江苏省常州高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案

江苏省常州高级中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题说明：1. 以下题目的答案做在答卷纸上.2. 本卷总分160分，考试时间120分钟.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．1.数列中，，则= ▲．2.在△ABC中，已知，则A为▲．3.在函数①,②,③,④中，最小值为2的函数的序号是▲．4.设是等差数列{a n}的前项的和．若，，则的值为▲．5.在中，若，则▲．6.已知数列满足，则的值为▲．7.设正项等比数列{a n}满足．若存在两项a n、a m，使得，则的值为▲．8.在△ABC中，若，，，则△ABC的面积是▲．9.已知数列的通项公式则= ▲．10.在中, ,若该三角形有两解,则的取值范围为▲．11.在△ABC中，已知，则的最小值为▲．12.已知钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为▲．13.已知数列为公比不为1的等比数列，满足对任意正整数都成立，且对任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列，则的值为▲．14.已知则的最大值是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)在等比数列中，，公比，，且是与的等比中项．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，当最大时，求的值．16．(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(1)求角；(2)若，求的值．17．(本小题满分14分)某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．（注：利润销售额成本，其中成本设计费生产成本）18．(本小题满分16分)已知，，.(1)当时，求的最小值；(2)当时，求的最小值.19．(本小题满分16分)设数列的前n项和为，已知，（）．(1)求证：数列为等比数列；(2)若数列满足：，，求数列的通项公式及数列的前n项和．20．(本小题满分16分)已知数列的首项（），其前项和为，设（）．(1)若，，且数列是公差为3的等差数列，求；(2)设数列的前项和为，满足．①求数列的通项公式；② 若对且，不等式恒成立，求a的取值范围．江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数学试卷(附加)命题人：徐惠杰 2018.4 说明：1. 以下题目均为必做题，请将答案写在答卷纸上.2. 本卷总分40分，考试时间30分钟.一、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．1.等比数列中，若对任意正整数都有，则▲ ．2.在△ABC中, ,则的取值范围是▲ ．3.等差数列的前项和为，已知，且数列也为等差数列，则= ▲ ．4.正数满足，则的最小值是▲ ．二、解答题：本大题共16分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．5.在数列中，，，，为常数，．（1）求的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）是否存在正整数（），使得与都为等差数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数学试卷答案1. 2. 3.④ 4. 13 5.6.-37.68.9.10.11. 12.8 13.14.二、解答题15.解：⑴由得.................2分,得因为得, 求得, ...................5分所以 ...........................................7分⑵．...........................................9分因为对任意，，所以是以4为首项，为公差的等差数列．所以．..........................................12分所以最大为． ...................14分16．解：（1）由正弦定理得，中，，所以，................................................3分所以，，，所以；........................6分（2）因为，由正弦定理得，........................8分.............................................................................. .................................12分所以，..................................14分17(1)时，利润．................................................................................ ........3分令得，，从而，即．.................6分（2）当时，由（1）知，所以当时，（万元）． .....................................8分当时，利润．...10分因为（当且仅当即时，取“=”），所以（万元）． .......................................................... 13分综上，当时，（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为万元． .......14分18.（1）当时，，.................3分即，，，，.......................................6分当且仅当时，等号成立。

高一（下）期中考试数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共有10小题，每题5分，共50分）1、已知点A （1，0），B （-1，1），则直线AB 的斜率为（ ）A 、21- B 、21C 、2-D 、22、在△ABC 中，︒=∠==60,3,3A b a ，那么∠B 等于（ ）A 、30°B 、60°C 、30°或150°D 、60°或120°3、直线0632=--y x 在y 轴上的截距为（ ）A 、3B 、-3C 、2D 、-24、已知正方体棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）A 、π2B 、π4C 、π8D 、π165、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,，如果7,5,3===c b a ，那么C cos 的值是（ ）A 、21B 、21-C 、1411D 、14136、在△ABC 中，已知2,30,3=︒==c A b ，则=a Asin （ ）A 、41B 、21C 、1D 、27、在△ABC 中，若C B A 222sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定8、设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题:①若γββα⊥⊥,，则γα∥ ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥③若αα⊂n m ,∥，则n m ∥ ④若n m ==βγαγβα ,,∥，则n m ∥其中正确命题的序号是（ ）A 、①④B 、①②C 、④D 、②③④9、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则异面直线AC 1与BB 1所成角的正弦值为（）A 、322 B 、42C 、31D 、2210、在锐角△ABC 中，c b a ,,分别为角A ，B ，C 所对的边，若A =2B ，则b a 的取值范围为（ ） A 、[)2,1 B 、()2,1 C 、()3,2 D 、]3,2[ 二、填空题（本大题共有6小题，每题5分，共30分）11、若空间两条直线b a ,没有公共点，则b a ,的位置关系是 .12、直线01=+-y x 的倾斜角是 .13、在△ABC 中，若︒=︒==45,60,2B A b ，则=a .14、过点（3，1），且垂直于x 轴的直线方程是 .15、在△ABC 中，1,3,30==︒=AC AB A ，则△ABC 的面积为 .16、如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论:①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D-ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC.其中正确的是 .三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17、（10分）在△ABC 中，（1）已知33,60,1=︒==c A a ，求C ； （2）已知︒===150,2,33B c a ，求b .18、（12分）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程:（1）l的斜率为-1；（2）l与两条坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16.19、（12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AC为底面ABCD的对角线，E为D1D 的中点.（1）求证: D1B∥平面AEC；（2）求证: 平面DD1B⊥平面AEC.20、（12分）在△ABC 中，bc a c b +=+222.（1）求角A 的大小；（2）求C B cos sin 3-的最大值.21、（12分）扬州市广陵区拟建一主题游乐园，该游乐园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动区，其中m AB ABC ACB 612,45,60=︒=∠︒=∠，AD 、CD 为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC =120°，通道AD 、CD 围成三角形区域ADC 为游客休闲中心，供游客休憩.（1）求AC 的长度；（2）记游客通道AD 与CD 的长度和为L ，求L 的最大值.22、（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2.（1）证明: BC⊥平面AMN；（2）求三棱锥N-AMC的体积；（3）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE，若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由.。

2019-2020学年常州高中高一(下)期中数学试卷一、单空题（本大题共18小题，共94.0分）1. 在数列{a n }及{b n }中，a n+1=a n +b n +√a n 2+b n 2，b n+1=a n +b n −√a n 2+b n 2，a 1=1，b 1.设c n =1a n+1b n，则数列{c n }的前2018项和为______2. 如图：已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，过顶点A 1作底面ABC 的垂线，若垂足为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为______ ．3. 若对任意x ∈A ，y ∈B ，(A ⊆R,B ⊆R)有唯一确定的f(x,y)与之对应，则称f(x,y)为关于x 、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x 、y 的广义“距离”； (1)非负性：f(x,y)≥0，当且仅当x =y 时取等号； (2)对称性：f(x,y)=f(y,x)；(3)三角形不等式：f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z 均成立． 今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x 、y 的广义“距离”的序号： ①f(x,y)=|x −y|；②f(x,y)=(x −y)2；③f(x,y)=√x −y ． 能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的序号是______ ．4. 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 4成等比数列，则该等比数列的公比______．5. 钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，c =1，B =π3，则a 的取值范围是______．6. 数列{a n }满足a 1>32，a n+1=a n 2−a n +1，且∑1a i2017i=1=2，则4a 2018−a 1的最大值为______．7. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a12+a 23+a 34+⋯+a n−1n=a n −2(n ≥2)且a 1=2，则{a n }的通项公式为______．8.在△ABC中，a=8，c=6，且S△ABC=12√3，则B=______ ．9.已知数列{a n}，{1a n }的前n项和分别为S n，T n，a1=32，a2=74，S n+1−S n−1=a n2+1(n≥2)，记[x]表示不超过x的最大整数，如[0.8]=0，[2.1]=2，则[T2018]=______．10.在中，内角的对边分别为，若，，则。

一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC == ）A ．32πB ．24πCD ．6π2．(0分)[ID ：12423]已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,AB BC AC ===D ABC -体积的最大值为（ ）A ．2732BCD 3．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --= 4．(0分)[ID ：12407]下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面5．(0分)[ID ：12405]三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π 6．(0分)[ID ：12399]设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7．(0分)[ID ：12375]直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）A ．－3B ．－4C ．－6D ．38．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 9．(0分)[ID ：12345]若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm 10．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 11．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]3,5 C ．[]8,10 D ．[]6,1013．(0分)[ID ：12428]在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．8314．(0分)[ID ：12418]如图，正四面体ABCD 中，,EF 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立 D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立15．(0分)[ID ：12397]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 二、填空题16．(0分)[ID ：12489]若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于点()1,2P -，则a b +=________.17．(0分)[ID ：12458]已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.18．(0分)[ID ：12525]已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.19．(0分)[ID ：12524]已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.20．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.21．(0分)[ID ：12485]三棱锥P ABC -中，5PA PB ==2AC BC ==AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.22．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线； ②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________23．(0分)[ID ：12500]如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.24．(0分)[ID ：12472]已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.25．(0分)[ID ：12450]已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12595]如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，43BC =，BC AC ⊥，3cos 4SCB ∠=-，D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．27．(0分)[ID ：12592]如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为33，求AP PC 的值. 28．(0分)[ID ：12578]在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点． （1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．29．(0分)[ID ：12552]如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.30．(0分)[ID ：12579]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，M ､N 分别是1A B ､11B C 的中点.（1）求证：MN ⊥平面1A BC ；（2）求直线1BC 和平面1A BC 所成角的大小.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案 **科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．D4．C5．A6．B7．A8．D9．B10．D11．D12．D13．C14．C15．B二、填空题16．3【解析】【分析】根据题意先由圆的方程求出圆心为根据直线和圆相切的性质列出方程组求出即得解【详解】根据题意的圆心为：若直线与圆相切于则有故答案为：3【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系考查了学生转化17．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与18．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查19．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键20．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心21．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球22．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方23．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为24．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 所以，该长方体的体对角线长为2226x y z ++=，则其外接球的半径为62R =， 因此，此球的体积为346632ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 2．D解析：D【解析】【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值.【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心.因为4AB BC ==，AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形，故E 为AC 的中点，所以OE ==，设D 到底面ABC 的距离为h ，则h OE R ≤+=所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(114432⨯⨯⨯⨯=. 故选：D.【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定． 3．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.4．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.5．A解析：A【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的对角线，即2R ==246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.6．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO ，即满足2PO ，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO故22220000103634PO x y y y ==+-+ 解得0825y ，0605x 即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO ，从而得到不等式求出参数的取值范围． 7．A解析：A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心坐标为(1,1)-，半径r =又由圆心到直线的距离为d ==所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.9．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.10．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ． 考点：球内接多面体，球的表面积． 11．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B 3 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121, 3.01303PA PB k k ---==-==-- ∵点(1,−2)和3在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθ3tanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项.12．D解析：D【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=， 又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ， 当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得1BC =，可以确定1CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.14．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误；在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．15．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】 解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题16．3【解析】【分析】根据题意先由圆的方程求出圆心为根据直线和圆相切的性质列出方程组求出即得解【详解】根据题意的圆心为：若直线与圆相切于则有故答案为：3【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系考查了学生转化解析：3【解析】【分析】根据题意，先由圆的方程求出圆心为()2,0-，根据直线和圆相切的性质列出方程组，求出,a b ，即得解.【详解】根据题意22410x y x ++-=的圆心为：()2,0-，若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于()1,2P -，则有 2301,2302()1(2)(1)a b a b a b a b -+-=⎧⎪∴==∴+=-⎨⨯-=-⎪---⎩故答案为：3【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.17．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围.【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦, 所以四边形ABCD的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦; 故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.18．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查【分析】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，如图所示作辅助线，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得答案. 【详解】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，90BAC ∠=︒，故O 在平面ABC 的投影为BC 中点1O ，D 为AC 中点，PA PC =，故PD AC ⊥，侧面PAC ⊥底面ABC ，故PD ⊥底面ABC .连接1O D ，作OH PD ⊥于H ，易知1OO DH 为矩形，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，22PD =，12OH DO ==，122CO ，解得342R =. 故答案为：342.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键解析：27310x y -+=【解析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=. 【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.20．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心解析：523π 【解析】【分析】 如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，由O 是CD 的中点得221322232D ABC O ABC V V --==⨯⨯=，解得d =作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心，所以13CO =，所以222133R =+=⎝⎭，所以球O 的表面积为25243R ππ=. 故答案为：523π 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 21．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和．【详解】∵PA PB ==AC BC ==PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，R =，球表面积为2244(7.2S R πππ==⨯= 故答案为：7π．【点睛】 本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．22．①②【解析】【分析】①求出直线l 的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l 的方解析：①②【解析】【分析】①求出直线l 的方向向量，判断它与向量()cos , sin a αα=共线;②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角，即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距，得出两直线不一定平行.【详解】对于①，直线l 的方向向量是()1,tan α，它向量()cos , sin a αα=共线，是真命题； 对于②，当π04α<<时，直线l 的斜率是tan α，倾斜角是α，直线y ＝x 的斜率是1，倾斜角是π4，因此两直线的夹角为π4α-，是真命题; 对于③，直线l 的斜率是tan k α=，在y 轴上的截距是m ，直线sin cos 0x y n αα-+=的斜率tan k α=，且在y 轴上的截距是cos n α，当m ＝cos n α时，两直线重合，不平行，∴假命题.综上，是真命题的序号是①②.故答案为:①②【点睛】本题考查了直线的斜率，倾斜角，方向向量等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为解析：2【解析】【分析】首先求出PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解． 【详解】在POB 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以PB ==，同理PC =PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点， 从而2626OC OE EC +''=+== 亦即CE OE +的最小值为：262， 故答案为262. 【点睛】 本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．24．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可.【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：(()121211416832833V S S S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=. 故答案为：28．【点睛】 本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截 3【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得5r =ABC 中，2AB AC ==，22BC =，222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离22132d r BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故答案为3. 点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC 所在平面截球所得圆（即ABC 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法.三、解答题26．（1）证明见解析；（2）6π. 【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ，证明出OS AC ⊥，OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面SOD ，即可证明出AC SD ⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ，说明直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，求出OSD ∆三边边长，利用余弦定理求出OSD ∠，即可求出直线SD 与平面SAC 所成角的大小．【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ， SAC ∆为等边三角形，O 为AC 的中点，SO AC ∴⊥，D 、O 分别为AB 、AC 的中点，//OD BC ∴，BC AC ⊥，OD AC ∴⊥， SO OD O =，AC ∴⊥平面SOD ，SD ⊂平面SOD ，AC SD ∴⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ，AC ⊥平面SOD ，DH ⊂平面SOD ，DH AC ∴⊥，DH SO ⊥，SO AC O =，DH ∴⊥平面SAC ，所以，直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，由（2）知，1232OD BC ==AC BC ⊥，228AB AC BC ∴+=.SAC ∆是边长为4的等边三角形，4sin3SO π∴==在SBC ∆中，4SC =，BC =由余弦定理得2222cos 88SB SC BC SC BC SCB =+-⋅⋅∠=，SB ∴= 由余弦定理得2221cos 28SA AB SB SAB SA AB +-∠==-⋅， 2222cos 36SD SA AD SA AD SAD ∴=+-⋅⋅∠=，6SD ∴=.在SOD ∆中，由余弦定理得222cos 2SO SD OD OSD SO SD +-∠==⋅. 0OSD π<∠<，6OSD π∴∠=，因此，直线SD 与平面SAC 所成角的大小为6π. 【点睛】 本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的计算，涉及到利用余弦定理解三角形，考查推理能力与计算能力，属于中等题.27．（1）证明见解析；（2）3．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得AP PC ．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ，∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =，∴BC ⊥平面11AA B B ，∵1A B ⊂平面11AA B B ，∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.。

江苏省常州市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 下列各组事件中,不是互斥事件的是（）A . 一个射手进行一次射击,命中环数大于 8 与命中环数小于 6B . 播种菜籽 100 粒,发芽 90 粒与发芽 80 粒C . 检查某种产品,合格率高于 70%与合格率为 70%D . 统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于 90 分与平均分数不高于 120 分2. （2 分） 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查 20000 人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方 图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入[3000,3500) （元）段中抽取了 30 人，则在这 20000 人中共抽取的人数为（ ）A . 200 B . 20000 C . 100 D . 403. （2 分） (2018 高二下·西安期末) 设 为虚数单位，则复数 A. B. C.第1页共8页（）D. 4. （2 分） (2017 高一下·长春期末) 已知 A.B. C.2 D.4,向量 与 的夹角为 ，则等于（ ）5. （2 分） 复数（其中 i 为虚数单位）的虚部等于（ ）A . -iB . -1 C.1 D.0 6. （2 分） 两个不相等的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若 z1 与 z2 在复平面内的对应点 关于虚轴对称，则 a，b，c，d 之间的关系为（ ） A . a＝－c，b＝d B . a＝－c，b＝－dC . a＝c，b＝－d D . a≠c，b≠d 7. （2 分） (2019 高二下·玉林月考) 某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红 4 种颜色 中任意挑选 2 种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是（ ）A.B.第2页共8页C. D. 8. （2 分） 已知非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b|且 3a2=b2,则 a 与 b-a 的夹角为（ ） A. B. C. D. 9. （2 分） 已知△ABC 的面积为 ， b=2,c= ， 则 A=（ ） A . 30° B . 60° C . 30°或 150° D . 60°或 120°10. （2 分） 从点（4，4）射出的光线，沿着向量 射后，反射光线必经过点（ ）=（﹣，﹣）的方向射到 y 轴上，经 y 轴反A . （1，2）B . （2，2）C . （3，1）D . （4，0）二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)11. （1 分） (2016 高一下·周口期末) 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该 运动员在这五场比赛中得分的方差为________．第3页共8页（注：方差，其中 为 x1 ， x2 ， …，xn 的平均数）12. （1 分） 已知非零向量 , 的夹角为 60°，且| - |=1，则| + |的最大值是________13. （1 分） (2016 高二下·大庆期末) 已知平面向量 =________．，且，则14. （1 分） (2017 高二下·温州期中) 记 min与 的夹角为 120°，，则当 min，已知向量满足|2，取得最大值时， =________．15. （1 分） (2018 高二下·顺德期末) 设某弹簧的弹力由平衡位置拉长,则弹力 所做的功为________焦.与伸长量 间的关系为，将该弹簧16. （1 分） (2017·四川模拟) 已知 =（1，0）， =（1，1），（x，y）=时，z=（m＞0，n＞0）的最大值为 2，则 m+n 的最小值为________，若 0≤λ≤1≤μ≤2三、 解答题 (共 4 题；共 40 分)17. （5 分） (2017 高一下·承德期末) 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且满足 asinB= bcosA．（1） 求 A 的大小；（2） 若 a=7，b=5，求△ABC 的面积．18. （10 分） (2019 高一上·宾县月考) 已知函数 （1） 求 的值；的最小正周期为 .（2） 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数在区间上的最小值.的图象，求函数19.（15 分）(2015 高二上·石家庄期末) 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现第4页共8页从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组[20，25），第 2 组[25，30），第 3 组[30，35），第 4 组 [35，40），第 5 组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1） 若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3，4，5 组各抽取多 少名志愿者？（2） 在（1）的条件下，该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一 名志愿者被抽中的概率．20. （10 分） 计算题（1） 已知 tanα=﹣2，计算：（2） 已知 sinα=，求 tan（α+π）+的值．第5页共8页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第6页共8页16-1、三、 解答题 (共 4 题；共 40 分)17-1、17-2、 18-1、18-2、19-1、19-2、第7页共8页20-1、20-2、第8页共8页。

2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，则角为（ ）A ．A ．C ．D ．或2．若向量，，且，则（ ） A ． B ．C ．D ． 3．复数的共轭复数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设两个单位向量，的夹角为，则（ ） A ．CD ．5．已知一条边在x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A ．16B ． 16或64 C. 64 D ．以上都不对6．若实数，，满足，则的值是（ ） A ．2B ．-3C ．D.17．在中，若，则的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8．已知（，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．给出下列结论，则结论正确的为（ ）A ．若向量，，且，则B ．，，与的夹角为，则ABC △222a b c bc =++A 2π3π3π6π32π3(3,2)=a (1,)m =-b ∥a b m =23-233232-()2019i 12i z =--2i -2i +2i --2i -+a b 2π334+=a b 17x y ()()1i 1i 2x y ++-=xy 2-ABC △2cos sin sin B A C ⋅=ABC △221(32)i z m m m =-+-+m ∈R i 1m =-z (1,3)=a (2,)x =b ∥a b 6x =||2=a ||4=b a b 60°|2|+=a bC ．向量，，m.n=0则 D ．已知向量，，则与的夹角为 10．下列命题中，不正确的是（ ） A ．两个复数不能比较大小；B ．若，则当且仅当且时，为纯虚数；C ．，则；D ．若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应．11．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为（ ） A ．3B ．C ．D ．12．对于两个复数，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，，且是实数，则实数等于 ．14．如图，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进后，又从点测得斜度为，假设建筑物高，设山对于平地的斜度，则 ．(,2)x =m (4,2)x =+n 23x =-=a =b a b π6i(,)z a b a b =+∈R 0a =0b ≠z 221223()()0z z z z -+-=123z z z ==a i a ABC △,,A B C ,,a b c cos cos a A b B =2c =3sin 5C =ABC △231361α=-+122β=--1αβ=2αβ=||2||αβ=337αβ-=134i z =+2i z t =+12z z ×t A C 15︒100m B 45︒50m θcos θ=15．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积等于-------------------16．在中角，，的对边分别是，，，且，，若，则的最小值为 ．四·解答题：(本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．18. (12分）如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，BC ＝CE ＝2.上面是一个三棱锥，且AA 1⊥底面A 1B 1C 1，且AE ＝A1E ＝3，求组合体的表面积和体积．19.(12分）已知复数，m是实数，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．ABC△A B C a b c sin sin sin sin sin 3a Ab B cC B C +-=a =[1,3]b ∈c x 2(2i)2i 0x k x k ++++=k 22(232)(2)i z m m m m =+-++-m z z z 0z =20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 21.(12分)已知a =(1,2),b =(-3,1). (1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值;(3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求实数k 的值.22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求实数的值．高一数学答案一．AACCB DCC二．9.ACD 10，ACD 11,AC 12,BCD17．（12分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．【答案】方程的实根为或值为或．【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得，由复数相等的条件得，解得或∴方程的实根为，相应的值为或．ABC△,,A B C ,,a b c222sin sin sin sin sinA C A CB +-=B ABC △ABC △33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λx 2(2i)2i 0x k x k ++++=k x =x =k k =-k =0x 2000(2)(2)i 0x kx x k ++++=20002020x kx x k ⎧++=⎨+=⎩0x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩0x k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x =x =k k =-k =18.19．（10分）已知复数，，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．【答案】（1）或；（2）且；（3）；（4）． 【解析】（1）当，即或时，为实数． （2）当，即且时，为虚数．（3）当，解得，即时，为纯虚数．（4）令，解得，即时，．20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．22(232)(2)i z m m m m =+-++-m R Îm z z z 0z =2m =-1m =2m ≠-1m ≠12m =2m =-220m m +-=2m =-1m =z 220m m +-≠2m ≠-1m ≠z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩12m =12m =z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-=⎩2m =-2m =-0z =ABC △,,A B C ,,a b c 222sin sin sin sin sin A C A C B +-=（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，由正弦定理得，，，即，又∵，． （2）由（1）知，且外接圆的半径为，，解得， 由正弦定理得，又，， 21.(10分)已知a =(1,2),b =(-3,1).(1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值; (3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求k 的值.【答案】（1）（7,0），（2）-√5050.（3）k=±√22.【解析】(1)a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0). (2)cos θ=a ·b|a |·|b |=√2√2=-√5050.(3)因为向量a +k b 与a -k b 互相垂直, 所以(a +k b)·(a -k b)=0,即a 2-k 2b 2=0,因为a 2=5,b 2=10,所以5-10k 2=0,解得k=±√22.B ABC △ABC △π3B =(5+⎤⎦222sin sin sin sin sin A C A C B +-=222a c acb +-=222a b b ac +-=222122a b b ac +-=1cos 2B =()0,πB ∈π3B =π3B =323=⨯5b =2sin sin a c A C ===sin )a c A C +=+2π3A C +=2ππsin()]10sin()336a c A A A +=+-=+22．（12分）已知向量，，且． （1）求及；（2）若的最小值为，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由已知可得， ， ，，．（2）由（1）得，，．①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾； ②当，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值， 由已知可得，解得，与矛盾， 综上所得，． 为锐角三角形，且， 又，得，，， 33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λcos2x ⋅=a b 2cos x +=a b 12λ=33coscos sin sin cos 22222x xx x x ⋅=⋅-⋅=ab +===a b π[0,]2x ∈Q cos 0x ∴≥2cos x ∴+=a b 222()cos 24cos 2cos 4cos 12(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---π[0,]2x ∈Q 0cos 1x ≤≤0λ<cos 0x =()f x 1-01λ≤≤cos x λ=()f x 12λ--23122λ--=-12λ=1λ>cos 1x =()f x 14λ-3142λ-=-58λ=1λ>12λ=ABC △π02A <<π02C <<2π3C A =-ππ62A <<πsin()62A +∈(a c +∈⎤⎦故的周长的取值范围是．ABC△(5+⎤⎦。

2019年常州市高一数学下期中试题(及答案)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．84．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．26B ．36C ．23D ．225．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 6．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-= 7．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或18．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．10．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．111．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 83312．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β B ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线． 其中正确的结论的序号为________．15．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________. 16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.17．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）18．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。

高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。

第I卷(选择题共40分)一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在答题卷上指定的位置）1. 已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C...............2. 已知、是两个不共线向量，设，，，若、、三点共线，则实数的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】 ,故选C.3. 满足的△的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B4. 若数列满足：，，则等于（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】，故选A.5. 函数,是（）A. 最小正周期是B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称D. 周期函数且图象有无数条对称轴【答案】D【解析】由上图可得最小正周期为小正周期是，区间上的有增有减，图象不关于点对称，周期函数且图象有无数条对称轴，故A、B、C错误，D正确，故选D.6. 已知等比数列的公比是，首项，前项和为，设成等差数列，若，则正整数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知可得，故选A.7. 已知函数满足，则函数的图象不可能发生的情形．．．．．．．．是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将选项C第三象限的图像向右平移一个单位再作关于轴对称所得的图像不与第一象限的原图像重合，反之其它选项的图像可以，故C错误，应选C.8. 是等差数列，是等比数列，且，，，（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】由已知可得当，当,故A错误；去，而，故B错误；同理，当，当,取故C错误，故选D.9. 将函数的图象向右平移2个单位得到函数的图象，则（）A. 存在实数，使得B. 当时，必有C. 的取值与实数有关D. 函数的图象必过定点【答案】D【解析】易得：选项A错误；单调性不确定，故选项B错误；与无关；，故D正确，应选D.10. 平面内三个非零向量满足，规定，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设是边长为的等边三角形，在以AB为直径的圆上，以AB为 x轴,以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系,则设，则∴的最大值为,最小值为.由图形的对称性可知的最大值为,最小值为.，∴.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分；请将答案答在答题卷上指定的位置）11. ________，________.【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】(1)；(2) .12. 角终边过点，则________，________.【答案】 (1). (2).【解析】 .13. 已知，则_______，________.【答案】 (1). (2).【解析】(1)；（2）.14. 正项等比数列中，公比，，则_______．【答案】21【解析】 .15. 如图，以正方形中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则的弧度数大小为________.【答案】【解析】设正方形的边长为，由已知可得 .16. 数列、满足，且、是函数的两个零点，则_______，当时，的最大值为______．【答案】 (1). (2). 5 【解析】由已知可得又的最大值为.17. 等差数列满足，则的取值范围是________.【答案】【解析】设所求的范围为：.三、解答题（共5个小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 18. 已知为等差数列的前项和，．（Ⅰ）求，； （Ⅱ）设，求．【答案】(1),;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（Ⅱ）当时，，当时，.试题解析： 解：（Ⅰ），则.∴，.（Ⅱ）当时，，当时，，∴.19. 如图，已知函数，点分别是的图像与轴、轴的交点，分别是的图像上横坐标为、的两点,轴，共线．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若关于的方程在区间上恰有唯一实根，求实数的取值范围．【答案】(1) ，;(2) 或．【解析】试题分析：解：（Ⅰ）建立，.（Ⅱ），结合图象可知或．试题解析：解：（Ⅰ）①②解得，.（Ⅱ），，因为时，，由方程恰有唯一实根，结合图象可知或．20. 已知分别为的三个内角的对边，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，在边上的中线长为，求的周长【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理得，又；（Ⅱ）由，又由余弦定理知的周长．试题解析：解：（Ⅰ）由正弦定理得，∴，又，∴,∴.（Ⅱ）设中点为,由,得，所以①又由余弦定理知，将①代入得②从而，，故的周长．21. 如图，梯形，，，，为中点，．（Ⅰ）当时，用向量，表示的向量；（Ⅱ）若（为大于零的常数），求的最小值并指出相应的实数的值．【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）过作，交于，则为中点，用表示出，利用三角形法则即可得出结论；（2）根据（1）得出表达式，两边平方得出关于的二次函数，根据二次函数的性质求出最值。

江苏省常州市教学联盟2019—2020学年高一下学期期中调研数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．cos10sin70sin10sin20︒︒-︒︒＝A ．23B ．32-C ．21D ．12-2．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为 A ．2π B ．3π C ．23πD ．33π3．过点(0，1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是A ．210x y +-=B ．210x y ++=C ．220x y -+=D ．210x y --=4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，DD 1的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为 A ．41 B ．51C ．26D ．155．已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线l ：(12)(32)0a x a y a -++-=总经过一个定点， 则这个定点的坐标是A ．(﹣2，1)B ．(﹣1，0)C ．(27-，17) D ．(17，27-) 6．已知βα，是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误的是 A ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ B ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ C ．若m α∥，n αβ=I，则//m n D ．若m n ∥，m α⊥，则n α⊥7．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是A ．sin()sin sin αβαβ+>+B ．sin()cos cos αβαβ+>+C ．cos()sin sin αβαβ+<+D ．cos()cos cos αβαβ+<+8．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的个数有A ．1B ．2C ．3D ．49．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，A ＝6π，b ＝1，S △ABC ＝3，则2sin A 2sin B sin Ca b c-+-+的值等于A ．2393 B ．2633 C ．833D ．237 10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，AD ⊥AB ，∠BCD ＝45°，将△ABD 沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为A′，使二面角A′—BD —C 为直二面角，给出下面四个命题：①A′D ⊥BC ；②三棱锥A′—BCD 的体积为26；③CD ⊥平面A′BD ；④平面A′BC ⊥平面A′DC ．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cos A 3cos B 5cosCa b c==，则∠B的大小是 A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是正方形BB 1C 1C的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直， 则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为 A ．32 B ．62C ．522 D ．3 二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．直线l 1：310ax y ++=，l 2：2(1)10x a y +++=，若l 1∥l 2，则a 的值为 ． 14．在平面直角坐标系中，角α与角β均以x 轴非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=-，则cos()αβ-＝ ．15．圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是 ． 16．已知函数()sin(sin3cos)444f x x x x πππ=-，则(1)(2)(2000)f f f +++L ＝．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知2cos()410x π-=，x ∈(2π，34π)．（1）求sin x 的值； （2）求sin(2)6x π+的值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥平面PDC ，△PCD 为正三角形，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ．19．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个顶点分别为A(a ，b )，B(4，1)，C(3，6)． （1）求BC 边所在直线的一般式方程；（2）已知BC 边上中线AD 所在直线方程为350x y c -+=，且S △ABC ＝7，求点A 的坐标．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP ＝90°，AB ＝AC ＝PA ＝6，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ； （2）当PM 1MD 2=时，求四棱锥M —ECDF 的体积．21．（本小题满分12分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC ＝23π，∠ACD ＝3π，路宽AD ＝18米．设∠BAC ＝θ(126ππθ≤≤)． （1）求灯柱AB 的高h （用θ表示）； （2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？22．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为△ABC 的面积，sin(B C)+=222Sa c -．（1）证明：A ＝2C ；（2）若2b =，且△ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．江苏省常州市教学联盟2019—2020学年高一下学期期中调研数学试题2020．5一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．cos10sin 70sin10sin 20︒︒-︒︒＝A ．23 B ． C ．21 D ．12- 答案：A考点：两角和与差的正弦公式解析：cos10sin 70sin10sin 20sin 70cos10cos 70sin10︒︒-︒︒=︒︒-︒︒sin(7010)sin 60=︒-︒=︒=，故选A ． 2．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为 A ．π2 B ．π3 C ．32πD ．33π答案：D考点：圆锥的体积解析：圆锥的高h ==，则圆锥的体积2113Vπ=⨯⨯⨯=D ． 3．过点(0，1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是A ．210x y +-=B ．210x y ++=C ．220x y -+=D ．210x y --= 答案：A考点：两直线的位置关系 解析：设所求直线方程为：20x y C ++=，过点(0，1)，求得C ＝﹣1，故所求直线方程为210x y +-=，故选A ．4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，DD 1的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为A ．41B ．51C ．562D ．415答案：B考点：异面直线所成的角解析：连接BE ，则BE ∥AF ，∴∠BED 是异面直线AF ，DE 所成的角或补角，设正方体的棱长为2a ，则BE ＝DE ，BD ＝，∴cos ∠BED 15=，故选B ． 5．已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线l ：(12)(32)0a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是A ．(﹣2，1)B ．(﹣1，0)C ．(27-，17)D ．(17，27-) 答案：C考点：直线过定点问题解析：直线l 的方程可变形为：(231)2x y a x y -+=+，则231020x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得2717x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即定点坐标为(27-，17)．故选C ．6．已知βα，是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误的是 A ．若m α⊥，m β⊂，则βα⊥ B ．若m α⊥，m β⊥，则βα//C ．若m α∥，n αβ=I，则n m // D ．若m n ∥，m α⊥，则α⊥n答案：C考点：空间点、线、面的位置关系解析：选项C 中，若m α⊄，则结论不一定成立，故选C ． 7．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是A ．sin()sin sin αβαβ+>+B ．sin()cos cos αβαβ+>+C ．cos()sin sin αβαβ+<+D ．cos()cos cos αβαβ+<+ 答案：D考点：两角和与差的三角函数公式 解析：∵sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin α，cos α，sin β，cos β∈(0，1)， ∴sin()sin sin αβαβ+<+，sin()cos cos αβαβ+<+，故A ，B 错，∵cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，sin α，cos α，sin β，cos β∈(0，1)， ∴cos()cos cos cos cos αβαβαβ+<<+，故D 正确，至于C ，取15αβ==︒可判断C 错误，综上所述，选D ．8．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的个数有A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B考点：线面平行的判定解析：图（1）可知平面ABC ∥平面MNP ，故AB ∥平面MNP ，图（1）符合题意； 图（4），AB ∥PN ，故AB ∥平面MNP ，图（4）符合题意； 至于图（2）和图（3），无法得出AB ∥平面MNP ， 综上所述，本题选B ．9．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，A ＝6π，b ＝1，S △ABC ＝3，则2sin A 2sin B sin Ca b c-+-+的值等于A ．2393 B ．2633 C ．833D ．237 答案：D考点：正余弦定理 解析：1223sin 4312sin 2S S bc A c b A=⇒===，∴22232cos A 148214337372a b c bc a =+-=+-⨯⨯⨯=⇒=， ∴2372371sin A 2sin B sin C sin 2a b c a A-+===-+，故选D ．10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，AD ⊥AB ，∠BCD ＝45°，将△ABD 沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为A′，使二面角A′—BD —C 为直二面角，给出下面四个命题：①A′D ⊥BC ；②三棱锥A′—BCD 的体积为26；③CD ⊥平面A′BD ；④平面A′BC ⊥平面A′DC ．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C考点：空间中的垂直关系，三棱锥的体积 解析：取BD 中点E ，连A′E ，由二面角A′—BD —C 为直二面角，可得A′E ⊥平面BCD ，则A′E ⊥CD ， ∴V A′—BCD ＝1221326⨯⨯=，②正确， ∵CD ⊥BD ，A′E ⊥CD ，且A′E I BD ＝E ， ∴CD ⊥平面A′BD ，故③正确， ∵A′B ＝1，又求得A′C ＝3，BC ＝2， ∴A′B 2＋A′C 2＝1＋3＝22＝BC 2，∴A′B ⊥A′C ， 由CD ⊥平面A′BD ，得CD ⊥A′B ，又A′C I CD ＝C ∴A′B ⊥平面A′DC ，∵A′B ⊂平面A′BC∴平面A′BC ⊥平面A′DC ，④正确， 至于①无法得证，故选C ．11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cos A 3cos B 5cosCa b c==，则∠B的大小是 A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 答案：D考点：正弦定理，两角和与差的正切公式 解析：∵2cos A 3cos B 5cosC a b c==，∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C ==，即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+=-，∴273110kk k =-，解得33k =， ∴tan 33B k ==，B ＝3π，故选D ． 12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为A ．32B ．62C ．522 D ．3答案：B考点：立体几何综合解析：取AB 的中点N ，可知平面A 1MCN 就是平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面，由平面A 1MCN 是菱形，且该菱形对角线A 1C ＝MN ＝则S ＝12⨯=B ． 二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．直线l 1：310ax y ++=，l 2：2(1)10x a y +++=，若l 1∥l 2，则a 的值为 ． 答案：﹣3考点：两直线平行 解析：∵l 1∥l 2，∴(1)60a a +-=，且20a -≠， ∴a ＝﹣3．14．在平面直角坐标系中，角α与角β均以x 轴非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=-，则cos()αβ-＝ ．答案：79-考点：两角和与差的余弦公式解析：当角α为第三象限角时，则角β为第四象限角∴1sin 3β=-，cos α=，cos β=，则117cos()cos cos sin sin ()()339αβαβαβ-=+=-⨯-=-； 当角α为第四象限角时，则角β为第三象限角∴1sin 3β=-，cos α=cos β=，则117cos()cos cos sin sin (()()339αβαβαβ-=+=+-⨯-=-． 综上，cos()αβ-的值为79-．15．圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是 ．答案：考点：扇形的弧长公式的运用，圆锥底面周长＝侧面展开图的弧长 解析：该圆锥的侧面展开图的圆心角＝210402ππ=，∴最短路程＝．16．已知函数()sin(sin)444f x x x x πππ=-，则(1)(2)(2000)f f f +++L ＝．答案：1000考点：三角恒等变换，三角函数的性质解析：2()sin(sin)sin cos444444f x x x x x x x ππππππ==1cos 222xx ππ-=1sin()226x ππ=-+， 则函数()f x 的周期为4，求得(1)(2)(3)(4)2f f f f +++=，∴(1)(2)(2000)50021000f f f +++=⨯=L ．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知cos()4x π-=，x ∈(2π，34π)．（1）求sin x 的值；（2）求sin(2)6x π+的值． 解：（1）解法一：因为3(,)24x ππ∈， 所以(,)442x πππ-∈，于是sin()4x π-==…………1分sin sin[()]sin()cos cos()sin 444444x x x x ππππππ=-+=-+-…………3分45=+=． …………5分解法二：由cos()4x π-=，cos x x +， …………2分221sin cos 5sincos 1x x x x ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩． 3(,)24x ππ∈Q 4sin 53cos -5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩…………5分 （2）因为3(,)24x ππ∈．故2243cos 1sin 1()55x x =--=--=-．………… 6分24sin 22sin cos 25x x x ==-，27cos 22cos 125x x =-=-． ………… 8分所以7243sin(2)sin 2cos cos 2sin 66650x x x πππ++=+=-． …………10分18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥平面PDC ，△PCD 为正三角形，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ．（1）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC 交BD 与点O ，连接EO 在PAC ∆中，E O ,分别为PC AC ,中点，EO PA //∴ ………… 2分EBD PA EBD EO EBD PA EOPA 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄………………………………5分 （2）证明：PC BD PDC PC PDC BD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面在正三角形PCD ∆中，E 为PC 中点，PC DE ⊥∴ …………7分BDEPC DEB DE BD DDE BD BD PC DE PC 平面平面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥,I…………11分又因为BDE BE平面⊂中，所以PC BE ⊥ …………12分19．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个顶点分别为A(a ，b )，B(4，1)，C(3，6)． （1）求BC 边所在直线的一般式方程；（2）已知BC 边上中线AD 所在直线方程为350x y c -+=，且S △ABC ＝7，求点A 的坐标． 解：（1）54316-=--=BC k ，代入点斜式方程，)4(51--=-x y ，直线BC 的一般方程为0215=-+y x …………3分（2）B ，C 中点坐标为)27,27(D ，代入方程350x y c -+=，得7=c …………5分 所以AD 方程为3570x y -+=，点A 满足方程，所以0753=+-b a26=BC ，设点A 到直线BC 距离为d ，172ABC S BCd ∆==， 所以2614=d…………7分同时利用点到直线的距离公式得261426215=-+=b a d ， 14215=-+b a ，所以1421514215-=-+=-+b a b a 或， …………9分所以⎩⎨⎧-=-+=+-⎩⎨⎧=-+=+-142150753142150753b a b a b a b a 或者 所以⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2156b a b a 或者，所以点A 坐标为)5,6(或)2,1( ………12分20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP ＝90°，AB ＝AC ＝PA ＝6，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ； （2）当PM 1MD 2=时，求四棱锥M —ECDF 的体积．（1）证明：在平行四边形ABCD 中，F E ,分别为AD BC ,的中点，所以AB EF // 在平行四边形ABCD 中，0135=∠BCD ，所以045=∠ABC在ABC ∆中，AC AB =,045=∠ABC，所以AC AB ⊥,ΘAB EF //,AC EF ⊥∴ ………2分ABCD PA PAB PA AB ABCD PAB ABCD PAB ABPA 平面平面平面平面平面平面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥I ，ABCD EF 平面⊂Θ，EF PA ⊥∴ ………6分PACEF PAC PA AC APA AC PA EF ACEF 平面平面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥,I………8分 （3）解：21=MD PM Θ，32距离的到面的距离为点到面点ABCD P ABCD M ∴， 由（1）知，ABCD PA 平面⊥，所以点4的距离为到面ABCD M ………10分18=ECDF S 四边形，2441831=⨯⨯=∴-ECDF M V ，所以四棱锥ECDF M -的体积为24 ………12分21．（本小题满分12分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC ＝23π，∠ACD ＝3π，路宽AD ＝18米．设∠BAC ＝θ(126ππθ≤≤)． （1）求灯柱AB 的高h （用θ表示）； （2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？21．解：（1）AB Q 与地面垂直，θ=∠BAC -2CAD πθ∴∠=， 在ACD ∆中，6CDA πθ∠=+，…………1分 由正弦定理得sin sin AD ACACD CDA=∠∠，得sin 123)sin 6AD CDA AC ACD πθ∠==+∠g ， ……3分在ABC ∆中，3ACB πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，sin 24sin()sin()sin 63AC ACB h ABC ππθθ∠∴==+-∠g ． ………5分12sin(2)3126h πππθθ⎡⎤∴=+∈⎢⎥⎣⎦，，………6分 （2）ABC ∆中， 由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，得sin 24sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ∠==+∠g ，………8分12sin(2)24sin()sin 36AB BC ππθθθ∴+=+++12(sin 2cos cos2sin )24(sin cos cos sin )sin 3366ππππθθθθθ=+++1-cos26sin 2631236sin 2=12sin 2+632θθθθθ=+++g………10分Q 126ππθ剟，∴263ππθ剟， ∴当12πθ=时，AB BC +取得最小值663+．故该公司应设置12πθ=，才能使制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小，最小值为(63)+米． ………12分22．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为△ABC 的面积，sin(B C)+=222Sa c -．（1）证明：A ＝2C ；（2）若2b =，且△ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围． （1）证明：由222sin()SB C a c +=-，得222sin S A a c π=-（-）， ∴22sin sin bc AA a c=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， ………2分 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=， 2sin 22sin cos 2sin R B R C A R C ∴-=g ，sin()2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， sin()sin A C C ∴-=， ………4分=2A C C k π∴-+或+=+2A C C k k Z ππ-∈，A Q ，(0,)C π∈，2A C ∴=． ………5分（2）解：2A C =Q ，3B C π∴=-， sin sin 3B C ∴=．由正弦定理得sin sin a bA B=且2b =， ∴2sin 2sin 3Ca C=， ………6分112sin 22sin 2sin sin 2sin 22sin(2)sin 2cos cos 2sin C C CS ab C C C C C C C C ∴===++g g g ………7分 ABC ∆Q 为锐角三角形且=2A C ，cos 0,cos 20C C ∴≠≠ 22tan 2tan 4tan 43tan 2tan 3tan tan tan C C CS C C CC C∴===+--，ABC ∆Q 为锐角三角形，∴020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，02203202C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩………10分∴()64C ππ∈，，∴tan 1)C ∈，此时43tan tan S C C=-为增函数，∴2)S ∈，即S的取值范围是．………12分。

高一下学期期中数学试题一、单选题1．的值为（ ）()cos 510-A ．B ．C ．D 12-12【答案】C【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.【详解】()()()cos510cos 360150cos150cos 18030cos30cos 510==+==-=-=- 故选：C.2．半径为，面积为的扇形的圆心角为（ ）4cm 26cm A ．B ．C ．D ．3rad 43rad 81rad 21rad 4【答案】A【分析】设扇形的圆心角为，代入扇形的面积公式即可求解. αrad 【详解】设扇形的圆心角为，αrad 由题意可知，，即，解得，2162S R α==11662α⨯=34α=所以半径为，面积为的扇形的圆心角为，4cm 26cm 3rad 4故选：A.3．在中，若，则边的长为（ ） ABC 45,30,3A B BC =︒=︒=ACA B C D ．【答案】B【分析】利用正弦定理即可.【详解】因为， 45,30,3A B BC =︒=︒=所以由正弦定理得：sin 3s in 30sin sin sin sin 45BC AC BC B AC A B A ⨯=⇒=== 故选：B.4．若复数z 满足，其中i 为虚数单位，则z 的实部为（ ） 20232(1i)i 2i z +=+A ．B ．C ．D ．1212-3232-【答案】D【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的概念，即可求解.31i 22z =-+【详解】由复数满足，可得 z 20232450533(1i)i 2i i 2i 22i z ⨯++=+=--=--=，所以复数的实部为. ()()()()2i 1i 2i 31i 1i 1i 1i 22z -----===-+++-z 32-故选：D.5．已知向量，满足，则在上的投影向量为（ ） a b 2,3,3a b a b ==⋅=- b aA ．B ．C ．D ． 34a -32a - 13a - 23a - 【答案】A【分析】先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.a b【详解】设向量，的夹角为，a bθ因为， 2,3,3a b a b ==⋅=- 所以， cos 23c 3os a b a b θθ=⨯⨯=⋅=-所以，1cos 2θ=-所以在上的投影向量为：，b a13cos 3cos 34222a a a b a a θθ⎛⎫⋅=⋅=⨯-⋅ ⎪⎝⎭=-故选：A.6．已知非零向量与向量共线，则的值为（ ）sin ,sin 2θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭(cos θA B ．C ．D ．1313-【答案】D【分析】根据向量共线的知识列方程，化简求得，进而求得的值.cos2θcos θ【详解】由于非零向量与向量共线，sin ,sin 2θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭(，2sin 2θθ=即，cos2sin222θθθ=由于不同时为零，sin cos ,sin 222θθθ所以，所以 sin02θ≠2,cos22θθ==所以. 211cos 2cos121233θθ=-=⨯-=-故选：D7．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，的面积为，ABC ABC 60A = ，则（ ）223b c bc +==aA ．4B ．C ．8D ．【答案】B【分析】由已知利用三角形面积公式可求，结合利用余弦定理求出边. 16bc =223b c bc +=a【详解】解：，的面积为，∴，60A = ABC 1sin 2bc A =16bc =又，由余弦定理，223b c bc +=，可得： 2222cos 3232a b c bc A bc bc bc =+-=-==a =故选：B8．已知下列关于函数的四个命题中，有且仅有一个假命题，则该命题是()()()sin 2R f x x ϕϕ=+∈（ ）甲：该函数图象的一个对称中心为4π,03⎛⎫⎪⎝⎭乙：该函数图象的一条对称轴方程为π6x =-丙：该函数在区间上单调递减5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦丁：该函数图象向左平移个单位长度得到一个奇函数的图象π3A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【分析】先判断甲乙不能同时正确，再根据丙丁同时正确得到且为偶数，故可2ππ,Z 3k k ϕ=-∈k 判断甲乙错误与否.【详解】若甲乙都正确，则且，8πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 13ϕ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭但，故矛盾，ππ8πsin sin 3πsin 333ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以甲乙中有一个是错误的，故丙丁都正确， 因为的图象向左平移个单位长度后对应的解析式为：， ()sin 2y x ϕ=+π32πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又平移后的图象对应的函数为奇函数，故，故， 2ππ,Z 3k k ϕ+=∈2ππ,Z 3k k ϕ=-∈若为偶数，则，k ()2πsin 2sin 23y x x ϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭当时，，因为在为减函数，5ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2π3ππ2,322x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦sin y t =3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故在为减函数，符合，2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦若为奇数，则，k ()2πsin 2sin 23y x x ϕ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭当时，，因为在为减函数，5ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2π3ππ2,322x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦sin y t =3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故在为增函数，不符合，2πsin 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦综上，.()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而，故函数图象的对称中心为，甲正确， ()4π8π2πsin sin 2π=0333f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭又，故不是该函数图象的一条对称轴方程，乙错误.()ππ2πsin sin π0633f ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6x =-故选：B二、多选题9．已知向量的夹角为，，则在下列向量中，与向量的夹角为锐角的向量,a b 60︒2,1a b == a b -有（ ） A ．B ．C ．D ．a -r ab + 2a b + 2b a - 【答案】BC【分析】根据夹角为锐角可得不可能平行，因此只要计算出数量积为正即可.【详解】由已知各选项中向量与向量不平行， a b -，21cos 601a b ⋅=⨯⨯︒=，2()()1430a b a a b a -⋅-=⋅-=-=-< ，22()()4130a b a b a b -⋅+=-=-=> ， 22()(2)2412130a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=+-⨯=> ， 22()(2)232431160a b b a a a b b -⋅-=-+⋅-=-⨯+⨯-=-< 只有BC 选项符合题意． 故选：BC ．10．已知复数，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）z =A ．复数z 的共轭复数的模为1B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．复数z 是方程的解D ．复数满足，则的最大值为2210x x ++=ω1z ω-=ω【答案】ABD【分析】利用复数的运算法则求出，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 12z =【详解】因为，所以，12z ===对于选项A ，因为，所，故选项A 正确； 12z =112z =+=对于选项B ，因为复数z 在复平面内对应的点为，故选项B 正确；1(,2对于选项C ，，所以12z =，故选项C 错误； 221113311022442x x ⎛⎫++=+-+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭对于选项D ，设，则由，得到i(,R)a b a b ω=+∈1z ω-=221()(12a b -+=，由几何意义知，可看成圆上的动点到原点的距离，所以的最大ω221()(12a b -+=(,)a b ω，故选项D 正确.12=故选：ABD.11．设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）()2cos 2cos f x x x x =-()y f x ϕ=+ϕA ．B ．C ．D ．π6π35π611π6【答案】BCD【分析】根据三角函数变换结合条件可得，进而()π2sin 2216x x f ϕϕ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭+，即得.ππ2π,Z 62k k ϕ-=+∈【详解】因为，()2πcos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭所以，又函数为偶函数，()π2sin 2216x y f x ϕϕ⎛⎫=+- ⎝+-⎪⎭=()y f x ϕ=+所以，即， ππ2π,Z 62k k ϕ-=+∈ππ,Z 23k k ϕ=+∈所以当时的值可以是，，. 0,1,3k =ϕπ35π611π6故选：BCD.12．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的有（ ） ABC A ．若，则为等腰三角形 cos cos b A a B =ABC B ．若，则为等腰三角形 22tan tan a B b A =ABC C ．若，则为等腰直角三角形 sin cos cos A B Ca b c==ABC D ．若，则为直角三角形 ()222cos cos a b a B b A -=+ABC 【答案】ACD【分析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用，逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A ，，由正弦定理可得， cos cos b A a B =sin cos sin cos =B A A B 则，即， sin cos sin cos 0A B B A -=()sin 0A B -=所以，则为等腰三角形，A 选项正确；A B =ABC 对于B ，，由正弦定理可得， 22tan tan a B b A =22sin sin s si in cos n cos B AAB B A=即，所以， sin sin sin cos sin cos cos cos A B A B AA BB =⇒=sin 2sin 2A B =则或，即或， 22A B =22πA B +=A B =π2A B +=所以为等腰三角形或直角三角形，B 选项错误； ABC 对于C ，，由正弦定理可得， sin cos cos A B C a b c==sin cos cos sin sin sin A B CA B C ==则，所以，111tan tan 1tan tan B C B C==⇒==π4B C ==所以为等腰直角三角形，C 选项正确；ABC 对于D ，，由射影定理， ()222cos cos a b a B b A -=+cos cos a B b A c +=则，则为直角三角形，D 选项正确； 222222a b c a b c -==⇒+ABC 故选：ACD.三、填空题13．已知，则=___________tan 2x =tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】17-【分析】先求出的值，再利用两角和的正切得到的值tan 2x tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】，故， 2224tan 2123x ⨯==--41tan 2113tan 2441tan 2713x x x π-++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭+填.17-【点睛】本题考查二倍角的正切公式和两角和的正切公式，属于容易题.14．在正六边形中，若，则________． ABCDEF 2AB AF ⋅=-AB DF ⋅= 【答案】6-【分析】根据给定条件，利用数量积求出正六边形的边长，再利用数量积运算律求解作答. 【详解】在正六边形中，， ABCDEF 2π3DEF BAF ∠=∠=由，得，解得，显然， 2AB AF ⋅=- 22π||c s ||o 3AB AF =- ||2AB = ED AB = 所以 22()||||2πcos 3AB DF ED EF ED ED EF ED ED EF ED ⋅=⋅-=⋅-=-.2212()262=⨯--=-故答案为：6-15．在中，点D 在边上，，则的长为ABC BC 5,45,60AB CD B ADB ===∠=︒︒AC ________． 【答案】7【分析】在中，由正弦定理求得，再在在中，由余弦定理，即可求解的ABD △3AD =ACD AC 长.【详解】如图所示，在中，由正弦定理得，ABD △sin sin AB ADADB ABD=∠∠即， sin sin 453sin sin 60ABD AD AB ADB ∠=⋅==∠因为，可得，且，60ADB ∠=︒120ADC ∠=︒5CD =在中，由余弦定理得：，ACD 22212cos120925235(492AC AD CD AD CD =+=⋅=+-⨯⨯⨯-=所以.7AC =故答案为：.7四、双空题16．质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆O 上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P 的角速度大小为，起点为圆O 与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为，起点1rad/s 5rad/s为射线与圆O 的交点．当P 与Q 第二次重合时，P 的坐标为________；当P 与Q ()0y x =≤第三次重合时，点P 相对于其起点的位移的大小是________【答案】12⎛- ⎝【分析】由题意解出重合时刻t 的值，进而可得P 点位置，可求坐标. 【详解】设时P 与Q 第二次重合，则有，解得，此时点P 是单位圆与s t 2π52π3t t -=+2π3t =2π3角终边的交点，所以P 的坐标为；12⎛- ⎝设时P 与Q 第二次重合，则有，解得，此时点P 是单位圆与角终边的s t '2π54π3t t ''-=+7π6t '=7π6交点，所以P 的坐标为， 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭由起点坐标为，则点P 相对于其起点的位移的大小为()1,0====故答案为：12⎛- ⎝【点睛】思路点睛：由点P 和Q 的位置和旋转方向可知，时P 与Q 重合，由s t ，由的值，可确定P 点位置，求出坐标 ()2π52πN 3t t k k -=+∈t五、解答题17．已知为第二象限角，且满足．求值：α2sin cos αα=-(1)；sin cos 3sin cos αααα-+(2)．πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)3 (2)【分析】（1）为第二象限角，由和，解出与，代入α2sin cos αα=-22sin cos 1αα+=sin αcos α求值即可；sin cos 3sin cos αααα-+（2）利用两角和的余弦公式展开求值即可．【详解】（1）若为第二象限角，则．αsin 0,cos 0αα><又因为，故22cos 2sin sin cos 1αααα=-⎧⎨+=⎩sin αα==．sin cos 33sin cos αααα⎛--==+（也可以由得，．） 2sin cos αα=-1tan 2α=-11sin cos tan 12313sin cos 3tan 1312αααααα----===++-⨯+（2）πππ1cos cos cos sin sin 3332ααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭18．已知函数．()22cos 2sin cos sin ()f x x x x x m m =--+∈R 1(1)求的最小正周期；()f x (2)求使成立的自变量x 的集合． ()0f x ≥【答案】(1)π(2)ππππ,24x k x k k ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由周期公式求函数最小正周期，由函数最大值求出的值.m （2）根据函数解析式，利用整体代入法解不等式.【详解】（1）因为()22cos 2sin cos sin f x x x x x m =--+．22πcos sin sin 2cos 2sin 224x x x m x x m x m ⎛⎫=--+=-+=++ ⎪⎝⎭根据题意，，解得．()max 11f x m =+=1m =故．()π214f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期． ()f x 2ππ2T ==（2）由．()0f x ≥ππ210,cos 244x x ⎛⎫⎛⎫++≥+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，解得，其中．3ππ3π2π22π444k x k -≤+≤+ππππ24k x k -≤≤+k ∈Z 故使成立时x 的集合．()0f x ≥ππππ,24x k x k k ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 19．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示．将函数()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>π2<ϕ的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．()f x π3()g x(1)求与的解析式；()f x ()g x (2)令，求方程在区间内的所有实数解的和．()()()F x f x g x =+()1F x =()0,2π【答案】(1)，()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 3π【分析】（1）利用图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解()f x ()g x 析式；（2）利用两角和与差的正弦公式函数的解析式，然后在时解方程，将相()F x ()0,2πx ∈()1F x =应的根全部相加可得结果.【详解】（1）解：由图可知，函数的最小正周期为，则2A =()f x 7ππ4π123T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2π2T ω==，因为，可得， 7π7π7π2sin 22sin 212126f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭因为，则，所以，，可得， ππ22ϕ-<<2π7π5π363ϕ<+<7π3π62ϕ+=π3ϕ=所以，的解析式为． ()f x ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由题可知，． ()ππππ2sin 22sin 23333g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）解：因为 ()()()ππ2sin 22sin 233F x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， πππππ2sin 2cos cos 2sin 2sin 2cos cos 2sin 4sin 2cos 2sin 233333x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由可得，故或， ()1F x =1sin 22x =π22π6x k =+()5π22π6x k k =+∈Z 解得或． ππ12x k =+()5ππ12x k k =+∈Z 又，故． ()0,2πx ∈π5π13π17π,,,12121212x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭故所求的实数解的和为． π5π13π17π3π12121212+++=20．已知复数，其中i 为虚数单位，． ()122sin 12cos i z z θθ==+π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)若是实数，求的值；12z z ⋅12z z ⋅(2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值． 1z 2z a b ()()22a b a b -⊥- sin θ【答案】(1)12z z ⋅=【分析】（1）根据复数乘法计算后应用实数概念列式求解即可；（2）根据向量垂直数量积为0，再用已知角表示未知角，结合应用两角和正弦公式计算可得.【详解】（1）．(122sin 4sin cos i z z θθθθ⋅=++因为为实数，所以，即 12z z ⋅4sin cos 0θθ=sin2θ=又，故，则， π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π2,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2ππ2,33θθ==故 12ππ2sin 33z z ⋅=+=（2）复数，对应的向量分别为． 1z 2z (()2sin ,,1,2cos a b θθ== 因为，所以． ()()22a b a b -⊥- ()()220a b a b --=⋅ 故()()()222225a b a b a b a b --=+⋅⋅-， ()(()()222π22sin 12cos ]52sin 1620sin 3θθθθθ⎛⎫=+++--=-- ⎪⎝⎭故，即， π1620sin 03θ⎛⎫--= ⎪⎝⎭π4sin 35θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为，所以， π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,362θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭则． π3cos 35θ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭ ππππππsin sin sin cos cos sin 333333θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525=⨯+=21．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足下列条件中的一个或多个：①ABC ；②；③；④．2cos a c a B =-2B A =32a b =5c =(1)若满足条件①，求证：满足条件②；ABC ABC (2)求证：同时满足条件②，③，④的是唯一的（其三边长唯一确定）．ABC 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理得到，然后利用三角形内角的取()sin sin A B A =-值即可得证；（2）（方法1）利用正弦定理和余弦定理得到或，然后分情况利用余弦定理讨论即可6b =152b =得证；（方法2）根据边长的关系，可设，其中，再根据角的关系和余弦定理即可证2,3a k b k ==15k <<明；（方法3）利用三角形内角和定理和两角和与差的正弦公式先证明条件①与②等价，再利用余弦定理证明同时满足①，③，④的是唯一的即可.ABC 【详解】（1）由条件①，，根据正弦定理得， 2cos a c a B =-sin sin 2sin cos A C A B =-因为，所以，πA B C ++=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+所以．()sin cos sin sin cos sin A A B A B B A =-=-因为，所以，所以，或．0π,0πA B <<<<ππB A -<=<B A A -=πB A A -+=即或（舍去），故．即满足条件②．2B A =B π=2B A =ABC （2）（方法1）若同时满足条件②，③，④，ABC 由及正弦定理得．32a b =3sin 2sin A B =因为，所以，2B A =3sin 2sin 24sin cos A A A A ==又，所以．根据余弦定理得，． sin 0A >3cos 4A =2222cos a b c bc A =+-又因为，所以， 332,cos 4a b A ==2243251094b b b =+-⨯即，解得或． 2227900b b -+=6b =152b =当时，，6b =4a =由余弦定理，， 22222213cos ,cos 2824a cb bc a B A ac bc +-+-====而，故． 2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭cos cos 2B A =又A 为锐角，故，又，注意到函数在上单调递减，．此()20,πA ∈()0,πB ∈cos y x =()0,π2B A =时，同时满足条件②，③，④； ABC 当时，，由余弦定理，， 152b =5a =22222213cos ,cos 2824a cb bc a B A ac bc +-+-==-==而，故，故．此时，不满足条件2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭cos cos 2B A ≠2B A ≠ABC ②，舍去．综上所述，同时满足条件②，③，④的是唯一的，其中．ABC 4,6,5a b c ===（方法2）若同时满足条件②，③，④，ABC 因为，所以可设，其中．32,5a b c ==2,3a k b k ==15k <<因为，所以，2B A =2cos cos 22cos 1B A A ==-又因为， 222222222459555cos 220204a c b k k k k B ac k k k +-+---====， 222222222954555cos 230306b c a k k k k A bc k k k+-+-++====所以． 222552146k k k k ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭整理得，，432291645500k k k k +--+=．()()()()125250k k k k --++=又，故，从而．15k <<2k =4,6a b ==当时，，满足． 4,6,5a b c ===13cos ,cos 84B A ==2cos 2cos 1cos2B A A =-=又A 为锐角，故，又，注意到函数在上单调递减，．此()20,πA ∈()0,πB ∈cos y x =()0,π2B A =时，同时满足条件②，③，④：ABC 故同时满足条件②，③，④的是唯一的，其中．ABC 4,6,5a b c ===（方法3）先证明条件①与②等价：根据（1）知，只需证明当时，有．2B A =2cos a c a B =-证明如下：因为，所以，所以，2B A =A B A =-()sin sin A B A =-所以，所以，sin sin cos cos sin A B A B A =-()sin sin 2cos sin A A B B A =+-又，所以，πA B C ++=sin sin 2cos sin A C B A =-根据正弦定理，．2cos a c a B =-再证明同时满足①，③，④的是唯一的，证明如下：ABC 由及余弦定理得，， 2cos a c a B =-22222a c b a c a ac+-=-⋅即，又，，解得， ()22ac a b =--32a b =5c =4,6,5a b c ===故同时满足条件①，③，④的是唯一的．ABC 综合两方面得到，同时满足条件②，③，④的是唯一的，其中，，． ABC 4a =6b =5c =22．若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形．容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于，则称其为π平面凸四边形．图①，②给出了两个不是平面凸四边形的例子．如图③，在平面凸四边形ABCD 中，，设． π,,3,23BAD BD AD CD BC ∠=⊥==BCD θ∠=(1)求的取值范围；cos θ(2)试用表示对角线的长，并指出取何值时的长最大．θAC θAC【答案】(1)⎛- ⎝(2)时，． AC =23πθ=AC【分析】（1）根据题意只需满足为锐角，且即可，设，在BDC ∠56CBD π∠<0BD t =>BCD △中，利用余弦定理列出不等式，求得的取值范围； t >cos θ（2）在中，求得，在中，利用余弦定理化简得到BCD △BD =ADC △，结合三角函数的性质，即可求解. AC =【详解】（1）解：若平面四边形为平面凸四边形，只需满足为锐角，且ABCD BDC ∠56CBD π∠<即可．在中，，故为锐角，BCD △<BC CD BDC ∠设，在中，可得， 0BD t =>BCD △22222223cos 24BC BD CD t CBD BC BD t +-+-∠==>⋅整理得，解得250t +->t >-因为，所以， 15t <<5t -<<在中，由余弦定理得： BCD △， 22222222313cos 21212BC CD BD t t BC CD θ⎛+-+--===∈- ⋅⎝所以的取值范围为.cos θ⎛- ⎝（2）解：在中，由余弦定理得， BCD △BD ==在中，由正弦定理得，， BCD △sin 2sin sin BC BDC BD BD θθ∠==又由，在中，由余弦定理得： AD =ADC △ 2222cos 2AC AD CD AD CD BDC π⎛⎫=+-⋅+∠ ⎪⎝⎭22222sin 2sin AD CD AD CD BDC CD CD BD θ=++⋅∠=++， 2240404cos 8sin 3363BD CD πθθθ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭故， AC =当，即，此时满足， sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭23πθ=cos θ⎛∈- ⎝所以当且仅当时，对角线． 23πθ=AC。