2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--2.2函数的定义域和值域

一．课题：函数（2）——定义域二．教学目标：1. 掌握分式函数、根式函数定义域的求法；2. 进一步熟悉函数的三要素；3.进一步掌握函数图象的画法，会作分段函数的图象。

三．教学重点：函数的定义域、函数图象的画法。

四．教学过程：（一）复习：（提问）1．函数的定义，函数的三要素（函数相同的条件）．2．下列函数中哪个与函数y x =是同一个函数？（1）2y =； （2）2x y x =； （3）y = （4）y = 解：（1）不是，定义域不同； （2）不是，定义域不同；（3）是相同函数；（4）,0||,0x x y x x x ≥⎧===⎨-<⎩，当0x <时，对应法则不同，所以不是同一个函数。

3．用区间表示下列集合：（1）{|||3}x x ≤； （2）{|x x R ∈且0}x ≠； （3）{|2x x ≤-或1}x >． 解：（1）[3,3]-； （2）(,0)(0,)-∞+∞U ； （3）(,2](1,)-∞-+∞U ．（二）新课讲解：1．函数的图象：例1．（1）某种茶杯每个5元，买x 个茶杯的钱数（元）5y x =，{1,2,3,4}x ∈，画出该函数图象；（2）国内投寄信函（外埠），假设没每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过80g付邮资160分，依此类推，每封x g (0100)x <≤的信函应付邮资为（单位：分）：80,(0,20]160,(20,40]240,(40,60]320,(60,80]400,(80,100]x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪∈⎪∈⎪⎩，画出这个函数的图象；（3）画出函数,0||,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩的图象。

解：图略说明：函数图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。

2．函数的定义域：（1）已知函数式求定义域：例2．求下列函数的定义域：（1）1()2f x x =-； （2）()f x = （3）1()2f x x=-． 解：（1）{|2}x x ≠，即(,2)(2,)-∞+∞U ；（2）2{|}3x x ≥-，即2[,)3-+∞； （3）{|1x x ≥-且2}x ≠，即[1,2)(2,)-+∞U ． 说明：从本例可以看出，求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

第二编 函数与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数及其表示一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是 ( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100解析 ∵y ＝x －1与y ＝(x －1)2＝|x －1|的对应法则不同，故不是同一函数；y ＝x －1(x ≥1)与y ＝x －1x －1(x >1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x (x >0)与y ＝2lgx 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x >0)与y ＝lg x100＝lg x－2 (x >0)有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数． 答案 D2．(2009·临沂3月模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2， x >0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是( )A ．[－4,2)B ．[－4,2]C ．(0,2]D ．(－4,2]解析 ∵f (x )≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－(x －1)2≥－1， ∴－4≤x ≤0或0<x ≤2，即－4≤x ≤2. 答案 B3．(2010·茂名模拟)已知函数f (x )＝lg(x ＋3)的定义域为M ，g (x )＝12－x 的定义域为N ，则M ∩N 等于 ( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x <2}D ．{x |－3<x ≤2}解析 M ＝{x |x >－3}，N ＝{x |x <2}． ∴M ∩N ＝{x |－3<x <2}．答案 B4．(2008·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f ⎝⎛⎭⎫1f (2)的值为( )A.1516B ．－2716 C.89D ．18 解析 f (2)＝4，f ⎝⎛⎭⎫14＝1－116＝1516. 答案 A 5．(2008·陕西)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则 f (－3)等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f (1)＝f (0＋1)＝f (0)＋f (1)＋2×0×1 ＝f (0)＋f (1)，∴f (0)＝0.f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1 ＝f (－1)＋f (1)－2，∴f (－1)＝0.f (－1)＝f (－2＋1)＝f (－2)＋f (1)＋2×(－2)×1 ＝f (－2)＋f (1)－4，∴f (－2)＝2.f (－2)＝f (－3＋1)＝f (－3)＋f (1)＋2×(－3)×1 ＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6. 答案 C 6．(2009·吉林一模)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]．在同一坐标系下，函数y ＝f (x )的图象与 直线x ＝1的交点个数为 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．0个或1个均有可能 解析 ∵f (x )的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5]， ∴点(1，f (1))在函数y ＝f (x )的图象上． 而点(1，f (1))又在直线x ＝1上，∴直线x ＝1与函数y ＝f (x )的图象至少有一个交点(1，f (1))．根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在 其值域中只有唯一确定的元素f (1)与之对应，故直线x ＝1与y ＝f (x )的图象有且只有一个交点． 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·温州模拟)某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元． 解析 车费为8＋(7.4－3)×1.5＝14.6≈15(元)． 答案 158．(2009·北京文，12)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≤1，－x ， x >1，若f (x )＝2，则x ＝______________.解析 当x ≤1时，3x＝2，∴x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． 答案 log 329．(2009·广东六校联考)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________________． 解析 要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －4≥0|x |－5≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4x ≠±5， ∴f (x )的定义域为{x |x ≥4且x ≠5}． 答案 {x |x ≥4且x ≠5} 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·阳江第一学期期末)求下列函数的定义域：(1)y ＝25－x 2＋lgcos x ；(2)y ＝log 2(－x 2＋2x )．解 (1)由⎩⎨⎧25－x 2≥0cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤52k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z )，借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为[－5，－3π2)∪(－π2，π2)∪(3π2，5]．(2)－x 2＋2x >0，即x 2－2x <0，∴0<x <2， ∴函数的定义域为(0,2)． 11．(13分)(2009·清远一模)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时， 可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝⎛⎭⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50 整理得f (x )＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.所以，当x ＝4 050时，f (x )最大， 最大值为f (4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元． 12．(14分)(2010·东莞模拟)已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x )＋g (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3， 又f (x )＋g (x )为奇函数， ∴a ＝1，c ＝3.∴f (x )＝x 2＋bx ＋3，对称轴x ＝－b 2.当－b2≥2，即b ≤－4时，f (x )在[－1,2]上为减函数，∴f (x )的最小值为f (2)＝4＋2b ＋3＝1. ∴b ＝－3.∴此时无解．当－1<－b2<2，即－4<b <2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝3－b 24＝1， ∴b ＝±2 2.∴b ＝－22，此时f (x )＝x 2－22x ＋3，当－b2≤－1，即b ≥2时，f (x )在[－1,2]上为增函数，∴f (x )的最小值为f (－1)＝4－b ＝1.∴b ＝3.∴f (x )＝x 2＋3x ＋3.综上所述，f (x )＝x 2－22x ＋3， 或f (x )＝x 2＋3x ＋3.§2.2 函数的单调性与最大(小)值一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是 ( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增解析 ∵y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数． 答案 B2．(2010·安庆一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ， x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13D.⎝⎛⎦⎤0，23解析 据单调性定义，f (x )为减函数应满足： ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 答案 B3．(2009·东莞一模)下列四个函数中，在(0,1)上为增函数的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－log 2xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x －12解析 ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，∴y ＝sin x 在(0,1)上是增函数． 答案 A4．(2009·天津理，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围 是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2－4， x ≥0，－(x －2)2＋4， x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增 函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.答案 C 5．(2010·淮南调研)若函数f (x )＝x 3 (x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是 ( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数解析 f (x )＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )＝－x 3 (x ∈R )显然在其定义域内是单调递减的奇函数． 答案 B6．(2010·温州一模)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是 ( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，32 B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－1，32 D.⎣⎡⎭⎫32，4 解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.答案 D二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·珠海调研)若函数f (x )＝(m －1)x 2＋mx ＋3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是 __________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴(m －1)x 2－mx ＋3＝(m －1)x 2＋mx ＋3， ∴m ＝0.这时f (x )＝－x 2＋3， ∴单调减区间为[0，＋∞). 答案 [0，＋∞)8．(2010·汕尾一模)若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m ∈__________.解析 ∵f ′(x )＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1,∴f (x )的增区间为(－1,1)．又∵f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1， ∴－1≤m ≤0. ∵区间(m,2m ＋1)中2m ＋1>m ，∴m >－1. 综上，－1<m ≤0. 答案 (－1,0] 9．(2009·山东实验中学第一次诊断)已知定义域为D 的函数f (x )，对任意x ∈D ，存在正数K ， 都有|f (x )|≤K 成立，则称函数f (x )是D 上的“有界函数”．已知下列函数：①f (x )＝2sin x ；②f (x )＝1－x 2；③f (x )＝1－2x ；④f (x )＝xx 2＋1，其中是“有界函数”的是________．(写出所有满足要求的函数的序号)解析 ①中|f (x )|＝|2sin x |≤2，②中|f (x )|≤1；④|f (x )|＝|x |x 2＋1＝1|x |＋1|x |≤12(x ≠0)，当x ＝0时，f (x )＝0，总之，|f (x )|≤12；③f (x )<1,∴|f （x ）|→+∞,故填①②④. 答案 ①②④三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·芜湖一模)判断f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的单调性．解 ∵－1<1，f (－1)＝－1<f (1)＝1，∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数．∵－2<－1，f (－2)＝－12>f (－1)＝－1，∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增函数． ∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．11．(13分)(2010·青岛调研)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.12．(14分)(2009·宣城一模)f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫xy ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x <2. 解 (1)令x ＝y ，得f (1)＝0.(2)由x ＋3>0及1x>0，得x >0,由f (6)＝1及f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x <2， 得f [x (x ＋3)]<2f (6)， 即f [x (x ＋3)]－f (6)<f (6)，亦即f ⎣⎡⎦⎤x (x ＋3)6<f (6)．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以x (x ＋3)6<6， 解得－3－3172<x <－3＋3172.综上所述，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <－3＋3172.§2.3 函数的奇偶性一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·吉林模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2ab ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0， ∴a ＋b ＝13＋0＝13.答案 B 2．(2009·金华模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0， 则使得f (x )<0的取值范围是 ( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)解析 ∵f (x )是偶函数且在(-∞，0]上是减函数，且f (2)=f(-2)=0， 可画示意图如图所示，由图知f (x )<0的解集为(-2,2)． 答案 D3．(2009·辽宁理，9)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23解析 方法一 当2x －1≥0，即x ≥12时，因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故需满足2x－1<13，即x <23，所以12≤x <23.当2x －1<0，即x <12时，由于f (x )是偶函数，故f (x )在(－∞，0]上单调递减，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－13，此时需满足2x －1>－13，所以13<x <12，综上可得13<x <23.方法二 ∵f (x )为偶函数，∴f (2x －1)＝f (|2x －1|)， 又∵f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，∴不等式f (2x －1)<f (13)等价于|2x －1|<13.∴－13<2x －1<13，∴13<x <23. 答案 A4．(2009·陕西文，10)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析 对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，因此函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又f (x )在R 上是偶函数，故f (－2)＝f (2)，由于3>2>1， 故有f (3)<f (－2)<f (1)． 答案 A 5．(2009·湖南示范性高中一模)函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )g (－x )＝1，且x ≠0，g (x )≠1，则F (x )＝2f (x )g (x )－1＋f (x ) ( ) A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是偶函数但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数解析 由条件知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝1g (x )，∴F (－x )＝2f (－x )g (－x )－1＋f (－x )＝－2f (x )1g (x )－1－f (x )＝－f (x )·g (x )－f (x )1－g (x )＝f (x )g (x )＋f (x )g (x )－1＝F (x )．答案 B6．(2009·丽水模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x，则不等式f (x )<－12的解集是 ( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 当x >0时，1－2－x ＝1－12x >0与题意不符，当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1－2x ， 又∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝1－2x，∴f (x )＝2x－1，∴f (x )＝2x －1<－12，∴2x <12，∴x <－1，∴不等式f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．答案 A二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·福州模拟)已知函数y ＝f (x )为奇函数，若f (3)－f (2)＝1，则f (－2)－f (－3)＝______. 解析 ∵f (x )为奇函数且f (3)－f (2)＝1， ∴f (－2)－f (－3)＝f (3)－f (2)＝1. 答案 1 8．(2010·温州一模)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0，5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y <0的x 的取值集合为________．解析 由原y =f (x )在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y =f (x )在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y <0的x 的取值 集合为(-2,0)∪(2,5)． 答案 (-2,0)∪(2,5) 9．(2009·山东理，16)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是 增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.答案 －8三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·杭州模拟)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1 (－3≤x ≤3)， (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．(1)证明 ∵x ∈[－3,3]，∴f (x )的定义域关于原点对称． f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1 ＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)解 当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 当x <0时，f (x )=x 2+2x -1 =(x +1)2-2， 即f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--+≤≤=-)03(2)1()30(2)1(22x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图． (3)解 函数f(x)的单调区间为 [-3，-1)，[-1,0)，[0,1)，[1,3]．f (x )在区间[-3，-1)和[0,1)上为减函数， 在[-1,0)，[1,3]上为增函数．(4)解 当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2，最大值为f(3)=2； 当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2]． 11．(13分)(2010·湖州联考)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0. 当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )， ∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |) (x ∈R )．12．(14分)(2010·舟山调研)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意 x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )，若x ＝±1，则f (－1)＋f (1)＝2≠0； ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当a ＝0时，f (x )为偶函数； 当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数． (2)设2≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 必须f (x 1)－f (x 2)<0恒成立． ∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4， 即a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16， ∴a 的取值范围是(－∞，16]．§2.4 指数与指数函数一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·滨州一模)下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析 36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0， 6(－2)2＝622＝32>0，∴3－2≠6(－2)2； －342<0，4(－3)4×2>0，∴－342≠4(－3)4×2. 答案 A2．(2009·新乡模拟)函数f (x )=ax -b 的图象如右图，其中a 、b 为常数，则下 列结论正确的是 ( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0解析 由图象得函数是减函数， ∴0<a <1.又分析得，图象是由y =ax 的图象向左平移所得，∴-b >0，即b <0.从而D 正确． 答案 D 3．(2010·菏泽联考)已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0] C ．(0,1]∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]解析 y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝⎝⎛⎭⎫2x－322＋34∈[1,7]，∴⎝⎛⎭⎫2x－322∈⎣⎡⎦⎤14，254. ∴2x －32∈⎣⎡⎦⎤－52，－12∪⎣⎡⎦⎤12，52.∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]． 答案 D4．(2009·温州模拟)定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )b (a >b )，如1] ( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(0,1] D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)2－x (x >0)，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1.答案 C5．(2009·珠海模拟)若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析 令u (x )＝2x ＋1，则f (u )＝1u.因为u (x )在(－∞，＋∞)上单调递增且u (x )>1，而f (u )＝1u 在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )＝12x ＋1在(－∞，＋∞)上单调递减，且无限趋于0，故无最小值． 答案 A6．(2010·湖州联考)函数y ＝12π·(2a －3)－x23的部分图象大致是如图所示的四个图象的一个，根据你的判断，a 可能的取值是 ( )A ．21B.32C ．2D ．4解析 函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图象只能是③，再根 据图象先增后减的特征可知2a －3>1，即a >2，符合条件的只有D 选项，故选D. 答案 D二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·青岛一模)若f (x )＝a －x 与g (x )＝a x －a(a >0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________.解析 g (x )上的点P (a,1)关于直线x ＝1的对称点P ′(2－a,1)应在f (x )＝a －x上， ∴1＝a a －2.∴a －2＝0，即a ＝2. 答案 2 8．(2010·济宁调研)设函数f (x )＝a －|x | (a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是__________．解析 由f (2)＝a －2＝4，解得a ＝12，∴f (x )＝2|x |，∴f (－2)＝4>2＝f (1)． 答案 f (－2)>f (1)9．(2009·江苏)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析 ∵0<a ＝5－12<1，∴函数f (x )＝a x在R 上是减函数．又∵f (m )>f (n )，∴m <n .答案 m <n三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·临沂月考)已知对任意x ∈R ，不等式12x 2＋x >⎝⎛⎭⎫122x 2－mx ＋m ＋4恒成立，求实数m 的取值范围．解 由题知：不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋x >⎝⎛⎭⎫122x 2－mx ＋m ＋4对x ∈R 恒成立，∴x 2＋x <2x 2－mx ＋m ＋4对x ∈R 恒成立．∴x 2－(m ＋1)x ＋m ＋4>0对x ∈R 恒成立．∴Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋4)<0. ∴m 2－2m －15<0.∴－3<m <5.11．(13分)(2009·中山一模)若函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14， 求a 的值．解 令a x ＝t ，∴t >0，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1， ＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)． ②若0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，故当t ＝1a ，即x ＝－1时，y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.∴a ＝13或－15(舍去)．综上可得a ＝3或13.12．(14分)(2009·宁波模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1 (0<x <c )2－xc 2＋1 (c ≤x <1) 满足f (c 2)＝98. (1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1.解 (1)依题意0<c <1，∴c 2<c ，∵f (c 2)＝98，∴c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1 (0<x <12)2－4x ＋1 (12≤x <1)，由f (x )>28＋1得 当0<x <12时，12x ＋1>28＋1，∴24<x <12，当12≤x <1时，2－4x ＋1>28＋1，∴12≤x <58. 综上可知：24<x <58，∴f (x )>28＋1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |24<x <58.§2.5 对数与对数函数一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·湖南文，1)log 22的值为( )A ．－ 2B. 2C ．－12D.12解析 log 22＝log 2212＝12.答案 D2．(2009·广东文，4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x ) ＝ ( ) A.12x B ．2x －2 C ．log 12x D ．log 2x解析 函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x ，故选D. 答案 D3．(2009·辽宁文，6)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.38解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·13＝124.答案 A 4．(2009·韶关第一学期期末)已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有 ( )A ．m <0B ．0<m <1C ．1<m <2D ．m >2解析 m ＝log a xy ，∵0<x <y <a <1，∴0<xy <a 2<1. ∴m >log a a 2＝2. 答案 D 5．(2010·烟台一模)函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )6．(2010·绍兴模拟)函数y ＝log a |x ＋b | (a >0，a ≠1，ab ＝1)的图象只可能是 ( )解析 由a >0，ab =1可知b >0，又y =log a |x +b |的图象关于x =-b 对称，由图象可知b >1，且0<a <1，由单调性可知，B 正确． 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·江苏，11)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范 围是(c ，＋∞)，其中c ＝__________________________. 解析 ∵log 2x ≤2，∴0<x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a >4， ∴c ＝4. 答案 48．(2009·嘉兴第一学期期末)计算：[(－4)3]13＋log 525＝________.解析 原式＝(－4)1＋log 552＝－4＋2＝－2. 答案 －2 9．(2009·台州第一学期期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是 ________．解析 ∵m <0，n <0，mn＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n .答案 m >n三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列：log 89，log 79，log 123，log 1229，⎝⎛⎭⎫123，⎝⎛⎭⎫12π. 解 log 1229＝(－log 29)2＝log 229，在同一坐标系内作出y ＝log 8x ，y ＝log 7x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，当x ＝9时，由图象知log 29>log 79>log 89>1＝log 88，∴log 229>log 79>log 89>1，即19log9log9log87221>>>.∵x y )21(=在R 上是减函数，∴1>3)21(>π)21( >0.又log 3<0， 综上：3log π)2()21(9log9log9log21387221>1>>>.11．(13分)(2009·邵阳模拟)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2. 令2x ＝t ，∵x <1或x >3， ∴t >8或0<t <2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝⎛⎭⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎤0，43，当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，当2x ＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．12．(14分)(2009·四平期末)已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1， 因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立． 由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数， 所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝ln 2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.§2.6 一次函数、二次函数与幂函数一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2009·菏泽重点中学阶段性练习)下列函数：①y ＝1x3；②y ＝3x －2；③y ＝x 4＋x 2；④y ＝3x 2，其中幂函数的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ∵①中y ＝x －3；④中y ＝x 23符合幂函数定义；而②中y ＝3x －2，③中y ＝x 4＋x 2不符合幂函数的定义． 答案 B2．(2010·淄博一模)函数f (x )＝|x |9n(n ∈N *，n >9)的图象可能是 ( )解析 ∵f (－x )＝|－x |9n ＝|x |9n＝f (x )，∴函数为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A 、B.令n ＝18，则f (x )＝|x |12，当x ≥0时，f (x )＝x 12，由其在第一象限的图象知选C.答案 C 3．(2009·湖北理，9)设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ( )A ．成正比，比例系数为cB ．成正比，比例系数为2cC ．成反比，比例系数为cD ．成反比，比例系数为2c解析 ∵V ＝43πR 3(t )，∴V ′(t )＝4πR 2(t )·R ′(t )＝c .∴R ′(t )＝c4πR 2(t ).∵S (t )＝4πR 2(t )， ∴S ′(t )＝8πR (t )R ′(t )＝8πR (t )·c 4πR 2(t )＝2cR (t ).答案 D 4．(2009·云浮联考)函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a >23 B.12<a <32C ．a >12D ．a <12解析 f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1是由函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1变化得到，第一步保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象．因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间．所以2a －12>0，即a >12.答案 C 5．(2009·山东实验中学第一次诊断)若0<a <1，x >y >1，则下列关系式中正确的个数是( )①a x >a y ②x a >y a③log a x >log a y ④log x a >log y a A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析 ∵0<a <1，x >y >1，∴y ＝a x 递减，故①不正确；y ＝x a 递增，故②正确； y ＝log a x 递减，故③不正确． ∵log x a <0，log y a <0，∴log x a >log y a ⇔log a x <log a y ，正确． 综上，②④正确． 答案 C6.(2010·莆田调研)已知函数y ＝log 12(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0,1)D ．k ＝0或k ≥1解析 要满足题意，t ＝x 2－2kx ＋k 要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点， ∴Δ＝4k 2－4k ≥0.解得k ≥1或k ≤0. 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2010·临沂一模)当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析 当x >0时，y >0，故不过第四象限； 当x <0时，y <0或无意义．故不过第二象限．综上，不过二、四象限．也可画图观察． 答案 二、四 8．(2009·吉林省实验中学一模)函数y ＝x ＋2x 在区间[0,4]上的最大值M 与最小值N 的和M ＋N ＝________.解析 令t ＝x ∈[0,2]，∴y ＝t 2＋2t ＝(t ＋1)2－1， 在t ∈[0,2]上递增．∴当t ＝0时，N ＝0，当t ＝2时，M ＝8.∴M ＋N ＝8. 答案 8 9．(2009·泰安二模)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是__________．解析 ∵0<0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1， ∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，∴幂函数y ＝x m在(0，＋∞)上单调递增，故m >0. 答案 (0，＋∞) 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·新疆和田联考)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3，m 为何值时， f (x )：(1)是正比例函数；(2)是反比例函数； (3)是二次函数；(4)是幂函数．解 (1)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(2)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(3)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1，(4)若f (x )是幂函数，则m 2－m －1＝1， 即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.综上所述，(1)当m ＝－45时，f (x )是正比例函数．(2)当m ＝－25时，f (x )是反比例函数．(3)当m ＝－1时，f (x )是二次函数．(4)当m ＝2或m ＝－1时，f (x )是幂函数． 11．(13分)(2009·汕头模拟)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的 压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16 次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次，每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数) 解 设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，则设t ＝kn ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧ 16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝24.∴t ＝－2n ＋24.设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y ， 则y ＝tn ×110×2＝440(－n 2＋12n )， 当n ＝6时，总人数最多为15 840人．答 每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人． 12．(14分)(2009·杭州学军中学第七次月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围． 解 (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0 ⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4.①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m 2≤0－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m <－255； 综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.§2.7 函数与方程一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·临沂模拟)设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－1,0]解析 ∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－23<0，f (0)＝30－02＝1>0， ∴f (－1)·f (0)<0，∴有零点的区间是[－1,0]． 答案 D2．(2009·天津理，4)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析 因为f ⎝⎛⎭⎫1e ·f (1)＝⎝⎛⎭⎫13·1e －ln 1e ·⎝⎛⎭⎫13－ln 1＝13⎝⎛⎭⎫13e ＋1>0， 因此f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点． 又f (1)·f (e)＝⎝⎛⎭⎫13×1－ln 1·⎝⎛⎭⎫13·e －ln e ＝e －39<0. 因此f (x )在(1，e)内有零点． 答案 D3．(2009·福建文，11)若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －12解析 ∵g (x )＝4x＋2x －2在R 上连续且g (14)＝2＋12－2＝2－32<0，g (12)＝2＋1－2＝1>0.设g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 0，则14<x 0<12，0<x 0－14<14，∴⎪⎪⎪⎪x 0－14<14.又f (x )＝4x －1零点为x ＝14；f (x )＝(x －1)2零点为x ＝1；f (x )＝e x －1零点为x ＝0；f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －12零点为x ＝32.答案 A 4．(2010·三明联考)方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a ∈R ＋)的解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵a ∈R+，∴a 2+1>1.而y =|x 2-2x |的图象如图，∴y =|x 2-2x |的 图象与y =a 2+1的图象总有两个交点．∴方程有两解． 答案 B 5．(2009·杭州质检)方程|x |(x －1)－k ＝0有三个不相等的实根，则 k 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 解析 本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图 象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．本题显然考虑第一种方法．如图，作出函数y =|x |·(x -1)的图象， 由图象知当k ∈)0,41(-时，函数y =k 与y =|x |(x -1)有3个不同的交点，即方程有3个实根． 答案 A6．(2009·怀化调研)设f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0) (－1≤x ≤1)，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内 ( ) A ．可能有3个实数根 B ．可能有2个实数根 C ．有唯一的实数根 D ．没有实数根解析 ∵f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)，∴f ′(x )＝3x 2＋b >0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数，又∵f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，12内存在唯一零点．答案 C二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·淮南模拟)若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.答案 －12，－138．(2009·池州模拟)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解 集是__________．解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a －2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <1.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <19.(2010·六安一模)已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01， 则方程f (x )＝0 ①有三个实根；②当x <-1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；③当-1<x <0时，恰有一实根；④当0<x <1时，恰有一实根； ⑤当x >1时，恰有一实根． 则正确结论的编号为 .解析 ∵f (-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0， f (-1)=0.01>0，即f (-2)·f (-1)<0， ∴在(-2，-1)内有一个实根．由图中知：方程f (x )=0在(-∞，-1)上，只有一个实根， 所以②正确．又∵f (0)=0.01>0，由图知f (x )=0在(-1,0)上没有实数根，所以③不正确． 又∵f (0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0， f (1)=0.01>0，即f (0.5)f (1)<0，所以f (x )=0.在(0.5,1)上必有一个实根，且f(0)·f (0.5)<0， ∴f (x )=0在(0,0.5)上也有一个实根．∴f (x )=0在(0,1)上有两个实根，④不正确．由f (1)>0且f (x )在(1，+∞)上是增函数， ∴f (x )>0，f (x )=0在(1，+∞)上没有实根． ∴⑤不正确．并且由此可知①也正确． 答案 ①②三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·广州模拟)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围， 并求出该零点． 解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0时，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 11．(13分)(2009·滁州联考)关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥00≤－m －12≤2f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0－3≤m ≤14＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1－3≤m ≤1m ≥－32，∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.12．(14分)(2009·聊城一模)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区 间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3. 令2x -3=0，得x =23∉[-1,1]∴f (x )在[－1,1]上无零点，故a ≠0.(2)当a >0时，f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0f (1)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5a ≥1∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0f (1)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧－12a－3－a ≤0a ≥1解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)． (3)当a <0时， ①当0<a21-≤1，即a ≤21-时，须有,0)21(0)1(⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-a f f ， 即⎪⎩⎪⎨⎧≥---≤03215a aa解得：a ≤273--或273+-≤a ≤5，。

第二节 函数的定义域和值域[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . (3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R .[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1x；②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2中是圆满函数的有哪几个？提示：①y ＝1x 的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y ＝1x是圆满函数；②y ＝2x 的定义域和值域都是R ，故函数y ＝2x 是圆满函数；③y ＝ x 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y ＝ x 是圆满函数；④y ＝x 2的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故函数y ＝x 2不是圆满函数．2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝4－xx －1的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4)D ．(－∞，1)∪(1,4]解析：选D 要使函数f (x )＝4－xx －1有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．[2,5]B ．NC ．(0,20]D ．{2,3,4,5}解析：选D 函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}． 3．若f (x )＝1log 12x ＋，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A 根据题意得log 12(2x ＋1)＞0， 即0＜2x ＋1＜1，解得－12<x <0，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 4．(教材改编题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的定义域为________，值域为________．解析：由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞)5．(教材改编题)若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4. 又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)[例1] (1)(2012·山东高考)函数f (x )＝1x ＋＋ 4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2](2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[自主解答] (1)x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2. (2)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，－1≤x 2－1≤8.∴函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]． [答案] (1)B (2)[－1,8]本例(2)改为f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域． 解：∵y ＝f (x )的定义域为[0,3]， ∴0≤x 2－1≤3，解得－2≤x ≤－1或1≤x ≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．——————————————————— 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(1)(2012·江苏高考)函数f (x )＝ 1－2log 6x 的定义域为________． (2)已知f (x )的定义域是[－2,4]，求f (x 2－3x )的定义域．解析：(1)由1－2log 6x ≥0解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．答案：(0， 6 ](2)∵f (x )的定义域是[－2,4]，∴－2≤x 2－3x ≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x ≤1或2≤x ≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4].[例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋4x. [自主解答] (1)法一：(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． 法二：由y ＝x －3x ＋1得yx ＋y ＝x －3. 解得x ＝y ＋31－y，所以y ≠1，即函数值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12.所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. (3)法一：(基本不等式法)当x >0时，x ＋4x≥2 x ×4x＝4， 当且仅当x ＝2时“＝”成立； 当x <0时，x ＋4x ＝－(－x －4x)≤－4，当且仅当x ＝－2时“＝”成立．即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x2.x ∈(－∞，－2)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)或x ∈(0,2)时，f (x )单调递减． 故x ＝－2时，f (x )极大值＝f (－2)＝－4；x ＝2时，f (x )极小值＝f (2)＝4.即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．若将本例(3)改为“y ＝x －4x”，如何求解？解：易知函数y ＝x －4x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y ＝x －4x的值域为R .———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋ba的函数可用此法求值域.单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.2．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]；(2)y ＝x 2－xx －x ＋1；(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵0≤x ≤3，∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16. ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1. (3)y ＝log 3x ＋1log 3x－1，令log 3x ＝t ，则y ＝t ＋1t－1(t ≠0)，当x >1时，t >0，y ≥2t ·1t－1＝1， 当且仅当t ＝1t即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；当0<x <1时，t <0，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t －1≤－2－1＝－3.当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．[自主解答] ①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a >0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b a ∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a >0不符合条件；③若a <0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－b a ， 由于此时f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝b2－a，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 2－a ，则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a <0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述，a 的值为0或－4. ——————————————————— 由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．3．(2013·温州模拟)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a ＋b ＝________.解析：∵由题意知x －1>0，又x ∈[a ，b ]， ∴a >1.则f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数， 则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13， ∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6. 答案：61种意识——定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．4个注意——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧——妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法； (2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法； (4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解； (5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.易误警示——与定义域有关的易错问题[典例] (2013·福州模拟)函数f (x )＝x ＋2x ＋1－1－x 的定义域为________________．[解析] ∵要使函数f (x )＝x ＋2x ＋1－1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}． [答案] (－∞，－1)∪(－1,1] [易误辨析]1．本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．[变式训练]1．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，5C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103解析：选C 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3.易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数．又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103.可知函数F (x )＝f (x )＋1fx 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.2．已知函数f (x ＋2)＝x ＋2x ，则函数f (x )的值域为________． 解析：令2＋x ＝t ，则x ＝(t －2)2(t ≥2)．∴f (t )＝(t －2)2＋2(t －2)＝t 2－2t (t ≥2)． ∴f (x )＝x 2－2x (x ≥2)．∴f (x )＝(x －1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即f (x )的值域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( ) A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1解析：选C 当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R . 2．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5 解析：选D 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，2x >10－2x ，即52<x <5. 3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )解析：选A A 中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B 中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C 不表示函数；D 中的值域不是[0,2]．4．(2013·南昌模拟)函数y ＝ x x －－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1，或x <0}D ．{x |0<x ≤1}解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x x －，1x>0，得x ≥1.5．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]解析：选C ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0， 0≤2－－x 2＋4x ≤2，∴0≤y ≤2.6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B. )[0，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：选D 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．函数y ＝16－x －x2的定义域是________．解析：由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3<x <2. 答案：(－3,2) 8．设x ≥2，则函数y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值是______．解析：y ＝x ＋＋x ＋＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t＝t＋4t ＋5，在区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝283. 答案：2839．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：[－4,6]三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.11．设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动，l (x )表示AB 的长，求函数y ＝xl x的值域． 解：依题意有x ＞0，l (x )＝x －2＋32＝x 2－8x ＋25，所以y ＝x l x ＝xx 2－8x ＋25＝11－8x ＋25x2. 由于1－8x ＋25x 2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4252＋925，所以1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l x 的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53. 12．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3>0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.1．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x解析：选A 当x >0时，1x有意义，因此函数y ＝1x的定义域为{x |x >0}．对于A ，函数f (x )＝ln x 的定义域为{x |x >0}； 对于B ，函数f (x )＝1x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }；对于C ，函数f (x )＝|x |的定义域为R ； 对于D ，函数f (x )＝e x的定义域为R . 所以与函数y ＝1x有相同定义域的是f (x )＝ln x .2．函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．[－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4>0x ＋1>0得－1<x <1，因此该函数的定义域是(－1,1)．3．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：选B 要使g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.故定义域为[0,1)．4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )的解析式；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列两个条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1,1]，知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，令t ＝f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 记g (x )＝y ＝t 2－2at ＋3，则g (x )的对称轴为t ＝a ，故有： ①当a ≤13时，g (x )的最小值h (a )＝289－2a3，②当a ≥3时，g (x )的最小值h (a )＝12－6a ， ③当13<a <3时，g (x )的最小值h (a )＝3－a 2综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ≤13，3－a 2，13<a <3，12－6a ，a ≥3，(2)当a ≥3时，h (a )＝－6a ＋12，故m >n >3时，h (a )在[n ，m ]上为减函数， 所以h (a )在[n ，m ]上的值域为[h (m )，h (n )]．由题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧hm ＝n 2，h n ＝m 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋12＝n 2，－6n ＋12＝m 2，，两式相减得6n －6m ＝n 2－m 2，又m ≠n ，所以m ＋n ＝6，这与m >n >3矛盾，故不存在满足题中条件的m ，n 的值.。

§2.2函数的定义域、值域及解析式【2014高考会这样考】1.考查函数定义域、值域的求法；2.考查函数解析式的应用；3.和其他 知识相结合，考查函数概念.【复习备考要这样做】1.掌握函数定义域的几种情形； 2.理解求函数解析式的基本方法； 3.和 函数最值相结合求函数值域.I 要点梳理I1 .函数的定义域(1) 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.(2) 求定义域的步骤① 写出使函数式有意义的不等式(组)；② 解不等式组；③ 写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)(3) 常见基本初等函数的定义域① 分式函数中分母不等于零.② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为 R.④ y = a x (a>0 且 a 丰 1), y = sin x , y = cos x ,定义域均为 R. n⑤ y =tan x 的定义域为 x|x € R 且X M k n+ " , k € Z .⑥ 函数f(x) = x 0的定义域为{x|x € R 且X M 0}.2. 函数的值域(1)在函数y = f(x)中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的 值域. (2) 基本初等函数的值域① y = kx + b (k M 0)的值域是R.4ac b 2② y = ax 2 + bx + c (a M 0)的值域是：当a>0时，值域为，+^ ;当a<0时，值域 k ③ y = - (k M 0)的值域是{y|y € R 且 y M 0}. x为一a 4ac — b 24a④y= a x(a>0且a丰1)的值域是(0,+^ ).⑤y= log a x (a>0且1)的值域是R.⑥y= sin x, y= cos x 的值域是［—1,1］.⑦y= tan x的值域是R.3. 函数解析式的求法(1) 换元法；(2) 待定系数法；1⑶消去法：若所给解析式中含有f(x)、f x或f(x)、f(—X)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x).(4) 配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式.［难点正本疑点清源］1 .函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识.2. (1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x) € A的x的取值范围.(2) 如果f(g(x))的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域.(3) f［g(x)］与f［h(x)］联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.I基础自测I11 . (2012山东改编)函数f(x) = ln x+ 1+ ,4—X2的定义域为___________________ .答案(—1,0) U (0,2］x+ 1>0,解析由ln x+ 1丰0, 得一1<x< 2,且X M 0.4—x2>02. 设g(x) = 2x + 3, g(x+ 2) = f(x),则f(x)= ___________ .答案2x+ 7解析由g(x)= 2x+ 3，知f(x)= g(x+ 2) = 2(x+ 2) + 3= 2x+ 7.3. 若f(x)满足f(x + y) = f(x) + f(y)，则可写出满足条件的一个函数解析式f(x) = 2x.类比可以得至若定义在R 上的函数g(x),满足(1)g(x1 + x2)= g(x”g(X2); (2)g(1) = 3;⑶? X1<x2,g(X1)<g(X2)，则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为 ____________ .答案 g(x) = 3x解析 由①知g(x)应该是指数函数模型，结合 ②③知g(x)= 3x .抽象离不开具体，对于一 些常见的恒等式，其对应的函数模型应该熟悉口：一、指数函数模型，对应的性质为：f(m + n)= f(m) f(n)或 f(m — n)= ；二、对数函数型，对应的性质为： f(mn)= f(m) + f(n) 或 谓)=f(m) — f(n);三、正比例函数模型，对应的性质为： f(m + n) = f(m) + f(n);四、余 弦函数型，对应的性质为： f(m + n) + f(m — n)= 2f(m)f(n).4 .函数 f(x)= Iog 2(3x + 1)的值域为 _____________________ .答案 (0,+R )解析由3x >0知3x + 1>1.又f(x)在 (0,+a )为增函数且f(1) = 0,••• f(x)= Iog 2(3x + 1)>0.1 i 斗 x 1 25.已知f 丄=严2，则f (x) = _________________ x 1 — x 2x 2 + 1 答案 7■二7 (x 丰0)1 1解析令x = t ，则x = f 且t 工0,1 + • f(t)=—— t2 + 1t 2— 1,x 2+ 1 即 f(x) =厂* 0).题型一求函数的定义域 f 2x⑵若函数y = f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)=；的定义域是 x — 1 思维启函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域注意自变量的取值和各个字母的位置.答案(1)( — 1,1)(2)［0,1) x + 1>0解析 (1)由 ，得—1<x<1. —x 2— 3x + 4>00w 2x < 2,(2)依已知有x —1工0, 解之得0 w x<1，定义域为[0,1).探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集.(2)已知f(x)的定义域是[a ，b],求f[g(x)]的定义域，是指满足a w g(x )w b 的x 的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a , b]，指的是x € [a , b].变式训塚计⑴若函数f(x) =R ，则实数m 的取值范围是 _______________3 综上所述，m 的取值范围是 0,4 .(2) 已知f(x)的定义域是[0,4]，贝U f(x + 1)十f(x — 1)的定义域是 ___________ .答案 [1,3]0w x + 1 w 4,解析 由 得1 w x w 3.0w x — 1 w 4故f(x 十1)十f(x — 1)的定义域为[1,3].题型二求函数的值域【例2 求下列函数的值域：(1) y = x 2+ 2x (x € [0,3]); x — 3 ⑵ y =x —;；(1)函数y =__ In x + 1 __—x 2 — 3x + 4 的定义域为mx十4mx十33答案o, 4解析f(x)的定义域为R，即mx2+ 4mx十3工0恒成立.①当m= 0时，符合条件.②当m^ 0 时，△= (4m)2—4X m x 3<0 ,3 即m(4m—3)<0 , /• 0<m<4・(3) y= x—. 1 —2x;(4) y= Iog3x+ Iog x3 —1.思维启迪：根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解.数法；(3)换元法或单调性法；(4)基本不等式法.解(1)(配方法)y = x 5 + 2x = (x + 1)2— 1,y = (x + 1)2— 1 在[0,3]上为增函数，••• 0W y w 15,即函数 y = x 2 + 2x (x € [0,3])的值域为[0,15].(2) (分离常数法)x — 3 x +1— 4 4y = = = 1 —x + 1 x +1 x +14 4因为——丰0,所以1 — ——丰1,x +1 x + 1即函数的值域是{y|y € R ,沪1}. (3)方法一(换元法)令-1 — 2x = t ,贝U t > 0 且 x =11 由于t >0,所以y w 2，故函数的值域是 y|y w 2.方法二(单调性法)1 1 1容易判断函数y = f(x)为增函数，而其定义域应满足1— 2x >0,即x w 岁，所以y w f- = g 当 0<x<1 时,log 3x<0,于是 (1)配方法；(2)分离常 1— t 22 ,t =— 2(t +1)2+ 1,1 —1 ,y= log3x+ 丽-仁—-log3x + ^OglX -1故函数的值域是（—I— 3] U [1 ,+^）.探究提高（1）当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；（2）若与二次函数有关，可用配方法；（3）若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；（4）当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；（5）分段函数宜分段求解；（6）当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.变式训练2求下列函数的值域：X6—x j---------（1）y= x2—x +1；（2）y= 2x―1—.13—4x.解（1）方法一（配方法）1x2—x+1(2)方法一(换元法)13 —t242 1 2 33又x2—x +1 = x — 2 + 4》3,1.函数的值域为—3, 1 3方法二（判别式法）得(y — 1)x 2+ (1 — y)x + y = 0.•/ y = 1 时，x € ?, ••• y z 1.又••• x € R , ••• △= (1 — y)2— 4y(y — 1)>0,1解得—3三丫三1.0< 1 x 2 — x + 13' 由y = x 2x 2— x + 1 x € R , 设-13— 4x = t ，贝U t > 0, x =13 — t 7 8 9 10于是 f(x) = g(t)= 2 ^4- — 1 — t1 2 11 1 2 =—2t —t + 2 = 一 2(t +1) + 11, 显然函数g(t)在［0,+^)上是单调递减函数,11所以 g(t) < g(0) = 2，因此原函数的值域是 一R, 2 .方法二(单调性法)函数定义域是 xx < 4 ,当自变量x 增大时，2x — 1增大，-13— 4x 减小，所以2x — 1— 13 — 4x 增大，因此函数f(x) = 2x — 1 —■ 13— 4x 在其定义域上是一个单调递增函数, 题型三求函数的解析式2 【例3 (1)已知 f _+ 1 = lg x , 求 f(x)； x(2) 设y = f(x)是二次函数，方程f(x)= 0有两个相等实根， 且f ' (x)= 2x + 2,求f(x)的解析 式；(3) 定义在(—1,1 )内的函数f(x)满足2f(x) — f( — x) = lg(x + 1)，求函数f(x)的解析式. 思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系.2(1)令 t = x + 1,则又•/方程f(x) = 0有两个相等实根,4 — 4c = 0, c = 1,故 f(x)= x 2 + 2x + 1.7 2二 f(t) = lg ，即 f(x) = lg (x>1).t — 1 x — 1⑵设 f(x) = ax 2 + bx + c (a ^ 0),则 f ' (x) = 2ax + b = 2x + 2, /• a = 1, b = 2,••• f(x)= x 2 + 2x + c.所以当x =-时，函数取得最大值 13 = 114 = 2，故原函数的值域是 112(3)当x€ (—1,1)时，有2f(x)—f( —x) = lg(x+ 1).①以一x 代替x 得，2f(—x)—f(x)= lg( —x+ 1).②由①②消去f(—x)得，2 1f(x)= §lg(x+ 1) + §lg(1 —x), x € (—1,1).探究提高函数解析式的求法(1) 配凑法：由已知条件f(g(x)) = F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式；(2) 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3) 换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；1⑷消去法：已知关于f(x)与fx或f(—x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).变式W端'给出下列两个条件：(1) f( x+ 1) = x + 2 ,x;(2) f(x)为二次函数且f(0) = 3, f(x+ 2) —f(x)= 4x+ 2•试分别求出f(x)的解析式.解(1)令t = ,x+ 1, . t > 1, x= (t —1)2.则f(t)= (t —1)2+ 2(t—1) = t2— 1 ,f(x)= x2— 1 (x> 1).(2)设f(x) = ax2+ bx + c (a^ 0)，又f(0) = c= 3.••• f(x)= ax2+ bx+ 3,.• f(x + 2) —f(x)= a(x+ 2)2 + b(x+ 2) + 3 —(ax?+ bx+ 3) = 4ax+ 4a + 2b = 4x+ 2.4a= 4 a= 14a+ 2b = 2 b=—1• f(x)= x2—x+ 3.函数问题首先要考虑定义域典例：(14 分)已知f(x) = 2 + log3x, x€ [1,9]，试求函数y=[f(x)]2+ f(x2)的值域.审题视角(1)f(x)的定义域；(2)y= [f(x)]2+ f(x2)的定义域与f(x)的定义域不同；(3)如何求y= [f(x)]2+ f(x2)的定义域.规范解答解■/ f(x) = 2 + log3x 的定义域为[1,9],要使[f(x)]2+ f(x2)有意义，必有K x w 9 且1 < x2^ 9,•••1 w x w 3, [4 分]-y= [f(x)]2+ f(Q的定义域为[1,3].又y= (2 + Iog3x)2+ 2+ Iog3x2= (log 3x+ 3)2—3.[8 分]••• x€ [1,3], •Iog3x€ [0,1],• y max= (1 + 3)2— 3 = 13, y min = (0 + 3)2— 3 = 6.[12 分]•函数y=[f(x)]2+ f(x2)的值域为[6,13] . [14 分]温馨提醒(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识.⑵本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y = [f(x)]2+ f(x2)的讨论范围扩大.(3) 解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.此，我们一定要树立函数定义域优先意识.求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组);对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义.2 .函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围•利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域.3. 函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明成立的条件.失误与防范1 .求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用.函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用•特别要重视实际问题中的最值的求法.2 .对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性练出高分A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)、填空题(每小题5分，共35分)i i解析要使f(x)有意义，需Iog2(2x+ 1)>0 = log^l,••• 0<2x + 1<1, •••- ]x<0.1, X为有理数,则f(g( n )的值为答案0解析根据题设条件, T n是无理数，• g( n尹0,若f(x) =则f(x)的定义域为• f(g( n 洋f(0) = 0.3.已知 f(x) = x 12+ px + q 满足 f(1) = f(2) = 0，贝V f( — 1) = _______答案 612+ p + q = 0 解析由 f(1) = f(2) = 0,得 ，22 + 2p + q = 0P =— 13,/• f(x) = x 2— 3x + 2.q = 2二 f(— 1) = (— 1)2+ 3+ 2 = 6.24-已知f ^ =兴，则f(x)的解析式为1+ t2x 解析式为 f(x) = 2 (x M — 1). 1 + x 25.若函数f(x) =72X 2+ 2ax — a — 1的定义域为R ，则a 的取值范围为 ____________ . 答案 ［—1,0］解析 由题意知2x 2 + 2ax — a — 1> 0恒成立. ••• x 2 + 2ax — a >0 恒成立， --△= 4a 2 + 4a w 0, •- — 1 w a w 0. 6.若函数y = f(x)的定义域是［—1,1］，则函数y = f(log 2X )的定义域是 ___________1 答案 14, 21 解析 由一1 w Iog 2x w 1 得 Iog 2?w Iog 2x w log 22,答案［—5 , — 1］解析 •/ 1w f(x)w 3, • 1 w f(x + 3) w 3,14 由 y =log 2x 在(0, + g )上递增，得 ^w x w 2. 7.若函数y = f(x)的值域是［1,3］，则函数F(x)= 1 — 2f(x + 3)的值域是 ___________答案f(x)=莘(X — 1)1 + x2 解析1 — x令t =匚;(t "—1)，由此得 1 — t x=不，所以f(t)= 1 — t21+ t2t1+ t 2，从而f(x)的••• — 6W — 2f(x + 3)w — 2, ••• — 5W F(x)w — 1.二、解答题洪27分) 8.(13分)记f(x) = lg(2x — 3)的定义域为集合 M ，函数g(x)= , 1— x —l 的定义域为集合 N , 求：(1)集合 M 、N ; (2)集合 M A N , M U N.3解(1)M = {x|2x — 3>0} = x|x>2 ,2x|1 ———> 0 x — 13(2)M A N = {x|x >3} , M U N = {xQ1 或 x>^}. 9.(14 分)已知 f(x)是二次函数，若 f(0) = 0,且 f(x + 1) = f(x) + x + 1. (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 求函数y = f(x 2 — 2)的值域. 解(1)设 f(x)= ax 2 + bx + c (a ^ 0), 又 f(0) = 0, • c = 0，即 f(x) = ax 2 + bx. 又 f(x + 1) = f(x) + x + 1.• a(x + 1)2+ b(x + 1) = ax 2 + bx + x + 1. •- (2a + b)x + a + b = (b + 1)x + 1,2a + b = b + 1 •- ，解得a +b = 1 1 1二 f(x)=^x 2+2x.⑵由(1)知 y = f(x 2 — 2) = |(x 2— 2)2 + |(x 2 — 2) 1 4 21 2 3 2 1 =2(x 4 — 3x 2 + 2) = 2 X 2— 2 2 — 8, 3 1当x 2 = 2时，y 取最小值一1•函数y = f(x 2— 2)的值域为 一；，+^ .8={x|x > 3 或 x<1};1B组专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)、填空题(每小题5分，共30分)1 . (2012 •苏)函数f(x) = .'1 — 2log 6x 的定义域为.答案(0, 6]x>0,1 — 2log 6x > 0.解析要使函数f(x) = ■ 1 — 2log 6x 有意义，则解得0<x w '6.x 2, |x|> 1 ,2.设f(x) =g(x)是二次函数，若x , xi<1,f(g(x))的值域是［0,+^ )，贝V g(x)的值域是答案 [0,+^ )g(x)是二次函数，且f(g(x))的值域是［0, +^),2x + a , x>2,设函数f(x) = 2若f(x)的值域为x + a 2, x w 2, 值范围是 ________________ 答案 a >2或a w — 1x>2 时，y>4+ a ;当 x w 2 时，y w 2+ a 2,要使 f(x)的值域为R ，则4+ a w 2+ a 2,解得a > 2或a w — 1. 1 i4.已知 f x — = x 2 + x 2，贝V f(3) = _______ 答案 11解析•/ f x — 1 = x 2+ 芬 x —1 2+ 2,x x 2 X ' ••• f(x)= x 2 + 2, ••• f(3) = 32+ 2 = 11.g x + x + 4, x<g x5 . 设函数 g(x) = x 2 — 2 (x € R) , f(x)=,贝V f(x)的值域是g x — x , x >g x 1515解析 f(x)的图象如图.解析易知两段函数都是增函数，当解析 由x<g(x)可得x< — 1或x>2, 由 x >g(x)可得一K x w 2;x 2+ x + 2,x< — 1 或 x>2,--f (x)=x 2 — x — 2, — 1 w x < 2.由f(x)的图象可得:当 x< — 1 或 x>2 时，f(x)>f( — 1) = 2,1当一1w x w 2 时，fq w f(x) w f(2),99即—4三 f(x)w 0, ••• f(x)值域为 —4，0 U (2二、解答题洪28分)7. (14 分)已知函数 f(x)= x 2— 4ax + 2a + 6 (a € R).(1) 若函数的值域为［0，+g )，求a 的值；(2) 若函数的值域为非负数，求函数 g(a) = 2— a|a + 3|的值域. 解(1) •••函数的值域为［0，+g ), △= 16a 2— 4(2a + 6) = 0,23 • 2a 2— a — 3= 0, • a =— 1 或 a =⑵•••对一切 x € R 函数值均为非负，• △= 16a 2 — 4(2a + 6) = 8(2a 2 — a — 3)w 0..—31 w a w 2.…a + 3>0,• g(a) = 2— a|a + 3|=— a 2— 3a + 2答案 —：，0 u (2,+g )6.设x > 2，则函数x + 5 x + 2 y = x +1 的最小值是答案28~3[x + 1 + 4][ x + 1 + 1]解析 y =，设 x + 1x + 1t 2+ 5t + 4 4 t ，贝U t > 3,那么 y = t = t +1 + 5，在 t =3时，函数取得最小值即28 y mi n =区间［2 , + g )上此函数为增函数，所以3 217 d 3=—a+ 2 2+ 4 a€—1, ?•••二次函数g(a)在—1, 3上单调递减，3 19-g 2 三g(a) w g( —1) •即一丁三g(a)< 4.2 419g(a)的值域为一—,4.在［3,6］上为二次函数, 8 • (14分)已知定义在［0,6］上的连续函数f(x)，在［0,3］上为正比例函数,并且当x€ ［3,6］时，f(x)w f(5) = 3, f(6) = 2, 求f(x)的解析式.解由题意，当x€ ［3,6］时，可设f(x) = a(x—5)16+ 3 (a<0) •••• f(6) = 2,• a(6 —5)2+ 3 = 2，解得 a =—1,• f(x)=—(x—5)2+ 3=—x2+ 10x—22.当x€ ［0,3］时，设f(x)= kx (k z 0).••• x= 3 时，f(x)=—(3 —5)2+ 3=—1,1 1• •一17= 3k，k=— 3 ,• f(x) = —3X.—x2+ 10x—22 3w x W 6 .17—3x 0 w x<3 ,故f(x) =1即函数的值域是y|y w .(4) (基本不等式法)函数定义域为{x|x€ R , x>0,且X M 1}.当x>1 时，Iog3x>0, 于是y= log3x+lOg^—1>2、/log3x li—仁1；1 1综上得—3^ y<1. •函数的值域为—1, 1。

第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域(对应学生用书(文)、(理)9～10页)1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)＝x ＋1＋12－x的定义域为________． 答案：{x|x ≥－1且x ≠2}2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)＝(x －1)2－1，x ∈{－1，0，1，2，3}的值域是________． 答案：{－1，0，3}解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1，0，3}． 3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)＝2x5x ＋1的值域为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ≠25解析：由题可得f(x)＝2x 5x ＋1＝25－25（5x ＋1）.∵ 5x ＋1≠0，∴ f(x)≠25，∴ 值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ≠25.4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号) ① f(x)＝x 0，g(x)＝1x ；② f(x)＝xx，g(x)＝x ； ③ f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4；④ f(x)＝|x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x<0.答案：④解析：两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合．5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)＝x 2－2x ，x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，则b －a 的取值范围是________．答案：[2，4]解析：f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a ≤1，所以b －a ∈[2，4]．1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合． (2) 求定义域的步骤① 写出使函数式有意义的不等式(组)． ② 解不等式组．③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ． ④ y ＝a x ，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ． ⑤ y ＝tanx 的定义域为{x|x ≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥ 函数f(x)＝x a 的定义域为{x|x ≠0}． 2. 函数的值域(1) 在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2) 基本初等函数的值域 ① y ＝kx ＋b(k ≠0)的值域是R ．② y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b 24a ，＋∞)；当a<0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ．③y＝kx(k≠0)的值域为{y|y≠0}．④y＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R．⑥y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]．⑦y＝tanx的值域是R．3. 最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值．[备课札记]题型1 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1) y ＝12－|x|＋lg(3x ＋1)；(2) y ＝4－x 2ln （x ＋1）.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，3x ＋1>0⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－2且x ≠2，x>－13，解得x>－13且x ≠2，所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x>－13且x ≠2. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0⎩⎪⎨⎪⎧x>－1且x ≠0，－2≤x ≤2， 解得－1<x<0或0<x ≤2，所求函数的定义域为(－1，0)∪(0，2]． 变式训练(1) 求函数y ＝（x ＋1）0|x|－x的定义域；(2) 若函数y ＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝f （2x ）x －1的定义域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x<0， 所以x<－1或－1<x<0，即定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x<1，即定义域是[0，1)．题型2 求函数的值域 例2 求下列函数的值域： (1) y ＝x －3x －2；(2) y ＝x 2－2x －3，x ∈(－1，4]； (3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]；(4) y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．解：(1) (换元法)设3x －2＝t ，t ≥0，则y ＝13(t 2＋2)－t ＝13⎝⎛⎭⎫t －322－112，当t ＝32时，y 有最小值－112，故所求函数的值域为⎣⎡⎭⎫－112，＋∞. (2) (配方法)配方，得y ＝(x －1)2－4，因为x ∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]． (3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max ＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤54，32.(解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y2－y. 因为x ∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤32，即所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤54，32.(4) (基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t －2(t>0)．因为t ＋2t≥2t·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立， 故所求函数的值域为[22－2，＋∞)． 备选变式（教师专享） 求下列函数的值域： (1) f(x)＝1－x ＋x ＋3； (2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12；(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x ≤1.∴ f ()x ＝1－x ＋x ＋3的定义域是[]－3，1. ∵ y ≥0，∴ y 2＝4＋2()1－x ()x ＋3，即y 2＝4＋2－()x ＋12＋4()－3≤x ≤1. 令t ()x ＝－()x ＋12＋4()－3≤x ≤1.∵ x ∈[]－3，1，由t ()－3＝0，t ()－1＝4，t ()1＝0， ∴ 0≤t ≤4，从而y 2∈[]4，8，即y ∈[]2，22，∴ 函数f ()x 的值域是[]2，22.(2) g ()x ＝x 2－9x 2－7x ＋12＝()x ＋3()x －3()x －3()x －4＝x ＋3x －4＝1＋7x －4()x ≠3且x ≠4. ∵ x ≠3且x ≠4，∴ g ()x ≠1且g ()x ≠－6.∴ 函数g ()x 的值域是()－∞，－6∪()－6，1∪()1，＋∞. (3) 函数的定义域为{x|x>0且x ≠1}． 当x>1时，log 3x>0，y ＝log 3x ＋log x 3－1 ≥2log 3x ·log x 3－1＝1；当0<x<1时，log 3x<0，y ＝log 3x ＋log x 3－1 ＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]≤－2－1＝－3. 所以函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 题型3 函数值域和最值的应用 例3 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域． 解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)， 即f min (x)＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴ a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0， ∴ －1≤a ≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a ≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.当－1≤a ≤1，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋74， ∴ g(a)∈⎣⎡⎦⎤74，4；当1<a ≤32，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋94，∴ g(a)∈⎣⎡⎭⎫54，2.∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎡⎦⎤54，4. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝1－2a x －a 2x (a>1)．(1) 求函数f(x)的值域；(2) 若x ∈[－2，1]时，函数f(x)的最小值是－7，求a 的值及函数f(x)的最大值． 解：(1) 由题意，知f(x)＝2－(1＋a x )2，因为a x >0，所以f(x)<2－1＝1，所以函数f(x)的值域为(－∞，1)．(2) 因为a>1，所以当x ∈[－2，1]时，a －2≤a x ≤a ，于是f min (x)＝2－(a ＋1)2＝－7，所以a ＝2，此时，函数f(x)的最大值为2－(2－2＋1)2＝716.1. (2013·大纲)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________． 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析：由－1<2x ＋1<0，得－1<x<－12，所以函数f(2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12. 2. (2013·山东)函数f(x)＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 答案：(－3，0]解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x ≤0，即定义域为(－3，0]．3. (2013·北京)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________．答案：(－∞，2)解析：当x ≥1时，log 12x ≤log 121＝0，即f(x)≤0；当x<1时，0<2x <21，即0<f(x)<2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2)．4. (2013·徐州三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x<1，2x ＋12，x ≥1，若a>b ≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫54，3解析：画出分段函数的图象，从图象可知，12≤b<1，1≤a<log 252，f(a)＝f(b)，得bf(a)＝bf(b)＝b(b ＋2)＝(b ＋1)2－1在⎣⎡⎭⎫12，1上单调增，故bf(a)的取值范围是⎣⎡⎭⎫54，3.1. 设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R )，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f(x)的值域是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：由题意f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜g （x ），x 2－x －2，x ≥g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），x 2－x －2，x ≥g （x ），x ∈（－1，2），下面分段求值域，再取并集． 2. 已知二次函数f(x)＝ax 2－x ＋c(x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________．答案：10解析：由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c＝⎝⎛⎭⎫2a ＋8a ＋⎝⎛⎭⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎨⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10. 3. 已知函数f(x)＝log 13(－|x|＋3)的定义域是[a ，b](a 、b ∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b)有________对．答案：5解析：由f(x)＝log 13(－|x|＋3)的值域是[－1，0]，易知t(x)＝|x|的值域是[0，2]，∵ 定义域是[a ，b](a 、b ∈Z )，∴ 符合条件的(a ，b)有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．4. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a 、b 为常数，且a ≠0)满足条件：f(x －1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x 有等根．(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m 、n(m ＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．解：(1) f(x)＝－x 2＋2x.(2) 由f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f max (x)＝1，∴ 4n ≤1，即n ≤14＜1.故f(x)在[m ，n]上为增函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0， ∴ 存在m ＝－1，n ＝0，满足条件．1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等，理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。

创新方案高考数学复习人教新课标函数的定义域和值域高中数学函数的定义域和值域是数学中非常重要的概念，掌握了这两个概念，对于解决函数相关的问题就非常有帮助。

下面我们将讲解函数的定义域和值域的定义、计算方法及其应用。

一、函数的定义函数是指一个变量的值在另一个变量的值上的映射关系。

用符号表示，设函数为f，自变量为x，因变量为y，表示为y = f(x)。

其中，x是自变量，也叫输入量，可以取任意值；y是因变量，也叫输出量，由自变量确定。

函数的图象是由点(x，y)组成的平面点集。

二、函数的定义域定义域是指函数中自变量能取的值的集合。

通常用D(f)表示，其中f为函数。

举例来说，如果有一个函数：f(x) = √(x–1)，那么x ≥ 1，即x的取值范围为[1，+∞)。

因此，函数的定义域为D(f) = [1，+∞)。

计算函数的定义域时需要注意以下几点：1.如果函数中存在分数，那么分母的值不能为0。

2.如果函数中存在根式，那么被开方数的值必须大于等于0。

3.如果函数中存在对数，那么对数里面的值必须大于0。

4.如果函数中存在三角函数，那么三角函数里面的角度必须满足特定范围内的取值。

5.有些函数并没有定义域的限制，这种情况下，函数的定义域为实数域。

三、函数的值域值域是指函数中因变量能够取到的值的集合，通常用R(f)表示。

举例来说，对于函数f(x) = x^2，由于任意实数的平方都不会小于0，因此f(x)的值域为[0，+∞)。

计算函数的值域时存在以下几点需要注意：1.当函数为奇函数时，函数的值域包括0。

2.当函数为偶函数时，函数的值域不包括0。

3.当函数为周期函数时，函数的值域为其一个周期内的值域。

四、应用：函数的定义域和值域在很多数学问题中都起到了重要的作用。

例如：1.求解函数的单调性时，需要先确定函数的定义域。

2.求解函数的极值时，需要通过函数的定义域和值域来限定函数的取值范围。

3.在解方程和不等式的时候，需要先确定函数的定义域和值域。

2.2 函数的定义域及值域【考纲解读】【要点梳理】1.函数的定义域是自变量x 的取值集合，函数的值域是因变量y 的取值集合.2.已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0;(2)偶次根式函数,被开方数非负数;(3)一次函数、二次函数的这定义域为R ；（4）0x 中的底数不等于0；（5）指数函数xy a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >；（7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（9）cot y x =的定义域均为{}|,x x k k z π≠∈.4.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义.5.函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.【例题精析】考点一函数的定义域函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1.(2012年高考山东卷文科3)函数21()4ln(1)f x xx=+-+的定义域为( )(A)[2,0)(0,2]-(B)(1,0)(0,2]-(C)[2,2]-(D)(1,2]-1.(2011年高考江西卷文理科3)若()log()f xx12=2+1，则()f x的定义域为( ) A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须12log(21)0x+>,即0211x<+<,解得x1-<<02,故选A.考点二 函数的值域例2.（2010年高考山东卷文科3）函数()()2log 31x f x =+的值域为（ ） A. ()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣2.（2010年高考重庆卷文科4）函数164xy =-的值域是（ ） （A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 【答案】C 【解析】[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈.【易错专区】问题：对定义域理解不全而导致错误例.已知函数(1)f x +的定义域是[-1,1],求函数(2)xf 的定义域.【课时作业】1.(广东省肇庆市中小学教学质量评估2012届高中毕业班第一次模拟)已知函数()lgfx x=的定义域为M，函数2,231,1x xyx x⎧>=⎨-+<⎩的定义域为N，则M N=( )A. (0,1)B. (2,)+∞ C. (0,)+∞ D. (0,1)(2,)+∞【答案】D【解析】由已知得(0,),(,1)(2,)(0,1)(2,)M N M N=+∞=-∞+∞⇒=+∞.2．(广东省六校2012年2月高三第三次联考文科)函数1lg(1)y x x=--+的定义域为( )A．{|1}x x≥ B．{|11}x x-<< C．{|1}x x>- D．{|11}x x-<≤3.(2011年高考安徽卷文科13)函数216yx x=--的定义域是.【答案】（－3,2）【解析】由260x x-->可得260x x+-<，即()()+320x x-<，所以32x-<<.4. (北京市西城区2012年1月高三期末考试)函数21()logf xx=的定义域是______．【答案】{|011}x x x<<>或【解析】由2,0,1,log0xx xx>⎧∴>≠⎨≠⎩函数21()logf xx=的定义域为{|011}x x x<<>或. 5．(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)已知函数3()1+2+(0)f x x xx=>在x=a时取到最小值，则a=________．6．（辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科）若函数2()(2)xf x x x e=-的最小值是00(),f xx则值为．【答案】2【解析】由题意可知,本小题只能利用导数法求函数的最小值.【考题回放】1.(2011年高考广东卷文科4)函数1()lg(1)1f x xx=++-的定义域是（）A．(,1)-∞-B．(1,)+∞C．(1,1)(1,)-+∞D．(,)-∞+∞2．（2010年高考湖北卷文科5）函数0.51log(43)yx=-的定义域为（）A.(34,1) B(34,∞) C（1，+∞） D. (34,1)∪（1，+∞）【答案】A3．（2010年高考天津卷文科10）设函数2()2()g x x x R=-∈，()4,(),(),().(){g x x x g xg x x x g xf x++<-≥=则()f x的值域是（）（A）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦（B）[0,)+∞（C）9[,)4-+∞（D）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦为(2,)+∞；当(1,2)x ∈-时，()f x 的值域为9[,0)4-，故选D 。