ． （1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （3）是否存在正整数r s t ，，（r s t <<），使得r s t ，，与r s t a a a ，，都为等差数列？若存在，求r s t ，，的值；若不存在，请说明理由．江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数 学 试 卷答案1.25 2.32π 3.④ 4. -13 5.329.96+n n10.)334,2( 11.38-12.8 13.25- 14. 452+二、解答题15.解：⑴ 由252825351=++a a a a a a 得235()25a a +=.................2分0>n a ,得355a a +=因为354a a ⋅=得354,1a a ==, 求得12q =, ...................5分 所以52nn a -= ...........................................7分⑵ 2log 5n n b a n ==-．...........................................9分 因为对任意n N *∈，11n n b b +-=-，所以{}n b 是以4为首项，1-为公差的等差数列．所以292n n n S -=．..........................................12分9,90,90,90,2n n n n S S S S n n n n n n n n-=<>==><时，时，时， 所以nS S S n +++ 2121最大为89n =或者． ...................14分16．解：（1）由正弦定理得sin cos sin sin B C B C C =+，ABC ∆中，sin 0C >，所以cos 1B B -=，................................................3分所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=； (6)分（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，........................8分11cos cos cos sin sin cos sin()sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B B A C A C A C A C A C A Cπ++-+=+====.............................................................................. .................................12分所以，211sin1tan tan sin sinBA CB B+==分17(1)05x<≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x=-+=-+--+=-+-．................................................................................ ........3分令20.4 3.2 2.80y x x=-+-≥得，17x≤≤，从而15x≤≤，即min1x=．.................6分（2）当05x<≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x=-+-=--+，所以当4x=时，max3.6y=（万元）． .....................................8分当5x>时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x xx x=-+=--+=--+--．...10分因为9363xx-+-≥（当且仅当933xx-=-即6x=时，取“=”），所以m3.7y=（万元）． .......................................................... 13分综上，当6x=时，max3.7y=（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． .......14分18.（1）当16a=时，241616xy x y=++≥，.................3分即280-≥，4)0∴≥，4≥，16xy∴≥，.......................................6分当且仅当48x y==时，等号成立。

常州市“12校合作联盟”第二学期期中质量调研高一数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。

本试卷满分120分，考试时间120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。

3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔。

一．填空题：本大题共14小题,每小题4分,共56分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．．1． 在ABC ∆中，6045A B a ∠=∠==o o ，，b = ▲ .2． 在等差数列{}n a 中，581322a a ==，，则公差d = ▲ .3． 比较大小：24x x - ▲ 8- （填“>”或“<”）.4． 在ABC ∆中，已知22()a b c ab -=-，则C ∠= ▲ .5． 已知0x y >，，且41x y +=，则xy 的最大值为 ▲ .6． 在ABC ∆中，cos 2c A b =，则ABC ∆形状为 ▲ . 7． 若关于x 的不等式2320x ax -+>的解集为{|1}x x x m <>或，则a m += ▲ .8． 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天起因为脚疼，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，则第二天走了 ▲ 里.9． 如图，ABC ∆中，D 是BC 上一点，且60B ∠=o， 2102AD AC DC ===，，，则AB = ▲ .10． 等差数列{}n a 满足2589102321a a a a a +=++=，，则11S = ▲ （n S 为数列{}n a 前n 项和）11． 若集合2{|(1)10}x m x mx m +-+->=∅，则实数m 的取值范围为 ▲ .12． 已知实数x y ，满足2xy x y =+，则22246x y x y +--+的最小值为 ▲ .13． 非零实数x y z ，，满足312x y z ，，成等比数列，123x y z，，成等差数列，则222x y z xy yz zx++=++ ▲ . 14． 已知数组11212312341213214321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，，，，，，，，，，记该数组为()()123a a a ，，， ()456a a a L ，，，则2018a = ▲ . 二．解答题：本大题共6小题，共64分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本小题满分8分） 已知2221{|680}0{|(24)40}3x A x x x B x C x x a x a a x ⎧-⎫=-+==-+++⎨⎬-⎩⎭≤，≥，≤.（1）求A B I ；（2）若A C ⊆，求实数a 的取值范围.16． （本小题满分8分）在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，(2)cos cos b c A a C -=.（1）求角A 的大小；（2）ABC ∆面积为C ，b =，D 为BC 边上一点，且4AD =，求BD 长.17． （本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n -=（n ∈N *）.（1）证明：数列{2}n a -为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n n b b a +=-（n ∈N *），且13b =，求数列{}n b 的通项公式.18． （本小题满分10分）已知0x y >，，a b ，为正常数，且1a b x y+=. （1）若19a b ==，，求x y +的最小值；（2）若10a b +=，x y +的最小值为18.求a b ，的值；（3）若11a b ==，，且不等式2(2)(2)x y m x y -+≥恒成立，求实数m 的取值范围.19． （本小题满分14分）有一个三角形鱼塘AOB ，其中3AOB π∠=，两边OA OB 、足够长.（1）如图1，如果要在AOB ∠附近建一个三角形投食区OCD ，其中C 在OA 上，D 在OB 上，且20CD =米.问：OC OD 、分别为多长时，投食区面积最大？最大面积为多少？ （2）如图2，在OB 上的P 处（20OP =米）安装一个可旋转监控探头，探头监控视角MPN ∠始终为4π（M N 、都在OA 上，且ON OM >）.设5012OPM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，，.当监控探头旋转时，问：当θ为多大时，监控区域PMN ∆面积最小？20． （本小题满分14分）正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a m =（m 为常数），2(2)n S n =≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n n n a a b a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）若52m =，12n n c a =+.问：数列{}n c 的所有项中是否存在为完全平方数（可以写成某个整数的平方的数）？若存在，试写出其中三项；若不存在，说明理由.图2图1O A O常州市“12校合作联盟”2017年度第二学期期中质量调研高一数学参考答案一．填空题：本大题共14小题,每小题4分,共56分．1. 2.3 3.> 4.3π 5.116 6.等腰三角形 7.3 8.969.3 10.4411.3m -≤ 12.5 13.1411 14.263二．解答题：本大题共6小题，共64分．15.解:(1)A :(2)(4)0x x --≤,则[2,4]A =…………………………………………1分:31B x x >或≤……………………………………………………………………………2分 则(3,4]A B =I ……………………………………………………………………………4分(2):()[(4)]0C x a x a --+≤,则4a x a +≤≤…………………………………………5分 因为A C ⊆,则244a a ⎧⎨+⎩≤≥…………………………………………………………………7分 所以,解得[0,2]a ∈………………………………………………………………………8分16.解:(1)由正弦定理得:(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=,………………………1分 2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=,2sin cos sin()B A C A =+,则2sin cos sin B A B =……………………………………………………………………2分 因为sin 0B ≠则1cos 2A =………………………………………………………………3分 又0A π<<,则3A π=……………………………………………………………………4分(2)1sin 2ABC S ab C C ∆==,得ab =又b =则6a =………………………………………………………………………5分在ABC ∆中,由正弦定理得:sin sin BC AC A B =,sin 2B=,则1sin 2B =, 又因为BC AC >,则A B ∠>∠,所以6B π=……………………………………………6分 而3A π=,则2C π=,所以在Rt ACD ∆中,2CD ==………………………7分 则4BD BC CD =-=……………………………………………………………………8分17.(1)证明:因为22n n S a n -=①1122(1)(2)n n S a n n ---=-≥①①-①得:122n n a a -=-…………………………………………………………………1分 等式两边同时减去2,得:122(2)n n a a --=-,在①中,令1n =,得12a =-,因为120a -≠,所以122()()2n n a n a --=-常数≥2 则{2}n a -为首项为4-,公比为2的等比数列…………………………………………3分则1242n n a --=-⨯,得122n n a +=-……………………………………………………5分(2)因为1122n n n b b ++=+-,则1122n n n b b ++-=-则22122b b -=-,33222b b -=-……122(2)n n n b b n --=-≥………………………………………………………………6分将上述式子相加得:212(12)32(1)12n n b n ---=---,化简得:1221n n b n +=-+(2n ≥)………………………………………………………8分令1n =,则212213b =-+=……………………………………………………………9分则1221n n b n +=-+………………………………………………………………………10分18. 解:(1)由题意:191x y+=,则199()()191016x y x y x y x y y x +=++=++++=≥………………………2分 当且仅当94,12191x y y x x y x y⎧=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩时取等号…………………………………………3分 (2)因为10a b +=,且,,,0x y a b >, 则()()10ab bx ay bx ay bx ay x y x y a b a b x y y x y x y x+=++=+++=+++=++1010+=+≥分 当且仅当1bx ay y x a b x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取等号,则8=,即16ab =,解得:2882a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或………6分 (3)法一:由题意:211x y +=,则21x y xy+=,则2x y xy +=……………………………7分 因为不等式2(2)(2)x y m x y -+≥恒成立,则2(2)2x y m x y-+≤, 2222(2)44(2)8222x y x y xy x y xy x y x y x y -+-+-==+++而2(2)8(2)282x y x y x y x y+-+==+-+…………………………………………………8分又2144(2)8(2)()8228440x y x y x y x y x y y x y x +-=++-=+++-=+-=≥当且仅当44,2211x y y x x y x y⎧=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩取等号……………………………………………9分 则0m ≤……………………………………………………………………………………10分法二: 因为不等式2(2)(2)x y m x y -+≥恒成立,则2(2)2x y m x y -+≤,…………………7分 则2min (2)()2x y m x y-+≤ 因为20x y +>,2(2)0x y -≥, 当23x y ==时, 2min (2)()02x y x y-=+,…………………………………………………9分 则0m ≤……………………………………………………………………………………10分19.解:(1)设(0)OC a OD b a b ==>，，,则由余弦定理得:2222140022a b ab a b ab =+-⨯=+-……………………………2分 而224002a b ab ab ab ab =+--=≥…………………………………………………4分 当且仅当20a b ==取等号………………………………………………………………5分则1sin 23S ab π===分 答:,OC OD 均为20米时,投食区面积最大,最大面积为平方米………………7分(2)在OPM ∆中,由正弦定理知:sin sin OP PM OMP POM =∠∠,即2022sin()sin()332PMππθθ=⇒=--…………………………………………8分在OPN∆中,由正弦定理知:sin sinOP PNONP PON=∠∠,即205sin()sin()1212PNπθθ=⇒=--分则1sin244sin()sin()312MPNS PM PNπθθ∆=⋅=--25sin()sin()312ππθθ=--………………………………………………………………10分令5,12πθα-=则5(0,)12απ∈,512πθα=-,sin()sin4MPNSπαα∆=+………………………………………………………………11分300)14πα=-+……………………………………………………………………12分因为72(,)4412πππα-∈-,则当sin(2)14πα-=,即242ππα-=时,MPNS∆取最大值.此时38πα=,24πθ=……………………………………………………………………13分答:当24πθ=时,监控区域PMN∆面积最小……………………………………………14分20.解:(1)因为2(2)nS n=≥,又数列{}na为正项数列,则两边开方得:=分所以的等差数列,……………………………………2分(n n =-=则2n S m n =⋅………………………………………………………………………………3分当1n =时,11a S m ==,当2n ≥时,221(1)(21)n n n a S S m n m n m n -=-=⋅--=-而当1n =时,1(211)a m m =⨯-=成立,所以(21)n a m n =-…………………………………………………………………………5分 (2)(21)(21)2121212212(21)(21)21212121n m n m n n n n n b m n m n n n n n +-+--++-=+=+=+-+-+-+ 2222121n n =+--+1122()2121n n =+--+……………………………………………7分 则111122(1)33521n T n n =+-+-+⋅⋅⋅-+242222121n n n n n n =+⨯=+++……………9分 (3)因为52m =,所以552n a n =-,52n c n =-…………………………………………10分 假设存在k Z ∈,使得252n k -=,则1︒当5()k t t Z =∈时,25(5)k t =,不合题意. 251()k t t Z ︒=+∈当时,222251015(52)1k t t t t =++=++不合题意. 3︒52()k t t Z =+∈当时,222252045(54)4k t t t t =++=++不合题意. 453()k t t Z ︒=+∈当时,222253095(561)4k t t t t =++=+++不合题意. 554()k t t Z ︒=+∈当时,2222540165(583)1k t t t t =++=+++不合题意.……13分 综上所述:数列{}n c 的所有项中不存在完全平方数.……………………………………14分常州市“12校合作联盟”2017—2018学年度第二学期期中质量调研高一数学命题意图总体思想：1. 填空题前10题注重基本知识、基本方法和基本技能考核，从第11题开始注重运算、代数式变形、数据处理以及归纳能力的考核；2. 解答题前4题注重常规问题考核，第19题和第20对学生思维能力和计算能力要求较高；3. 注重今年来高考、模考考点考查；4. 整份试卷除第20题第（3）问外，所有知识和方法都是学生日常学习和强化的知识。

江苏省常州市2019版数学高一下学期理数期中考试试卷（A) C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知命题，那么命题为（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·全国Ⅱ卷文) i（2+3i）=（）A . 3-2iB . 3+2iC . -3-2iD . -3+2i3. （2分）设M是椭圆上的一点，为焦点，且，则的面积为（）A .B .C .D . 164. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 条件p：a≤2，条件q：a（a﹣2）≤0，则￢p是￢q的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）观察下列各式：，，，，，…，则（）A . 199B . 123C . 76D . 286. （2分）设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）A . －1B . 1－log20132012C . -log20132012D . 18. （2分）(2017·江西模拟) 若函数f（x）=[x3+3x2+（a+6）x+6﹣a]e﹣x在区间（2，4）上存在极大值点，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣32）B . （﹣∞，﹣27）C . （﹣32，﹣27）D . （﹣32，﹣27]9. （2分）函数的图象为曲线，函数的图象为曲线，过轴上的动点作垂直于轴的直线分别交曲线于两点，则线段长度的最大值为（）A . 2B . 4C . 5D .10. （2分）已知圆C：的圆心为抛物线的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆 C相切，则该圆的方程为（）A .B .C .D .11. （2分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）的图像关于y轴对称，并且对任意的x1 ，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，则当n∈N﹡时，有（）A . f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）B . f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C . f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）D . f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）12. （2分）已知F1,F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·天津期末) 是虚数单位，复数 ________．14. （1分）设 f(x)，则f(x)dx=________ ．15. （1分）不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，则a的取值范围是________．16. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 设方程x+2x=4的根为m，方程x+log2x=4的根为n，则m+n=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2015高二上·城中期末) 已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．18. （10分）(2016·嘉兴模拟) 已知数列（1）若，对于任意，不等式恒成立，求的取值范围（2）求证：（）19. （10分）(2017·鄂尔多斯模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20. （10分） (2017高二下·济南期末) 已知函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2处取得极值．（1）求a、b的值；（2）求f（x）的单调区间．21. （10分） (2019高二上·双流期中) 已知动点M到定点F1（-2，0）和F2（2，0）的距离之和为．（1）求动点M轨迹C的方程；（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是的求出这个值．22. （5分）(2019·金华模拟) 设函数 . （1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

常州市“14校合作联盟”2018学年度第一学期期中质量调研高一数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分，不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1.设集合，，则=_________．【答案】【解析】【分析】根据集合A、B表示的实数范围求A与B的交集【详解】集合A表示大于0的实数组成的集合，集合B表示大于-1小于3的实数组成的集合，故A与B的交集为【点睛】数集的交、并、补运算可借助数轴来进行运算2.函数恒过定点.【答案】【解析】解：因为函数中，无论底数a取何值，都满足令x=2,f(x)=4,故函数必定过点3.给出下列三个函数：①；②；③．其中与函数相同的函数的序号是_________．【答案】②【解析】【分析】依次判断函数的定义域、解析式是否与已知函数的定义域、解析式都相同，找出相同函数【详解】的定义域为，与定义域不同，与定义域、解析式均相同，，与解析式不同，故选②【点睛】判断两个函数是否为相同函数，只要比较两个函数的定义域，对应关系是否都相同，如果都相同就是相同函数4.满足的集合的个数为_________．【答案】3【解析】【分析】由集合间的关系判断集合A中元素特征，列举出符合条件的集合A，确定个数【详解】因为，所以集合A中必有1,2，可能有3,4中的一个，故集合A可能为：，，，共3个【点睛】根据子集、真子集的概念可以判断集合中含有元素的情况，可根据集合中元素的多少进行分类，采用列举法逐一写出每种情况的集合5.已知，则_________．【答案】1【解析】【分析】利用换元法，令，求得，得【详解】令，则，所以，得【点睛】函数解析式的求法：1.待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；2.换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以代替，便得的解析式；4.消去法：已知与之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个组成方程组，通过解方程组求出6.已知函数是上的偶函数，且时，，则当时，函数的解析式为_________．【答案】【解析】【分析】令，则，代入解析式，得，由函数是偶函数得，【详解】令，则，因为时，，所以，又因为是偶函数，所以【点睛】利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤：1.“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；2.转化到已知区间上，代入已知的解析式；3.利用的奇偶性，写出的解析式7.直线与函数，图象的两个交点间距离为_______．【答案】【解析】【分析】分别令，，解得直线与函数，图象的两个交点的横坐标，两个横坐标之差即为所求【详解】令，得，再令，得，所以直线与函数，图象的两个交点间的距离为：【点睛】指数运算和对数运算互为逆运算8.已知函数，若，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】计算，将原不等式化为，分和的情况，分别解关于的不等式，解集即为所求【详解】由题，，所以不等式可化为，当时，不等式等价于，所以，当时，不等式等价于，所以，综上所述，的取值范围为【点睛】解决分段函数的不等式问题，要区分自变量属于哪一段区间，代入该段的解析式再解不等式9.已知集合，，且，则实数的值为_________．【答案】或或1【解析】【分析】解方程得，因为，所以，，，分别解得的值【详解】由题，，因为，所以当时，无解，；当时，；当时，，综上所述，的值为或或【点睛】由集合间的关系求参数时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用10.记函数的定义域为集合，函数，的值域为集合，则_________．【答案】【解析】【分析】计算的定义域得集合，计算的值域得集合，再借助数轴计算即为所求【详解】由且，得，又因为，所以，得的值域，所以【点睛】求与指数函数有关的函数的值域时，在运用函数的单调性的前提下，要注意指数函数的值域为11.当时，函数恒有意义，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】分析函数解析式特征，恒大于零则解析式恒有意义，所以在上恒成立，参变分离，即在上恒成立，得【详解】因为时，函数恒有意义，所以在上恒成立，即在上恒成立，又因为当时，，所以【点睛】解决不等式恒成立问题，可以使用参变分离的方法，直接转化为求函数最值问题12.已知为定义在上的偶函数，且在上为单调增函数，，则不等式的解集为_________．【答案】【解析】【分析】由为上的偶函数，且在上为单调增函数，所以在上为单调减函数，又因为，所以，结合单调性得到函数大于零和小于零的区间，将，转化为，即与同正或同负，写出符合条件的区间即为所求【详解】由为上的偶函数，且在上为单调增函数，所以在上为单调减函数，又因为，所以，所以当时，，当时，，又因为，所以或，即【点睛】解决函数的奇偶性与单调性的综合问题时，一定要充分利用已知条件，数形结合，列出不等式（组），要注意函数定义域的影响13.函数是定义域为的奇函数，则________．【答案】-4【解析】函数是奇函数,所以图象关于原点对称,则函数的图象由函数的图象先向下平移2个单位,再向右平移1个单位得到,所以函数的图象关于点对称,所以.14.已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是_________．【答案】或【解析】【分析】当时，且单调递增，因为存在，，且，使得成立，所以在时不单调，或，解得实数的取值范围【详解】当时，且单调递增，因为存在，，且，使得成立，所以在时不单调，或，即或，解得或【点睛】函数单调性定义具有“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定参数的取值范围二、解答题（本大题共6小题，共64分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)或【解析】 【分析】 （1）计算，在时的值域，得集合A ，将代入集合B ，解不等式，得到集合B ，求两个集合的并集； （2）因为，所以集合A 与集合B 无公共部分，借助数轴分析参数的取值情况【详解】解：集合是函数 的值域，易知（1）若，则，结合数轴知． （2）若，得或，即或．【点睛】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点 16.计算：（1）（2）【答案】(1)8,(2)10 【解析】 【分析】（1）分别化简、计算每一个指数式的值，再进行加减运算； （2）分别化简、计算每一个对数或指数式，再合并运算【详解】解：（1）（2）【点睛】进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序。

江苏省常州市教学联盟2019—2020学年高一下学期期中调研数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．cos10sin70sin10sin20︒︒-︒︒＝A ．23B ．32-C ．21D ．12-2．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为 A ．2π B ．3π C ．23πD ．33π3．过点(0，1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是A ．210x y +-=B ．210x y ++=C ．220x y -+=D ．210x y --=4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，DD 1的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为 A ．41 B ．51C ．26D ．155．已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线l ：(12)(32)0a x a y a -++-=总经过一个定点， 则这个定点的坐标是A ．(﹣2，1)B ．(﹣1，0)C ．(27-，17) D ．(17，27-) 6．已知βα，是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误的是 A ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ B ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ C ．若m α∥，n αβ=I，则//m n D ．若m n ∥，m α⊥，则n α⊥7．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是A ．sin()sin sin αβαβ+>+B ．sin()cos cos αβαβ+>+C ．cos()sin sin αβαβ+<+D ．cos()cos cos αβαβ+<+8．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的个数有A ．1B ．2C ．3D ．49．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，A ＝6π，b ＝1，S △ABC ＝3，则2sin A 2sin B sin Ca b c-+-+的值等于A ．2393 B ．2633 C ．833D ．237 10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，AD ⊥AB ，∠BCD ＝45°，将△ABD 沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为A′，使二面角A′—BD —C 为直二面角，给出下面四个命题：①A′D ⊥BC ；②三棱锥A′—BCD 的体积为26；③CD ⊥平面A′BD ；④平面A′BC ⊥平面A′DC ．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cos A 3cos B 5cosCa b c==，则∠B的大小是 A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是正方形BB 1C 1C的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直， 则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为 A ．32 B ．62C ．522 D ．3 二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．直线l 1：310ax y ++=，l 2：2(1)10x a y +++=，若l 1∥l 2，则a 的值为 ． 14．在平面直角坐标系中，角α与角β均以x 轴非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=-，则cos()αβ-＝ ．15．圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是 ． 16．已知函数()sin(sin3cos)444f x x x x πππ=-，则(1)(2)(2000)f f f +++L ＝．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知2cos()410x π-=，x ∈(2π，34π)．（1）求sin x 的值； （2）求sin(2)6x π+的值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥平面PDC ，△PCD 为正三角形，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ．19．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个顶点分别为A(a ，b )，B(4，1)，C(3，6)． （1）求BC 边所在直线的一般式方程；（2）已知BC 边上中线AD 所在直线方程为350x y c -+=，且S △ABC ＝7，求点A 的坐标．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP ＝90°，AB ＝AC ＝PA ＝6，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ； （2）当PM 1MD 2=时，求四棱锥M —ECDF 的体积．21．（本小题满分12分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC ＝23π，∠ACD ＝3π，路宽AD ＝18米．设∠BAC ＝θ(126ππθ≤≤)． （1）求灯柱AB 的高h （用θ表示）； （2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？22．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为△ABC 的面积，sin(B C)+=222Sa c -．（1）证明：A ＝2C ；（2）若2b =，且△ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．江苏省常州市教学联盟2019—2020学年高一下学期期中调研数学试题2020．5一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．cos10sin 70sin10sin 20︒︒-︒︒＝A ．23 B ． C ．21 D ．12- 答案：A考点：两角和与差的正弦公式解析：cos10sin 70sin10sin 20sin 70cos10cos 70sin10︒︒-︒︒=︒︒-︒︒sin(7010)sin 60=︒-︒=︒=，故选A ． 2．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为 A ．π2 B ．π3 C ．32πD ．33π答案：D考点：圆锥的体积解析：圆锥的高h ==，则圆锥的体积2113Vπ=⨯⨯⨯=D ． 3．过点(0，1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是A ．210x y +-=B ．210x y ++=C ．220x y -+=D ．210x y --= 答案：A考点：两直线的位置关系 解析：设所求直线方程为：20x y C ++=，过点(0，1)，求得C ＝﹣1，故所求直线方程为210x y +-=，故选A ．4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，DD 1的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为A ．41B ．51C ．562D ．415答案：B考点：异面直线所成的角解析：连接BE ，则BE ∥AF ，∴∠BED 是异面直线AF ，DE 所成的角或补角，设正方体的棱长为2a ，则BE ＝DE ，BD ＝，∴cos ∠BED 15=，故选B ． 5．已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线l ：(12)(32)0a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是A ．(﹣2，1)B ．(﹣1，0)C ．(27-，17)D ．(17，27-) 答案：C考点：直线过定点问题解析：直线l 的方程可变形为：(231)2x y a x y -+=+，则231020x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得2717x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即定点坐标为(27-，17)．故选C ．6．已知βα，是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误的是 A ．若m α⊥，m β⊂，则βα⊥ B ．若m α⊥，m β⊥，则βα//C ．若m α∥，n αβ=I，则n m // D ．若m n ∥，m α⊥，则α⊥n答案：C考点：空间点、线、面的位置关系解析：选项C 中，若m α⊄，则结论不一定成立，故选C ． 7．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是A ．sin()sin sin αβαβ+>+B ．sin()cos cos αβαβ+>+C ．cos()sin sin αβαβ+<+D ．cos()cos cos αβαβ+<+ 答案：D考点：两角和与差的三角函数公式 解析：∵sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin α，cos α，sin β，cos β∈(0，1)， ∴sin()sin sin αβαβ+<+，sin()cos cos αβαβ+<+，故A ，B 错，∵cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，sin α，cos α，sin β，cos β∈(0，1)， ∴cos()cos cos cos cos αβαβαβ+<<+，故D 正确，至于C ，取15αβ==︒可判断C 错误，综上所述，选D ．8．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的个数有A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B考点：线面平行的判定解析：图（1）可知平面ABC ∥平面MNP ，故AB ∥平面MNP ，图（1）符合题意； 图（4），AB ∥PN ，故AB ∥平面MNP ，图（4）符合题意； 至于图（2）和图（3），无法得出AB ∥平面MNP ， 综上所述，本题选B ．9．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，A ＝6π，b ＝1，S △ABC ＝3，则2sin A 2sin B sin Ca b c-+-+的值等于A ．2393 B ．2633 C ．833D ．237 答案：D考点：正余弦定理 解析：1223sin 4312sin 2S S bc A c b A=⇒===，∴22232cos A 148214337372a b c bc a =+-=+-⨯⨯⨯=⇒=， ∴2372371sin A 2sin B sin C sin 2a b c a A-+===-+，故选D ．10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，AD ⊥AB ，∠BCD ＝45°，将△ABD 沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为A′，使二面角A′—BD —C 为直二面角，给出下面四个命题：①A′D ⊥BC ；②三棱锥A′—BCD 的体积为26；③CD ⊥平面A′BD ；④平面A′BC ⊥平面A′DC ．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C考点：空间中的垂直关系，三棱锥的体积 解析：取BD 中点E ，连A′E ，由二面角A′—BD —C 为直二面角，可得A′E ⊥平面BCD ，则A′E ⊥CD ， ∴V A′—BCD ＝1221326⨯⨯=，②正确， ∵CD ⊥BD ，A′E ⊥CD ，且A′E I BD ＝E ， ∴CD ⊥平面A′BD ，故③正确， ∵A′B ＝1，又求得A′C ＝3，BC ＝2， ∴A′B 2＋A′C 2＝1＋3＝22＝BC 2，∴A′B ⊥A′C ， 由CD ⊥平面A′BD ，得CD ⊥A′B ，又A′C I CD ＝C ∴A′B ⊥平面A′DC ，∵A′B ⊂平面A′BC∴平面A′BC ⊥平面A′DC ，④正确， 至于①无法得证，故选C ．11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cos A 3cos B 5cosCa b c==，则∠B的大小是 A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 答案：D考点：正弦定理，两角和与差的正切公式 解析：∵2cos A 3cos B 5cosC a b c==，∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C ==，即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+=-，∴273110kk k =-，解得33k =， ∴tan 33B k ==，B ＝3π，故选D ． 12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为A ．32B ．62C ．522 D ．3答案：B考点：立体几何综合解析：取AB 的中点N ，可知平面A 1MCN 就是平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面，由平面A 1MCN 是菱形，且该菱形对角线A 1C ＝MN ＝则S ＝12⨯=B ． 二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．直线l 1：310ax y ++=，l 2：2(1)10x a y +++=，若l 1∥l 2，则a 的值为 ． 答案：﹣3考点：两直线平行 解析：∵l 1∥l 2，∴(1)60a a +-=，且20a -≠， ∴a ＝﹣3．14．在平面直角坐标系中，角α与角β均以x 轴非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=-，则cos()αβ-＝ ．答案：79-考点：两角和与差的余弦公式解析：当角α为第三象限角时，则角β为第四象限角∴1sin 3β=-，cos α=，cos β=，则117cos()cos cos sin sin ()()339αβαβαβ-=+=-⨯-=-； 当角α为第四象限角时，则角β为第三象限角∴1sin 3β=-，cos α=cos β=，则117cos()cos cos sin sin (()()339αβαβαβ-=+=+-⨯-=-． 综上，cos()αβ-的值为79-．15．圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是 ．答案：考点：扇形的弧长公式的运用，圆锥底面周长＝侧面展开图的弧长 解析：该圆锥的侧面展开图的圆心角＝210402ππ=，∴最短路程＝．16．已知函数()sin(sin)444f x x x x πππ=-，则(1)(2)(2000)f f f +++L ＝．答案：1000考点：三角恒等变换，三角函数的性质解析：2()sin(sin)sin cos444444f x x x x x x x ππππππ==1cos 222xx ππ-=1sin()226x ππ=-+， 则函数()f x 的周期为4，求得(1)(2)(3)(4)2f f f f +++=，∴(1)(2)(2000)50021000f f f +++=⨯=L ．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知cos()4x π-=，x ∈(2π，34π)．（1）求sin x 的值；（2）求sin(2)6x π+的值． 解：（1）解法一：因为3(,)24x ππ∈， 所以(,)442x πππ-∈，于是sin()4x π-==…………1分sin sin[()]sin()cos cos()sin 444444x x x x ππππππ=-+=-+-…………3分45=+=． …………5分解法二：由cos()4x π-=，cos x x +， …………2分221sin cos 5sincos 1x x x x ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩． 3(,)24x ππ∈Q 4sin 53cos -5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩…………5分 （2）因为3(,)24x ππ∈．故2243cos 1sin 1()55x x =--=--=-．………… 6分24sin 22sin cos 25x x x ==-，27cos 22cos 125x x =-=-． ………… 8分所以7243sin(2)sin 2cos cos 2sin 66650x x x πππ++=+=-． …………10分18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥平面PDC ，△PCD 为正三角形，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ．（1）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC 交BD 与点O ，连接EO 在PAC ∆中，E O ,分别为PC AC ,中点，EO PA //∴ ………… 2分EBD PA EBD EO EBD PA EOPA 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄………………………………5分 （2）证明：PC BD PDC PC PDC BD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面在正三角形PCD ∆中，E 为PC 中点，PC DE ⊥∴ …………7分BDEPC DEB DE BD DDE BD BD PC DE PC 平面平面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥,I…………11分又因为BDE BE平面⊂中，所以PC BE ⊥ …………12分19．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个顶点分别为A(a ，b )，B(4，1)，C(3，6)． （1）求BC 边所在直线的一般式方程；（2）已知BC 边上中线AD 所在直线方程为350x y c -+=，且S △ABC ＝7，求点A 的坐标． 解：（1）54316-=--=BC k ，代入点斜式方程，)4(51--=-x y ，直线BC 的一般方程为0215=-+y x …………3分（2）B ，C 中点坐标为)27,27(D ，代入方程350x y c -+=，得7=c …………5分 所以AD 方程为3570x y -+=，点A 满足方程，所以0753=+-b a26=BC ，设点A 到直线BC 距离为d ，172ABC S BCd ∆==， 所以2614=d…………7分同时利用点到直线的距离公式得261426215=-+=b a d ， 14215=-+b a ，所以1421514215-=-+=-+b a b a 或， …………9分所以⎩⎨⎧-=-+=+-⎩⎨⎧=-+=+-142150753142150753b a b a b a b a 或者 所以⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2156b a b a 或者，所以点A 坐标为)5,6(或)2,1( ………12分20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP ＝90°，AB ＝AC ＝PA ＝6，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ； （2）当PM 1MD 2=时，求四棱锥M —ECDF 的体积．（1）证明：在平行四边形ABCD 中，F E ,分别为AD BC ,的中点，所以AB EF // 在平行四边形ABCD 中，0135=∠BCD ，所以045=∠ABC在ABC ∆中，AC AB =,045=∠ABC，所以AC AB ⊥,ΘAB EF //,AC EF ⊥∴ ………2分ABCD PA PAB PA AB ABCD PAB ABCD PAB ABPA 平面平面平面平面平面平面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥I ，ABCD EF 平面⊂Θ，EF PA ⊥∴ ………6分PACEF PAC PA AC APA AC PA EF ACEF 平面平面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥,I………8分 （3）解：21=MD PM Θ，32距离的到面的距离为点到面点ABCD P ABCD M ∴， 由（1）知，ABCD PA 平面⊥，所以点4的距离为到面ABCD M ………10分18=ECDF S 四边形，2441831=⨯⨯=∴-ECDF M V ，所以四棱锥ECDF M -的体积为24 ………12分21．（本小题满分12分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC ＝23π，∠ACD ＝3π，路宽AD ＝18米．设∠BAC ＝θ(126ππθ≤≤)． （1）求灯柱AB 的高h （用θ表示）； （2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？21．解：（1）AB Q 与地面垂直，θ=∠BAC -2CAD πθ∴∠=， 在ACD ∆中，6CDA πθ∠=+，…………1分 由正弦定理得sin sin AD ACACD CDA=∠∠，得sin 123)sin 6AD CDA AC ACD πθ∠==+∠g ， ……3分在ABC ∆中，3ACB πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，sin 24sin()sin()sin 63AC ACB h ABC ππθθ∠∴==+-∠g ． ………5分12sin(2)3126h πππθθ⎡⎤∴=+∈⎢⎥⎣⎦，，………6分 （2）ABC ∆中， 由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，得sin 24sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ∠==+∠g ，………8分12sin(2)24sin()sin 36AB BC ππθθθ∴+=+++12(sin 2cos cos2sin )24(sin cos cos sin )sin 3366ππππθθθθθ=+++1-cos26sin 2631236sin 2=12sin 2+632θθθθθ=+++g………10分Q 126ππθ剟，∴263ππθ剟， ∴当12πθ=时，AB BC +取得最小值663+．故该公司应设置12πθ=，才能使制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小，最小值为(63)+米． ………12分22．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为△ABC 的面积，sin(B C)+=222Sa c -．（1）证明：A ＝2C ；（2）若2b =，且△ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围． （1）证明：由222sin()SB C a c +=-，得222sin S A a c π=-（-）， ∴22sin sin bc AA a c=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， ………2分 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=， 2sin 22sin cos 2sin R B R C A R C ∴-=g ，sin()2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， sin()sin A C C ∴-=， ………4分=2A C C k π∴-+或+=+2A C C k k Z ππ-∈，A Q ，(0,)C π∈，2A C ∴=． ………5分（2）解：2A C =Q ，3B C π∴=-， sin sin 3B C ∴=．由正弦定理得sin sin a bA B=且2b =， ∴2sin 2sin 3Ca C=， ………6分112sin 22sin 2sin sin 2sin 22sin(2)sin 2cos cos 2sin C C CS ab C C C C C C C C ∴===++g g g ………7分 ABC ∆Q 为锐角三角形且=2A C ，cos 0,cos 20C C ∴≠≠ 22tan 2tan 4tan 43tan 2tan 3tan tan tan C C CS C C CC C∴===+--，ABC ∆Q 为锐角三角形，∴020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，02203202C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩………10分∴()64C ππ∈，，∴tan 1)C ∈，此时43tan tan S C C=-为增函数，∴2)S ∈，即S的取值范围是．………12分。