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第15讲函数模型及其应用➢考点1 利用函数图象刻画实际问题[名师点睛]判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．[典例]1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()2.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0,0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)[举一反三]1.(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水； ②3时到4时不进水只出水； ③4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是________(填序号).3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.➢考点2 已知函数模型解决实际问题[名师点睛]求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 1.（2022·江苏·高三阶段练习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为00()n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时. 2.（2022·浙江·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()253,025050-,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）. (1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？[举一反三]1．（2022·广东茂名·二模）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（ ）A ．28hB ．28.5hC ．29hD ．29.5h2．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:003．（2022·福建福州·三模）某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P （单位，亿元）与时间t （单位：年）之间的关系为()()0110%tP t P =+，其中0P 为0=t 时的P 值.假定02P =，那么在10t =时，GDP 增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：101.1 2.59≈，当x 取很小的正数时，()ln 1x x +≈4．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x 万元，且25002,020()21406250370,20x x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.➢考点3 构建函数模型解决实际问题1.（2022·全国·高三专题练习）A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度.（1）求x的取值范围；（2）把月供电总费用y表示成x的函数；（3）核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？2.（2022·全国·高三专题练习）杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t ．（Ⅰ）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为8()2656()60p t Q t t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．[举一反三]1．（2022·福建龙岩·模拟预测）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A 地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A 地距离上海500km ，设车队从A 地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h 110~km/h .已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v km/h 的立方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.若1200b =，410a =，为了使全程运输成本最低，车队速度v 应为（ ） A ．80km/hB ．90km/hC ．100km/hD ．110km/h2．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11B ．22C ．227D ．4813．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．304．（2022·全国·高三专题练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3vN v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A．135 B．149C．165 D．1955．（2022·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分（x为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x=时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为___________.6．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml血液中的酒精含量y（单位：mg）与时间x（单位：h）的关系是：当113x<<时，227010801111y x x=-+；当113x≥时，110yx=，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h才可驾车.7．（2022·全国·高三专题练习）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元第15讲函数模型及其应用➢考点1 利用函数图象刻画实际问题[名师点睛]判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．[典例]1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()答案 B解析水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．2.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0,0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)答案 B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1.[举一反三]1.(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()答案 A解析根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水； ②3时到4时不进水只出水； ③4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是________(填序号). 答案 ①解析 由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确； 不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.答案 ②103解析 由散点图的走势，知模型①不合适.曲线过点⎝⎛⎭⎫4，73，则后三个模型的解析式分别为②y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，当t ＝1时，代入④中，得y ＝43，与图不符，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②式，得y ＝13＋log 28＝103(米).➢考点2 已知函数模型解决实际问题[名师点睛]求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．1.（2022·江苏·高三阶段练习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()tn （单位：小时）大致服从的关系为00()n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时. 【答案】647【解析】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，016N >， 16=，解得064t =.8，解得064N =，所以64()8,64n t n n <=≥⎩，所以当49n =时，64(49)7t =. 故答案为：6472.（2022·浙江·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()253,025050-,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）. (1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【解】(1)由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()22155330,02,7530225,02,75050750-30,2 5.1550-)30,2511x x x x x x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎧-+≤≤⎪⎪==⎨⎨-<≤⨯-<≤⎪⎪+⎩+⎩（ (2)解：由（1）得()()22175222,02,7530225,02,5=750750-30,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==；当25x <≤时，()()25780301780304801f x x x ⎡⎤=-++≤-⨯=⎢⎥+⎣⎦ 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立. 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =.∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.[举一反三]1．（2022·广东茂名·二模）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（ ）A ．28hB ．28.5hC ．29hD ．29.5h【答案】B【解析】解：根据题意可得5710n C =⋅，则当15A I =时，571015n n t ⋅=⋅，所以32231log 2log 222257575728.5h 333nt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即当放电电流15A I =，放电时间为28.5h. 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102t at t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:00【答案】A【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)， 代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102tt t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩， 令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫ ⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00. 故选：A.3．（2022·福建福州·三模）某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P （单位，亿元）与时间t （单位：年）之间的关系为()()0110%tP t P =+，其中0P 为0=t 时的P 值.假定02P =，那么在10t =时，GDP 增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：101.1 2.59≈，当x 取很小的正数时，()ln 1x x +≈ 【答案】0.52【解析】由题可知()()2110%2 1.1tt P t =+=⨯，所以()2 1.1ln1.1tP t '=⨯，所以()10102 1.1ln1.12 2.590.10.5180.52P '=⨯≈⨯⨯=≈,即GDP 增长的速度大约是0.52. 故答案为：0.52.4．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x 万元，且25002,020()21406250370,20x x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【解】(1)当020x <≤时，()(380150)S xR x x =-+ 25002380150x x x =--- 22120150x x =-+-，当20x >时，()(380150)S xR x x =-+ 62503702140380150x x x=+--- 6250101990x x=--+， 所以年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式为22120150,0206250101990,20x x x S x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩(2)当020x <≤时，2221201502(30)1650S x x x =-+-=--+， 所以函数S 在(0,20]上单调递增，所以当20x 时， S 取得最大值1450，当20x >时，62506250101990(10)1990S x x x x=--+=-++199050019901490≤-=-+=， 当且仅当625010x x=，即25x =时取等号，此时S 取得最大值1490，因为14901450>，所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元➢考点3 构建函数模型解决实际问题1.（2022·全国·高三专题练习）A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度. （1）求x 的取值范围；（2）把月供电总费用y 表示成x 的函数；（3）核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 【解】（1）由题意知x 的取值范围为[10，90].（2）222250.25200.2510(100)5(100)2y x x x x =⨯⨯+⨯⨯-=+-，∴2255(100)2y x x =+-（1090x ≤≤）；（3）2255(100)2y x x =+-215500250002x x =-+21510050000()233x =-+，∴1003x =时，min 500003y =． ∴核电站建在距A 城1003km 处，供电总费最少． 2.（2022·全国·高三专题练习）杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t ．（Ⅰ）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为8()2656()60p t Q t t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．【解】（Ⅰ）由题设，当210t ≤<时，令2()=500(10)p t k t --，而发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴2(2)=500(102)=372p k --，解得2k =.∴2300402,210()=500,1020t t t p t t ⎧+-≤<⎨≤≤⎩，故5t =时有2(5)=5002(105)=450p -⨯-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：25626016,210()134460,1020t t tQ t t t⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，∵210t ≤<时，()260132Q t ≤-=当且仅当4t =等号成立， ∴210t ≤<上max ()(4)132Q t Q ==，而1020t ≤≤上，()Q t 单调递减，则max ()(10)74.4Q t Q ==， 综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. [举一反三]1．（2022·福建龙岩·模拟预测）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A 地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A 地距离上海500km ，设车队从A 地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h 110~km/h .已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v km/h 的立方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.若1200b =，410a =，为了使全程运输成本最低，车队速度v 应为（ ） A ．80km/h B ．90km/h C ．100km/h D ．110km/h【答案】C 【解析】解：设运输成本为y 元，依题意可得432150055000000102002y v v v v ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭， 则()()()3622243222251051010105000000550000005v v v v v y v v v v v--++-=-===' 所以当210v =时0y '=，当60100v ≤<时0y '<，当100110v <≤时0y '>，即函数在()60,100上单调递减，在()100,110上单调递增，所以当100v =时取得极小值即最小值，所以100v =km/h 时全程运输成本最低； 故选：C2．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G G L L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11 B ．22 C ．227 D ．481【答案】D【解析】由于00G GL L D =，所以220.5GL D =⨯，依题意222290.5100.45D D⇒==⨯，则229100.5GL ⎫ ⎪⎝⎭⨯⎛=， 由220.50.05190G L ⨯<⎛⎫=⎪⎝⎭得2291101G ⎛⎫⎪<⎝⎭，221lg ,1l 1099g lg 101022G G ⎛⎫ ⎭<⎝<-⎪， ()2lg9lg 021G ⋅-<-，()92222,lg10lg 9lg10lg G G ⋅>->-， 222222480.35120.4812lg 37710.045G ==≈->-⨯， 所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．30【答案】C 【解析】设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得404040x y -=，0<x <40， 解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)， 当x ＝20时，S max ＝400．故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A ．135B ．149C ．165D ．195【答案】B【解析】由题意得，2010001000149300.70.30.720.3300.70.3v N v v d v v ==≤≈+++⨯++，当且仅当300.3v v=，即10v =时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B5．（2022·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg 积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg ，则额外奖励x 分（x 为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x =时，若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元； ②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x 的最大值为___________.【答案】 13 36【解析】①若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，则该家庭月底的积分为12010130+=分， 故该家庭该月积分卡能兑换1300.113⨯=元；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为()f t 元. 若0100t ≤<时，()0.10.340.40.136f t t t t =<⨯=恒成立；若100t ≥时，()0.10.10.340.4f t t x t =+≤⨯，可得()min 0.3636x t ≤=.故x 的最大值为36.故答案为：①13；②36.6．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml ，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量y （单位：mg ）与时间x （单位：h ）的关系是：当1103x <<时，227010801111y x x =-+；当113x ≥时，110y x =，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h 才可驾车.【答案】5.5 【解析】当1103x <<时，2227010802701080(2)11111111y x x x =-+=--+， 当2x =时，函数有最大值10802011>，所以当1103x <<时，饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量小于20mg/100ml ， 当当113x ≥时，函数110y x =单调递减，令11020 5.5y x x==⇒=，因此饮酒后5.5小时体内每100ml 血液中的酒精含量等于20mg/100ml ，故答案为：5.5。
学案12 函数模型及其应用导学目标： 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．自主梳理1．三种增长型函数模型的图象与性质函数 性质y ＝a x (a >1) y ＝log a x(a >1) y ＝x n (n >0)在(0，＋∞) 上的单调性增长速度图象的变化 随x 增大逐渐表现为与____平行 随x 增大逐渐表现为与____平行随n 值变化而不同2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y ＝a x (a >1)与幂函数y ＝x n (n >0)在区间(0，＋∞)上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定范围内a x 会小于x n ，但由于y ＝a x 的增长速度________y ＝x n 的增长速度，因而总存在一个x 0，当x >x 0时有________．(2)对数函数y ＝log a x (a >1)与幂函数y ＝x n (n >0) 对数函数y ＝log a x (a >1)的增长速度，不论a 与n 值的大小如何总会________y ＝x n 的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x 0，使x >x 0时有____________．由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x 0，使x >x 0时有_____________________．3．函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 4．函数建模的基本程序自我检测1．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是 ( )A ．v ＝1100e x B ．v ＝100ln xC ．v ＝x 100D ．v ＝100×2x2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51 3．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 ( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]4．(2011·湘潭月考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是 ( )5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时)探究点一 一次函数、二次函数模型 例1 (2011·阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？变式迁移1 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？探究点二 分段函数模型例2 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．变式迁移2 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．探究点三 指数函数模型例3 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式； (2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)变式迁移3 (2011·商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义． 2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面： (1)利用函数模型的单调性比较数的大小；(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式； (3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( )X 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 Y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61A.y ＝2xB ．y ＝log 2xC ．y ＝12(x 2－1) D ．y ＝2.61cos x2．拟定甲地到乙地通话m 分钟的电话费f (m )＝1.06×(0.5×[m ]＋1)(单位：元)，其中m >0，[m ]表示不大于m 的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m ∈[0.5,3.1]时，函数f (m )的值域是( )A ．{1.06,2.12,3.18,4.24}B ．{1.06,1.59,2.12,2.65}C ．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18}D ．{1.59,2.12,2.65} 3．(2011·秦皇岛模拟)某商店出售A 、B 两种价格不同的商品，由于商品A 连续两次提价20%，同时商品B 连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是 ( )A ．多赚约6元B ．少赚约6元C ．多赚约2元D ．盈利相同4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为 ( )A ．4 000元B ．3 800元C ．4 200元D ．3 600元 5．(2011·沧州月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 ( )A ．18万件B ．20万件C ．16万件D ．8万件题号1 2 3 4 5 答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t ，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2014年的垃圾量为__________t.7．(2010·金华十校3月联考)有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元 8.4元则下列说法中正确的是________(填序号)①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．三、解答题(共38分) 9．(12分)(2010·湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74，当m －n ≥0时，称不亏损企业；当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？10．(12分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)11．(14分)(2011·鄂州模拟)某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．(1)把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？答案 自主梳理1．增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 相对平稳 y 轴 x 轴 2.(1)快于 a x >x n(2)慢于 log a x <x n a x >x n >log a x自我检测1．A [由e>2，知当x 增大时，1100e x 增大更快．]2．B [依题意，可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆， ∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30 (x ≥0)． ∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．] 3．B [每10个人可以推选1个，(x mod 10)>6可以再推选一个，即如果余数(x mod 10)≥7相当于给x 多加了3，所以可以多一个10出来．]4．A 5．5解析 设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL ，则有0.3·⎝⎛⎭⎫34x ≤0.09，即⎝⎛⎭⎫34x ≤0.3. 估算或取对数计算，得5小时后，可以开车． 课堂活动区例1 解 (1)每吨平均成本为yx(万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48 ≥2x 5·8 000x－48＝32，当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15×(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．变式迁移1 解 (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆． (2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝⎛⎭⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.答 当每辆车月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307 050. 例2 解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)，∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t－550.综上，可知S ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， ∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30. ∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．变式迁移2 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ； 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，45时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫45<26.4； 当x ∈⎝⎛⎦⎤45，43时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫43<26.4； 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．例3 解题导引 指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示．通常可表示为y ＝a (1＋p )x (其中a 为原来的基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解 (1)由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)·6.24%＝f (1)×(1＋3.12%)，f (3)＝f (2)×(1＋6.24%)－12f (2)×6.24%＝f (2)×(1＋3.12%)＝f (1)×(1＋3.12%)2，∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．变式迁移3 解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100； 2小时后，细胞总数为 12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3小时后，细胞总数为 12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4小时后，细胞总数为 12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100； 可见，细胞总数y 与时间x (小时)之间的函数关系为：y ＝100×(32)x ，x ∈N *，由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2，∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45， ∴x >45.45.答 经过46小时，细胞总数超过1010个． 课后练习区1．B [通过检验可知，y ＝log 2x 较为接近．] 2．B [当0.5≤m <1时，[m ]＝0，f (m )＝1.06； 当1≤m <2时，[m ]＝1，f (m )＝1.59； 当2≤m <3时，[m ]＝2，f (m )＝2.12； 当3≤m ≤3.1时，[m ]＝3，f (m )＝2.65.] 3．B [设A 、B 两种商品的原价为a 、b ， 则a (1＋20%)2＝b (1－20%)2＝23⇒a ＝23×2536，b ＝23×2516，a ＋b －46≈6元．]4．B [设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (0<x ≤800)，(x －800)×14% (800<x ≤4 000)，11%·x (x >4 000).如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800.]5．A [利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．] 6．a (1＋b ) a (1＋b )5解析 由于2009年的垃圾量为a t ，年增长率为b ，故下一年的垃圾量为a ＋ab ＝a (1＋b ) t ，同理可知2011年的垃圾量为a (1＋b )2t ，…，2014年的垃圾量为a (1＋b )5 t.7．2 500 m 2解析 设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝⎛⎭⎫x ＋200－x 22＝2 500 m 2，等号当且仅当x ＝100时成立． 8．②④9．解 (1)由已知，m －n ＝92x －14－⎝⎛⎭⎫－14x 2＋5x ＋74 ＝14x 2－12x －2.……………………………………………………………………………(3分) 由m －n ≥0，得x 2－2x －8≥0，解得x ≤－2或x ≥4. 据题意，x >0，所以x ≥4. 故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机．………………………………(6分) (2)若企业亏损最严重，则n －m 取最大值．因为n －m ＝－14x 2＋5x ＋74－92x ＋14＝－14[](x －1)2－9＝94－14(x －1)2.………………………………………………………(9分)所以当x ＝1时，n －m 取最大值94，此时m ＝92－14＝174.故当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．………………(12分)10．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x (x ≥10，x ∈N *)．…………(5分)∵f (x )＝560＋48(x ＋225x )≥560＋48·2x ·225x＝560＋48×30＝2 000.……………(10分)当且仅当x ＝225x时，上式取等号，即x ＝15时，f (x )min ＝2 000.所以楼房应建15层．……………………………………………………………………(12分) 11．解 (1)依题意有 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100x －575 (x ≤10)，[100－(x －10)×3]x －575 (x >10)，……………………………………………(4分) 由于y >0且x ∈N *， 由⎩⎪⎨⎪⎧100x －575>0，x ≤10. 得6≤x ≤10，x ∈N *. 由⎩⎪⎨⎪⎧x >10，[100－(x －10)×3]x －575>0 得10<x ≤38，x ∈N *， 所以函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100x －575 (x ∈N *，且6≤x ≤10)，－3x 2＋130x －575 (x ∈N *，且10<x ≤38)， 定义域为{x |6≤x ≤38，x ∈N *}．…………………………………………………………(6分) (2)当x ＝10时，y ＝100x －575 (6≤x ≤10，x ∈N *)取得最大值425元，……………(8分)当x >10时，y ＝－3x 2＋130x －575，当且仅当x ＝－1302×(－3)＝653时，y 取最大值，但x∈N *，所以当x ＝22时，y ＝－3x 2＋130x －575 (10<x ≤38，x ∈N *)取得最大值833元．(12分)比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．……………………………(14分)。
