江苏省常州高级中学2019-2020学年度上学期期中高一数学

江苏省常州市武进区礼嘉中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）三部分。

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。

3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,4,6A =，{}2,6,7B =，则AB 的子集个数为 （ ）.1A .2B .4C .8D2．函数lg(3)y x =-的定义域为 （ ）().1,3A [).1,3B ().3,C +∞ [).1,D +∞3． 已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，则((3))f g = （ ）.4A .1B .3C .9D4．函数)10(1)(1≠>+=+a a ax f x 且的图象恒过定点A ，则A 的坐标为 （ ）().0,1A .B ()1,1- ().1,2C - )2,0.(D5．函数()24xf x x =+-的零点所在的区间为 （ ）().0,1A ().1,2B ().2,3C ().3,4D6. 函数lg 1y x =-+的大致图象为 （ ）A B C D 7．若幂函数)(x f y =的图象经过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛33,3P ，则=)9(f （ ） .9A 91.B 3.C 31.D8．已知 2.513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 3b =，132c =，则 （ ）.Ab a c << a b c B <<. b a c C <<. b c a D <<.9．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，12)(-=xx f ，则=)16(log 21f （ ）15.16A 1615.-B 15.-C 15.D10.“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭以每秒a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t 秒时弓箭距地面的高度为x 米，可由25x at t =-确定. 已知射箭3秒时弓箭离地面高度为135米，则弓箭能达到的最大高度为 （ ）.135A 米 .160B 米 .175C 米 .180D 米11．已知函数)(x f 的定义域为R ，对于任意的x ∈R ，都满足)()(x f x f =-，且对于任意的(]0,,∞-∈b a ，当b a ≠时，都有0)()(<--ba b f a f ，若)(l g )2(x f f <-，则实数x 的取值范围是 （ ）1.,100A ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ()1.,100,100B ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛100,1001.C ()1.0,100,100D ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．已知函数(),()y f x y g x ==，两者的定义域都是I .若对于任意I x ∈,存在0x ，使得)()(),()(00x g x g x f x f ≥≥且)()(00x g x f =，则称)(),(x g x f 为“兄弟函数”.已知函数2()2(,)f x x px q p q =++∈R ， x x x x g 4)(2+-=是定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31上的“兄弟函数”，那么函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31上的最大值为 （ ）.3A 34.3B 52.9C .13D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若集合[]2,1A =-， {}0B x x m =+≥，且A B ⊆，则实数m 的取值范围为 .14．已知函数()f x 在R 上为偶函数，且0x ≥时，3()2,f x x x =-+则当0x <时，()f x = .15．已知函数2()24f x ax x =+-在(),1-∞上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是.16．已知a ∈R ,函数22340()20.x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，若对于任意的[)+∞-∈,4x ，x x f ≤)(恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）（1）已知2a ≤1214-⎛⎫⎪⎝⎭； （2）求值：3log 2693log 10(lg 2lg 3)+log 27-+⋅+.18. （本小题满分12分）设U =R ，{}{}22,0,41A x a x a a B x x =-<<+>=-≤≤. （1）若2a =，求()UA B ð；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知函数()121x mf x =--是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）求证：函数()f x 在()0,+∞上是单调增函数.20.（本小题满分12分）甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元.甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类推，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的75%销售.（1）分别写出在甲、乙两商场购买x 双运动鞋所需费用的函数解析式()f x 和()g x . （2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少?21. （本小题满分12分）已知函数()()(1)f x x a x a =-⋅-∈R . （1）当5a =时,作出函数()f x 的图象；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]3,4上有最小值8，若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①)(x f 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，)(x f 的值域也是[],m n ， 则称[],m n 是该函数的“优美区间”． （1）求证：[]0,2是函数21()2f x x =的一个“优美区间”． （2）求证：函数6()4g x x=+不存在“优美区间”． （3）已知函数xa x a a x h y 221)()(-+==（0,≠∈a R a ）有“优美区间”[],m n ，当a 变化时，求出m n -的最大值．数学答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.C2.B3.A4.C5.B6.D7.D8.A9.C 10.D 11.D 12.C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.[)2+∞， 14.32x x -++ 15.[]1,0- 16.[]0,4三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 解：（1）()222a a -=- 又()22,20,222a a a a≤-≤∴-=-分()33333a a +=+分 121244-⎛⎫= ⎪⎝⎭分=75∴原式分（2）31log 21=3+lg 6lg 6⋅原式（）332+=10分18．（本小题满分12分） 解：（1）[]4,1B =- ∴(,4)(1,)2U B =-∞-+∞ð分2a =()0,43A ∴=分 ∴()()1,46U A B =ð分 （2）A B A =7B A∴⊆分24921a a -<-⎧∴⎨+>⎩分61a a >⎧∴⎨>-⎩11分 612a ∴>分19．（本小题满分12分）（1）法一：解：定义域为{}0x x ≠，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-对于定义域内的任意x 恒成立.1122121x x m m -∴-=-+--分 221221x x xm m⋅∴=-+-- 22(12)x x m m ∴⋅=+-()()2210x m ∴+-=，4分该式对于定义域中的任意x 都成立，∴20m +=即26m =-分法二：定义域为{}0x x ≠，()f x 是奇函数，(1)(1)f f ∴-=-，11112121m m-∴-=-+--，解得23m =-分检验：当2m =-时，221()12121x x x f x -+=-=---，定义域为{}0x x ≠关于原点对称， 1221()()2121x x x x f x f x --++-=-==---()f x ∴是奇函数.6分（2）证明：在()0,+∞内任取1212,,x x x x <，21121212222(22)()()112121(21)(21)x x x x x x f x f x -----=--+=----9分120x x <<122121,210,220x x x x ∴-->->11分 12()(),()f x f x f x ∴<∴在()0,+∞上单调递增.12分20．（本小题满分12分） 解：（1）由800-2440x ≥可得当118x ≤≤且x N *∈时，去甲商场购买的单价为（80020x -）元，当18x >且x N *∈时，去甲商场购买的单价为440元.去乙商场购买单价一直为80075%600⨯=元.2分(8020),118,()440,18.x x x x N f x x x x N **⎧-≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩且且 4分()600()g x x x N *=∈5分注：（1）定义域中没有写x N *∈总共扣1分.（2）如果学生写的是”018x ≤≤且x N ∈”也对. （2）当18x >且x N *∈时，()()f x g x <；6分当118x ≤≤且x N *∈时，由(80020)6000x x x -->解得110x ≤<且x N *∈；8分由(80020)6000x x x --=解得10x =；9分由(80020)6000x x x --<解得10x >且x N *∈10分综上：当110x ≤<且x N *∈时，0y >； 当10x =时，0y =；当10x >且x N *∈时，0y <.11分答：（1）(8020),118,()440,18.x x x x N f x x x x N **⎧-≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩且且 ，()600()g x x x N *=∈.（2）若单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少.12分21. （本小题满分12分） 解：（1）当5a =时，(5)(1),5,()5(1)(5)(1), 5.1x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨---<⎩分5分注：图像弯曲细微有误扣1分，四个关键点()()()()5,01,0，，3,4，0,-5有漏画总扣1分（2）假设存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]3,4上有最小值8，[]()(1)3,4f x x a x x =--∈1 当3a ≤时，2221(1)()()(1)(1)24a a f x x a x x a x a x +-⎛⎫=--=-++=--⎪⎝⎭， 对称轴方程为12a x +=，1322a a +≤∴≤∴()f x 在[]3,4上单调递增 min ()(3)2(3)f x f a ∴==-2(3)81a a ∴-=∴=-6分2 当34a <<时，()08f a =<∴()f x 不可能有最小值8（舍去）8分3 当4a ≥时，2221(1)()()(1)(1)24a a f x a x x x a x a x +-⎛⎫=--=-++-=--+⎪⎝⎭对称轴方程为12a x +=，15422a a +≥∴≥ ①当517222a +≤≤即46a ≤≤时，min ()(4)3(4)f x f a ==- 203(4)83a a ∴-=∴=，又20463a a ≤≤∴=舍去. 10分②当1722a +>即6a >时，min ()(3)2(3)f x f a ==-2(3)87a a ∴-=∴=.综上：1a =-或7a =.12分22. （本小题满分12分）解：（1）212y x =在区间[]0,2上单调递增．1分又(0)0f =，(2)2f =，∴值域为[]0,2，∴区间[]0,2是2()f x x =的一个“优美区间”.2分（2）设[],m n 是已知函数定义域的子集．0≠x ，[]()0,,m n ⊆-∞或[](),,0m n ⊆+∞，∴函数6()4g x x=+在[],m n 上单调递减．3分若[],m n 是已知函数的“优美区间”，则64(1)64(2)n mm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩4分由(1)(2)-得66n m m n -=-6()n m n m mn -∴=-，n m >6mn ∴=6n m∴= 代入(1)等式不成立，∴函数6()4g x x=+不存在优美区间. 6分（3）设[],m n 是已知函数定义域的子集．0≠x ，[]()0,,m n ⊆-∞或[](),,0m n ⊆+∞，∴函数xa a a x a x a a y 222111)(-+=-+=在[],m n 上单调递增．7分若[],m n 是已知函数的“优美区间”，则⎩⎨⎧==n n h mm h )()(8分∴m 、n 是方程x xa a a =-+211，即222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根． 012>=amn ，m ∴，n 同号，只须0)1)(3(2>-+=∆a a a ， 即1>a 或3-<a 10分n m -==11分∴当3=a 时，m n -取最大值332.12分。

江苏省常州高级中学高三年级第一学期期中测试卷1. 已知集合}{4321、、、=A ，}{6420、、、=B ,则=⋂B A2. 若复数z 满足i*z=1+2i(其中i 为虚数单位),则z 的模为3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ,若11S =13，3086=+a a ，则1a 的值为4. 上图是一个算法的流程图，则输出的n 为5. 如图，已知长方体棱长为1，点P 在1AA 上任意一点，则四棱锥P -11B BDD 的体积为6. 已知实数0,>y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则z=y x +2的最大值为 7. 在平行四边形ABCD 中，AB=3,AD=1,∠BAD=60°，若CE ⋅则2的值为 8. k ,4,9)2(3122则实数两点，若相交于）圆（直线==-+-+=AB B A y x kx y9. []_______2121-,4)()()32sin(2)(的最大值为，则π，π且，若π已知x x x f x f x x f -∈-=⋅-=10. _____2201010)6,0(程为切于原点的圆的标准方且与圆：过点=+++y x y x A11. ___________2a )()()()(=-+==则只有一个零点，上单调函数，若函数是已知奇函数x a f x f x g R x f y12. 的最大值为，则若的对边分别为中，在△A C b a c b a C B A ABC tan 0cos 3,,,,,=+,,,0442:13_______22成等比数列，则满足：内的点圆的中点为轴截得的弦被、已知圆PB PN PA P C N AB x y x y x C ⋅=-+-+的取值范围个不同实数解，则实数有且仅有的方程、若关于3)2(22142x x e x ae x a x -=---二、解答题1、(本题满分14分)的值求为垂足，若）设（的大小求角且的对边分别为中，在△AC AD c b D BC AD A B b c A b c b a C B A ABC ⋅==⊥-=,3,2,2).1(.tan )2(tan ,,,,,16、(本题满分14分)ABCCEF CC BB EF AB C A F E AC A C C AA ABC C C AA ABC C B A 平面平面平面的中点，求证、分别是，是菱形，侧面底面中，侧面如图，斜三棱柱⊥︒=∠⊥-)2(//)1(;.60,11111111111117、(本题满分14分)如图，某市有一天东西走向的公路l 现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ，在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路，l 、m 欲在建一条公路PQ ，Q P ,分别在公路的l 、m 上（点Q P ,分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切。

江苏省常州市2019-2020学年高一上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·广东月考) 已知集合，则下列式子表示正确的有（）① ；② ；③ ；④ .A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）设函数，，则（）A . 0B . 38C . 56D . 1123. （2分） (2017高一上·长春期中) 若全集U=R集合A={x|1＜x≤3}，则∁UA=（）A . {x|x＜1或x≥3}B . {x|x≤1或x＞3}C . {x|x＜1或x＞3}D . {x|x≤1或x≥3}4. （2分）(2017·芜湖模拟) 设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|x2≤4}，则A∪B=（）A . [﹣2，+∞）B . （1，+∞）C . （1，2]D . （﹣∞，+∞）5. （2分）下列函数与相等的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·埇桥期中) 下列函数图象中，函数y=ax（a＞0且a≠1），与函数y=（1﹣a）x的图象只能是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·大同期中) 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . y=1，y=x0B . y=lgx2 ， y=2lgxC .D .8. （2分） (2017高一下·杭州期末) 函数f（x）=log2（x+2）的定义域是（）A . [2，+∞）B . [﹣2，+∞）C . （﹣2，+∞）D . （﹣∞，﹣2）9. （2分） (2019高三上·和平月考) 已知是定义在上的奇函数，若，，则的值为（）A . -3B . 0C . 3D . 610. （2分）下列各式成立的是（）A . =B . （）2=C . =D . =11. （2分）设，则f[f(2)]的值为（）A . 0B . 1C . 2D . 312. （2分） (2019高一上·成都期中) 若函数，则使不等式有解时，实数的最小值为（）A . 0B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·雨花期中) 已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则实数a的取值范围是________．14. （1分） (2019高二下·平罗月考) 设有两个命题：p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}；q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．15. （1分）幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=________．16. （1分） (2016高一上·苏州期中) 已知函数f（x）= ，则f[f（）]的值是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高三上·佛山月考) 已知 , .（1）若 ,判断函数在上的单调性；（2）设 ,对 ,有恒成立,求的最小值18. （10分） (2016高一上·迁西期中) 求下列各式的值：（1） +（2）．19. （10分） (2016高一上·南京期中) 某旅游景区的景点A处和B处之间有两种到达方式，一种是沿直线步行，另一种是沿索道乘坐缆车，现有一名游客从A处出发，以50m/min的速度匀速步行，30min后到达B处，在B处停留20min后，再乘坐缆车回到A处．假设缆车匀速直线运动的速度为150m/mm．（1）求该游客离景点A的距离y（m）关于出发后的时间x（mm）的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）做出（1）中函数的图象，并求该游客离景点A的距离不小于1000m的总时长．20. （5分） (2016高一上·西城期末) 已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．21. （5分） (2017高一上·徐汇期末) 已知全集为R，集合A={x| ≤0}，集合B={x||2x+1|＞3}．求A∩（∁RB）．22. （10分）设集合．（1）若，试判断集合与的关系；（2）若，求实数组成的集合．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

2022-2023学年江苏省常州高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{0，1}，集合B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1，3]B ．（1，3]C ．{﹣1，2，3}D ．{﹣1，0，2，3}2．已知函数f （x ）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x （x +1），则f （﹣3）＝（ ） A ．﹣12B ．12C ．9D ．﹣93．若x ，y 为实数，则x ＞y 是x 2＞y 2的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)={3x +1，x ＜2，x 2+ax ，x ≥2，若f(f(23))=−6，则实数a ＝（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣6D ．65．如果函数f （x ）对任意实数a ，b 满足f （a +b ）＝f （a ）f （b ），且f （1）＝2，则f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+⋯+f(2022)f(2021)=（ ）A ．2022B ．2024C ．2020D ．20216．已知函数f （x +1）是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （2），c ＝f （3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．已知a ＞0，b ∈R ，若x ＞0时，关于x 的不等式（ax ﹣1）（x 2+bx ﹣4）≥0恒成立，则b +4a的最小值是（ ） A ．4B ．2√3C ．4√2D ．4√38．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2﹣bx +c ＞0的解集为（1，2），解关于x 的不等式cx 2﹣bx +a ＞0”有如下解法：解：ax 2﹣bx +c ＞0⇒a ﹣b （1x）+c （1x）2＞0，令y =1x ，则y ∈(12，1)，所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为(12，1)．参考上述解法，已知关于x的不等式kx+a +x+bx+c＜0的解集为（﹣2，﹣1），求关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1＜0的解集是（）A．(12，1)B．(−1，−12)C．(−∞，−1)∪(−12，+∞)D．(−∞，12)∪(1，+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<5}，则A∩B=()A. {x|2<x≤3}B. {x|3<x<5}C. {x|3≤x<5}D. {x|2<x<7}2.函数y=√x−3x−7的定义域为()A. (3,+∞)B. [3,+∞)C. (3,7)⋃(7,+∞)D. [3,7)⋃(7,+∞)3.已知函数f(x)={x 2,x⩽0,1−2x,x>0,则f(f(−1))=()A. 1B. 5C. −1D. −54.函数f(x)=a x(a>0,a≠1)满足f(2)=81，则f(12)的值为()A. ±13B. ±3 C. 13D. 35.在区间(0,2)上不是增函数的是()A. y=2x+1B. y=3x2+1C. y=2xD. y=x2+3x+26.设a=log37，b=23.3，c=0.8，则()A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. a<c<b7.log223+log26等于()．A. 1B. 2C. 5D. 68.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,√2)，则f(4)=()A. 2B. 12C. √22D. 2√29.函数f(x)=a x−1a(a>0,a≠1)的图象可能是()A. B.C. D.10.已知函数f(x)=3x+x−12的零点x0∈(n,n+1)(n∈Z)，则n的值是()A. −2B. −1C. 0D. 111. 已知函数g(x)=f(x)−x 是偶函数，且f(3)=4，则f(−3)=( )A. −4B. −2C. 0D. 412. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若满足f(2log 3a )>f(−√2)，则a 的取值范围是( ) A. (−∞,√3) B. (0,√3) C. (√3,+∞) D. (1,√3) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合 M={2,m }，集合 N={2m,2}，且 M=N ，则实数 m 的值为 ________ ． 14. 已知f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x(1+x)，则f(−2)= ______ ．15. 已知点A(3,1)和B(−4,6)在直线3x −2y + m =0的两侧，则m 的取值范围是_________． 16. 若函数f(x)={x 3−3x +1−a,x >0,x 3+3x 2−a,x ≤0恰有3个零点，则a 的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知函数f(x)为奇函数，当x ≥0时，f(x)=√x ，g(x)={f(x),x ≥0f(−x),x <0，(1)求当x <0时，函数f(x)的解析式；(2)求g(x)的解析式，并证明g(x)的奇偶性．18. 设全集U =R ，集合A ={x|x >2}，B ={x|ax −1>0,a ∈R}．(1)当a =2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．19. 已知二次函数f(x)=x 2+bx +c 的图像经过点(1,3)，且函数f(−12+x)=f(−12−x)．(1)求f(x)的解析式．(2)已知t <2,g(x)=[f(x)−x 2−3]⋅|x|，求函数g(x)在[t,2]的最大值和最小值．20.小王投资1万元、2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元．为了预测投资资金x(万元)与收益y(万元)之间的关系，小王选择了甲模型y=ax2+bx+c和乙模型y=pq x+r．(1)根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a，b，c，p，q，r的值；(2)若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好⋅21.已知函数f(x)=x2+2x+a，x∈[1,+∞).x(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值;2(2)若对任意的x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．22.已知命题p：函数f(x)=x3+ax+5在区间(−2,1)上不单调，若命题p的否定是一个真命题，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 直接利用交集定义求解即可． 【解答】解：集合A ={x |3≤x <7}，B ={x |2<x <5}， 则A ∩B ={x |3≤x <5}， 故选C ． 2.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的定义域，利用分式函数和根式函数成立的条件，即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则需{x −3≥0x −7≠0,解得x ≥3且x ≠7， 即函数的定义域为．故选D ． 3.答案：C解析：【分析】本题考查了分段函数求值问题，属于基础题.先求出f (−1)=1，再求f (1)即可． 【解答】解：已知函数f(x)={x 2,x ⩽0,1−2x,x >0,则f(f(−1))=f (1)=1−2×1=−1． 故选C ． 4.答案：D解析：【分析】由已知条件得f(x)=9x ，由此能求出f(12)=912=3．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数性质的合理运用． 【解答】解：∵函数f(x)=a x (a >0,a ≠1)满足f(2)=81， ∴a 2=81，解得a =9， ∴f(x)=9x ， ∴f(12)=912=3． 故选：D ．5.答案：C在(−∞,0)和(0,+∞)都是递减的，故选C．解析：函数y=2x6.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．【解答】解：1<log37<2，b=23.3>2，c=0.8<1，则c<a<b，故选B．7.答案：B解析：【分析】本题考查了对数运算性质，属于基础题．利用对数运算性质即可得出．【解答】×6)=log222=2．解：原式=log2(23故选B．8.答案：A解析：因为幂函数y=f(x)的图象经过点(2,√2)，所以幂函数的解析式为：f(x)=x12，则f(4)=412= 2.故选A．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数f(x)恒过点(−1,0)是关键，属于基础题．先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点(−1,0)，问题得以解决．【解答】解：当0<a<1时，函数f(x)=a x−1为减函数，a为增函数，当a>1时，函数f(x)=a x−1a且当x=−1时，f(−1)=0，即函数f(x)恒过点(−1,0)，故选D．10.答案：B解析：【分析】本题考查了函数零点存在性定理，属于基础题．函数f(x)=3x+x−12在R上是增函数且连续，由函数零点的判定定理可求得．【解答】解：易知函数f(x)=3x+x−12在R上是增函数且连续，f(0)=1−12=12，f(−1)=13−1−12=−76，故f(0)·f(−1)<0，所以函数在(−1,0)上存在唯一零点x0，因为x0∈(n,n+1)(n∈Z)，故n=−1；故选B．11.答案：B解析：解：函数g(x)=f(x)−x是偶函数，可知g(3)=g(−3)，可得f(3)−3=f(−3)+3，即4−3=f(−3)+3，f(−3)=−2．故选：B．利用函数的奇偶性，真假求解函数值即可．本题考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.答案：B解析：解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，则其在区间[0,+∞)上递减，f(2log3a)>f(−√2)⇔f(2log3a)>f(√2)⇔2log3a<√2，即log3a<12，解可得0<a<√3；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在区间[0,+∞)上递减，则f(2log3a)>f(−√2)可以转化为2log3a<√2，变形可得log3a<12，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，结合函数奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键．13.答案：0解析：【分析】本题考查了集合相等．利用集合相等计算得结论．解：因为集合M={2,m},集合N={2m,2}，且M=N，所以m=2m，解得m=0．因此实数 m 的值为0．故答案为0．14.答案：−6解析：【分析】利用函数是奇函数，得到f(−2)=−f(2)，利用f(2)和f(−2)的关系进行求值．本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f(−2)转化为f(2)是解决本题的关键．【解答】解：∵函数f(x)是奇函数，∴f(−2)=−f(2)，∵当x≥0时，f(x)=x(1+x)，∴f(−2)=−f(2)=−6．故答案为−6．15.答案：−7<m<24解析：【分析】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，点与直线的位置关系，是基础题．【解答】解：因为点(3,1)和点(−4,6)在直线3x−2y+m=0的两侧，所以(3×3−2×1+m)[3×(−4)−2×6+m]<0，即：(m+7)(m−24)<0，解得−7<m<24，故答案为−7<m<24．16.答案：(−1,0)∪[1，4)解析：【分析】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的零点，分类讨论思想，难度中档．解：函数f(x)={x 3−3x +1−a,x >0,x 3+3x 2−a,x ≤0的图象如下图，y =f(x)的零点即为函数y =f(x)图象与函数y =a 的交点个数，结合图象可知，函数y =f(x)恰有3个零点，则(−1,0)∪[1，4)． 故答案为(−1,0)∪[1，4)．17.答案：解：(1)设x <0，则−x >0，此时有f(−x)=√−x ． 又∵函数f(x)为奇函数， ∴f(x)=−f(−x)=−√−x ． ∴当x <0时，f(x)=−√−x ． ∴f(x)={√x,x ≥0−√−x,x <0；(2)函数g(x)解析式为g(x)={f(x),x ≥0f(−x),x <0={√x,x ≥0√−x,x <0，g(x)的定义是R ，关于原点对称，当x >0时，−x <0，g(−x)=√−(−x)=√x =g(x)， 当x <0时，−x >0，g(−x)=√−x =g(x)， 综上所述，函数g(x)为偶函数．解析：(1)设x <0，则−x >0，结合已知与函数是奇函数可得x <0时的解析式，则答案可求； (2)由已知结合(1)写出分段函数解析式，然后利用奇偶性的定义证明g(x)的奇偶性． 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数奇偶性的判断方法，是中档题．18.答案：解：(1)当a =2时，解不等式2x −1>0得x >12∴B =(12,+∞)…(2分)∴A ∩B =(2,+∞)∩(12,+∞)=(2,+∞)…(4分) (2)①当a <0时，解不等式ax −1>0得x <1a ∴B =(−∞,1a )，此时B ⊆A 不成立 …(6分)②当a =0时，不等式ax −1>0没有实数解 ∴B =⌀，此时B ⊆A 成立 …(8分) ③当0<a ≤12时，1a ≥2，解不等式ax −1>0得x >1a ∴B =(1a ,+∞)，此时B ⊆A 成立 …(10分)④当a >12时，1a <2，解不等式ax −1>0得x >1a ∴B =(1a ,+∞)，此时B ⊆A 不成立 …(12分)综上所述，实数a 的取值范围是0≤a ≤12…(14分)解析：(1)求出A ，B ，即可求出A ∩B ；(2)分类讨论，利用B ⊆A ，即可求实数a 的取值范围．本题考查集合的关系与运算，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19.答案：解：(1)∵f(−12+x)=f(−12−x)，∴二次函数f(x)=x 2+bx +c 的对称轴方程为x =−12， 即−b2=−12，∴b =1，又∵二次函数f(x)=x 2+bx +c 的图象经过点(1,3) ∴1+b +c =3，解得c =1，∴函数f(x)的解析式为f(x)=x 2+x +1； (2)由(1)知，g(x)=(x −2)⋅|x|={x 2−2x,x ≥0−x 2+2x,x <0={(x −1)2−1,x ≥0−(x −1)2+1,x <0,∴当x ∈[t,2]时，g(x)max =0，当1≤t <2，g(x)min =g(t)=t 2−2t ， 当1−√2≤t <1，g(x)min =−1，当t <1−√2，g(x)min =g(t)=−t 2+2t ， ∴g (x )max =0,g (x )min ={t 2−2t,1≤t <2−1,1−√2≤t <1−t 2+2t,t <1−√2．解析：本题考查二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值的方法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．(1)因为函数f(−2)=f(1)，可得二次函数的对称轴为x =−12，由此可得b 值；再由函数图象过点(1,13)求出c 值，从而求出f(x)的解析式．(2)由题意可得g(x)=(x −2)|x|，讨论t 的范围，结合图象求出g(x)在[t,2]上的最值；20.答案：解：(1)①若选择甲模型，由题意有{a +b +c =44a +2b +c =99a +3b +c =16，解得{a =1b =2c =1,②若选择乙模型，由题意有{pq +r =4pq 2+r =9pq 3+r =16，解得{ p =12514q =75r =−172；(2)由(1)知甲模型为y =x 2+2x +1，乙模型为y =12514×(75)x −172，若选甲模型，当x =4时，y =25； 若选乙模型，当x =4时，y =12514×(75)4−172=25.8，由25.2万与25万较接近，故选择甲模型较好．解析：本题考查了函数模型的应用，属于中档题． (1)利用代入法求解函数解析式； (2)比较甲乙收益即可得到结论．21.答案：解：(1)当a =12时，f(x)=x +12x +2，x ∈[1,+∞)，设任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1<x 2， 则f(x 2)−f(x 1)=(x 2−x 1)(1−12x 1x 2).∵1≤x 1<x 2，∴x 2−x 1>0，2x 1x 2>2，∴0<12x1x 2<12，1−12x1x 2>0，∴f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2). ∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=72．(2)对任意的x ∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，等价于对任意的x ∈[1,+∞)，x 2+2x +a >0恒成立． 设y =x 2+2x +a ，x ∈[1,+∞)，则函数y =x 2+2x +a =(x +1)2+a −1在区间[1,+∞)上是增函数， ∴当x =1时，y 取得最小值，最小值为3+a ．∴当y min =3+a >0时，函数f(x)>0在区间[1,+∞)上恒成立，解得a >−3， 即实数a 的取值范围为(−3,+∞).解析：本题以函数为载体，考查对勾函数门课程二次函数的最值，考查恒成立问题的处理，注意解题策略．第11页，共11页 (1)a =12时，函数为f(x)=x +12x +2，f(x)在[1,+∞)上为增函数，故可求得函数f(x)的最小值(2)问题等价于f(x)=x 2+2x +a >0，在[1,+∞)上恒成立，通过求函数的最值，从而可确定a 的取值范围．22.答案：解：命题p ：函数f(x)=x 3+ax +5在区间(−2,1)上不单调，若命题p 的否定为：函数f(x)=x 3+ax +5在区间(−2,1)上单调，f(x)的导数为f′(x)=3x 2+a ≥0或≤0在区间(−2,1)上恒成立．由3x 2+a ≥0可得−a ≤3x 2的最小值，即有−a ≤0，即a ≥0；由3x 2+a ≤0可得−a ≥3x 2在区间(−2,1)上恒成立，由3x 2<12，即有−a ≥12，即a ≤−12；综上可得，a ≥0或a ≤−12．解析：本题考查命题的否定，考查函数的导数的运用：判断单调性，考查转化思想的运用，以及运算能力，属于中档题．求出命题的否定，求出f(x)的导数可得f′(x)=3x 2+a ≥0或≤0在区间(−2,1)上恒成立．运用二次函数的最值求法，即可得到所求a 的范围．。

绝密★启用前江苏省常州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合{A =，{1,}B m =，若A B A ⋃=，则m =________． 2．已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________. 3．已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若()11f -=，则满足1(3)1f x -≤-≤的x 的取值范围是________．4．已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=________．5．设()f x 是周期为1的偶函数，当01x ≤≤时，()4(1)f x x x =-，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．6．设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于________． 7．已知α为第二象限角，sinα＋cosαcos2α＝________． 8．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：…………○…※※请…………○…①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1nn a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________．9．已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________．10．已知在正四棱锥S ABCD -中，若SA =，则当该棱锥的体积最大时，它的高为________．11．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是_____. 12．已知a ，b 为正实数，且+3a b ab +=，则2a b +的最小值为________． 13．已知圆O 的半径为2，若PA 、PB 为该圆的两条切线，其中A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值________．14．设函数()2x x f x a a x -=--（a e >且a 为常数，其中e 为自然对数的底数），则不等式1()log 10ax e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是________．二、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，且13AE EB =．（1）求证：DE 平面1A BC ； （2）求证：DE CD ⊥．16．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=．…………装………○……___________姓名…………装………○……（1）求边AD 的长；（2）若ABC ∆的面积为480，求角C 的值． 17．已知函数()()4232314f x ax a x x =-++．（1）当16a =时，求()f x 的极值； （2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围．18．已知{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-． （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （3）设22n nnc a b =-，记1nn ni S c==∑，证明：26n n S c ≤+<．19．如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域ABCD ，其四条边均为道路，其中AD BC ∥，90ADC ︒∠=，10AB =千米，16BC =千米，6CD =千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从A 地出发匀速前往D 地，其中甲的行驶路线是AD ，速度为12千米/小时，乙的行驶路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两名特训队员到达D 地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；（2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是10千米．若乙先于甲到达D 地，且乙从A 地到D 地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度v 的取值范围． 20．设函数1()1x f x e=-，函数()f x '为()f x 的导函数． （1）若x ∀∈R ，都有()()f x mf x n '=+成立（其中,m n ∈R ），求m n +的值；（2）证明：当1x >-时，1()11f x x +≥+；（3）设当0x ≥时，11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．0或3 【解析】 【分析】由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，可得出m ＝3或m =m 的值．【详解】 ∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，∴m ＝3或m =解得：m ＝0或3或1（舍去）． 故答案为：0或3 【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型，注意互异性的检验2．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤. 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．[2,4] 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x ﹣3≤1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，若f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝1，f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f （x ﹣3）≤1，即f （1）≤f （x ﹣3）≤f （﹣1）， 则有﹣1≤x ﹣3≤1，解可得2≤x ≤4，即x 的取值范围是[2，4]； 故答案为：[2,4]． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f （x ﹣2）≤1转化为关于x 的不等式． 4．35 【解析】 【分析】根据题意和等差数列的性质求出a 4的值，代入所求的式子化简求值即可． 【详解】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=7a 4＝35，故答案为：35． 【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题． 5．1 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论． 【详解】∵f （x ）是周期为1的偶函数， ∴f （92-）＝f （92-+4）＝f （12-）＝f （12）， ∵当0≤x ≤1时，f （x ）＝4x （1﹣x ），∴f （12）＝412⨯（112-）1=， 故f （92-）1=，故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键． 6．8 【解析】 【分析】 函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果． 【详解】 f （x ）的周期T 2πω=，函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期， 所以4π=k •2πω，k ∈Z ．令k ＝1，可得ω＝8．故答案为：8． 【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型．7．－3【解析】∵sinα＋cosα∴(sinα＋cosα)2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23.∵α为第二象限角且sinα＋cosα， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k ∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α8．①②④ 【解析】【分析】根据等比数列的判断方法，逐项判断检验即可判断． 【详解】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n nn n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列； 11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④ 【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数． 9．(,2)(2,)-∞-+∞【解析】 【分析】求出f （x ）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到c 的范围． 【详解】 f ′（x ）＝3x 2﹣3 ＝3（x ﹣1）（x +1），f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减， ∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，， 函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0，解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞ 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．10．【解析】 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值． 【详解】设底面边长为a ，则高h ==V 13=a 2h=设y ＝24a 412-a 6，则y ′＝96a 3﹣3a 5，当y 取最值时，y ′＝96a 3﹣3a 5＝0，解得a ＝0或a ＝时，当a ''0;00y a y ><<<>,则a ＝此时h ==故答案为： 【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题． 11．4π【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f （x ），由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]，结合已知条件即可求出a 的最大值．【详解】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x）4x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ， 得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]， 由f （x ）在[﹣a ，a ]是减函数，得434a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴4a π≤．则a 的最大值是4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 12．3- 【解析】 【分析】利用(1)(+1)4a b +=结合基本不等式求解即可 【详解】由题(1)(+1)4a b +=则则则()()2=211333a b a b ++++-≥=当且仅当()()()+1+1=42+1=+1a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩等号成立故答案为：3- 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13．12-+【解析】 【分析】结合切线长定理，设出P A ，PB 的长度和夹角，并将PA •PB 表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【详解】如图所示：设OP ＝x （x ＞0），则P A ＝PB ，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，sinα2x=，PA •PB =|PA |•|PB |cos2α=（1﹣2sin 2α）＝（x 2﹣4）（128x -）＝x 2232x +-12，∴当且仅当x 2=“＝”，故PA •PB 的最小值为12故答案为：12-+【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力． 14．10,[,)e a⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可 【详解】()()+2=x x f x a a x f x --=--，故函数为奇函数又()()'ln 222ln 20x x fx a a a a -=+-≥=->故函数()2xxf x a a x -=--为增函数，1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭等价为()1log 10a x e f x f ≥⎧⎪⎛⎫⎨-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 或()10log 10a x ef x f <<⎧⎪⎛⎫⎨-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1x e x a≥≤或0<，故不等式1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为：10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题 15．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得1DE A B ∥即可证明（2）作CF ⊥AB ，F 为垂足，证明DE ⊥面FCD,能证明DE ⊥CD ． 【详解】（1）∵几何体111ABC A B C -为直三棱柱， ∴四边形11AA B B 为矩形．设11A B AB O ⋂=，则点O 为1AB 的中点， 又∵13AE EB =，∴1111142EB AB OB ==，即点E 为1OB 的中点， 又∵D 为1BB 的中点，∴在1B OB ∆中，由三角形中位线定理得1DE A B ∥ 又∵1A B ⊂平面1A BC ，DE ⊄平面1A BC ， ∴DE 平面1A BC ．（2）作CF ⊥AB ，F 垂足，因为AC BC =，故F 为中点，则1DF A B ∥直三棱柱111ABC A B C -，故面ABC ⊥面ABB 1 A 1， 则CF ⊥面ABB 1 A 1，CF DE ⊥因为ABB 1 A 1为正方形，故A 1B ⊥1A B ，又1DF A B ∥，,DF DE CF FD F DE ∴⊥⋂=∴⊥，面FCD,故DE CD ⊥【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 16．（1）25AD =（2）90︒∠=C 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得4in 5s ADC ∠=，3os 1c 12B =进而求得33sin sin()65BAD ADC B ∠=∠-=，再利用正弦定理求解即可 （2）由正弦定理求52AB =，利用面积求得48BC =，再利用余弦定理和勾股定理求解即可 【详解】（1）由3cos 5ADC ∠=，得4sin 5ADC ∠==由3cos 5ADC ∠=，得ADC ∠为锐角，则ADB ∠为钝角，即角B 为锐角，由5sin 13B =，得12cos 13B ==则33sin sin()sin cos cos sin 65BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠= 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，即335331365AD =，解得25AD =， （2）在ADB ∆中，4sin sin()sin 5ADB ADC ADC π∠=-∠=∠=， 由正弦定理得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，即33433565AB =，解得52AB = 由ABC ∆的面积为480，得1sin 4802AB BC B ⋅⋅⋅=，解得48BC =即15DC BC BD =-=由余弦定理得，20AC ==．在ADC ∆中，222625AD AC DC =+=， 则由勾股定理的逆定理可知，90︒∠=C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题 17．（1）()f x 的极小值12-；（2）41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）当16a =时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，则()()()2413310f x x ax ax +'=--≥在(1,1)-上恒成立，从而23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即刻求解实数a 的取值范围．试题解析：（1）()()()241331f x x ax ax '=-+-，当16a =时，()()()2221f x x x =+-'，()f x 在(),2-∞-内单调减，在()2,-+∞内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值． 所以()212f -=-是()f x 的极小值．（2）由（1）知，()()()241331f x x ax ax '=-+-，∵()f x 在()1,1-上是增函数，∴()0f x '≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立， ①当0a =时，显然成立，②当0a >时，设()2331g x ax ax =+-，即()()10{10g g -≤≤，即10{610a -≤-≤，解得：16a ≤， 又0a >，∴106a <≤， ③当0a <时，即2133x x a+≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即()2min 133x xa +≥，()1,1x ∈-，而当12x =-时，()2min 3334x x +=-， ∴314a -≥，解得：403a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围是41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中()f x 在(1,1)-上是增函数，转化为23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．18．（1）证明见解析（2）1122n n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）由1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-两式相加减即可证明 （2）由（1）解方程组得{}n a 和{}n b 的通项公式 （3）利用错位相减求得1nn ni S c==∑，结合数列单调性即可证明【详解】（1）1434n n n a a b +-=+（其中*n N ∈），①1434n n n b b a +-=-（其中*n N ∈），②由①与②相加得()()1142n n n n a b a b +++=+，即1112n n n n a b a b +++=+（其中*n N ∈），又11101a b +=+=，故{}n n a b +是以1为首项12为公比的等比数列由①与②相减得()()11448n n n n a b a b ++-=-+，即()()112n n n n a b a b ++---=（其中*n N ∈），又11101a b +=+=， 则数列{}n n a b -是以1为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知，1112n n n a b -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），③1(1)221n n a b n n -=+-⨯=-（其中*n N ∈），④③+④得，11121112222n nn n a n -⎛⎫⨯+- ⎪⎛⎫⎝⎭==+-⎪⎝⎭， 即1111222n nn n b a n -⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（*n N ∈）， （3）()()1221(21)2n n n n n n n n c a b a b a b n -⎛⎫=-=+-=-⋅ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），1221111111135(23)(21)22222n n nn n i S c n n --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1231111111135(23)(21)222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上下两式错位相减得123111111112222(21)222222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1221111111(21)22222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1111121(21)12212n nn S n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--⋅ ⎪⎝⎭-，也即31116(21)22n n n S n --⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又11(21)2n n c n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即3162n n n S c -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），又因为函数31()62n n n f n S c -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈）为单调递增函数，则31(1)662n n n f S c -⎛⎫≤+=-< ⎪⎝⎭，即26n n S c ≤+<【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题19．（1）乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）（2）3916,2⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可（2）讨论乙运动到AB,BC,CD 时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 的表达式，求函数最值，列不等式求解即可 【详解】（1）如图．过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．因为四边形ABCD 为直角梯形，所以四边形EBCD 为矩形，则16BC ED ==，6EB CD ==， 又在直角三角形ABE 中，8AE ==，即24AD AE ED =+=则由题意得，甲从A 地出发匀速前往D 地所需时间为24212t ==甲（小时）， 乙从A 地出发匀速前往D 地所需时间为32t v=乙（小时），由题意可知14t t -≤甲乙，即32124v -≤，解得12812897v ≤≤， 所求乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）．（2）设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 千米，由于乙先于甲到达D 地，所以3224012v -<，解得16v >， ①当010vt <≤时，即100t v<≤时，222296()(12)()212cos 1445f t t vt t vt BAE v v t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯∠=-+ ⎪⎝⎭因为29614405v v -+>，所以当10t v =时，()f t 取得最大值，且22max109610()1445f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可得222max9610()144105f t v v v ⎛⎫⎛⎫=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得152v ≥，②当1026vt <≤时，即1026t v v<≤时， 22222()(10812)6(12)3612f t vt t v t v ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪-⎝⎭，因为16v >，所以21012v v <-，则当26t v=时，()f t 取得最大值， 且222max26262()(12)361012f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫==--+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤ ③当2632vt <≤时，即2632t v v<≤时， ()2222222()(10166)(81612)(3232=1)(24441)22f t vt t vt v t t v t ⎛⎫-+- =++-+⎪⎝⎭+-=-+-，因为16v >，所以3232216t v =<=， 则函数()f t 在区间2632,v v ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即当26t v =时，()f t 取得最大值， 且222max261226()(3226)2410f t f v v ⨯⎛⎫⎛⎫==-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤， 由①②③同时成立可得153922v ≤≤，又因为16v >，所以39162v <≤ 即所求乙的速度v 的取值范围为3916,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题20．（1）0m n +=（2）证明见解析（3）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求导()xf x e '-=，利用对应项系数相等求即可即可（2）证明1()11f x x +≥+等价证明1x e x ≥+，构造函数求最值即可证明 （3）讨论110,0,0,22a a a a =><≤>，11()(1)f x a ax a +≤+恒成立，转化为证明(1)()x x f x ≤+，构造函数()()()h x axf x f x x =+-，求导求最值，证明当0a <时不成立，当102a <≤时，利用（2）放缩证明h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数即可求解，当12a >时，构造函数，证明不成立即可求解 【详解】（1）()1xf x e -=-，则()x f x e '-=因为x R ∀∈，()()f x mf x n '=+即1x x e me n ---=+恒成立（其中,m n R ∈），则1m =-，1n =，即110m n +=-+=，且()()1f x f x '=-+（2）当1x >-时，要证1()11f x x +≥+即证1x e x ≥+， 令()1x g x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x ≥时，()0g x '≥，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 当0x ≤时，()0g x '≤，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则当0x =时，min ()(0)0g x g ==，即当x ∈R 时，()(0)g x g ≥，也即1x e x ≥+， 所以当1x >-时，1()11f x x +≥+ （3）当0a =，本题无意义，11()(1)f x a ax a+≤+显然不成立，所以0a =不合题意， 当0a ≠时，11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+， 由题设0x ≥，此时有()0f x ≥， 当0a <时，若1x a >-，则有01x ax <+，此时()1x f x ax ≤+不成立，即11()(1)f x a ax a+≤+不成立，所以0a <不合题意，当0a >时，令()()()h x axf x f x x =+-， 则11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，即当且仅当()0≤h x ， ()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，又由（1）得()()1f x f x '=-+，即()1()f x f x '=-，代入上式得：()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-，①当102a <≤时，由（2）知1()11f x x +≥+，即(1)()x x f x ≤+， 则()()()()()()(1)()()h x af x axf x ax f x af x axf x a x f x f x '=-+-≤-++-(21)()0a f x =-≤，此时函数h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

江苏省常州高级中学2019年-2020年第一学期高三年级期中测试卷1. 已知集合}{4321、、、=A ，}{6420、、、=B ,则=⋂B A2. 若复数z 满足i*z=1+2i(其中i 为虚数单位),则z 的模为3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ,若11S =13，3086=+a a ，则1a 的值为4. 上图是一个算法的流程图，则输出的n 为5. 如图，已知长方体棱长为1，点P 在1AA 上任意一点，则四棱锥P -11B BDD 的体积为6. 已知实数0,>y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则z=y x +2的最大值为 7. 在平行四边形ABCD 中，AB=3,AD=1,∠BAD=60°，若CE ⋅则2的值为 8. k ,4,9)2(3122则实数两点，若相交于）圆（直线==-+-+=AB B A y x kx y9. []_______2121-,4)()()32sin(2)(的最大值为，则π，π且，若π已知x x x f x f x x f -∈-=⋅-=10. _____2201010)6,0(程为切于原点的圆的标准方且与圆：过点=+++y x y x A11. ___________2a )()()()(=-+==则只有一个零点，上单调函数，若函数是已知奇函数x a f x f x g R x f y12. 的最大值为，则若的对边分别为中，在△A C b a c b a C B A ABC tan 0cos 3,,,,,=+,,,0442:13_______22的取值范围成等比数列，则满足：内的点圆的中点为轴截得的弦被、已知圆PB PN PA P C N AB x y x y x C ⋅=-+-+的取值范围个不同实数解，则实数有且仅有的方程、若关于3)2(22142x x e x ae x a x -=---二、解答题1、(本题满分14分)的值求为垂足，若）设（的大小求角且的对边分别为中，在△AC AD c b D BC AD A B b c A b c b a C B A ABC ⋅==⊥-=,3,2,2).1(.tan )2(tan ,,,,,16、(本题满分14分)ABC CEF CC BB EF AB C A F E AC A C C AA ABC C C AA ABC C B A 平面平面平面的中点，求证、分别是，是菱形，侧面底面中，侧面如图，斜三棱柱⊥︒=∠⊥-)2(//)1(;.60,11111111111117、(本题满分14分)如图，某市有一天东西走向的公路l 现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ，在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路，l 、m 欲在建一条公路PQ ，Q P ,分别在公路的l 、m 上（点Q P ,分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切。

2019-2020学年江苏省常州市高三（上）期中数学试卷2一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={1,2，9}，B ={1,7}，则A ∩B =______．2. 函数f (x )=lg (x 2+3x −4)的定义域为__________．3. 在△ABC 中，∠A =π3，AB =2，且△ABC 的面积为√32，则边AC 的长为______ ．4. (1)曲线y =−5e x +3在点(0,−2)处的切线方程为________．(2)已知函数f(x)=xln x ，若直线ι过点(0,−1)，并且与曲线y =f(x)相切，则直线ι的方程为________．5. 已知点A(−1,2)，B(3,−1)，那么与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为________． 6. 已知f(x +7)是定义在R 上的奇函数，当x <7时，f(x)=−x 2，则当x >7时，f(x)=__________．7. 已知a <0，则关于x 的不等式axx−2>1的解集是________．8. 设向量a ⃗⃗⃗ =(−1,2)，若单位向量b ⃗ 满足a ⃗ ⊥(a ⃗ −3b ⃗ )，则a ⃗ ⋅b⃗ =______． 9. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移π6个单位后，所得图象关于原点对称，则ϕ的值为__________．10. 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−4x.那么，不等式f(x +2)< 5的解集是 ．11. 已知正实数x,y 满足x +2y =4，则y 4x +1y 的最小值为____．12. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．13. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 满足c =acos(A +C)，则tan C 的最大值是________． 14. 任意x ∈[1,e ]，使得x +1+a x>alnx (a >0)成立，则a 的取值范围是_______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15. 已知函数f(x)=cos(2ωx −π6)−cos(2ωx +π6)+1−2sin 2ωx ，(x ∈R,ω>0)的最小正周期为π． (I)求ω的值；(II)求函数f(x)在区间[−π4,π3]上的最大值和最小值．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC =ab ．(1)求B ；(2)设CM 是角C 的平分线，且CM =1，b =6，求cos∠BCM ．17. 某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1<x ≤12)满足：当1<x ≤4时， y =a(x −3)2+bx−1，(a,b 为常数)；当4<x ≤12时，y =2800x−100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大．(√7≈2.65)18. 已知A (2,1),B (−2,3)，如果点P 和点M 分别满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点P 和点M 的坐标．19. 已知函数f(x)=x 3−92x 2+6x −a ．(1)对于任意实数x,f ′(x)⩾m 恒成立，求实数m 的最大值； (2)若方程f(x)=0有且只有一个实根，求实数a 的取值范围．20. 已知函数f(x)=aln(x +1)−x −1(a ∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性(2)令函数g(x)=f(x)+e x ，若x ∈[0,+∞)时，g(x)≥0，求实数a 的取值范围．21. 已知矩阵A =[1321]，B =[−2311]，若矩阵M 满足AM =B ，求矩阵M 的特征值．22. 已知直线l 的参数方程为{x =ty =t −a (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2+2√2ρsin(θ−π4)−2=0(ρ≥0)，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点．若弦长AB =2√2，求实数a 的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+|2x −5|(a >0)．(1)当a =2时，解不等式f(x)≥5；(2)当x ∈[a,2a −2]时，不等式f(x)≤|x +4|恒成立，求实数a 的取值范围．24. 某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”(如1、2、3)的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高．．．．．．．．．．奖项兑现．．．．．．.记X表示一次摇奖获得的购物券金额．．．．．，且不重复兑奖(1)求摇奖一次获得一等奖的概率；(2)求X的概率分布列和数学期望．25.如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a n.求(Ⅰ)a1，a2，a3，a4；(Ⅱ)a n与a n+1(n≥2)的关系式；(Ⅲ)数列{a n}的通项公式a n，并证明a n≥2n(n∈N∗).-------- 答案与解析 --------1.答案：{1}解析：解：∵A={1,2，9}，B={1,7}；∴A∩B={1}．故答案为：{1}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：(−∞,−4)∪(1,+∞)解析：解析：由题意可知x2+3x−4>0，解得x<−4或x>1，所以函数f(x)的定义域为(−∞,−4)∪(1,+∞).3.答案：1解析：解：∵A=π3，AB=2，且△ABC的面积为√32，∴由三角形面积公式可得：S=12×AB×AC×sinA可得：√32=12×2×AC×sinπ3，∴解得：AC=1．故答案为：1．利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于基础题．4.答案：(1)5x+y+2=0(2)x−y−1=0解析：(1)【分析】本题考查由导数求函数在某点处的切线方程．先求导数，得切线斜率，再由点斜式求切线方程．【解答】解：∵y=−5e x+3，∴y′=−5e x，∴在点(0,−2)处的切线的斜率为k=y′|x=0=−5，∴在点(0,−2)处的切线方程为y+2=−5x，即5x+y+2=0．故答案为5x+y+2=0．(2)【分析】本题考查导数得几何意义．设切点为(x 0,x 0lnx 0)，由到导数求出切线的斜率，由点斜式得切线方程，再由过点(0,−1)得x 0的值，从而得切线方程． 【解答】解：∵函数f(x)=xln x ， ∴f ′(x)=1+lnx ， 设切点为(x 0,x 0lnx 0)，∴函数在点(x 0,x 0lnx 0)处的切线方程为y −x 0lnx 0=(1+lnx 0)(x −x 0)， ∵切线ι过点(0,−1)，∴−1−x 0lnx 0=(1+lnx 0)(−x 0)， 解得x 0=1，∴切线方程为x −y −1=0． 故答案为x −y −1=0．5.答案：(45,−35)解析： 【分析】本题给出A 、B 两点的坐标，求与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量．着重考查了向量的坐标运算和单位向量的定义等知识，属于基础题．由点A 、B 的坐标算出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−3)，从而得到|AB →|=5，再根据单位向量的定义加以计算，可得答案． 【解答】解：∵点A(−1,2)，B(3,−1)， ∴AB →=(4,−3)，可得|AB →|=5，因此与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为e ⃗ =1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15(4,−3)= (45,−35)． 故答案为 (45,−35)．6.答案：−(x −14)2【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x+7)是定义在R上的奇函数，∴f(x+7)=−f(−x+7)，∴f(x)=−f(−x+14)，∴当x>7时，−x+14<7，故f(x)=−f(−x+14)=−(−x+14)2=−(x−14)2，故答案为−(x−14)2．,2)7.答案：(21−a解析：【分析】本题考查了一元二次不等式和简单分式不等式的解法，解答的关键是明确二次不等式对应二次方程的两个根的大小及对应二次函数图象的开口方向，是基础题．【解答】>1可化为[(a−1)x+2](x−2)>0,解：不等式axx−2因为a<0，所以a−1<0，,2),所以不等式[(a−1)x+2](x−2)>0的解集为(21−a,2),故原不等式的解集为(21−a,2).故答案为(21−a8.答案：53解析：解：根据题意得，a⃗⋅(a⃗−3b⃗ )=0，∴a⃗2−3a⃗⋅b⃗ =0，∴3a⃗⋅b⃗ =1+4=5，∴a⃗⋅b⃗ =5，3．故答案为：53运用平面向量的数量积运算可得结果．本题考查平面向量数量积的性质及其运算．9.答案：解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．直接利用三角函数的平移和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的对称性求出结果．【解答】解：函数f(x)=sin(x+ϕ)(0<ϕ<π)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到：．再将图象向右平移个单位后，得到：所得图象关于原点对称，则：，0<ϕ<π，则．故答案为．10.答案：(−7,3)解析：【分析】本题考查函数奇偶性的应用，属于中档题．【解答】解：当x≥0时，f(x)=x2−4x，由f(x)=5⇒x=5，∵函数是偶函数，故f(x+2)<5⇔|x−2|<5解得，−7<x<3．故答案为(−7,3)．11.答案：1解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．=1是解题的关键．将x+2y=4可化为x+2y4【解答】解：x +2y =4可化为x+2y 4=1， 因为x >0，y >0，所以y4x +x+2y 4y=y 4x+x 4y+12≥2√y 4x·x 4y+12=2√116+12=2×14+12=1，当且仅当x =y =43时等号成立， 所以y4x +1y 的最小值为1， 故答案为1．12.答案：−4解析：【解答】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，∴AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=2√2×2×(−√22)=−4 故答案为：−4 【分析】由已知得AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°，代入计算即可得到所求值．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。

江苏省常州市14校联盟2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分，不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1.设集合，，则=_________．2.函数恒过定点 .3.给出下列三个函数：①；②；③．其中与函数相同的函数的序号是_________．4.满足的集合的个数为_________．5.已知，则_________．6.已知函数是上的偶函数，且时，，则当时，函数的解析式为_________．7.直线与函数，图象的两个交点间距离为_______．8.已知函数，若，则实数的取值范围为_________．9.已知集合，，且，则实数的值为_________．10.记函数的定义域为集合，函数，的值域为集合，则_________．11.当时，函数恒有意义，则实数的取值范围为_________．12.已知为定义在上的偶函数，且在上为单调增函数，，则不等式的解集为_________．13.函数是定义域为的奇函数，则________．14.已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是_________．二、解答题（本大题共6小题，共64分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．16.计算：（1）（2）17.已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）用定义证明是上的增函数；并求当时函数的值域．18.某家庭进行理财投资，有两种方式，甲为投资债券等稳健型产品，乙为投资股票等风险型产品，设投资甲、乙两种产品的年收益分别为、万元，根据长期收益率市场预测，它们与投入资金万元的关系分别为，，（其中，，都为常数），函数，对应的曲线,如图所示．（1）求函数、的解析式；（2）若该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，问：如何分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？19.已知函数．（1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（2）若函数，的最大值为，求的表达式．20.设是实数，函数．（1）求证：函数不是奇函数；（2）当时，解关于的不等式；（3）求函数的值域（用表示）．江苏省常州市14校联盟2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分，不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1.设集合，，则=_________．【答案】【解析】【分析】根据集合A、B表示的实数范围求A与B的交集【详解】集合A表示大于0的实数组成的集合，集合B表示大于-1小于3的实数组成的集合，故【点睛】数集的交、并、补运算可借助数轴来进行运算2.函数恒过定点 .【答案】【解析】解：因为函数中，无论底数a取何值，都满足令x=2,f(x)=4,故函数必定过点3.给出下列三个函数：①；②；③．其中与函数相同的函数的序号是_________．【答案】②【解析】【分析】依次判断函数的定义域、解析式是否与已知函数的定义域、解析式都相同，找出相同函数【详解】的定义域为，与定义域不同，与定义域、解析式均相同，，与解析式不同，故选②【点睛】判断两个函数是否为相同函数，只要比较两个函数的定义域，对应关系是否都相同，如果都相同就是相同函数4.满足的集合的个数为_________．【答案】3【解析】【分析】由集合间的关系判断集合A中元素特征，列举出符合条件的集合A，确定个数【详解】因为，所以集合A中必有1,2，可能有3,4中的一个，故集合A可能为：，，，共3个【点睛】根据子集、真子集的概念可以判断集合中含有元素的情况，可根据集合中元素的多少进行分类，采用列举法逐一写出每种情况的集合5.已知，则_________．【答案】1【解析】【分析】利用换元法，令，求得，得【详解】令，则，所以，得【点睛】函数解析式的求法：1.待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；2.换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以代替，便得的解析式；4.消去法：已知与之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个组成方程组，通过解方程组求出6.已知函数是上的偶函数，且时，，则当时，函数的解析式为_________．【答案】【解析】【分析】令，则，代入解析式，得，由函数是偶函数得，【详解】令，则，因为时，，所以，又因为是偶函数，所以【点睛】利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤：1.“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；2.转化到已知区间上，代入已知的解析式；3.利用的奇偶性，写出的解析式7.直线与函数，图象的两个交点间距离为_______．【答案】【解析】【分析】分别令，，解得直线与函数，图象的两个交点的横坐标，两个横坐标之差即为所求【详解】令，得，再令，得，所以直线与函数，图象的两个交点间的距离为：【点睛】指数运算和对数运算互为逆运算8.已知函数，若，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】计算，将原不等式化为，分和的情况，分别解关于的不等式，解集即为所求【详解】由题，，所以不等式可化为，当时，不等式等价于，所以，当时，不等式等价于，所以，综上所述，的取值范围为【点睛】解决分段函数的不等式问题，要区分自变量属于哪一段区间，代入该段的解析式再解不等式9.已知集合，，且，则实数的值为_________．【答案】或或1【解析】【分析】解方程得，因为，所以，，，分别解得的值【详解】由题，，因为，所以当时，无解，；当时，；当时，，综上所述，的值为或或【点睛】由集合间的关系求参数时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用10.记函数的定义域为集合，函数，的值域为集合，则_________．【答案】【解析】【分析】计算的定义域得集合，计算的值域得集合，再借助数轴计算即为所求【详解】由且，得，又因为，所以，得的值域，所以【点睛】求与指数函数有关的函数的值域时，在运用函数的单调性的前提下，要注意指数函数的值域为11.当时，函数恒有意义，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】分析函数解析式特征，恒大于零则解析式恒有意义，所以在上恒成立，参变分离，即在上恒成立，得【详解】因为时，函数恒有意义，所以在上恒成立，即在上恒成立，又因为当时，，所以【点睛】解决不等式恒成立问题，可以使用参变分离的方法，直接转化为求函数最值问题12.已知为定义在上的偶函数，且在上为单调增函数，，则不等式的解集为_________．【答案】【解析】【分析】由为上的偶函数，且在上为单调增函数，所以在上为单调减函数，又因为，所以，结合单调性得到函数大于零和小于零的区间，将，转化为，即与同正或同负，写出符合条件的区间即为所求【详解】由为上的偶函数，且在上为单调增函数，所以在上为单调减函数，又因为，所以，所以当时，，当时，，又因为，所以或，即【点睛】解决函数的奇偶性与单调性的综合问题时，一定要充分利用已知条件，数形结合，列出不等式（组），要注意函数定义域的影响13.函数是定义域为的奇函数，则________．【答案】-4【解析】函数是奇函数,所以图象关于原点对称,则函数的图象由函数的图象先向下平移2个单位,再向右平移1个单位得到,所以函数的图象关于点对称,所以.14.已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是_________．【答案】或【解析】【分析】当时，且单调递增，因为存在，，且，使得成立，所以在时不单调，或，解得实数的取值范围【详解】当时，且单调递增，因为存在，，且，使得成立，所以在时不单调，或，即或，解得或【点睛】函数单调性定义具有“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定参数的取值范围二、解答题（本大题共6小题，共64分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）计算，在时的值域，得集合A，将代入集合B，解不等式，得到集合B，求两个集合的并集；（2）因为，所以集合A与集合B无公共部分，借助数轴分析参数的取值情况【详解】解：集合是函数的值域，易知（1）若，则，结合数轴知．（2）若，得或，即或．【点睛】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点16.计算：（1）（2）【答案】(1)8,(2)10【解析】【分析】（1）分别化简、计算每一个指数式的值，再进行加减运算；（2）分别化简、计算每一个对数或指数式，再合并运算【详解】解：（1）（2）【点睛】进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序。

2023-2024学年江苏省常州高级中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若U ＝{1，2，3，4}，M ＝{1，2}，N ＝{2，3}，则∁U （M ∪N ）是（ ） A ．{1，2，3}B ．{2}C ．{1，3，4}D ．{4}2．下列函数中，值域为（0，+∞）的偶函数是（ ） A ．y =√xB ．y ＝|x |C ．y =1xD ．y =1x 23．设x ∈R ，则“|x ﹣2|＞3”是“x 2﹣5x ﹣6＞0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知奇函数f （x ）在R 上单调递增．若f （3）＝1，则满足﹣1≤f （x ﹣2）≤0的x 取值范围是（ ） A ．[﹣1，0]B ．[﹣1，2]C ．[1，2]D ．[1，3]5．设A ⊆R ，且A ≠∅，从A 到R 的两个函数分别为f （x ）＝x 2+1，g （x ）＝3x +5，若对于A 中的任意一个x ，都有f （x ）＝g （x ），则集合A 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．无穷多6．已知函数f(x)={x 2−2ax +5，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞0B ．0＜a ≤1C ．1≤a ＜2D ．1≤a ≤27．若a ＞b ＞0，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ba ＞b+1a+1B ．a +1a ＞b +1b C ．a +ab ＞b +b aD ．2a+b a+2b＞ab8．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1（a ∈R ），若非空集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ））≤1}，满足A ＝B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−1−√2，−1] B ．[−√2，−1]C ．[1，√2]D ．[1，1+√2]二、多项选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．关于x 的方程mx 2+2x +1＝0有两个实数解的一个充分条件是（ ） A ．m ≤﹣1B ．﹣1＜m ＜0C ．0≤m ＜1D ．m ≥110．若正实数a ，b 满足a +b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最小值14B ．√a +√b 有最大值√2C ．1a+1b有最小值4D ．a 2+b 2有最大值1211．已知集合A ＝{﹣1，1}，非空集合B ＝{x |x 3+ax 2+bx ﹣1＝0}，下列条件能够使得B ⊆A 的是（ ） A ．a ＝1，b ＝﹣1B ．a ＝﹣1，b ＝1C ．a ＝3，b ＝﹣3D ．a ＝﹣3，b ＝312．已知函数f(x)=x 2+1x +xx 2+1，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．f （x ）值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C ．当x ＞0时，恒有f （x ）＞x 成立D ．若x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＞2 三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．由命题“∃x ∈R ，x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a ＝ ． 14．已知函数f(x)={−1x ，x ≤c x −x 2，c ＜x ≤2，若f （x ）的值域为[﹣2，2]，则实数c 的值是 ．15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有 种．16．已知一块直角梯形状铁皮ABCD ，其中AD ∥BC ，∠A ＝90°，AB ＝BC ＝1，AD ＝3．现欲截取一块以CD 为一底的梯形铁皮CDEF ，点E ，F 分别在AD ，AB 上，记梯形CDEF 的面积为S 1，剩余部分的面积为S 2，则S 2S 1的最小值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +1（a ，b ∈R ）的最小值为﹣4a ． （1）若f （﹣5）＝1，求a 的值；（2）设关于x 的方程f （x ）＝0的两个根分别为x 1，x 2，求|x 1﹣x 2|的值． 18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ={x|x−1x−3≤0}，B ={x|(x −a)(x −a 2−2)≤0}． （1）当a =12时，求（∁U B ）∩A ；（2）若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 3﹣3x +2． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）①用定义证明函数f （x ）在（0，1）上是单调递减函数； ②判断函数f （x ）在[1，+∞）上的单调性，请直接写出结果；（3）根据你对该函数的理解，在坐标系中直接作出函数f （x ）（x ∈R ）的图象．20．（12分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系；W(x)={5(x 2+3)，0≤x ≤250x 1+x，2＜x ≤5，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）30x 元．已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为f （x ）（单位：元） （1）求f （x ）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 21．（12分）已知函数f(x)=√x +√2−x ，g(x)=√x(2−x)． （1）求函数f （x ）的定义域和值域；（2）若a 为非零实数，设函数h （x ）＝f （x ）+ag （x ）的最大值为m （a ）． ①求m （a ）；②确定满足m(a)=m(1a)的实数a ，直接写出所有a 的值组成的集合． 22．（12分）已知函数f(x)=x −a x+3(a ∈R)．（1）求关于x 的不等式f （2x ）﹣2f （x ﹣2）＞1的解集，（2）若对任意的正实数a ，存在x 0∈[12，1]，使得|f （x 0）|≥m ，求实数m 的取值范围．2023-2024学年江苏省常州高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U（M∪N）是（）A．{1，2，3}B．{2}C．{1，3，4}D．{4}解：U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，则∁U（M∪N）＝{4}．故选：D．2．下列函数中，值域为（0，+∞）的偶函数是（）A．y=√x B．y＝|x|C．y=1x D．y=1x2解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=√x，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝|x|，是偶函数，但其值域为[0，+∞），不符合题意；对于C，y=1x，是反比例函数，是奇函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y=1x2，是幂函数，是偶函数，且值域为（0，+∞），不符合题意．故选：D．3．设x∈R，则“|x﹣2|＞3”是“x2﹣5x﹣6＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵不等式|x﹣2|＞3的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，x2﹣5x﹣6＞0的解集是{x|x＜﹣1或x＞6}，∴由|x﹣2|＞3不能推出x2﹣5x﹣6＞0，由x2﹣5x﹣6＞0可以得到x﹣2|＞3．∴“|x﹣2|＞3”是“x2﹣5x﹣6＞0”必要不充分条件．故选：B．4．已知奇函数f（x）在R上单调递增．若f（3）＝1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤0的x取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[1，2]D．[1，3]解：因为奇函数f（x）在R上单调递增，则f（0）＝0，若f（3）＝1，则f（﹣3）＝﹣1，由﹣1≤f （x ﹣2）≤0可得﹣3≤x ﹣2≤0，即﹣1≤x ≤2． 故选：B ．5．设A ⊆R ，且A ≠∅，从A 到R 的两个函数分别为f （x ）＝x 2+1，g （x ）＝3x +5，若对于A 中的任意一个x ，都有f （x ）＝g （x ），则集合A 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．无穷多解：由f （x ）＝g （x ），可得x 2+1＝3x +5， 即x 2﹣3x ﹣4＝0，解得x ＝﹣1或x ＝4，故集合A 可以是{﹣1}，{4}，{﹣1，4}，共3个． 故选：C ．6．已知函数f(x)={x 2−2ax +5，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞0B ．0＜a ≤1C ．1≤a ＜2D ．1≤a ≤2解：因为函数f(x)={x 2−2ax +5，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以{a ≥1a ＞01−2a +5≥a ，解得1≤a ≤2．故选：D ．7．若a ＞b ＞0，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ba ＞b+1a+1B ．a +1a ＞b +1b C ．a +a b ＞b +baD ．2a+b a+2b＞ab解：A ：因为a ＞b ＞0，所以ab +a ＞ab +b ，即a （b +1）＞b （a +1），即ba＜b+1a+1，故A 错误B ：因为a +1a −(b +1b )=a 2+1a −b 2+1b =a 2b+b−ab 2−a ab =ab(a−b)+(b−a)ab=(a−b)(ab−1)ab，因为a ＞b ＞0，但是ab 与1的大小不确定，故不一定成立，故B 错误，C ：因为a +a b −(b +b a )=ab+a b −ab+b a =a 2b+a 2−ab 2−b2ab=(a−b)(ab+a+b)ab ，因为a ＞b ＞0，则a ﹣b ＞0，ab ＞0，a +b ＞0，所以a +a b −(b +ba)＞0，故C 正确，D ：因为a ＞b ＞0，则a 2＞b 2，所以2ab +a 2＞2ab +b 2，即a （2b +a ）＞b （2a +b ），即2a+b 2b+a＜ab，故D 错误， 故选：C ．8．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1（a ∈R ），若非空集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ））≤1}，满足A ＝B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−1−√2，−1] B ．[−√2，−1]C ．[1，√2]D ．[1，1+√2]解：由f （f （x ））≤1，可得（x 2﹣2ax +1）2﹣2a （x 2﹣2ax +1）+1≤1， 即（x 2﹣2ax +1）（x 2﹣2ax +1﹣2a ）≤0，由A ＝B ，可得x 2﹣2ax +1﹣2a ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2﹣4（1﹣2a ）≤0，解得−1−√2≤a ≤−1+√2，① 又集合A 是非空集合，所以x 2﹣2ax +1≤0在R 上有解， 则有Δ′＝4a 2﹣4≥0，解得a ≤﹣1或a ≥1，② 综合①②可得：a ∈[−1−√2，−1]． 故选：A ．二、多项选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．关于x 的方程mx 2+2x +1＝0有两个实数解的一个充分条件是（ ） A ．m ≤﹣1B ．﹣1＜m ＜0C ．0≤m ＜1D ．m ≥1解：若关于x 的方程mx 2+2x +1＝0有两个实数解， 则{m ≠0Δ=4−4m ＞0，解得：m ＜1且m ≠0， 故﹣1＜m ＜0和m ≤﹣1是关于x 的方程mx 2+2x +1＝0有两个实数解的充分条件． 故选：AB ．10．若正实数a ，b 满足a +b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最小值14B ．√a +√b 有最大值√2C ．1a+1b有最小值4D ．a 2+b 2有最大值12解：因为正实数a ，b 满足a +b ＝1，所以ab ≤(a+b2)2=14，当且仅当a ＝b =12时取“＝”，所以ab 的最大值为14，选项A 错误；因为(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤1+2√14=2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a ＝b =12时取“＝”，所以选项B 正确； 因为1a +1b=a+b a+a+b b=2+b a +a b ≥2+2＝4，当且仅当a ＝b =12时取“＝”，选项C 正确；因为a +b ＝1，所以a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝1﹣2ab ≥1﹣2×14=12，当且仅当a ＝b =12时取“＝”，选项D 正确．故选：BCD ．11．已知集合A ＝{﹣1，1}，非空集合B ＝{x |x 3+ax 2+bx ﹣1＝0}，下列条件能够使得B ⊆A 的是（ ） A ．a ＝1，b ＝﹣1B ．a ＝﹣1，b ＝1C ．a ＝3，b ＝﹣3D ．a ＝﹣3，b ＝3解：对于A ，方程x 3+x 2﹣x ﹣1＝0，因式分解得（x ﹣1）（x +1）2＝0，解得x ＝﹣1或x ＝1，所以B ＝{﹣1，1}，满足B ⊆A ，故A 正确；对于B ，方程x 3﹣x 2+x ﹣1＝0，因式分解得（x ﹣1）（x 2+1）＝0，解得x ＝1，所以B ＝{1}，满足B ⊆A ，故B 正确；对于C ，方程x 3+3x 2﹣3x ﹣1＝0，因式分解得（x ﹣1）（x 2+4x +1）＝0，解得x ＝1或x =−2±√3，所以B ={1，−2−√3，−2+√3}，不满足B ⊆A ，故C 错误；对于D ，方程x 3﹣3x 2+3x ﹣1＝0，因式分解得（x ﹣1）3＝0，解得x ＝1，所以B ＝{1}，满足B ⊆A ，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知函数f(x)=x 2+1x +xx 2+1，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．f （x ）值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C ．当x ＞0时，恒有f （x ）＞x 成立D ．若x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＞2解：对于A ，B ，因为f(x)=x 2+1x +xx 2+1，则由解析式知f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又f （﹣x ）=(−x)2+1−x +−x (−x)2+1=−（x 2+1x +x x 2+1）＝﹣f （x ），所以f （x ）为奇函数， 当x ∈（0，+∞）时，由对勾函数性质知：t ＝x +1x 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且值域为[2，+∞）， 而y ＝t +1t 在t ∈[2，+∞）上递增，所以f （x ）在x ∈（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且f （x ）∈[52，+∞），由奇函数的对称性知：f （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在x ∈（﹣1，0）上单调递减，且f （x ）∈（﹣∞，−52]，所以f （x ）值域为（﹣∞，−52]∪[52，+∞），故A 正确，B 错误；对于C ，当x ＞0时，f （x ）﹣x =x 2+1x +x x 2+1−x =1x +xx 2+1＞0恒成立，所以恒有f （x ）＞x 成立，故C 正确； 对于D ，由f （1x ）=(1x )2+11x +1x (1x )2+1=x 2+1x +x x 2+1=f （x ），因为x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2）， 所以x 2=1x 1，故x 1+x 2＝x 1+1x 1≥2√x 1⋅1x 1=2，当且仅当x 1＝1时等号成立， 而x 1＝1时，x 2＝1，故等号不成立，所以x 1+x 2＞2，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．由命题“∃x ∈R ，x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a ＝ ． 解：存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，∴其否命题为真命题，即是说“∀x ∈R ，都有x 2+2x +m ＞0”， ∴Δ＝4﹣4m ＜0，∴m ＞1，m 的取值范围为（1，+∞）． 则a ＝114．已知函数f(x)={−1x ，x ≤cx −x 2，c ＜x ≤2，若f （x ）的值域为[﹣2，2]，则实数c 的值是 ．解：根据题意，函数f(x)={−1x ，x ≤cx −x 2，c ＜x ≤2，必有c ＜0，在区间（﹣∞，c ]上，f （x ）=−1x ，是增函数，有0＜f （x ）≤f （c ）=−1c，在区间（c ，2]，f （x ）＝x ﹣x 2，有f （2）＝2﹣4＝﹣2，且x ﹣x 2＝﹣（x −12）2+14≤14， 要使f （x ）的值域为[﹣2，2]，必有f （c ）=−1c =2，解可得c =−12． 故答案为：−12．15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有 种．解：由题意，第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种， 所以第一天售出但第二天未售出的商品有17﹣3＝14种， 第二天售出但第一天未售出的商品有13﹣3＝10种， 所以前两天共售出的商品有14+10+3＝27种，第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有14﹣5＝9 种，因为9＜14，所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品时， 该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27． 故答案为：27．16．已知一块直角梯形状铁皮ABCD ，其中AD ∥BC ，∠A ＝90°，AB ＝BC ＝1，AD ＝3．现欲截取一块以CD 为一底的梯形铁皮CDEF ，点E ，F 分别在AD ，AB 上，记梯形CDEF 的面积为S 1，剩余部分的面积为S 2，则S 2S 1的最小值是 ．解：过点C 作CH ⊥AD ，垂足为H ，则CH ＝AB ＝1，DH ＝AD ﹣BC ＝2，设AE ＝x ，根据EF ∥CD 得△AEF ∽△HDC ，AE ：AF ＝HD ：CH ＝1：2，可得AF =12x ，所以S △AEF =12x •12x =x 24，Rt △BFC 中，BF ＝AB ﹣AF ＝1−12x ，BC ＝1，故S △BCF =12×BC ×BF =12（1−12x ）=12−14x ， 梯形CDEF 的面积为S 1，则剩余部分的面积S 2＝S △AEF +S △BCF =14x 2−14x +12， 结合梯形ABCD 的面积S =12(AD +BC)×AB =12×4×1=2， 可得S 1＝S ﹣S 2＝2﹣（14x 2−14x +12）=−14x 2+14x +32， 因此S 2S 1=x 2−x+2−x 2+x+6=−1−8x 2−x−6，而x 2﹣x ﹣6＝（x −12）2−254≥−254，即当x =12时取得最小值−254， 所以S 2S 1取得最小值为725．故答案为：725．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +1（a ，b ∈R ）的最小值为﹣4a ．（1）若f （﹣5）＝1，求a 的值；（2）设关于x 的方程f （x ）＝0的两个根分别为x 1，x 2，求|x 1﹣x 2|的值． 解：（1）由二次函数f （x ）＝ax 2+bx +1的最小值为﹣4a ，f （﹣5）＝1，可得a ≠0且{25a −5b +1=14a−b 24a=−4a ，解得{a =49b =209，故a =49；（2）由（1）可知：f （x ）=49x 2+209x +1， 若关于x 的方程f （x ）＝0的两个根分别为x 1，x 2， 则有x 1+x 2＝﹣5，x 1x 2=94，所以|x 1﹣x 2|=√(x 1−x 2)2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(−5)2−4×94=4． 18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ={x|x−1x−3≤0}，B ={x|(x −a)(x −a 2−2)≤0}． （1）当a =12时，求（∁U B ）∩A ；（2）若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为A ＝{x |x−1x−3≤0}＝{x |1≤x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣a 2﹣2）＜0}＝{x |a ＜x ＜2+a 2}，当a =12时，B ＝{x |12＜x ＜94}，∁U B ＝{x |x ≥94或x ≤12}，所以（∁U B ）∩A ＝{x |94≤x ＜3}；（2）若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，则A ⫋B ， {a ＜12+a 2≥3，解得a ≤﹣1，故a 的取值范围为{a |a ≤﹣1}．19．（12分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 3﹣3x +2． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）①用定义证明函数f （x ）在（0，1）上是单调递减函数； ②判断函数f （x ）在[1，+∞）上的单调性，请直接写出结果；（3）根据你对该函数的理解，在坐标系中直接作出函数f （x ）（x ∈R ）的图象．解：（1）因为当x＞0时，f（x）＝x3﹣3x+2，所以当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）3﹣3（﹣x）+2＝﹣x3+3x+2，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝x3﹣3x﹣2，且f（0）＝0，所以f(x)={x2−3x+2，x＞0 0，x=0 x2−3x−2，x＜0；（2）①设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)=x13−3x1+2，f(x2)=x23−3x2+2，所以f(x1)−f(x2)=(x13−3x1+2)−(x23−3x2+2)=(x1−x2)(x12+x1x2+x22−3)，因为0＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，且0＜x12＜1，0＜x1x2＜1，0＜x22＜1，则x12+x1x2+x22−3＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，1）上是单调递减函数；②f（x）在[1，+∞）上单调递增，理由如下：当x1＞x2≥1时，x1﹣x2＞0，x12+x1x2+x22−3＞0，则f（x1）＞f（x2），所以f（x）在[1，+∞）上单调递增；（3）由（2）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）在（﹣1，0）上单调第减，在（﹣∞，﹣1]上单调递增，且f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，所以f（x）的图象如图：20．（12分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系；W(x)={5(x 2+3)，0≤x ≤250x 1+x，2＜x ≤5，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）30x 元．已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为f （x ）（单位：元）（1）求f （x ）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？解：（1）依题意，当0≤x ≤2时，f （x ）＝20W （x ）﹣30x ﹣10x＝20×5（x 2+3）﹣40x ＝100x 2﹣40x +300，当2＜x ≤5时，f （x ）＝20W （x ）﹣30x ﹣10x=20×50x 1+x −40x =1000x x+1−40x =1000−1000x+1−40x ，所以f(x)={100x 2−40x +300，0≤x ≤21000−1000x+1−40x ，2＜x ≤5； （2）当0≤x ≤2时，f(x)=100x 2−40x +300=100(x −15)2+296，此时由二次函数的性质可知f （x ）max ＝f （2）＝100×4﹣40×2+300＝620，当2＜x ≤5时，f(x)=1000−1000x+1−40x =1040−1000x+1−40(x +1) ≤1040−2√1000x+1×40(x +1)=640，当且仅当1000x+1=40(x +1)，即x ＝4时，等号成立，综上，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润为640元．21．（12分）已知函数f(x)=√x +√2−x ，g(x)=√x(2−x)．（1）求函数f （x ）的定义域和值域；（2）若a 为非零实数，设函数h （x ）＝f （x ）+ag （x ）的最大值为m （a ）． ①求m （a ）；②确定满足m(a)=m(1a )的实数a ，直接写出所有a 的值组成的集合．解：（1）因为f(x)=√x +√2−x ，所以{x ≥02−x ≥0，则x ∈[0，2]， 又f 2(x)=(√x +√2−x)2=x +2−x +2√x(2−x)=2+2√−(x −1)2+1， 当x ∈[0，2]时，﹣（x ﹣1）2+1∈[0，1]，所以f 2（x ）∈[2，4]，又f （x ）≥0，所以f(x)∈[√2，2]．（2）①依题意，得ℎ(x)=√x +√2−x +a √x(2−x)，令t =√x +√2−x ∈[√2，2]，则t 2=2+2√x(2−x)⇒√x(2−x)=t 2−22， 令F(t)=t +a ⋅t 2−22=a 2t 2+t −a ，t ∈[√2，2]．当a ＞0时，此时二次函数对称轴t =−1a ＜0＜√2，开口向上，则F （t ）max ＝F （2）＝2+a ， 当a ＜0时，此时对称轴t =−1a ＞0，当−1a ≥2，即−12≤a ＜0时，开口向下，则F （t ）max ＝F （2）＝2+a ； 当√2＜−1a ＜2，即−√22＜a ＜−12，对称轴t =−1a ，开口向下， 则F(t)max =F(−1a )=−a −12a ，当−1a ≤√2，即a ≤−√22时，开口向下，F(t)max =F(√2)=√2； 综上，m （a ）={ 2+a ，a ≥−12且a ≠0−a −12a ，−√22＜a ＜−12√2，a ≤−√22． ②当a ＞0时，1a ＞0，则2+a =2+1a ，解得a ＝1或a ＝﹣1（舍去）； 当−12≤a ＜0时，1a ≤−2，则2+a =√2，解得a =√2−2 （舍去）； 当−√22＜a ＜−12时，−2＜1a ＜−√2，则−a −12a =√2，解得a =−√22（舍去）； 当−√2≤a ≤−√22时，−√2≤1a ≤−√22，则m(a)=m(1a )=√2； 当−2＜a ＜−√2时，−√22＜1a ＜−12，则√2=−1a −a 2，解得a =−√2（舍去）；当a ≤﹣2时，−12≤1a ＜0，则√2=2+1a ，解得a =−1−√22（舍去）； 综上，a ＝1或−√2≤a ≤−√22，即a ∈{1}∪[−√2，−√22]． 22．（12分）已知函数f(x)=x −a x +3(a ∈R)．（1）求关于x 的不等式f （2x ）﹣2f （x ﹣2）＞1的解集，（2）若对任意的正实数a ，存在x 0∈[12，1]，使得|f （x 0）|≥m ，求实数m 的取值范围． 解：（1）由f(x)=x −a x +3，可得f （2x ）﹣2f （x ﹣2）＞1等价于2x −a 2x +3−2(x −2−a x−2+3)＞1， 整理得2ax （x ﹣2）（3x +2）＞0，若a ＝0，该不等式无解；若a ＞0，则有2x （x ﹣2）（3x +2）＞0，解得−23＜x ＜0或x ＞2； 若a ＜0，则有2x （x ﹣2）（3x +2）＜0，解得x ＜−23或0＜x ＜2； 综上，若a ＝0，该不等式解集为∅；若a ＞0，该不等式解集为（−23，0）∪（2，+∞）；若a ＜0，该不等式解集为（−∞，−23）∪（0，2）；（2）因为对任意的正实数a ，存在x 0∈[12，1]，使得|f （x 0）|≥m ， 所以|f （x 0）|max ≥m ，当a ＞0时，f(x)=x −a x +3在[12，1]上单调递增， 所以72−2a =f(12)≤f(x)≤f(1)=4−a ， 所以|f （x 0）|max ＝max {|f （12）|，|f （1）|}， 当|f （12）|＝|f （1）|，即|72−2a|=|4−a|，由a ＞0，解得a =52， 当0＜a ≤52时，|f （12）|≤|f （1）|， 此时|f （x 0）|max ＝|f （1）|＝|4﹣a |≥m ，所以m ≤32；当a ＞52时，|f （12）|＞|f （1）|， 此时|f(x 0)|max =|f(12)|=|72−2a|≥m ，所以m ≤32；综上，实数m 的取值范围是（﹣∞，32]．。

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合}2,1,0{=M ,}023{2≤+-=x x x N ,则=⋂N M ( ) A.}1{ B.}2{ C.}1,0{ D.}2,1{2.函数23-+=x x y 的对称中心是 （ ） A.)3,2( B. )1,2( C. )1,2(- D.)3,2(-3.已知函数⎩⎨⎧≤>=0,3;0,log )(2x x x x f x ，则))41((f f 的值是 （ ）A.9B.-9C.91 D.91- 4.已知函数⎩⎨⎧>+≤-=1,log 1;1,12)(2x x x x f x ，则函数)(x f 的零点为 （ ）A.0,21 B.0,2- C.21D.0 5.函数)4(log )(231x x f -=的单调递减区间是 （ ）A.)0,2(-B.)2,0(C.)2,(--∞D.),2(+∞6.已知)(x f ，)(x g 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，且3)()(2+-=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f （ ）A.5B.-5C.3D.-3 7.已知213=a ，21log 3=b ，21log 31=c ，则 （ ） A.c b a >> B.b c a >> C.b a c >> D.a b c >>8.已知函数⎩⎨⎧>≤=,0),(,0),()(21x x f x x f x f 下列命题中正确的是 （ ）A.若)(1x f 是增函数，)(2x f 是减函数，则函数)(x f 存在最大值B.若)(x f 存在最大值，则)(1x f 是增函数，)(2x f 是减函数C.若)(1x f 、)(2x f 是减函数，则函数)(x f 是减函数D.若函数)(x f 是减函数，则)(1x f 、)(2x f 是减函数9.若函数a x x x f -++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为 （ ）A. 4或-8B.-5或-8C. 1或-5D.1或4 10.若函数1)(2++=mx mx xx f 的值域为R ,则m 的取值范围是 （ ） A. )4,0[ B.)0,(-∞ C. ]0,(-∞ D.),4[]0,(+∞⋃-∞二．填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。

江苏省常州市2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·江西模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）设，则f[f（0）]=（）A . 1B . 0C . 2D . -13. （2分） (2018高一上·长安月考) 已知f(x)＝则f(x)为（）A . 奇函数B . 偶函数C . 既是奇函数也是偶函数D . 非奇非偶函数4. （2分）(2017·武汉模拟) 已知集合A={1，3， }，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A . 0或B . 0或3C . 1或D . 1或35. （2分）函数的定义域是（）A . (1,2)B .C .D .6. （2分）若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中（）A . 只有一个小于1B . 至少有一个小于1C . 都小于1D . 可能都大于17. （2分） (2016高一上·南充期中) 若f（x）=x2+a，则下列判断正确的是（）A . f（）=B . f（）≤C . f（）≥D . f（）＞8. （2分） (2019高一上·应县期中) 设f（x）＝，则f（5）的值为（）A . 16B . 18C . 21D . 249. （2分）(2017·辽宁模拟) 某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A 出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ=∠AOP（＞0），练车时间为t，则函数θ=f （t）的图象大致为（）A .B .C .D .10. （2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点（）,则log2f(2)的值为（）A .B . -C . 2D . -211. （2分）设a＞0，且a≠1，函数y=2+loga（x+2）的图象恒过定点P，则P点的坐标是（）A . （﹣1，2）B . （2，﹣1）C . （3，﹣2）D . （3，2）12. （2分）(2017·太原模拟) 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1 ，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·杭州期中) 已知幂函数的图象过点，则的单调减区间为________．14. （1分）函数g（x）是函数f（x）=loga（x﹣2）（a＞0，且a≠1）的反函数，则函数g（x）的图象过定点________15. （1分） (2019高一上·鄞州期中) 若，，则 ________（用含a、b 的式子表示）；若，则 ________（用含c的式子表示）．16. （1分）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2 ， g（x）= ；②f（x）10﹣x+2，g（x）= ；③f（x）= ，g（x）= ；④f（x）= ，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是________．三、解答题 (共6题；共57分)17. （10分） (2016高一上·银川期中) 已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：∁R（A∩B），（∁RB）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值集合．18. （2分）已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围．（1）零点均大于；（2）一个零点大于，一个零点小于；（3）一个零点在内，另一个零点在内．19. （15分） (2018高一上·台州月考) 已知函数是定义在上的偶函数，已知当时，.（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间；（3）求在区间上的值域.20. （5分） (2017高二下·三台期中) 某单位决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p；（2）在材料费的控制下简易房面积S的最大值是多少？并指出前面墙的长度x应为多少米时S最大．21. （15分） (2019高一上·荆州期中) 已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若，对任意有恒成立，求实数取值范围；（3）设 ,若，问是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22. （10分）(2020·定远模拟) 已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共57分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

江苏省常州市高级中学2019-2020学年高三上学期期中数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}2,4A =，{}1,2B =，则集合A B =________.2．已知复数z =(i 为虚数单位)则z z ⋅=________. 3．已知袋中装有大小相同､质地均匀的2个红球和两个白球，从中一次摸出2个球，恰好有1个是红球的概率是________.4．命题：“0x ∀<，2230x x -+≤”的否定是________.5．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则10a =________. 6．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，有下列命题： ①若n αβ=，//m α，//m β，则//n m .②m α⊥，n β⊥，则//αβ ③//m α，n m ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，n m ⊥，则//n α 其中下列命题正确的序号是________.7．已知数列{}n a ，)*n a n N =∈，则在数列{}n a 的前50项中最大项是第________项.8．已知1a =，1=b ，()3,1a b =+，则a b +与a b -的夹角是________.9．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=，则实数0x 的取值范围为________.10．已知正数,x y 满足45x y xy ++=，则x y +的最小值是_____________. 11．已知函数()2f x x =，()1g x a x =-，a 为常数，若对于任意1x ，[]20,2x ∈，且12x x <，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-则实数a 的取值范围为________.12．若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 65x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 212x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 13．已知实数x ，y 满足12x >，12y >，且2445ln 521x x y y x -++-=-，则x y +=________.14．若函数()ln 3f x a x ax =-+在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图像上存在两点，使得在该点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围为________.二、解答题15．如图，在ABC 中，3B π=,BC =，点D 边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E 为垂足，（1）若BCD CD 的长；（2）若4DE =，求角A 的大小. 16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）如果点E 是11B C 的中点，求证：1//AE 平面1ADC .17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:14x E y +=的左顶点为A ，下顶点为B ，（1）求圆心在y 轴上且过点A ，B 的圆的方程；（2）过点A 作直线l 交椭圆E 于点P ，交y 轴正半轴于点C ，若OAP △与OCP △的面积相等，求直线l 斜率k .18．一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.5立方米，为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍，保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元，为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用和保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元. （1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用和保险费用之和； （2）为使气体费用和保险费用之和最低，保护罩该如何设计？ 19．已知0a ≠，函数()()222ln f x a x x =-+（1）若函数()f x 在区间[]1,4上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）设函数()()144g x f x a a=-+，[)2,x ∈+∞，且对于任意的2x ≥，有()g x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.20．设数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：1a a =，11b =，13c =，且对于任意*n N ∈，都有12n n n a c b ++=，12n nn a b c ++=， （1）若数列{}n a ，{}n n b c +都是常数列，求a 的值； （2）求数列{}n n c b -的通项公式；（3）设数列{}n a 是公比为a 的等比数列，数列{}n b ，{}n c 的前n 项和分别为n S ，n T ，若n 1n 522S T +-<对于一切正整数n 均成立，求实数a 的取值范围.21．已知矩阵2134M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵M 的逆矩阵； （2）求该矩阵的特征值和特征向量.22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是23x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， （1）求直线l 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 截得的线段长.23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，21AB AF EF ===，点P 在棱DF 上，（1）若点P 为DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成的角的余弦值；（2）若二面角D AP C --的余弦值为3，求PF 的长度. 24．（Ⅰ）设函数22()log (1)log (1)(01)f x x x x x x =+--<<，求()f x 的最小值； （Ⅱ）设正数1232,,,,n p p p p 满足12321n p p p p ++++=，证明121222323222log log log log x n p p p p p p p p n ++++≥-.参考答案1．{1,2,4} 【分析】根据集合的并集的概念可得答案. 【详解】因为{}2,4A =，{}1,2B =， 所以AB ={1,2,4}.故答案为：{1,2,4}. 【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题. 2．17【分析】根据复数的除法运算法则求出27z =+，可得27z =，再根据复数的乘法运算法则可得结果. 【详解】因为z ==223477+==++，所以277z i =-，所以22222431()()())77749497z z ⋅=+-=-=+=. 故答案为：17. 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题. 3．23【分析】根据古典概型的概率公式计算可得结果.所有的摸法共有24C =6种，其中恰好有1个是红球的摸法有12C •12C =4种，故恰好有1个是红球的概率为4263=， 故答案为：23. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.4．20000,230x x x ∃<-+>【分析】全称量词：“∀”改为存在量词：“∃”，“≤”改为“>”，即可得解. 【详解】命题为全称命题，则命题：“∀x ＜0，x 2﹣2x +3≤0”的否定为：20000,230x x x ∃<-+>， 故答案为：20000,230x x x ∃<-+>.【点睛】本题考查了写全称命题的否定，属于基础题. 5．20 【分析】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，列方程组求出12a =，2d =，由此能求出10a ． 【详解】 解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，∴11111011132221330a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得12a =，2d =， 101921820a a d ∴=+=+=．故答案为：20．本题考查等差数列的通项公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 6．① 【分析】根据空间线面平行和面面平行垂直的位置关系分别进行判断即可． 【详解】解：①若α∩β＝n ，m ∥α，m ∥β，则存在直线1l α⊂，使得1//l m ，直线2l β⊂，使得2//l m ，所以12//l l ，又n αβ=，所以1//l n ，所以//m n ，故①正确，②若m ⊥α，n ⊥β，则α与β位置关系不确定．故②为假命题 ③若m ∥α，n ⊥m ，n ∥β，则α与β位置关系不确定，故③不正确， ④若m ⊥α，n ⊥m ，则α∥n 或n ⊂α，故④错误． 故正确的是①， 故答案为：① 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线，平面平行和垂直的位置关系的判断，考查学生的推理能力． 7．10 【分析】由题意利用数列的单调性，得出结论． 【详解】解：已知数列{}n a 中，1n a ==，故当n <1n a <，且单调递减，当n >1n a >，且单调递减， 故{}n a 的前50项中最大项是第10项， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题． 8．2π 【分析】根据条件容易求出()()0a b a b +⋅-=，从而可得出()()a b a b +⊥-，进而便可得出a b +与a b -的夹角． 【详解】解：∵11a b ==， ∴()()22110a b a b a b +⋅-=-=-=， ∴()()a b a b +⊥-， ∴a b +与a b -的夹角为2π． 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题． 9．0x ≤≤【分析】设(0,1)P ，则直线MP 为圆O 的切线，将问题转化为30OMP ∠≥可求得结果. 【详解】设(0,1)P ，则直线MP 为圆O 的切线，所以在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，等价于30OMP ∠≥， 所以1sin sin 302OMP ∠≥=， 所以||1||2OP OM ≥12≥，解得0x≤≤故答案为：0x ≤≤【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了圆的切线，属于基础题. 10．11. 【解析】试题分析：由45x y xy ++=得54x y x +=-，因为,x y 都为正数，所以4x >，这样5(4)944x x x y x x x x +-++=+=+--991(4)55651144x x x x =++=-++≥=+=-- 当且仅当944x x -=-，即7,4x y ==时，x y +取最小值11. 考点：均值不等式求最值. 11．[0，2] 【分析】构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），利用F （x ）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可，当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x ＝12a≤，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x ＝02a-≤，即a ≥0，故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2] 【点睛】考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法，属于中档题．12 【分析】根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及3sin 65x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2<求出4cos()65x π+=，根据二倍角的正弦、余弦公式求出24sin 2()625x π⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，7cos 2()625x π⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，根据sin(2)sin 2()1264x x πππ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦及两角差的正弦公式可得结果. 【详解】 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当2(,)633x πππ+∈时，sin (62x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 65x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2<，所以,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以4cos()65x π+==， 所以3424sin 2()2sin()cos()26665525x x x πππ⎡⎤+=++=⨯⨯=⎢⎥⎣⎦， 2167cos 2()2cos ()121662525x x ππ⎡⎤+=+-=⨯-=⎢⎥⎣⎦，所以sin(2)sin 2()1264x x πππ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦sin 2()cos cos 2()sin 6464x x ππππ⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦247252252=⨯-⨯50=..【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式，考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了两角差的正弦公式，拆角：22()1264x x πππ+=+-是解题关键.属于中档题. 13．52【分析】利用基本不等式及利用导数研究函数的单调性及最值，从而得解； 【详解】 解：因为12x >，所以()()222144454214212121x xx x x x x -+-+==-+≥=---，当且仅当()42121x x -=-即32x =时取等号； 当0x >时，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=，令()0g x '>，解得01x <<，令()0g x '<，解得1x >，即函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤恒成立，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取等号，即ln 1y y ≤-，当且仅当1y =时取等号，所以2445ln 521x x y y x -++-≥-，当且仅当32x =，1y =时取等号，所以1y =，32x =所以52x y += 故答案为：52【点睛】本题考查基本不等式及导数的应用，属于中档题. 14．22(,)(,)33+∞-∞-【分析】先求导数，再根据导数几何意义列方程，根据取值范围得结果. 【详解】()()ln 3a f x a x ax f x a x'=-+∴=- 设存在两点()112212,,(,),()A x y B x y x x <满足在该点处的切线相互垂直， 则21212111()()1(1)(1)0a a a a x x x x a--=-∴--=-< 因为121,,44x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()121,1,1,44x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭从而121131(0,3),1(,0)4x x -∈-∈- 2212111942(1)(1)(0,)493a a a x x ∴=--∈∴>∴>或23a <- 故答案为：22(,)(,)33+∞-∞-【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究存在性问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 15．（1）32，（2）4A π=.【分析】（1）根据BCD的面积为8，可求得BD 2=，在△BCD 中，由余弦定理可求得CD 的长；（2）在△ABC 中，由正弦定理以及AC ＝2AE 得AE •sin A 34=，再根据DEAE=tan A sin cos A A =，可得解. 【详解】（1）由已知得S △BCD 12=BC ×BD ×sinB =，又BC =sinB =BD= 在△BCD 中，由余弦定理得CD32===， 所以CD 的长为32．（2）在△ABC中，由正弦定理得sin A =，又由已知得，E 为AC 中点，可得AC ＝2AE ，所以AE •sin A 34=， 又DEAE=tan A sin cos A A =，所以AE •sin A ＝DE •cos A，即344=cos A ， 得cosA 2=， 可得A 4π=．【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理、三角形的面积公式，属于中档题. 16．（1）证明见解析． （2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，关键证明线线垂直.已知1,AD C D ⊥，所以还需再找一组线线垂直. 11,,,CC ABC AD ABC CC AD ⊥⊂∴⊥面面∴AD ⊥平面11BCC B .（2）证明线面平行，关键证明线线平行.本题有中点条件，所以从中位线寻找平行条件. 因为AD ⊥平面11BCC B ，所以.AD BC ⊥从而D 是BC 中点.连接1,//.DE DE AA ===则1.A ADE ∴四边形是平行四边形∴1A E //111,,AD ADC A E ADC ⊂∉面面∴1A E //平面1ADC .证：（1）11,,,CC ABC AD ABC CC AD ⊥⊂∴⊥面面1,AD C D ⊥又111,CC C D C ⋂=∴AD ⊥平面11BCC B . 7分(2) 因为AD ⊥平面11BCC B ，所以.AD BC ⊥从而D 是BC 中点.连接1,//.DE DE AA ===则1.A ADE ∴四边形是平行四边形∴1A E //111,,AD ADC A E ADC ⊂∉面面∴1A E //平面1ADC . 14分考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理 17．（1）22325()24x y +-=；（2）k = 【分析】（1）先求A ，B 坐标，再根据待定系数法求圆的方程；（2）先设直线l 点斜式方程，求出点P 、C 坐标，再根据三角形面积相等列等量关系，解得结果. 【详解】（1）因为椭圆22:14x E y +=的左顶点为A ，下顶点为B ，所以(2,0)A -，(0,1)B -；设圆的方程为222()x y m r +-=，则2222234225(1)4m m r m r r ⎧=⎪⎧+=⎪∴⎨⎨--=⎩⎪=⎪⎩，即22325()24x y +-= （2）设直线l 方程：(2)y k x =+，所以(0,2)C k由2214(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(14)161640k x k x k +++-= 所以222221642840,(2),141414P P P k k kx x y k k k--∆≥-=∴==+++ 因为OAP △与OCP △的面积相等，所以2222141283||2|2|||,,2142144k k k k k k k -⨯⨯=⨯⨯∴==±++0∆≥. 【点睛】本题考查圆方程、直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 18．（1）23055元；（2）保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱【分析】（1）根据定义先求保险费用，再计算正四棱柱体积，进而求气体费用，最后求和得结果； （2）先列出气体费用和保险费用之和函数关系式，再利用导数求最值，即得结果. 【详解】 （1）保险费用为24800076802.5= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=（元）； （2）设正四棱柱底面边长为a 米，则 1.2a ≥ 因此气体费用和保险费用之和23224800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a=+⨯⨯-=+- 因为2396000300002y a a a '=-+=∴= 当2a >时，0y '>，当1.22a ≤<时，0y '<， 因此当2a =时，y 取最小值，保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱时，气体费用和保险费用之和最低. 【点睛】本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．（1）{a |18-≤a ＜0或0＜a ≤1}，（2）0＜a 12e ≤ 【分析】（1）求导后，转化为在[1，4]上()'f x ≥0恒成立，即2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立；再分类讨论求函数φ（x ）＝2ax 2﹣4ax +2在[1，4]上的最小值即可得解； （2）转化为h （x ）＝a （x ﹣2）2+2ln x ﹣4a 14a+-x 在[2，+∞）上恒成立，再利用导数求得最小值可得结果. 【详解】（1）∵f （x ）＝ax 2﹣4ax +4a +2ln x ，∴()'f x ＝2ax ﹣4a 22242ax ax x x-++=；又∵f （x ）在[1，4]上是增函数，∴在[1，4]上()'f x ≥0恒成立，即2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立；令φ（x ）＝2ax 2﹣4ax +2，则φ（x ）＝2a （x ﹣1）2﹣2a +2，当a ＞0时，要使2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立，只需φ（1）≥0，即﹣2a +2≥0，解得a ≤1，∴0＜a ≤1；当a ＜0时，要使2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立，只需φ（4）≥0，即16a +2≥0，解得a 18≥-，∴18-≤a ＜0； 综上，实数a 的取值范围是{a |18-≤a ＜0或0＜a ≤1}． （2）由题意，使a （x ﹣2）2+2ln x ﹣4a 14a +≥x 在[2，+∞）上恒成立， 令h （x ）＝a （x ﹣2）2+2ln x ﹣4a 14a+-x ，则h （x ）min ≥0在[2，+∞）上恒成立②； ∴h ′（x ）＝2ax ﹣4a 2x +-1，即h ′（x ）()()221x ax x--=； （i ）当a ＜0时，∵x ＞2，∴h ′（x ）≤0，∴h （x ）在[2，+∞）上是减函数，且h （4）＝2ln4﹣414a+＜0， ∴②不成立；（ii ）当0＜a 14＜时，212a ＜，此时当x ∈[2，12a ]时，h '（x ）＜0，当x ∈[12a，+∞）时，h '（x ）＞0，∴h （x ）在[2，12a ]上是减函数，在[12a ，+∞）上是增函数， ∴h （x ）min ＝h （12a ）＝a （12a -2）2+2ln 12a -4a 1142a a+-=-2﹣2ln2a ， ∴只需﹣2﹣2ln2a ≥0，解得a 12e ≤；∴0＜a 12e ≤时②成立；（iii ）当a 14≥时，212a ≥，此时当x ∈[2，+∞）时，h '（x ）＞0，∴h （x ）在[2，+∞）上是增函数，∴h （x ）min ＝h （2）＝2ln2﹣4a 14a+-2， ∵﹣4a 14a +≤0，2ln 2﹣2＜0，∴h （x ）min ＝h （2）＜0，∴②不成立； 综上，0＜a 12e≤．【点睛】本题考查了由函数的单调性求参数的取值范围，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，考查了函数与方程思想，考查了转化化归思想，属于较难题.20．（1）a ＝2．（2）12(1)2n n n n c b ---=-⋅，（3）1[1,0)03⎛⎤- ⎥⎝⎦， 【分析】（1）根据常数列的定义可知，n a a =，114n n n n b c b c +++=+=，将12n nn a c b ++=，12n nn a b c ++=两式相加可解得结果； （2）将12n n n a c b ++=，12n nn a b c ++=两式相减，可得数列{}n n c b -为等比数列，可得通项公式；（3）设数列{a n }的前n 项和为A n ．根据12n n n a c b ++=可得2S n +1﹣T n ＝2+A n ．则n 1n 522S T +-<可化为12n A <，分类讨论a ，求出n A ，代入12n A <，可解得结果. 【详解】（1）∵数列{a n }和{c n +b n }都是常数列， ∴∀n ∈N *，则a n ＝＝a 1＝a ，c n +1+b n +1＝c n +b n ＝＝c 1+b 1＝4．∵对于任意n ∈N*，都有b n +12n n a c +=，c n +12n na b +=． ∴2（b n +1+c n +1）＝2a +（b n +c n ）， ∴2×4＝2a +4，解得a ＝2． （2）∵对于任意n ∈N*，都有b n +12n n a c +=，c n +12n na b +=． ∴相减可得：c n +1﹣b n +112=-（c n ﹣b n ），c 1﹣b 1＝2． ∴数列{c n ﹣b n }是等比数列，首项为2，公比为12-．∴11212()(1)22n n nn n c b ----=⨯-=-⋅（3）{a n }是公比为a 的等比数列，a 1＝a ≠0．设数列{a n }的前n 项和为A n ． ∴当a ＝1时，A n ＝n ． 当a ≠1时，A n ()11n a a a -=-．由b n +12n na c +=，得2b n +1＝a n +c n ． ∴2（b 2+b 3++b n +1）＝A n +（c 1+c 2++c n ），∴2（S n +1﹣1）＝A n +T n ． ∴2S n +1﹣T n ＝2+A n ．∵2S n +1﹣T n 52＜对一切正整数n 均成立， ∴2+A n 52＜，即A n 12＜对一切正整数n 均成立，．当a ＝1时，可得：n 12＜，不成立，舍去．当a ≠1时，()1112n a a a --＜对一切正整数n 均成立，．当a ＞1时，由(1)1n a a a --12<得3122n a a <-，得31log ()22a n a <-，舍去． 当0＜a ＜1时，由(1)1n a a a --12<得3122n a a >-对一切正整数n 均成立，因为0n a >，所以31022a -≤，解得103a <≤． 当1a <-时，当n 为偶数时，由(1)1na a a --12>得()31log 2a a n a -->，即不恒成立，舍去. 当10a -<<时，(1)1012n a a a -<<-，符合；当1a =-时，(1)01n a a a -=-或1-，符合；综上可得：实数a 的取值范围是：1[1,0)03⎛⎤- ⎥⎝⎦，． 【点睛】本题考查了常数列的概念，考查了等比数列的通项公式，考查了分类讨论思想，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了不等式恒成立问题，属于中档题.21．（1）141553255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，（2）矩阵的特征值1λ=对应的特征向量为11-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，特征值5λ=对应的特征向量为13⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 （1）设1d a b Mc -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据11001M M -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦解得a b c d ,,,即可得到结果； （2）根据特征多项式()f λ=2650λλ=-+=可求得特征值，根据特征值可求得特征向量. 【详解】 （1）设1d a b Mc -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则12134a b M Mc d -⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦223434a c b d a c b d ++⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以2120340341a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得45153525a b c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，所以141553255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）矩阵M 的特征多项式为21()34f λλλ--⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦2(2)(4)365λλλλ=---=-+，令()0f λ=，得1λ=或5λ=， 所以矩阵的特征值为1和5，当1λ=时，对应的特征向量12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦应满足12110330x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以120x x --=，即12x x =-，所以特征向量为11-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当5λ=时，对应的特征向量12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦应满足12310310x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1230x x -=，即123x x =，所以特征向量为13⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了求矩阵的逆矩阵，考查了根据特征多项式求特征值和特征向量，属于基础题. 22．（1）20x y -+=；（2）3【分析】（1）直接利用直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果；（2）先将曲线C 化为普通方程，联立直线与曲线方程，求得交点坐标，利用两点间距离公式求得结果. 【详解】（1）直线l的极坐标方程可化为(sin coscos sin )44ππρθθ-=即sin cos 2ρθρθ-=又cos ,sin x y ρθρθ==， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=. （2）曲线2:3x t C y t=⎧⎨=⎩ (t 为参数）的普通方程为23y x =， 由2203x y y x-+=⎧⎨=⎩得2320x x --= 1x =或23x =-所以直线l 与曲线C 的交点24(1,3),(,)33A B -所以直线l 与曲线C 的截得的线段长为||3AB ==. 【点睛】本题考查的是参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了两点间距离公式，属于基础题型. 23．（1）15；（2）3【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE 与CP 所成角的余弦值．（2）求出平面APC 的法向量和平面ADF 的法向量，利用向量法能求出PF 的长度． 【详解】解：（1）∵90BAF ∠=︒，∴AF ⊥AB ，又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AF ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝1，P 是DF 的中点， ∴B （1，0，0），E （12，0，1），C （1，2，0），P （0，1，12）， BE =（﹣12，0，1），CP =（﹣1，﹣1，12）， 设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，则cosθ155BE CP BE CP⋅===⋅， ∴异面直线BE 与CP ． （2）A （0，0，0），C （1，2，0），F （0，0，1），D （0，2，0），设P （a ，b ，c ），FP FD λ=，0≤λ≤1，即（a ，b ，c ﹣1）＝λ（0，2，﹣1）， 解得a ＝0，b ＝2λ，c ＝1﹣λ，∴P （0，2λ，1﹣λ）， AP =（0，2λ，1﹣λ），AC =（1，2，0）， 设平面APC 的法向量n =（x ，y ，z ）， 则()21020n AP y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩，取x ＝1，得n =（1，12-，1λλ-），平面ADF 的法向量m =（1，0，0）， ∵二面角D ﹣AP ﹣C∴cos 11m n m n m n⋅<>===⋅+，，解得13λ=，∴220,,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴PF 的长度3PF ==．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．24．（Ⅰ）()f x 最小值为-1；（II ）证明见详解 【分析】（Ⅰ）对()f x 求导，令()0f x '=，可得函数的最小值； （II ）用数学归纳法证明可得答案. 【详解】（Ⅰ）解：对函数()f x 求导数：()()()''22(log )[1log 1]f x x x x x =+--' ()2211log log 1ln2ln2x x =--+- ()22log log 1x x =--于是102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝， 当12x <时，()()22log log 10f x x x =--<'，()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭是减函数， 当12x >时，()()22log log 10f x x x =-->'，()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭是增函数， 所以()f x 在12x =时取得最小值，112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， （II ）用数学归纳法证明(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立 (ⅱ)假设当n=k 时命题成立 即若正数1232,,,,k p p p p 满足12321k p p p p +++⋯+=，则121222323222log log log log k x p p p p p p p p k ++++≥-当n=k+1时，若正数()2log x k x x ≥-+满足112321k p p p p +++++=，令1232k x p p p p =++++，122122,,,k k p p pq q q x x x==⋯⋯=， 则1232,,,,,k q q q q 为正数，且12321k q q q q ++++=，由归纳假定知*121222323222log log log log x q q q q q q q q k ++++≥-112222*********log log log k k k k k k p p p p p p +++++++++()2*1212223232222log log log log log x q q q q q q q q x =+++++2()log x k x x ≥-+ ① 同理，由1212221k k k p p p x -+++++=-，可得k 2221212222log log k k k p p p p ++++++12+122log k p p ++2(1)()(1)log (1)x k x x ≥--+-- ②综合①、②两式k+1k 1121222323222log log log log p p p p p p p p +++++22()log (1)()(1)log (1)x k x x x k x x ≥-++--+-- 22()log (1)log (1)k x x x x =-++-- 1(1)k k ≥--=-+ 即当n=k+1时命题也成立根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n 命题成立. 【点睛】本题主要考察函数的导数求最值，导数的综合运用，及利用数学归纳法证明不等式，综合性大.。

2019-2020学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,4,6}A =，{2,6,7}B =，A B 的子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】先求出集合,A B 的交集,进而可求得交集的个数. 【详解】 由题意,{2,6}A B =,故A B 的子集个数为224=.故选:C. 【点睛】集合A 有n 个元素,则它的子集有2n 个.2．函数lg(3)y x =-的定义域为（ ）A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(3,)+∞D ．[1,)+∞【答案】B【解析】结合对数与根号的性质,列出不等式求解即可. 【详解】由题意可得,1030x x -≥⎧⎨->⎩,解得13x ≤<. 故选:B. 【点睛】求函数定义域要注意: ①分母不为零;②偶次根式的被开方数非负; ③对数的真数部分大于零;④指数与对数的底数大于零且不等于1; ⑤函数tan y x =中ππ,2x k k ≠+∈Z⑥0x 中0x ≠.3．已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，则[](3)f g =（ ）A ．4B ．1C ．3D ．9【答案】A【解析】由表中数据可求得()3g 的值,进而可求得[](3)f g 的值. 【详解】由题意,()31g =,则[](3)(1)4f g f ==. 故选:A. 【点睛】本题考查求函数的值,利用表格中数据是解决本题的关键,属于基础题. 4．己知函数1()1x f x a +=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，则A 的坐标为（ ）A ．(0,1)B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(0,2)【答案】C【解析】由01a =,将1x =-代入函数表达式,可求出答案. 【详解】由函数xy a =（0a >,且1a ≠）的图象恒过定点()0,1,对函数()f x ,令1x =-,可得11(1)12f a-+-=+=, 故函数()f x 的图象恒过定点(1,2)-.本题考查了函数恒过定点,利用指数函数过定点是解决本题的关键,属于基础题. 5．函数()24x f x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】B【解析】由题易得(1)(2)0f f ⋅<,结合函数零点存在性定理可得到答案. 【详解】 由题意知,0(0)20430f =+-=-<,1(1)21410f =+-=-<,2(2)22420f =+-=>,3(3)23470f =+-=>,4(4)244160f =+-=>,因为(1)(2)0f f ⋅<,所以(1,2)是函数()f x 的零点所在的一个区间. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题. 6．函数lg |1|y x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先求出函数的定义域,可排除A,C,再由1x =时,0y <,可排除B,从而选出答案. 【详解】函数lg |1|y x =-+的定义域为{}1x x ≠-,可排除A,C; 当1x =时,lg 20y =-<,显然只有D 符合题意.本题考查了函数的图象,掌握对数函数的图象性质是解决本题的关键,属于基础题.7．若幂函数()y f x =的图象经过点P ⎛ ⎝⎭，则(9)f =（ ）A ．9B ．19C ．3D ．13【答案】D【解析】设出幂函数的解析式,将点P ⎛ ⎝⎭代入,可求得()f x 的解析式,进而可求得(9)f .【详解】由题意,设()f x x α=,则3(3)f α==,解得12α=-.所以12()f x x -=,121(9)93f -==. 故选:D. 【点睛】本题考查了幂函数的解析式,考查了求函数的值,属于基础题.8．已知 2.513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 3b =，132c =，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b <<【答案】A【解析】利用指数函数与对数函数的单调性,可比较出,,a b c 的大小. 【详解】由指数函数的单调性可得, 2.511331a ⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=,103221c =>=,即01a <<,1c >, 由对数函数的单调性可得,1122log 31log 0b =<=,即0b <,所以b a c <<. 故选:A. 【点睛】本题考查几个数的大小比较,利用指数函数与对数函数的单调性是解决本题的关键,属于9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21x f x =-，则12log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1516B ．1516-C ．15-D ．15【答案】C【解析】由()12log 164f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,结合函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,可得()()44f f -=-,求出()4f 即可求得答案.【详解】由题意,()12log 164f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()44f f -=-,当0x >时，()21xf x =-，则()442115f =-=,故()12log 16415f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查对数式的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题. 10．“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t 秒时弓箭距离地面的高度为x 米，可由25x at t =-确定，已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为（ ） A ．135米 B ．160米C ．175米D ．180米【答案】D【解析】将3t =,135x =,代入25x at t =-,可求得a 的值,进而结合二次函数的性质,可求得x 的最大值. 【详解】由题意,当3t =时,135x =,代入25x at t =-,可得135359a =-⨯,解得60a =,则()2260556180x t t t =--+=-,当6t =时,x 取得最大值180.故选:D. 【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用,利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键,属于基础题.11．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意x ∈R ，都满足()()f x f x -=，且对于任意的,(,0]a b ∈-∞，当a b ¹时，都有()()0f a f b a b-<-，若(2)(lg )f f x -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ．1,100⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,(100,)100⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,100100⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,(100,)100⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得,函数()f x 是定义在R 上的偶函数,在(,0]-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,结合(2)(lg )f f x -<,可得lg 2x >,求解即可.【详解】由题意,函数()f x 对于任意的,(,0]a b ∈-∞，当a b ¹时，都有()()0f a f b a b-<-,则函数()f x 在(,0]-∞上单调递减,又()f x 的定义域为R ,且满足()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数,故函数()f x 在()0,∞+上单调递增.由(2)(lg )f f x -<,可得lg 2x >,即lg 2x >或者lg 2x <-,解得100x >或10100x <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.12．已知函数()y f x =，()y g x =，两者的定义域都是I ，若对于任意x I ∈，存在0x ，使得()0()f x f x ≥，()0()g x g x ≥，且()()00f x g x =，则称()f x ，()g x 为“兄弟函数”，已知函数2()2(,)f x x px q p q =++∈R ，24()x x g x x-+=是定义在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“兄弟函数”那么函数()f x 在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ） A 3B 34C 52D 13【解析】结合“兄弟函数”的定义,可求得()g x 在2x =时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得()f x 的解析式,进而可求得()f x 在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】由题意,244()1x x g x x x x-+==+-,易知()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在(]2,3上单调递增,则()g x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为4(2)2132g =+-=.所以()f x 在2x =时取得最小值3.故函数()f x 满足222(2)443pf p q -⎧=⎪⎨⎪=++=⎩,解得27p q =-⎧⎨=⎩, 则22()47(2)3f x x x x =+=-+-, 故当13x =时,()f x 取得最大值为21152()(2)3339f =-+=. 故选:C. 【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.二、填空题13．若集合[2,1]A =-，{|0}B x x m =+≥，且A B ⊆，则实数m 的取值范围为__________. 【答案】[2,)+∞.【解析】先求得集合B ,再由A B ⊆可列出不等式,进而可求得答案. 【详解】由题可知,[),B m =-+∞,因为[2,1]A =-,A B ⊆,所以2m -≥-,即2m ≥. 故答案为:[2,)+∞.本题考查了集合的包含关系的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.14．已知函数()f x 在R 上为偶函数，且0x ≥时，3()2f x x x =-+，则当0x <时，()f x =________.【答案】32x x -++【解析】当0x <时,0x ->,可求得()f x -的表达式,再由()f x 在R 上为偶函数,可得()()f x f x -=,从而可求出0x <时,()f x 的表达式.【详解】当0x <时,0x ->,则3()2f x x x -=-++,又函数()f x 在R 上为偶函数,则3()()2f x f x x x -==-++,故当0x <时,3()2f x x x -+=+. 故答案为:32x x -++. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法,利用函数的奇偶性是解决本题的关键,属于基础题. 15．已知函数2()24f x ax x =+-在(,1)x ∈-∞上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[1,0]-【解析】结合a 是否等于0进行分类讨论,再结合一次函数与二次函数的性质可求得答案. 【详解】当0a =时,()24f x x =-是R 上的增函数,显然符合题意;当0a ≠时,()f x 是二次函数,由函数在(,1)x ∈-∞上是单调递增函数,可得011a a<⎧⎪-⎨≥⎪⎩,解得10a -≤<.综上,实数a 的取值范围是[1,0]-. 故答案为:[1,0]-.本题考查了函数单调性的应用,考查了一次函数与二次函数的性质,属于基础题.16．已知R a ∈，函数2234,0()2,0x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，若对于任意的[4,)x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[0,4]【解析】分0x >和40x -≤≤两种情况分类讨论,结合二次函数的性质可求得a 的范围. 【详解】对于任意的[4,)x ∈-+∞,()||f x x ≤恒成立,当0x >时,2()2f x x x a x =-+-≤,即212a x ≥-, 因为20x >,所以2102x -<,则0a ≥; 当40x -≤≤时,2()34f x x x a x =++-≤-,即244a x x ≤--+, 令2()44h x x x =--+,则()h x 在[4,2]--上单调递增,在(]2,0-上单调递减,()()2(4)44444h -=---⨯-+=,(0)0044h =-+=,故2444x x --+≥,则4a ≤.所以,实数a 的取值范围是[0,4]. 【点睛】本题考查了分段函数的性质,利用参变分离及二次函数的性质是解决本题的关键,属于基础题.三、解答题17．（1）已知2a ≤1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）求值：239log 63log 10(lg 2lg3)log 27-+⋅++. 【答案】（1）7；（2）3.【解析】（1）结合根式的性质及指数幂的运算性质,化简即可; （2）结合对数的运算性质,进行化简即可. 【详解】33(3)3a a +=+,12124-⎛⎫= ⎪⎝⎭,12142327a a -⎛⎫⎪=-+++⎭=⎝.（2）239log 63log 10(lg 2lg3)log 27-+⋅++321log 32363log 10lg6log 3=+⋅+131322=++=.【点睛】本题考查了指数式、对数式的化简求值,考查了学生的计算能力,属于基础题. 18．设U =R ，{|22,0}A x a x a a =-<<+>，{|41}B x x =-≤≤. （1）若2a =，求()U A B ∩ð；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|14}x x <<；（2）6a >【解析】（1）由集合B 可求得U B ð,再由2a =可得到集合A ,然后将集合A 与U B ð取并集即可;（2）由A B A ⋃=可知B A ⊆,进而可得2421a a -<-⎧⎨+>⎩,求解即可. 【详解】（1）由{|41}B x x =-≤≤,则{4U B x x =<-ð或}1x >, 2a =,则{|04}A x x =<<,所以(){|14}U A B x x ⋂=<<ð. （2）由A B A ⋃=,则B A ⊆,可得2421a a -<-⎧⎨+>⎩,解得6a >. 所以实数a 的取值范围是6a >. 【点睛】本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 19．已知函数()121x mf x =--是奇函数.（2）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是单调增函数.【答案】（1）2m =-；（2）见解析【解析】（1）先求出函数的定义域,再由()f x 是奇函数,可得()()f x f x -=-对于定义域内的任意x 恒成立,即112121x x m m --=-+--,从而可求得实数m 的值; （2）利用定义法证明单调性即可,需要注意“作差”、“变形”、“定号”、“下结论”几个步骤.【详解】（1）由题意,210x -≠,解得0x ≠,所以()f x 的定义域为{|0}x x ≠,由()f x 是奇函数,则()()f x f x -=-对于定义域内的任意x 恒成立. 则112121x x m m --=-+--,即221221x x x m m ⋅=-+--, 即()2212x x m m ⋅=+-,则()(2)210x m +-=,因为该式对于定义域中的任意x 都成立,所以2m =-.经检验,2m =-时,()f x 是奇函数.（2）证明:在(0,)+∞内任取12,x x ,且12x x <,21121212222(22)()()112121(21)(21)x x x x x x f x f x -----=--+=----, 120x x <<∴1210x ->,2210x ->,21220x x ->,()()12f x f x ∴<,()f x ∴在(0,)+∞上单调递增.【点睛】本题考查了奇函数的性质的应用,考查了函数单调性的证明,考查了学生的推理能力,属于基础题.20．甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元，甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的75%销售.（1）分别写出在甲、乙两商场购买x 双运动鞋所需费用的函数解析式()f x 和()g x ； （2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？【答案】（1）2**80020,118,N ()440,18,Nx x x x f x x x x ⎧-≤≤∈=⎨>∈⎩，*()600()g x x x =∈N ；（2）见解析【解析】（1）结合甲商场的销售方式,可得118x ≤≤时,去甲商场购买的单价为(80020)x -元,18x >时，去甲商场购买的单价为440元;去乙商场购买单价为80075%600⨯=元,进而可求出()f x 和()g x 的解析式;（2）分18x >和118x ≤≤两种情况,讨论()f x 和()g x 的大小关系,即可求出答案.【详解】（1）由题意,*N x ∈,由80020440x -≥,可得当118x ≤≤时,去甲商场购买运动鞋的单价为(80020)x -元,此时所需费用为2(80020)80020x x x x -=-;当18x >时，去甲商场购买运动鞋的单价为440元,所需费用为440x 元;去乙商场购买运动鞋单价一直为80075%600⨯=元,所需费用为600x 元.则2**80020,118,N ()440,18,Nx x x x f x x x x ⎧-≤≤∈=⎨>∈⎩,*()600()g x x x =∈N . （2）当18x >且*N x ∈时,()()f x g x <成立;当118x ≤≤且*N x ∈时,令2()()800206000f x g x x x x -=-->,解得110x ≤<,令2()()800206000f x g x x x x -=--=,解得10x =,令2()()800206000f x g x x x x -=--<,解得1018x <≤,所以,该单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少.【点睛】本题考查了实际问题,考查了分段函数的性质,考查了不等式的性质,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.21．已知函数()||(1)()f x x a x a =-⋅-∈R .（1）当5a =时，作出函数()f x 的图象；（2）是否存在实数a ，使得函数在区间[3,4]上有最小值8，若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）图象见解析；（2）存在1a =-或7a =满足条件，理由见解析.【解析】（1）将5a =代入,去绝对值,然后做出函数图象即可;（2）分3a ≤,34a <<和4a ≥三种情况,结合二次函数的性质讨论函数在[3,4]上的最小值,令其等于8,可求出答案.【详解】（1）当5a =时,(5)(1),5()5(1)(5)(1),5x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨---<⎩, 图象见下图:（2）假设存在实数a ,使得函数()f x 在区间[3,4]上有最小值8,()||(1)f x x a x =--,[3,4]x ∈.①当3a ≤时,2()()(1)(1)f x x a x x a x a =--=-++,函数()f x 的对称轴为12a x +=， 13,2,()2a a f x +≤∴≤∴在[3,4]上单调递增, min ()(3)2(3)8f x f a ∴==-=,解得1a =-,符合题意;②当34a <<时,()08,()f a f x =<∴不可能有最小值8（舍去）;③当4a ≥时,2()()(1)(1)f x a x x x a x a =--=-++-,()f x 是开口向下的二次函数,对称轴为12a x +=, 只需比较132a +-和142a +-的大小, 22221125104914342244a a a a a a +++-+----=-42464a a -==-, 若46a ≤≤,132a +-142a +≤-,此时()f x 在4x =时取得最小值,即min ()(4)3(4)8f x f a ==-=,解得203a =,不符合题意,舍去;若6a >,132a +-142a +>-,此时()f x 在3x =时取得最小值,即min ()(3)2(3)8f x f a ==-=,解得7a =,符合题意.综上,1a =-或7a =.【点睛】本题考查了分段函数和二次函数的性质的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的推理能力,属于难题.22．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[,]m n 内是单调函数；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“优美区间”.（1）求证：[0,2]是函数21()2f x x =的一个“优美区间”. （2）求证：函数6()4g x x=+不存在“优美区间”. （3）已知函数22()1()a a x y h x a x+-==（,0a a ∈≠R ）有“优美区间”[,]m n ，当a 变化时，求出n m -的最大值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论;（2）若函数存在“优美区间”,可得函数()g x 在[,]m n 上单调递减,从而可得()()g m n g n m =⎧⎨=⎩,联立可推出矛盾,即可证明结论;（3）函数()h x 有“优美区间”,结合单调性可得()()h m m h n n=⎧⎨=⎩,联立可求得,m n 的关系,进而可求得n m -的最大值.【详解】 （1）212y x =在区间[0,2]上单调递增, 又(0)0f =,(2)2f =,∴212y x =的值域为[0,2], ∴区间[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”. （2）设[,]m n 是已知函数()g x 的定义域的子集.由0x ≠,可得[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞,∴函数6()4g x x=+在[,]m n 上单调递减. 若[,]m n 是已知函数的“优美区间”,则6464n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式相减得,66n m m n -=-,则6()n m n m mn-=-, 6,6,n m mn n m>∴=∴=, 则664m m+=,显然等式不成立, ∴函数6()4g x x =+不存在“优美区间”. （3）设[,]m n 是已知函数定义域的子集.由0x ≠,则[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞, 而函数222()111a a x a y a x a a x+-+==-在[,]m n 上单调递增. 若[,]m n 是已知函数的“优美区间”,则()()h m m h n n =⎧⎨=⎩, ∴,m n 是方程211a x a a x +-=，即222()10ax a ax -++=的两个同号且不等的实数根. 210mn a=>,∴,m n 同号,只须2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->, 解得1a >或3a <-, n m -===∴当3a =时,nm -. 【点睛】本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.。