年广东省广州市高考数学一模试卷理科解析版

2022-2023学年广东省广州市天河区高三一模数学试题1. 设集合，集合，则( )A. B.C. D.2. 已知复数，则的虚部为( )A. B. C. D.3. 已知向量，，若，则实数m的值是( )A. B. C. 1 D. 44. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是( )A. B. C. D.5. 已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为( )A. B. C. D.6. 若数列满足，则的前2022项和为( )A. B. C. D.7. 已知一个圆台的母线长5，且它的内切球的表面积为，则该圆台的体积为( )A. B. C. D.8. 设，，，则( )A. B. C. D.9. 下列命题中，正确的命题有( )A. 已知随机变量X服从正态分布且，则B. 设随机变量，则C. 在抛骰子试验中，事件，事件，则D. 在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好10. 已知函数，则下列选项正确的有( )A. 函数极小值为1B. 函数在上单调递增C. 当时，函数的最大值为D. 当时，方程恰有3个不等实根11. 已知点，，且点P在圆C：上，C为圆心，则下列结论正确的是( )A. 的最大值为B.以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：C.当最大时，的面积为D. 的面积的最大值为12. 如图，长方体中，，，，点M是侧面上的一个动点含边界，P是棱的中点，则下列结论正确的是( )A. 当PM长度最小时，三棱锥的体积为B. 当PM长度最大时，三棱锥的体积为C. 若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为D. 若M在平面内运动，且，则点M的轨迹为圆弧13. 展开式中的系数为__________.14. 若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为__________.15. 写出一个周期为，且在区间上单调递减的函数解析式__________.16. 设双曲线C：的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左、右两支于点M，若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为__________.17. 已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项．求数列的通项公式：保持数列中各项先后顺序不变，在与…之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．18. 在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足求A；若，，AD是的中线，求AD的长．19. 某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立．从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求学生的分布列和数学期望；用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI 作业”的学生，用“”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”．比较方差和的大小关系．20. 如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，平面ABCD，，证明：平面平面EFC；在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为，求点M到平面BCF的距离．21. 已知椭圆C：，直线l：与椭圆C交于M，N两点，且点M位于第一象限．若点A是椭圆C的右顶点，当时，证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；当直线l过椭圆C的右焦点F时，x轴上是否存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．22. 已知函数，若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；若函数恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，属于容易题．先求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，故选2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的除法运算，以及共轭复数和复数的分类，属于基础题．根据已知条件，先对z化简，再结合共轭复数和虚部的定义，即可求解．【解答】解：，，其虚部为故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量共线的坐标运算，属基础题．由平面向量共线的坐标运算求解即可．【解答】解：已知向量，，又，则，即，故选4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查全概率公式，属于基础题．根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．【解答】解：由题意可得，从该地市场上买到一个合格产品的概率是故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦型函数的性质，以及三角函数的图象变换，属于中档题．首先利用三角函数的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，再平移变换得到，进一步利用函数的对称性求出结果．【解答】解：函数，把函数的图象向左平移个单位长度后得到：的图象，由于函数的图象关于y轴对称，故：，即：，所以：，，解得：，，当时，可得的最小值为故选6.【答案】D【解析】本题考查裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．直接利用数列的通项公式和裂项相消法在求和中的应用求出结果．【解答】解：数列满足，则数列的前2022项和为：故选7.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆台的内切球问题，球的表面积，圆台的体积，是较易题．先由圆台的内切球的表面积可得球的半径为2，再作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆的半径分别为x，y，，再根据题意建立方程组，解方程组后代入台体的体积公式计算即可得解．【解答】解：由圆台的内切球的表面积为，可得球的半径为2，如图作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆的半径分别为x，，则根据题意及右图可知，解得，又圆台高为4，该圆台的体积为故选8.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，属于中档题．根据题意，构造函数，利用导数可得在上单调递减，从而可解．解：根据题意，构造函数，则，令，又，则在上单调递减，故当时，，即得时，，则在上单调递减，所以，即，则有，故，故，故选9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了正态分布的性质，二项分布的数字特征，条件概率的计算公式，以及相关指数的含义，属于基础题．选项A，由正态分布的对称性，可得解；选项B，根据二项分布的方差的性质，得解；选项C，分别计算和的值，再由条件概率的计算公式，得解；选项D，根据相关指数的概念与性质，可判断．【解答】解：选项A，，即A错误；选项B，，即B正确；选项C，由题意知，，所以，而，所以，即C错误；选项D，由相关指数的概念与性质，可知D正确．故选10.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点，属于中档题．求导得，分析的符号，进而可得的单调性和极值，逐项判断，即可得出答案．【解答】解：，定义域为R，，所以在和上，，单调递增，在上，，单调递减，对于A：函数，故A正确；对于B：函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C：由上可知函数在，上单调递增，在上单调递减.又，，，，所以函数在上的最大值为，故C正确；对于D：因为，，再结合函数的单调性可得，当时，方程有3个不等的实根，故D错误.故选11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查点到圆上点的最值问题，圆中的三角形的面积问题，以及两圆的公共弦，属中档题．由题意画出图形，可得的最大值为，从而判断A；写出以AC为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立求解公共弦的方程判断B；数形结合求出当最大时的面积判断C；数形结合求得的面积的最大值判断【解答】解：如图所示，当P为射线BC与圆C的交点时，取得最大值，故A正确；圆C：，则圆心C为，AC的中点为，，则以AC为直径的圆的方程为，与联立消去二次项，可得公共弦所在的直线方程为：，故B正确；当AP与圆C相切以P与O重合为例时，最大，此时，故C错误；当P为与线段AB垂直的圆的直径的端点时，的面积有最大值为，故D正确．故选12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查棱锥的体积，与圆有关的轨迹问题，以及运用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，属于较难题．当M为中点时，PM长度最小，求得三棱锥的体积判断选项A；PM长度最大时点P有两个点可判断B；先判断出点M在侧面内运动的轨迹，再去求得其长度判断选项C；建立空间直角坐标系求得点M的轨迹方程判断选项【解答】解：选项A：当M为中点时，PM长度最小，最小长度为2，此时点P到平面BDM的距离即为C到平面BDM的距离，即是点C到BD的距离，即为，，故A正确；选项B：当PM最长时，点M可在A或点处，此时三棱锥的体积明显不一样，故体积有两个值，故B错误；选项C：取中点E，连接PE，ME，PM，由于，则平面，又，则，则，则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为1的半圆，所以点M在侧面内运动路径的长度为故C正确；选项D：以D为原点，分别以DA、DC、为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：则，，，，设，，，则，，，，，又，则，即，整理得，则点M的轨迹不为圆弧．故D错误．故选13.【答案】48【解析】【分析】本题考查二项式定理中指定项的系数，属于中档题．将多项式展开，结合二项式展开式的通项即可求解．【解答】解：因为，展开式的通项为，则展开式中的系数为，展开式中的系数即为展开式中x的系数，即，所以的展开式中的系数为，故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了点到直线距离公式，是中档题．求出原函数的导函数，利用导函数值为2求得切点横坐标，进一步求得切点纵坐标，再由点到直线的距离公式求解．【解答】解：由，得，由，可得，把代入，得与平行的直线切曲线于，可得点P到直线的距离为所以曲线上一点P到直线的最小距离为故答案为：15.【答案】答案不唯一【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．直接根据函数的周期和单调性即可求解．【解答】解：设，，所以，令注：函数图像最高点，得，，，所以这个函数可以为故答案为：答案不唯一.16.【答案】【解析】【分析】考查双曲线的简单几何性质，属于中档题．由MN为直径的圆经过点则可得：，且，所以为等腰直角三角形，设，则，可以求出其他线段的长度，在三角形中由余弦定理求出a，c 的关系，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：由MN为直径的圆经过点则可得：，且，所以为等腰直角三角形，所以如图所示；设，则，由双曲线的定义可得：，所以，解得，所以，在，由余弦定理可得：，即，可得，所以离心率为；故答案为：17.【答案】解：设等差数列的公差为，由是和的等比中项，得，即，解得；保持数列中各项先后顺序不变，在与…之间插入，则新数列的前20项为：1，，2，，3，，4，，5，，6，，7，，8，，9，，10，则【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，以及分组法求和，是较易题．设等差数列的公差为，由题意列关于d的方程，求解d，再由等差数列的通项公式求解；由题意得新数列的前20项，分组后由等差数列与等比数列的前n项和公式求解．18.【答案】解：，，，由正弦定理可得，，，，，又，，，，，即，，，，解得，由余弦定理可得，，解得，是的中线，，，所以AD的长为【解析】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及利用向量的数量积求向量的模，属于中档题．根据已知条件，结合三角形的性质，以及正弦定理，可得，再结合A的取值范围，即可求解；结合平面向量的数量积公式，以及余弦定理，求得，，再结合，即可求解．19.【答案】解：依题意，的可能取值为0，1，2，，，，所以的分布列为：012P故由题意，易知X服从二项分布，，Y服从二项分布，，故【解析】本题考查超几何分布的概率计算及分布列、均值，以及二项分布的方差，是中档题．根据超几何分布列分布列，求解期望；由二项分布的方差公式求解．20.【答案】解：证明：取EC的中点G，连接BD交AC于N，连接GN，GF，因为ABCD是菱形，所以，且N是AC的中点，所以且，又，，所以且，所以四边形BNGF是平行四边形，所以，因为平面ABCD，，所以，又因为，，所以平面EAC，所以平面EAC，又平面EFC，所以平面平面EAC；由得平面EAC，平面EAC，，又，平面MBD与平面ABCD的夹角为，又，，，，，又，，，到平面BCF的距离为E到平面BCF的距离的四分之一，，平面BCF，到平面BCF的距离等于A到平面BCF的距离，，，又，所以平面底面ABCD，过A作，垂足点为H，又，，所以平面BCF，又，到平面BCF的距离为，到平面BCF的距离为【解析】本题考查了线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，二面角的定义，面面垂直的性质定理，点面的距离，属中档题．取EC的中点G，连接BD交AC于N，连接GN，GF，证明，利用面EAC，证明面EAC，从而面面EAC；根据题意即证平面MBD与平面ABCD的夹角为，从而得，从而得M到平面BCF的距离为E到平面BCF的距离的四分之一，又易知平面BCF，从而得E到平面BCF的距离等于A到平面BCF的距离，即可解决.21.【答案】解：证明：设，则，，，，在椭圆上，，，所以直线AM和AN的斜率之积为定值．由椭圆C：，可得右焦点F坐标，设过右焦点的直线l的方程为，，，，由，得，由韦达定理可得：，，设x轴上存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等，则x轴是的平分线，即，，即，，，化简可得，该式对任意的恒成立，所以所以存在定点，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等.【解析】本题主要考查椭圆中的定值、定点问题，直线与椭圆的位置关系，是较难题．首先写出直线的斜率表达式，然后结合点在椭圆上即可证得题中的结论；设过右焦点的直线l的方程为，，，则，组成方程组得，，由题意可得x轴是的平分线，即，化简可得定点P的坐标.22.【答案】解：当时，在上无零点．当时，函数只有一个零点与函数有且仅有一个交点.，当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．当时，取得极大值即最大值，又，当x趋近于无穷大时，函数值趋近于零，画出图象，当或时，解得，或，函数只有一个零点.实数a的取值所构成的集合为函数恒成立，令，，对a分类讨论，当时，，满足条件；当时，，函数在上单调递增，若，则，存在使得，不满足条件．当时，令，存在，使得，即，当时，；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，时，函数取得极小值即最小值，，解得综上可得：实数a的取值范围为【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值，利用导数研究函数的零点，以及利用导数研究恒成立问题，属于较难题．当时，在上无零点．当时，函数只有一个零点与函数有且仅有一个交点．利用导数研究函数的单调性即可得出结论；函数恒成立，令，，，对a 分类讨论，研究函数的单调性与极值及其最值即可得出结论．。

2020年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<1,x∈R}，N={x||x|<2,x∈R}，则()A. M∩N=MB. M∩N=NC. M∪N=MD. M∪N=R2.若复数z满足方程z2+2=0，则z3=()A. ±2√2B. −2√2C. −2√2iD. ±2√2i3.若直线kx−y+1=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0有公共点，则实数k的取值范围是()A. [−3,+∞)B. (−∞,−3]C. (0,+∞)D. (−∞,+∞)4.已知p：|x+1|>2，q：2<x<3，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设函数f(x)=2cos(12x−π3)，若对于任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1−x2|的最小值为()A. π2B. πC. 2πD. 4π6.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B−APQC的体积是()A. 16V B. 29V C. 13V D. 79V7.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为()A. 514B. 914C. 37D. 478.已知直线l：y=x−2与x轴的交点为抛物线C：y2=2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB中点到抛物线准线的距离为()A. 8B. 6C. 5D. 49. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5=4，若S n ≥4a n +8(n ∈N ∗)，则n 的最小值为( )A. 8B. 9C. 10D. 1110. 已知点P(x 0,y 0)是曲线C ：y =x 3−x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y =8x −11平行，则( )A. x 0=2B. x 0=−43C. x 0=2或x 0=−43D. x 0=−2或x 0=4311. 已知O 为坐标原点，设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为A ，若b =|F 1F 2|−2|OA|，则双曲线C 的离心率为( )A. 54B. 43C. 53D. 212. 已知函数f(x)={−x 2−x +1,x <0x 2−x +1,x ≥0，若F(x)=f(x)−sin(2020πx)−1在区间[−1,1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+⋯+f(x m )=( )A. 4042B. 4041C. 4040D. 4039二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 在(ax +1x )(x 2−1)5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a =______．14. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3，若向量e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ 的夹角为5π6，则实数k 的值为______．15. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2(n ∈N ∗)，且m +S 2019=−1009，a 1m >0，则1a 1+9m 的最小值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 (1) ，表面积为 (2) ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）= 17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC √3．(1)求角C的大小；(2)求b+2a的最大值．18.随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；(1)以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；(2)依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)．19.如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点，将△AED沿ED折起，使得AB⊥AD，AC⊥AE，得到如图2的四棱锥A−BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．(1)求证：AH⊥平面BCDE；(2)求二面角B−AE−D的余弦值．20.已知⊙M过点A(√3,0)，且与⊙N：(x+√3)2+y2=16内切，设⊙M的圆心M的估轨迹为C，(1)求轨迹C的方程；(2)设直线l不经过点B(2,0)且与曲线C交于点P，Q两点，若直线PB与直线QB的斜，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，率之积为−12请说明理由．21. 已知函数f(x)=(x −4)e x−3+x 2−6x ，g(x)=(a −13)x −1−lnx ．(1)求函数f(x)在(0,+∞)上的单调区间；(2)用max{m,n}表示m ，n 中的最大值，f′(x)为f(x)的导函数，设函数ℎ(x)=max{f′(x),g(x)}，若ℎ(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n >ln3(n ∈N ∗)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ(θ为参数，且θ∈(π2,3π2))．(1)求C 1与C 2的普通方程，(2)若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB|的最小值．23. 已知函数f(x)=|3x −6|+|x +a|．(1)当a =1时，解不等式f(x)<3；(2)若不等式f(x)<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|0<x<1,x∈R}，N={x||x|<2,x∈R}={x|−2<x<2,x∈R}，∴M∩N={x|0<x<1,x∈R}=M，M∪N={x|−2<x<2,x∈R}=N．故选：A．求出集合M，N，进而求出M∩N，M∪N，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由z2+2=0⇒z=±√2i⇒z3=±2√2i，故选D．先求复数z，再求z3即可复数代数形式的运算，是基础题．3.【答案】D【解析】解：圆方程可整理为(x+1)2+(y−2)2=4，则圆心(−1,2)，半径r=2，≤2，整理得3k2−2k+3≥0，则圆心到直线的距离d=√1+k2因为△=4−36<0，故不等式恒成立，所以k∈(−∞,+∞)，故选：D．整理圆的方程得到其圆心与半径，直线与圆有交点等价于圆心到直线的距离d=≤2，解不等式即可√1+k2本题考查直线与圆的位置关系、根的判别式，不等式解集等，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：p：|x+1|>2，解得：x>1，或x<−3．q：2<x<3，则q⇒p，但是p无法推出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．解出不等式p，即可判断出关系．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2cos(12x−π3)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，∴f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是函数的半周期，T 2=12×2π12=2π；故选：C．由题意可知f(x1)≤f(x)≤f(x2)，f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是半个周期．本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，题意的正确理解，考查分析问题解决问题的能力．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查多面体体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．由题意画出图形，过P作PG//AB交BB1于G，连接GQ，由等体积法可得V B−APQC=2 3V ABC−PQG，再由已知得到V ABC−PQG=13V ABC−A1B1C1，即可得出．【解答】解：如图，过P作PG//AB交BB1于G，连接GQ，在三棱柱ABC −PQG 中，由等积法可得V B−APQC =23V ABC−PQG ， ∵AP =13AA 1，CQ =13CC 1，∴V ABC−PQG =13V ABC−A 1B 1C 1，∴V B−APQG =23V ABC−PQG =23×13V ABC−A 1B 1C 1=29V ．故选：B ．7.【答案】C【解析】解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾． 某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学． 现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n =C 105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m =C 22C 21C 31C 31+C 21C 22C 31C 31+C 21C 21C 32C 31+C 21C 21C 31C 32=108，则每个宣传小组至少选派1人的概率为P =m n=108252=37．故选：C ．基本事件总数n =C 105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m =C 22C 21C 31C 31+C 21C 22C 31C 31+C 21C 21C 32C 31+C 21C 21C 31C 32，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：抛物线C ：y 2=2px ，可得准线方程为：x =−p2，直线l ：y =x −2，经过抛物线的焦点坐标，可得P =4，抛物线方程为：y 2=8x 由题意可得：{y 2=8x y =x −2，可得x 2−12x +4=0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为：6， 则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为：6+2=8．故选：A．求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．9.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2+a5=4，可得：13+d+13+4d=4，解得d=23，所以S n=n3+n(n−1)×13=n23，a n=13+(n−1)×23=2n−13，S n≥4a n+8(n∈N∗)，可得：n23≥8n−43+8，可得：n2−8n−20≥0，解得n≥10或n≤−2(舍去)，所以n的最小值为10．故选：C．利用等差数列通项公式求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，结合不等式求解即可．本题考查等差数列的通项公式以及前n项和，数列与不等式相结合，考查转化首项以及计算能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：由y=x3−x2+1，得y′=3x2−2x，则曲线C在点P(x0,y0)处的切线的斜率为k=y′|x=x=3x02−2x0，∵曲线C在点P处的切线与y=8x−11平行，∴3x02−2x0=8，∴x0=2或x=−43，∵当x0=2时，切线和y=8x−11重合，∴x=−43．故选：B．先求出y=x3−x2+1的导数，得到曲线C在点P(x0,y0)处的切线斜率k，然后根据曲线C在点P处的切线与y=8x−11平行得到关于x0的方程，解方程得到x0的值，再检验得到符合条件的x0．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及角平分线的性质，属于中档题．由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|=|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b=|F1F2|−2|OA|=2c−2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|=|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|=2|OA|，而|BF1|=|PF1|−|PB|=|PF1|−|PF2|=2a，因为b=|F1F2|−2|OA|=2c−2a，而b2=c2−a2所以c2−a2=4(c−a)2整理可得3c2−8ac+5a2=0，即3e2−8e+5=0，解得e=53或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e=5，3故选：C．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，分段函数的图象，以及中心对称的函数的性质，属于中档题．本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和． 【解答】解：∵F(x)=f(x)−sin(2020πx)−1在区间[−1,1]上有m 个零点， ∴f(x)−1=sin(2020πx)在区间[−1,1]上有m 个根，即g(x)=f(x)−1={− x 2−x,x <0x 2−x,x ≥0与ℎ(x)=sin(2020πx)在区间[−1,1]上有m 个交点， ∵T =2πω=2π2020π=11010且ℎ(x)关于原点对称，在区间[−1,1]上ℎ(x)max =1，ℎ(x)min =−1 又∵g(x)=f(x)−1={− x 2−x,x <0x 2−x,x ≥0∴在区间[−1,1]上g(x)max =g(−12)=14，g(x)min =g(12)=−14， 且g(x)关于原点对称．∵根据g(x)和ℎ(x)函数图象特点易知在ℎ(x)一个周期内， g(x)和ℎ(x)图象有两个交点．∵T =11010∴在(0,1]内共有1010个周期， ∴g(x)和ℎ(x)图象共有2020个交点， ∵g(x)和ℎ(x)图象都关于原点对称，∴g(x)和ℎ(x)图象在[−1,0)U(0,1]共有4040个交点， 再加上(0,0)这个交点．∵g(x)关于原点对称，设x 1，x 2为关于原点对称的两个交点横坐标， ∴g(x 1)+g(x 2)=0，即f(x 1)−1+f(x 2)−1=0， 即f(x 1)+f(x 2)=2，∴f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+⋯+f(x m )=40402×2+f(0)=4040+1=4041．故选：B ．13.【答案】5【解析】解：∵(x 2−1)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r (x 2)5−r⋅(−1)r =(−1)r ⋅C 5r x 10−2r ，r =0，1， (5)∴(ax +1x )(x 2−1)5的展开式中含x 3的系数为a ×(−1)4×C 54+C 53⋅(−1)3=5a −10．又∵5a −10=15，∴a =5． 故答案为：5．先求得(x 2−1)5的展开式的通项公式，再列出含x 3的系数的关于a 的方程，最后求出a ． 本题主要考查二项式定理中的通项公式，属于基础题．14.【答案】−10【解析】解：单位向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3， 即|e 1⃗⃗⃗ |=|e 2⃗⃗⃗ |=1，e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos π3=12； 又向量e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ 的夹角为5π6，所以(e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )⋅(2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ )=|e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ |×|2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ |cos 5π6，即2×12+(4+k)×12+2k ×12=√12+4×12+4×12×√4×12+4k ×12+k 2×12×(−√32)； 8+5k =−√21⋅√k 2+2k +4； {8+5k ≤0(8+5k)2=21(k 2+2k +4)， 解得k =−10， 所以实数k 的值为−10．根据单位向量的定义与平面向量数量积的运算法则，求解即可． 本题考查了单位向量的定义与平面向量数量积的运算问题，是中档题．15.【答案】16【解析】解：由已知，a 2+a 3=−2； a 4+a 5=4； a 6+a 7=−6；⋮a 2018+a 2019=−2018；将上述等式左右分别相加，得S 2019−a 1=−2018+1008=−1010；将S 2019=a 1−1010代入等式m +S 2019=−1009， 得m +a 1=1；∵a 1m >0，故都为正数；∴1a 1+9m =(1a 1+9m )(m +a 1)=10+ma 1+9a 1m≥10+2√ma 1⋅9a 1m=16；当且仅当m =3a 1 即m =34，a 1=14时等号成立； 故答案为：16．通过递推式，可求得S 2019与a 1的关系，结合已知等式m +S 2019=−1009，即可求出结论．本题考查了利用递推式求数列前n 项的和，并探究数列的某些性质，属中档题．16.【答案】√3π33π【解析】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，该几何体的体积V =13×π×12×√3=√3π3；表面积S =π×12+12×2π×1×2=3π． 故答案为：√3π3；3π．由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1，高为√3.再由圆锥的体积公式及表面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意及正弦定理可得：abca 2+b 2−c 2=√3，由余弦定理得：a 2+b 2−c 2=2ab ⋅cosC ， 所以cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，又C 为△ABC 内角， ∴C =π3；(2)由正弦定理可得：asinA =bsinB =csinC =2， 所以a =2sinA ，b =2sinB ， 又因为A +B +C =π， 所以b =2sinB =2sin(A +π3)，所以b +2a =2sin(A +π3)+4sinA =sinA +√3cosA +4sinA =5sinA +√3cosA =2√7sin(A +ϕ)，且tanϕ=√35， 又因为A ∈(0,2π3)，所以sin(A +ϕ)max =1，所以b +2a ≤2√7，即b +2a 的最大值为2√7．【解析】(1)根据已知条件，结合正余弦定理可得cosC =12，由此即可求得C ； (2)易知b =2sinB =2sin(A +π3)，再由三角恒等变换可得b +2a =2√7sin(A +Φ)，结合A ∈(0,2π3)，可知sin(A +ϕ)max =1，由此求得b +2a 的最大值．本题涉及了正余弦定理，三角恒等变换，三角函数的图象及性质等基础知识点，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A ．由表可知P(x ≥20)=25100，所以P(A)=C 42(14)2(1−14)2=27128． (2)由题意得：x <20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H(3,3,12)P(Y =0)=C 93C 123=84220，P(Y =1)=C 92C 31C 123=108220，P(Y =2)=C 91C 32C 123=27220，P(Y =3)=C 33C 123=1220，所以Y 的分布列为：Y 0 1 2 3 P84220108220272201220Y 的分布列及数学期望E(Y)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34．【解析】(1)记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A.求出P(x ≥20)=25100=14，利用独立重复实验的概率求解即可． (2)由题意得：x <20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H(3,3,12)，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立重复实验的概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．19.【答案】(1)证明：由题意，AD =CD =1，BD =CE =√3， 又因为AB ⊥AD ，所以AB =√BD 2−AD 2=√3−1=√2=AC ，所以AC 2=AD 2+CD 2，即AD ⊥CD 又因为CD ⊥BD ，且BD ∩AD =D ，所以CD ⊥平面ABD.所以CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，CD 与BE 是相交直线， 所以AH ⊥平面BCDE ． (2)解：如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系 所以D(0,0,0)，B(√3,0,0)，E(√32,−12,0)，设点A(a,0,b)由AD =1,AB =√2得{a 2+b 2=1(a −√3)2+b 2=2，解得：a =√33,b =√63， 所以A(√33,0,√63)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√36,−12,−√63)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√33,0,−√63)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,√63)，设平面AED 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 所以{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0⟹{x 1=√3y 1+2√2z 1x 1+√2z 1=0，取z 1=−1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(√2,√6,−1)， 同理可得平面AEB 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√2)，所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ≥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√33， 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B −AE −D 的余弦值为−√33．【解析】(1)证明AD ⊥CD ，CD ⊥BD ，即可证明CD ⊥平面ABD.推出CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，即可证明AH ⊥平面BCDE ．(2)过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AED 的法向量，平面AEB 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −AE −D 的余弦值即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意⊙M 过点A(√3,0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，设两圆切点为D 所以|MD|+|MN|=|ND|=4，在⊙M 中，|MD|=|MA|所以|MA|+|MN|=4，所以M 的轨迹为椭圆，由定义可知{2a =4c =√3，所以求轨迹C 的方程为x 24+y 2=1．(2)当l 的斜率不存在的时，设P(x 0,y 0)，所以Q(x 0,−y 0)， 所以{k PB ⋅k QB =y0x 0−2⋅−y0x 0−2=−12x 024+y 02=1，解得{x 0=23y 0=2√23或{x 0=2y 0=0(舍)， 所以l 与x 轴的交点为(23,0)， 当l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1消元可得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0，△=(8kb)2−4(1+4k 2)(4b 2−4)=64k 2−16b 2+16>0， 所以4k 2>b 2−1，由韦达定理x 1+x 2=−8kb1+4k 2；x 1x 2=4b 2−41+4k 2， k PB ⋅k QB =y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+b)(x 1−2)(kx 2+b)(x 2−2)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 24b2−41+4k 2−8k 2b 21+4k 2+b 24b 2−41+4k 2−2−8kb 1+4k 2+4=b 2−4k 2(4k+2b)2=(b−2k)(b+2k)4(2k+b)2，又因为2k +b ≠0，所以b−2k4(b+2k)=−12，即b =−23k ， 所以b 2−1=(−23k)2−1<4k 2，所以b =−23k 成立， 所以y =kx −23k =k(x −23)，当x =23时，y =0，所以l 过(23,0)综上所述l 过定点，且点坐标为(23,0)．【解析】(1)由题意⊙M 过点A(√3,0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，推出M 的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求轨迹C 的方程．(2)当l 的斜率不存在的时，设P(x 0,y 0)，所以Q(x 0,−y 0)，利用斜率乘积以及点在椭圆上，转化求解l 与x 轴的交点为(23,0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1，通过判别式推出4k 2>b 2−1，结合韦达定理，利用斜率的乘积推出b =−23k ，然后得到直线系方程说明结果距离．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力是难题．21.【答案】解：(1)因为f(x)=(x −4)e x−3+x 2−6x ，所以f′(x)=(x −3)e x−3+2x −6=(x −3)(e x−3+2)， 令f′(x)=0得x =3当x >3时，f′(x)>0，f(x)单调递增 当0<x <3时，f′(x)<0，f(x)单调递减所以f(x)单调递增区间为(3,+∞)；f(x)单调递减区间为(0,3)．(2)由(1)知f′(x)=(x −3)(e x−3+2)，当x ≥3时f’(x)≥0恒成立，故ℎ(x)≥0恒成立 当x <3时，f’(x)<0，又因为ℎ(x)=max{f’(x),g(x)}≥0恒成立， 所以g(x)≥0在(0,3)上恒成立 所以(a −13)x −1−lnx ≥0，即a −13≥1+lnx x在(0,3)上恒成立令F(x)=1+lnx x ，则a −13≥F(x)max ， F’(x)=1−(lnx+1)x 2=−lnx x 2，令F’(x)=0得x=1，易得F(x)在(0,1)上单增，在[1,3)上单减，所以F(x)max=F(1)=1，所以a−13≥1，即a≥43综上可得a≥43，(3)设m(x)=e x−x−1(x>0)，则m′(x)=e x−1>0，所以m(x)在(0,+∞)上单增，所以m(x)>m(0)=0，即e x>x+1所以e1n+1n+1+1n+1+⋯+13n=e 1n⋅e1n+1⋅e1n+2…e13n>n+1n⋅n+2n+1⋅n+3n+2…3n3n−1⋅3n+13n>n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2…3n3n−1=3，所以1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n>ln3．【解析】(1)求出导函数，通过f′(x)=0得x=3然后判断函数的单调性求解函数的单调区间即可．(2)通过ℎ(x)=max{f’(x),g(x)}≥0恒成立，令F(x)=1+lnxx ，推出a−13≥F(x)max，结合函数的导数求解函数的最大值，求解即可．(3)设m(x)=e x−x−1(x>0)，利用函数的导数推出e x>x+1，然后结合不等式转化求解证明即可．本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的处理方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题可得：C1的普通方程为2x−y−5=0又因为C2的参数方程为{x=√3cosθy=√3tanθ，两边平方可得{x2=3cos2θy2=3sin2θcos2θ，所以C2的普通方程为x23−y23=1，且x≤−√3．(2)由题意，设C1的平行直线2x−y+c=0联立{2x−y+c=0x23−y23=1消元可得：3x2+4cx+c2+3=0所以△=4c2−36=0，解得c=±3又因为x≤−√3，经检验可知c=3时与C2相切，所以|AB|min =√22+(−1)2=8√55．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)a =1时，f(x)=|3x −6|+|x +1|={−4x +5,x <−1−2x +7,−1≤x ≤24x −5,x >2；当x <−1时，由f(x)<3得−4x +5<3，解得x >12(不合题意，舍去)； 当−1≤x ≤2时，由f(x)<3得−2x +7<3，解得x >2(不合题意，舍去)； 当x >2时，由f(x)<3得4x −5<3，解得x <2(不合题意，舍去)； 所以不等式f(x)<3的解集⌀；(2)由f(x)=|3x −6|+|x +a|<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立， 得−(3x −6)+|x +a|<11−4x ，即|x +a|<5−x ， 所以{|x +a|<5−x 5−x >0，所以{x −5<x +ax +a <5−x，得a >−5且a <5−2x 对任意x ∈[−4,−32]成立；即−5<a <8，所以a 的取值范围是(−5,8)．【解析】(1)a =1时，f(x)=|3x −6|+|x +1|，讨论x 的取值范围，去掉绝对值求不等式f(x)<3的解集即可；(2)f(x)=|3x −6|+|x +a|<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立，等价于|x +a|<5−x 恒成立，去绝对值，从而求出a 的取值范围．本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法问题，是中档题．。

2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，则M∩N=()A. {x|1<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|x<2}D. R2.设复数z=1−i，则z3=()A. −2+2iB. 2+2iC. −2−2iD. 2−2i3.若直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，则实数b的取值范围是()A. [−2,2]B. [−3,1]C. [−4,0]D. [−5,−1]4.条件p：|x−m|≤2，条件q：−1≤x≤n，若p是q的充要条件，则m+n=()A. 2B. 3C. 4D. 55.当0≤x≤π2时，函数f(x)=sinx+√3cosx的()A. 最大值是√3，最小值是12B. 最大值是√3，最小值是1C. 最大值是2，最小值是1D. 最大值是2，最小值是126.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,，M是AA1的中点，则三棱锥A1−MBC1的体积为()A. 5B. 4C. 3D. 27.同文中学在高一年级进行“三城同创”演讲比赛，如果高一(8)班从3男1女4位同学中选派2位同学参加此次演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是()．A. 34B. 14C. 23D. 128.直线l：y=k(x−1)与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为3，则|AB|的值为()A. 8B. 8√3C. 6√3D. 69.若等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，a8+a9=9，则S9=()A. 15B. 16C. 17D. 1810.曲线y=3x−lnx在点(1,3)处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+5C. y=2x+1D. y=2x−111.已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为()A. aB. bC. a2D. b212.函数f(x)=x2−x−2的零点是()A. –2，–1B. 2，–1C. 1，2D. 1，–2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，俯视图为圆，若已知该几何体的表面积为16π，则x=______ ．14.已知(2+x2)(ax+1a)6展开式中含x4项的系数为45，则正实数a的值为______．15.设单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，若(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，则实数k的值是______ ．16.已知数列{a n}的前n项和S n=n3，则a6+a7+a8=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．(1)证明：b=2a；(2)若c=√7a，求∠C大小．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；(2)某调查人员在调查这200人时，有3张周末的马拉松训练活动体验卡要向他们发放，若被调查者为“热烈参与者”，即送其1张体验卡，否则不予送出．调查人员顺次调查完前3人后，剩余的体验卡数量为ξ，试根据统计表的数据，以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，求ξ的分布列及期望．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求二面角D−BE−B1的余弦值．20.已知定点A(−3,0)、B(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−1，记动点M的9轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．21. 已知函数f(x)=ln(x +a)−x ，a ∈R ．(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间；(2)若x ≥1时，不等式e f(x)+a 2x 2>1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =1+12t y =√32t(t 为参数)，曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若Q 是曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)上的一个动点，设点P 是曲线C 1上的一个动点，求|PQ|的最大值．23. 设f(x)=|x +1|−|2x −1|，(1)求不等式f(x)≤x +2的解集；(2)若不等式满足f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)对任意实数x ≠0恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．求出集合M，N，即可求解．解：∵集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，∴M∩N={x|0<x<1}．故选B．2.答案：C解析：本题考查了复数的运算法则、考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．解：，故选C．3.答案：D解析：本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．将圆的一般方程转化为标准方程，根据题意可知圆心(2,−1)到直线x−y+b=0的距离小于等于半径√2，即可求得b的取值范围．解：圆x2+y2−4x+2y+3=0转化成标准方程为(x−2)2+(y+1)2=2，圆心为(2,−1)，半径为√2，因为直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，≤√2，解得−5≤b≤−1，所以√1+1故选：D．4.答案：C解析：解：条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，∴m−2=−1，m+2=n，解得m=1，n=3．则m+n=4．故选：C．条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，可得m−2=−1，m+2=n，解出即可得出．本题考查了不等式与方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：利用辅助角公式将函数f(x)化简，根据三角函数的有界限求解即可．本题考查三角函数的图象及性质的运用，考查转化思想以及计算能力．解：函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3).当0≤x≤π2时，则π3≤x+π3≤5π6，那么：当x+π3=5π6时，函数f(x)取得最小值为1．当x+π3=π2时，函数f(x)取得最大值为2．故选C．6.答案：B解析：本题考查三棱柱体积的求法，属于基础题.根据题意可得sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，即可得到S△A1MB,进而求出三棱锥A1−MBC1的体积．解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,M是AA1的中点，则sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，所以S△A1MB =12·A1M·A1B·sin∠MA1B=12×2×5×35=3，所以棱锥A1−MBC1的体积为 VA1−MBC1=VC−A1MB=13×C1A1·S△A1MB=13×4×3=4．7.答案：D解析：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C42=6，选派的都是男生包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出选派的都是男生的概率．解：高二8班从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，三男一女分别记为A，B，C，D，则4位同学中选派2位同学的结果有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，选派的都是男生包含的结果有AB，AC，BC，共三种，∴选派的都是男生的概率p=36=12．故选D．8.答案：A解析：本题考查抛物线的性质和应用，正确运用抛物线的定义是关键．线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．解：由题设知直线l：y=k(x−1)经过抛物线C：y2=4x的焦点坐标，线段AB的中点到准线的距离为3+1=4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选：A．9.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，属于基础题．由a 8+a 9=9，a 4=1联立解方程组即可求出等差数列的的公差和首项，然后代入求和公式． 解：因为{a n }是等差数列，所以可设a n =a 1+(n −1)d ，所以a 4=a 1+3d =1，a 8+a 9=2a 4+9d =9，所以d =79，a 1=−43，所以S 9=9×(−43)+9×82×79=16． 故选B ． 10.答案：C解析：本题考查曲线的切线方程，考查导数的几何意义，属于基础题．求导数，确定切线的斜率，即可求出曲线y =3x −lnx 在点(1,3)处的切线方程． 解：由题意，y ′=3−1x ，所以曲线过点(1,3)处的切线斜率为k =3−1=2，所以切线方程为y −3=2(x −1)，即y =2x +1，故选C ． 11.答案：A解析：解：依题意如图，延长F 1M ，交PF 2于点T ，∵PM 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PM 的垂线，∴PM 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|=|PT|，∵P为双曲线x2a2−y2b2=1上一点，∴|PF1|−|PF2|=2a，∴|TF2|=2a，在三角形F1F2T中，MO是中位线，∴|OM|=a．故选：A．先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PM是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题．12.答案：B解析：本题主要考查函数零点的判定定理．由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．令f(x)=0，由二次方程的解法，运用因式分解解方程即可得到所求函数的零点．解：令f(x)=0，即x2−x−2=0，即有(x−2)(x+1)=0，解得x=2或x=−1．即函数f(x)的零点为2或−1．故选B．13.答案：2√3解析：解：由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，∵正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，∴圆锥的高是x，则半径为xtan60°=√3，母线长是xsin60°=2√3x3，则圆柱的底面半径是√3，高是1，∵该几何体的表面积为16π，∴π×(√3)2+2π×√3×1+π√3× 2√3x 3=16π，化简得，√3x 2+2x −16√3=0， 解得x =2√3或x =3舍去)， 故答案为：2√3．由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，由条件和直角三角形的三角函数求出半径、圆锥母线长，利用圆柱、圆锥的表面积公式列出方程求出x 的值．本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．14.答案：√22或1解析：本题考查了二项式定理的应用以及利用二项展开式的通项公式求展开式中某项系数的问题，是综合性题目，属于基础题．根据(ax +1a )6展开式的通项公式求出展开式中含x 4与x 2，从而求出(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数，列出方程求出正实数a 的值． 解：∵(ax +1a )6展开式的通项公式为：T r+1=C 6r ⋅(ax)6−r ⋅(1a )r =C 6r⋅a 6−2r ⋅x 6−r ，令6−r =4，得r =2，∴T 2+1=C 62⋅a 2⋅x 4=15a 2x 4，令6−r =2，得r =4，∴T 4+1=C 64⋅a −2⋅x 2=15a −2x 2，∴(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数为： 2×15a 2+15a −2=45， 整理得2a 4−3a 2+1=0， 解得a 2=1或a 2=12， ∴正实数a =1或a =√22．故答案为√22或1．15.答案：54解析：本题考查了平面向量的数量积公式的应用以及向量垂直的性质；属于常规题．首先求出单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的数量积，再根据(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )·(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，得到关于k的方程解之即可．解：因为单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，所以e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos2π3=−12，并且(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，所以(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，展开得k e1⃗⃗⃗ 2−2e2⃗⃗⃗ 2+(1−2k)e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =0，即k−2−12(1−2k)=0，解得k=54．故答案为：54．16.答案：387解析：本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列部分项的和，是基础的计算题．由已知数列的前n项和，利用a6+a7+a8=S8−S5求得结果．解：由S n=n3，得a6+a7+a8=S8−S5=83−53=387．故答案为：387．17.答案：解：(1)sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．∴sin(2A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴−sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA，即sinB=2sinA，故由正弦定理可得b=2a．(2)由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+4a 2−7a 24a 2=−12，因为∠C 是△ABC 的内角， 故∠C =2π3．解析：(1)等式可化简为sinB =2sinA ，故由正弦定理可得b =2a ； (2)由余弦定理可得cosC =−12，∠C 是△ABC 的内角，故可得∠C =2π3．本题主要考查了余弦定理的综合应用，属于基础题．18.答案：解：(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，则估计该市“热烈参与者”的人数约为：20000×15=4000； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，P(ξ=0)=C 30×(15)3=1125， P(ξ=1)=C 31×45×(15)2=12125， P(ξ=2)=C 32×(45)2×15=48125， P(ξ=3)=C 33×(45)3=64125，∴ξ的分布列为：E(ξ)=3×45=125．解析：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，可估计该市“热烈参与者”的人数； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．19.答案：证明：(1)∵AB =BC =CA ，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，又平面AA 1C 1C ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ， 又AE ⊂平面AA 1C 1C ， ∴BD ⊥AE ．又∵在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点， 根据相似三角形，易得A 1D ⊥AE ． 又A 1D ∩BD =D ，A 1D 、BD ⊂平面A 1BD ， ∴AE ⊥平面A 1BD ．解：(2)因为BD ⊥平面AA 1C 1C ，根据题意，取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， D(0,0，0)，E(1,−1,0)，B(0,0,√3)，B 1(2,0,√3)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3)， 设平面DBE 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3z =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x −y =0，令x =1，则m⃗⃗⃗ =(1,1，0)， 设平面BB 1E 的一个法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2a =0EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a +b +√3c =0，令c =√3，则n ⃗ =(0,−3,√3) 设二面角D −BE −B 1的平面角为θ，观察可知θ为钝角， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√64，∴cosθ=−√64，故二面角D −BE −B 1的余弦值为−√64．解析：本题考查线面垂直的证明，考查向量法求解二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出BD ⊥AC ，从而平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，进而BD ⊥平面AA 1C 1C ，BD ⊥AE ，再求出A 1D ⊥AE ，由此能证明AE ⊥平面A 1BD ．(2)取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −BE −B 1的余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)， ∵k MA k MB =−19，即yx+3⋅yx−3=−19． 化简得x 29+y 2=1，由已知x ≠±3， 故曲线C 的方程为x 29+y 2=1(x ≠±3)．(Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)， 设l 的方程为x =my +1， 则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得 (m 2+9)y 2+2my −8=0， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{y 1+y 2=−2mm 2+9y 1y 2=−8m 2+9， 直线SP 与SQ 斜率分别为k SP =y 1x 1−s =y 1my 1+1−s ，k SQ =y 2x 2−s =y2my 2+1−s ，k SP k SQ =y 1y 2(my 1+1−s)(my 2+1−s)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(1−s)(y 1+y 2)+(1−s)2=−8(s 2−9)m 2+9(1−s)2．当s =3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−29； 当s =−3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−118．所以存在定点S(±3,0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于较难题． (Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)，利用k MA k MB =−19，求出曲线C 的方程． (Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)，设l 的方程为x =my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得(m 2+9)y 2+2my −8=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)利用韦达定理求解直线的斜率，然后化简即可推出结果．21.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=ln(x −1)−x ，x >1，f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，当1<x <2时，f′(x)>0，f(x)递增， 当x >2时，f′(x)<0，f(x)递减， 故f(x)在(1,2)递增，在(2,+∞)递减；(2)由题意得：x ≥1时，x +a >0恒成立，故a >−1，①， 不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立， 即a2x 2+x+a e x −1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a2x 2+x+a e x−1，x ≥1，g′(x)=ae x x−x+1−ae x，a ≤0时，g(2)=a(2+1e 2)−1+2e 2<0，不合题意， a >0时，要使x ≥1时，不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立， 只需g(1)=a(12+1e )−1+1e >0，即a >2(e−1)e+2，a >2(e−1)e+2时，ae x x −x +1−a =a(e x x −1)+1−x >2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，设ℎ(x)=2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，x ≥1，ℎ′(x)=2(e−1)e+2e x x +2(e−1)e+2e x −1，x ≥1，显然ℎ′(x)在(1,+∞)递增，∴ℎ′(x)>ℎ′(1)=4e 2−5e−2e+2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)递增，ℎ(x)>ℎ(1)=2(e−1)2e+2>0，即ae x x −x +1−a >0，②， 由①②得：a >2(e−1)e+2时，满足题意．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为a2x 2+x+a e x−1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a 2x 2+x+a e x−1，x ≥1，通过求导得到g(x)的单调性，从而求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.答案：解：(1)由曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得普通方程为x 22+y 2=1．把直线l 的参数方程代入为x 22+y 2=1，得7t 2+4t −4=0．则t 1+t 2=−47，t 1t 2=−47．∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=8√27； (2)设点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)为x 2+(y −3)2=1． ∴|PC 2|=√x 2+(y −3)2=√−(y +3)2+20， ∵−1≤y ≤1， ∴|PC 2|的最大值为4， 则|PQ|的最大值为5．解析：(1)化曲线C 1的参数方程为普通方程，把直线的参数方程代入，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及此时t 的几何意义求解；(2)点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2的参数方程为普通方程，由两点间的距离公式写出|PC 2|，利用二次函数求其最大值，进一步得到|PQ|的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了圆与椭圆位置关系的应用，是中档题．23.答案：解：(1)根据题意可得，当x <−1时，−x −1+2x −1≤x +2，解得−2<2，所以x <−1；…(1分) 当−1≤x ≤12时，x +1+2x −1≤x +2，解得x ≤1，所以−1≤x ≤12；…(2分) 当x >12时，x +1−2x +1≤x +2，解得x ≥0，所以x >12；…(3分) 综上，不等式f(x)≤x +2的解集为R …(5分) (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，…(6分)因为||x+1|−|2x−1||x||=||1+1x|−|2−1x||≤|1+1x+2−1x|=3，…(8分)当且仅当(1+1x )(2−1x )≤0时取等号， 因为|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，所以|a −1|+|a +1|≥3，解得a ≤−32或a ≥32，故实数a 的取值范围为(−∞,−32]∪[32,+∞)…(10分)解析：(1)利用x 的范围去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可． (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，利用绝对值不等式的几何意义求解左侧的最值，然后求解a 的范围即可．本题考查不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．。

2022年广东省高考一模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}，B ＝{x |x 2＜1}，则A ∪B 等于（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |﹣2＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜0}D ．{x |x ＜1}2．（5分）已知复数z =12−i ，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，DD 1＝2，则该长方体的外接球的体积为（ ）A ．9πB ．12πC ．36πD ．144π4．（5分）函数f （x ）＝sin x 2的图象向左平移k （k ＞0）个单位长度后得到的函数的图象关于y 轴对称，则k 的值可以是（ ） A ．π2B ．πC ．32πD ．2π5．（5分）已知角α与角β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，则一定成立的是（ ） A ．sin α＝sin βB ．sin α＝cos βC ．cos α＝cos βD ．cos α＝sin β6．（5分）已知函数f （x ）={x 2+2x ，x ≤a x −1，x ＞a，若f （x ）有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0≤a ＜1}B ．{a |﹣1≤a ＜0}C ．{a |﹣1≤a ＜1}D ．{a |a ＜1}7．（5分）已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2＝4上的两个动点，且OA ⊥OB ，则A ，B 两点到直线l ：x ﹣y +4＝0的距离之和的取值范围是（ ） A ．[2，2√2]B ．[2，3√2]C ．[2√2，4√2]D ．[2√2，6√2]8．（5分）已知A （0，﹣1），B （1，0），O 为坐标原点，点P 为曲线y ＝e x 上的动点，且OP →=λOA →+μOB →（e ＝2.718…为自然对数的底数，λ，μ∈R ），则λ+μ的最大值是（ ） A ．e ﹣1B ．1﹣eC ．1D ．﹣1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）已知双曲线C ：x 23−y 2＝1，则（ ）A ．C 的焦点坐标为（−√2，0）和（√2，0）B ．C 的渐近线方程为y =13x 和y =−13xC ．C 的离心率为2√33D ．C 与直线l ：y =√33x +1有且仅有一个公共点（多选）10．（5分）如图，P ，Q 分别是正方形ABCD 的两边AB ，AD 上的动点，则一定成立的是（ ）A ．AP →⋅AC →=AQ →⋅AC →B ．AP →⋅AD →=AQ →⋅AB →C ．DP →⋅DA →=BQ →⋅AC →D ．DP →⋅DC →=BQ →•BA →（多选）11．（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k （k ∈N *）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12．若某人获胜的局数大于k ，则此人赢得比赛．下列说法正确的是（ ）A ．k ＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为14B ．k ＝2时，甲嬴得比赛与乙嬴得比赛的概率均为516C ．在2k 局比赛中，甲获胜的局数的期望为kD ．随着k 的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近12（多选）12．（5分）已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝a ，a n +1＝a n −1n2a n 2．下列说法正确的是（ ）A．0＜a2≤1 4B．a n+1＜a nC．1a n+1−1a n＞1n2D．数列{a n+1﹣a n}为递减数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上.13．（5分）直线l过点（1，0），且与抛物线y2＝4x交于A，B两点．若|AB|＝8，则线段AB 的中点M到y轴的距离是．14．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且在（﹣∞，0]上单调递增，则关于x 的不等式f（|x|+2）＞f（x2）的解集是．15．（5分）英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料提出假设“孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生物总数成正比”，并通过此假设于1798年给出了马尔萨斯人口方程N（t）＝N0e r(t−t0)），其中N0为t0时刻的人口数，N（t）为t时刻的人口数，r 为常数．已知某地区2000年的人口数为230万，r＝0.02，用马尔萨斯人口方程预测该地区2035年的人口数（单位：万）约为.（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为平面DBA1内的动点，且AP=√22．设直线BD与AP所成的角为θ，则当θ最小时，cosθ的值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝1，a2＝b1＝2．（1）求{a n}的通项公式；（2）从下列给出的三个条件①、②、③中选择一个作为已知条件，使得{b n}存在且唯一，并求数列{b an}的前n项和S n．条件：①b3＝8；②a b2=4；③a2+b2＝2a3．18．（12分）某科研团队研发针对病毒α的疫苗，并进行接种试验．如果人体在接种疫苗之后的一定时期内产生了针对病毒α的抗体，则称该疫苗有效．该科研团队对其研发的疫苗A 和疫苗B ，分别进行了接种试验，然后在接种了疫苗A 和疫苗B 的人群中分别随机抽取了部分个体，并检测其体内是否产生了针对病毒α的抗体，获得样本数据如表：抽取人数 其中产生抗体人数接种疫苗A 120 80 接种疫苗B10080（1）从接种疫苗A 的人群中任取3人，记产生抗体的人数为X ，用样本数据中产生抗体的频率估计概率，求X 的分布列及其数学期望；（2）根据样本数据，是否有95%的把握认为疫苗A 与疫苗B 的有效性存在差异？说明理由．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P （ χ2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a sin B =√3b （1﹣cos A ）． （1）求A 的大小；（2）若c 2＝b 2+bc ，求sin C 的值．20．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为线段CD 的中点，AB ＝BC =12CD ＝2，将△DAE 沿AE 折起到△DAE 的位置，使得平面D 1AE ⊥平面ABCE ．（1）求证：AE ⊥D 1B ；（2）在线段D 1B 上是否存在点Q ，使得平面QAC 与平面ABCE 的夹角为60°？若存在，求出D 1Q D 1B的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过A 1（﹣2，0）和B （0，−√3）两点，点A 2为椭圆C 的右顶点，点P 为椭圆C 上位于第一象限的点，直线P A 1与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）比较△MNA1的面积与△NA2B的面积的大小，并说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣a+x﹣2（a∈R）．（1）求证：f（x）仅有一个零点；（2）若a≤1，求证：f（x）≥−12x2+3x−52．2022年广东省高考一模数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2＜1}，则A∪B等于（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜1}【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣2＜x＜1}故选：B．2．（5分）已知复数z=12−i，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z=12−i=2+i(2−i)(2+i)=25+15i，∴z=25−15i，∴z在复平面内所对应的点（25，−15）位于第四象限．故选：D．3．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，DD1＝2，则该长方体的外接球的体积为（）A．9πB．12πC．36πD．144π【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，DD1＝2，设长方体的外接球的半径为R，故（2R）2＝42+42+22，解得R＝3，所以V 球=43⋅π⋅33=36π． 故选：C ．4．（5分）函数f （x ）＝sin x2的图象向左平移k （k ＞0）个单位长度后得到的函数的图象关于y 轴对称，则k 的值可以是（ ） A ．π2B ．πC ．32πD ．2π【解答】解：函数f （x ）＝sin x 2的图象向左平移k （k ＞0）个单位长度后， 得到的函数y ＝sin （x2+k2）的图象，由于函数y ＝sin （x 2+k 2）的图象关于y 轴对称，则k2=n π+π2，n ∈Z ，即k ＝（2n +1）π，n ∈Z ． 令n ＝0，可得k ＝π， 故选：B ．5．（5分）已知角α与角β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，则一定成立的是（ ） A ．sin α＝sin βB ．sin α＝cos βC ．cos α＝cos βD ．cos α＝sin β【解答】解：角α与角β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合， 若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，则α+β＝2k π，k ∈Z ， 故有cos α＝cos β，sin α＝﹣sin β， 故选：C ．6．（5分）已知函数f （x ）={x 2+2x ，x ≤a x −1，x ＞a，若f （x ）有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0≤a ＜1}B ．{a |﹣1≤a ＜0}C ．{a |﹣1≤a ＜1}D ．{a |a ＜1}【解答】解：因为y ＝x 2+2x 有2个零点x ＝﹣2和x ＝0，y ＝x ﹣1有1个零点x ＝1，所以若要使f（x）有3个零点，则0⩽a＜1，故选：A．7．（5分）已知A，B是圆O：x2+y2＝4上的两个动点，且OA⊥OB，则A，B两点到直线l：x﹣y+4＝0的距离之和的取值范围是（）A．[2，2√2]B．[2，3√2]C．[2√2，4√2]D．[2√2，6√2]【解答】解：△AOB是等腰直角三角形，取AB中点C，则|OC|=√2，即点C在以O为圆心，√2为半径的圆上，过点A，B，C分别作直线l：x﹣y+4＝0 的垂线，垂足分别为D，E，F，则|AD|+|BE|＝2|CF|，=2√2，∴|CF|∈[√2，3√2]，圆心O到直线l：x﹣y+4＝0 的距离d=√2∴|AD|+|BE|=2|CF|∈[2√2，6√2]．故选：D．8．（5分）已知A （0，﹣1），B （1，0），O 为坐标原点，点P 为曲线y ＝e x 上的动点，且OP →=λOA →+μOB →（e ＝2.718…为自然对数的底数，λ，μ∈R ），则λ+μ的最大值是（ ） A ．e ﹣1B ．1﹣eC ．1D ．﹣1【解答】解：由题意知，OP →=（x ，e x），OA →=（0，﹣1），OB →=（1，0）， ∵OP →=λOA →+μOB →， ∴（x ，e x ）＝（μ，﹣λ）， 故λ＝﹣e x ，μ＝x ， 故λ+μ＝﹣e x +x ，令f （x ）＝﹣e x +x ，则f ′（x ）＝﹣e x +1，故当x ∈（﹣∞，0）时，f ′（x ）＞0，x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＜0， 故f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， 故λ+μ的最大值是f （0）＝﹣1+0＝﹣1， 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）已知双曲线C ：x 23−y 2＝1，则（ ）A ．C 的焦点坐标为（−√2，0）和（√2，0）B ．C 的渐近线方程为y =13x 和y =−13xC ．C 的离心率为2√33D ．C 与直线l ：y =√33x +1有且仅有一个公共点 【解答】解：由双曲线C ：x 23−y 2＝1，则a 2＝3，b 2＝1，∴a =√3，b ＝1，c =√3+1=2，∴C 的焦点坐标为（﹣2，0）和（2，0），故A 错误； 渐近线方程为y ＝±√33x ，故B 错误； 又曲线的离心率为e =2√3=2√33，故C 正确， 直线l ：y =√33x +1与双曲线的渐近线平行，故C 与直线l ：y =√33x +1有且仅有一个公共点，故D 正确． 故选：CD ．（多选）10．（5分）如图，P ，Q 分别是正方形ABCD 的两边AB ，AD 上的动点，则一定成立的是（ ）A ．AP →⋅AC →=AQ →⋅AC →B ．AP →⋅AD →=AQ →⋅AB →C ．DP →⋅DA →=BQ →⋅AC →D ．DP →⋅DC →=BQ →•BA →【解答】解：以D 为原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴，建立如图所示的坐标系，设正方形四长为1，P （x ，1），Q （0，y ），（0≤x ≤1，0≤y ≤1）， A （0，1），B （1，1），C （1，0），D （0，0）， AP →=（x ，0），AC →=（1，﹣1），AQ →=（0，y ﹣1）， AD →=（0，﹣1），AB →=（1，0），DP →=（x ，1）， DA →=（0，1），BQ →=（﹣1，y ﹣1），CD →=（﹣1，0）， DC →=（1，0），BA →=（﹣1，0），A ．AP →⋅AC →=x ，AQ →⋅AC →=1﹣y ，∴A 不一定成立， B ．AP →⋅AD →=0，AQ →⋅AB →=0，∴B 一定成立，C ．DP →⋅DA →=1，BQ →⋅CD →=1，∴C 一定成立， D ．DP →⋅DC →=x ，BQ →⋅BA →=1，∴D 不一定成立， 故选：BC ．（多选）11．（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k （k ∈N *）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12．若某人获胜的局数大于k ，则此人赢得比赛．下列说法正确的是（ ）A ．k ＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为14B ．k ＝2时，甲嬴得比赛与乙嬴得比赛的概率均为516C ．在2k 局比赛中，甲获胜的局数的期望为kD ．随着k 的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近12【解答】解：k ＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为2×12×12=12，所以A 错误； k ＝2时，甲赢得比赛的情况为：甲甲甲，甲乙甲甲，乙甲甲甲，甲甲乙甲，其概率为(12)3+3×(12)4=516，所以B 正确； 选项 C ，在2k 局比赛中，甲获胜的局数服从二项分布B(2k ，12)，其期望值为2k ×12=k ；随着k 的增大，比赛平局的概率C 2k k ⋅(12)2k 趋近于0，所以甲乙赢得比赛的概率都会越来越接近12，D 正确．故选：BCD ．（多选）12．（5分）已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝a ，a n +1＝a n −1n 2a n2．下列说法正确的是（ ） A ．0＜a 2≤14 B ．a n +1＜a nC ．1a n+1−1a n＞1n 2D ．数列{a n +1﹣a n }为递减数列【解答】解：对于选项A ：a 2=a 1−a 12＞0，∵−a 12+a 1=−（a 1−12）2+14， ∴当a 1=12时，a 2取得最大值14，∴a 2∈(0，14]，故选项A 正确， 对于选项B ：a n +1﹣a n =−1n 2a n 2＜0，∴a n +1＜a n ，故选项B 正确， 对于选项C ：1a n+1−1a n=a n −a n+1a n a n+1=1n2a n 2a n a n+1=1n 2a na n+1，由B 可知a n ＞a n +1＞0，∴a n a n+1＞1， ∴1n 2a n a n+1＞1n2，即1a n+1−1a n＞1n 2，故选项C 正确，对于选项D ：（a n +1﹣a n ）﹣（a n ﹣a n ﹣1）=−1n 2a n 2+1(n−1)2a n−12＞1n 2(a n−12−a n 2)＞0， ∴数列{a n +1﹣a n }为递增数列，故选项D 错误， 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上.13．（5分）直线l 过点（1，0），且与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．若|AB |＝8，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离是 3 ．【解答】解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），故直线l 过抛物线的焦点， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AF |＝x 1+1，|BF |＝x 2+1， 由|AB |＝8，∴x 1+1+x 2+1＝8，∴x 1+x 2＝6， 线段AB 的中点M 到y 轴的距离为x 1+x 22=3．故答案为：3．14．（5分）已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且在（﹣∞，0]上单调递增，则关于x 的不等式f （|x |+2）＞f （x 2）的解集是 （﹣2，2） ．【解答】解：∵函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且在（﹣∞，0]上单调递增， ∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增， 则f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增， 由f （|x |+2）＞f （x 2）得|x |+2＞x 2， 即x 2﹣|x |﹣2＜0， 得（|x |+1）（|x |﹣2）＜0，得|x |＜2，得﹣2＜x ＜2， 即不等式的解集为（﹣2，2）， 故答案为：（﹣2，2）．15．（5分）英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料提出假设“孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生物总数成正比”，并通过此假设于1798年给出了马尔萨斯人口方程N （t ）＝N 0er(t−t 0)），其中N 0为t 0时刻的人口数，N （t ）为t 时刻的人口数，r为常数．已知某地区2000年的人口数为230万，r ＝0.02，用马尔萨斯人口方程预测该地区2035年的人口数（单位：万）约为 460 .（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1）． 【解答】解：根据题意得N 0＝230，r ＝0.02，t 0＝2000，t ＝2035， 代入公式N （t ）＝N 0e r(t−t 0)），得N （t ）＝230×e 0.02×（2035﹣2000）＝230×e 0.7≈230×e ln 2＝230×2＝460，所以用马尔萨斯人口方程预测该地区2035年的人口数（单位：万）约为 460万， 故答案为：460．16．（5分）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为平面DBA 1内的动点，且AP =√22．设直线BD 与AP 所成的角为θ，则当θ最小时，cos θ的值为√33．【解答】解：设O 为正三角形DBA 1的中心， 则AO =√33，又AP =√22，可得OP =√AP 2−AO 2=√66．所以点P 的轨迹是以O 为圆心，√66为半径的圆．当直线AP 在平面DBA 1内的射影与BD 平行时，直线BD 与AP 所成的角为θ取得最小值，此时cosθ=OPAP =√33．（平面的斜线与平面内的直线所成的角中，线面角最小）．故答案为：√33．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝1，a2＝b1＝2．（1）求{a n}的通项公式；（2）从下列给出的三个条件①、②、③中选择一个作为已知条件，使得{b n}存在且唯一，并求数列{b an}的前n项和S n．条件：①b3＝8；②a b2=4；③a2+b2＝2a3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为a1＝1，a2＝2，所以d＝a2﹣a1＝1．所以数列{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝n．（2）选择条件①，b3＝8，b1＝2，q＝2，b n＝2n，选条件②，设等比数列{b n}的公比为q．由（1）可知a n＝n，所以a b2=b2．因为a b2=4，所以b2＝4．所以q＝2．此时b n=b1q n−1=2n．所以b an=2a n=2n．所以S n=b a1+b a2+⋯+b an=21+22+⋯+2n=2n+1−2．选条件③，由（1）可知a2＝2，a3＝3，又a2+b2＝2a3，所以b2＝2a3﹣a2＝4．所以q＝2．此时b n=b1q n−1=2n．所以b an=2a n=2n．所以S n=b a1+b a2+⋯+b an=21+22+⋯+2n=2n+1−2．18．（12分）某科研团队研发针对病毒α的疫苗，并进行接种试验．如果人体在接种疫苗之后的一定时期内产生了针对病毒α的抗体，则称该疫苗有效．该科研团队对其研发的疫苗A和疫苗B，分别进行了接种试验，然后在接种了疫苗A和疫苗B的人群中分别随机抽取了部分个体，并检测其体内是否产生了针对病毒α的抗体，获得样本数据如表：抽取人数其中产生抗体人数接种疫苗A12080接种疫苗B10080（1）从接种疫苗A 的人群中任取3人，记产生抗体的人数为X ，用样本数据中产生抗体的频率估计概率，求X 的分布列及其数学期望；（2）根据样本数据，是否有95%的把握认为疫苗A 与疫苗B 的有效性存在差异？说明理由．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P （ χ2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【解答】解：（1）在接种疫苗A 的样本中，产生抗体的频率为80120=23，由此估计，从接种疫苗A 的人群中任取1人，产生抗体的概率为23． 所以从接种疫苗A 的人群中任取3人，产生抗体的人数X ～B(3，23)，P(X =k)=C 3k (23)k (1−23)3−k ，其中 k ＝0，1，2，3，所以X 的分布列为：X 0 123P1276271227827数学期望 E(X)=3×23=2．（2）有95%的把握认为疫苗A 与疫苗B 的有效性存在差异．理由如下： 根据样本数据，在接种疫苗A 的120人中，80人产生抗体，40人末产生抗体， 在接种疫苗B 的100人中，80人产生抗体，20人末产生抗体．根据公式，χ2=220×(80×20−40×80)2120×100×160×60=449≈4.889＞3.841．所以有95%的把握认为疫苗A 与疫苗B 的有效性存在差异．19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a sin B =√3b （1﹣cos A ）． （1）求A 的大小；（2）若c 2＝b 2+bc ，求sin C 的值．【解答】解：（1）因为a sin B =√3b （1﹣cos A ）， 所以由正弦定理可得sin A sin B =√3sin B （1﹣cos A ）， 因为sin B ≠0，所以sin A =√3（1﹣cos A ），可得sin （A +π3）=√32，因为A ∈（0，π），A +π3∈（π3，4π3），所以A +π3=2π3，可得A =π3． （2）因为A =π3，所以由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣bc ， 又c 2＝b 2+bc ，所以解得a 2＝2b 2，a =√2b ，由正弦定理可得sin A =√2sin B =√32，所以sin B =√64，又b ＜a ，B 为锐角，可得cos B =√1−sin 2B =√104，所以sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B =√32×√104+12×√64=√30+√68．20．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为线段CD 的中点，AB ＝BC =12CD ＝2，将△DAE 沿AE 折起到△DAE 的位置，使得平面D 1AE ⊥平面ABCE ．（1）求证：AE ⊥D 1B ；（2）在线段D 1B 上是否存在点Q ，使得平面QAC 与平面ABCE 的夹角为60°？若存在，求出D 1Q D 1B的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：设F 是AE 的中点，连接D 1F ，FB ，BE ． 由已知得△DAE ，△ABE ，△BCE 均为边长为2的等边三角形， 所以D 1F ⊥AE ，BF ⊥AE ，又D 1F ∩BF ＝F ， 所以AE ⊥平面D 1FB ，又D 1B ⊂平面 D 1FB ， 所以AE ⊥D 1B ，（2）因为平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，D 1F ⊥AE ， 所以D 1F ⊥平面ABCE ，又BF ⊂平面ABCE ，所以D 1F ⊥FB ．又BF ⊥AE ，故可建如图所示的空间坐标系 F ﹣xyz ．所以F(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，√3，0)，C(−2，√3，0)，E(−1，0，0)，D 1(0，0，√3)，AC →=(−3，√3，0)，设 D 1Q →=λD 1B →，λ∈[0，1]，则AQ →=AD 1→+D 1Q →=AD 1→+λD 1B →=(−1，0，√3)+λ(0，√3，−√3)=(−1，√3λ，√3−√3λ)． 设平面QAC的一个法向量m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AC →=0m →⋅AQ →=0，即{−3x +√3y =0−x +√3λy +√3(1−λ)z =0． 显然λ≠1，令x ＝1，则y =√3，z =1−3λ√3(1−λ)m →=(1，√3，1−3λ√3(1−λ))．又平面ABCE 的一个法向量n →=(0，0，1)， 平面QAC 与平面ABCE 的夹角为 60°，所以 cos60°=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=|1−3λ√3(1−λ)|√4+(1−3λ√3(1−λ))=12．化简得5λ2+2λ﹣3＝0．即 （λ+1）（5λ﹣3）＝0．解得λ=35或λ＝﹣1（舍）． 故线段D 1B 上存在点Q ，当D 1Q D 1B =35时，平面QAC 与平面ABCE 的夹角为60°．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过A 1（﹣2，0）和B （0，−√3）两点，点A 2为椭圆C 的右顶点，点P 为椭圆C 上位于第一象限的点，直线P A 1与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ． （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）比较△MNA 1的面积与△NA 2B 的面积的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）由题意有椭圆经过（﹣2，0），（0，−√3）， 代入可得a =2，b =√3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1，∵a =2，b =√3，∴c ＝1， 故离心率e =12；（2）设P （m ，n ），m ＞0，n ＞0， 且满足m 24+n 23=1⋯①，直线PA 1：y−0n−0=x+2m+2， 令x ＝0，解得M(0，2nm+2)， 直线PB ：√3n+√3=x−0m−0，令y ＝0，解得N(√3n+23m ，0)，所以四边形MNBA 1的面积S =12BM ⋅A 1N =12[(2n m+2+√3)(2+√3n+33m )]， 将①代入化简得S ＝2√3，又因为三角形A 1A 2B 的面积S 1=12×4×√3=2√3， 故S △MNA 1=S −S △A 1NB ，S △NA 2B =S 1−S △A 1NB ， 故S △MNA 1=S △NA 2B ， 故两个三角形面积相等．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣a +x ﹣2（a ∈R ）．（1）求证：f （x ）仅有一个零点；（2）若a ≤1，求证：f （x ）≥−12x 2+3x −52．【解答】解：（1）证明：f ′（x ）＝e x ﹣a +1＞0，所以f （x ）在R 上单调递增，当x →﹣∞时，e x ﹣a →0，所以f （x ）＝e x ﹣a +x ﹣2→﹣∞，当x ＝2时，f （2）＝e 2﹣a ＞0，所以f （x ）有且仅有一个零点． （2）证明：f （x ）＝e x ﹣a +x ﹣2，因为a≤1，所以e x﹣a+x﹣2≥e x﹣1+x﹣2，下面证明e x﹣1+x﹣2≥−12x2+3x−52．需要证e x﹣1+x﹣2+12x2﹣3x+52≥0，即证2e x﹣1﹣4x+1+x2≥0，令g（x）＝2e x﹣1﹣4x+1+x2，则g′（x）＝2e x﹣1﹣4+2x，令h（x）＝2e x﹣1﹣4+2x，则h′（x）＝2e x﹣1+2＞0，所以h（x）单调递增，又h（1）＝0，所以在（﹣∞，1）上，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（1，+∞）上，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（x）min＝g（1）＝0，所以e x﹣a+x﹣2≥e x﹣1+x﹣2，所以f（x）≥e x﹣1+x﹣2．。

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择題（共12小题）1．设集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}，则（）A．M∩N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝M D．M∪N＝R2．若复数z满足方程z2+2＝0，则z3＝（）A．±2√2B．−2√2C．−2√2i D．±2√2i3．若直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）4．已知p：|x+1|＞2，q：2＜x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设函数f（x）＝2cos（12x−π3），若对于任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．π2B．πC．2πD．4π6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B﹣APQC的体积是（）A．16V B．29V C．13V D．79V7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．478．已知直线l：y＝x﹣2与x轴的交点为抛物线C：y2＝2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB中点到抛物线准线的距离为（）A．8B．6C．5D．49．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2+a5＝4，若S n≥4a n+8（n∈N*），则n的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知点P （x 0，y 0）是曲线C ：y ＝x 3﹣x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行，则（ ） A ．x 0＝2B ．x 0=−43C ．x 0＝2或x 0=−43D ．x 0＝﹣2或x 0=4311．已知O 为坐标原点，设双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为A ，若b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．54B ．43C ．53D ．212．已知函数f (x)={−x 2−x +1，x ＜0x 2−x +1，x ≥0，若F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）＝（ ） A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 ．14．在（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝ ． 15．已知单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，若向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，则实数k 的值为 ．16．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2（n ∈N*），且m +S 2019＝﹣1009，a1m＞0，则1a1+9m的最小值为．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC=√3（1）求角C的大小；（2）求b+2a的最大值．18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x x≤55＜x＜20x≥20人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望E（Y）．19．如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点，将△AED沿ED折起，使得AB⊥AD，AC⊥AE，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）求证：AH⊥平面BCDE；（2）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．20．已知⊙M 过点A （√3，0），且与⊙N ：（x +√3）2+y 2＝16内切，设⊙M 的圆心M 的估轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点B （2，0）且与曲线C 交于点P ，Q 两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为−12，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝（x ﹣4）e x ﹣3+x 2﹣6x ，g （x ）＝（a −13）x ﹣1﹣lnx ． （1）求函数f （x ）在（0，+∞）上的单调区间；（2）用max {m ，n }表示m ，n 中的最大值，f ′（x ）为f （x ）的导函数，设函数h （x ）＝max {f ′（x ），g （x ）}，若h （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln 3（n ∈N*）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ（θ为参数，且θ∈（π2，3π2））．（1）求C 1与C 2的普通方程，（2）若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |． （1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＜3；（2）若不等式f （x ）＜11﹣4x 对任意x ∈[﹣4，−32]成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择題：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.1．设集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}，则（）A．M∩N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝M D．M∪N＝R【分析】求出集合M，N，进而求出M∩N，M∪N，由此能求出结果．解：∵集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜2，x∈R}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1，x∈R}＝M，M∪N＝{x|﹣2＜x＜2，x∈R}＝N．故选：A．2．若复数z满足方程z2+2＝0，则z3＝（）A．±2√2B．−2√2C．−2√2i D．±2√2i【分析】先求复数z，再求z3即可解：由z2+2=0⇒z=±√2i⇒z3=±2√2i，故选：D．3．若直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【分析】整理圆的方程得到其圆心与半径，直线与圆有交点等价于圆心到直线的距离d=≤2，解不等式即可√1+k解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，≤2，整理得3k2﹣2k+3≥0，则圆心到直线的距离d=√1+k因为△＝4﹣36＜0，故不等式恒成立，所以k∈（﹣∞，+∞），故选：D．4．已知p：|x+1|＞2，q：2＜x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解出不等式p ，即可判断出关系． 解：p ：|x +1|＞2，解得：x ＞1，或x ＜﹣3． q ：2＜x ＜3，则q ⇒p ，但是p 无法推出q ． ∴p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．5．设函数f （x ）＝2cos （12x −π3），若对于任意的x ∈R 都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1﹣x 2|的最小值为（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【分析】由题意可知f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），f （x 1）是函数的最小值，f （x 2）是函数的最大值，|x 1﹣x 2|的最小值就是半个周期．解：函数f （x ）＝2cos （12x −π3），若对于任意的x ∈R ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），∴f （x 1）是函数的最小值，f （x 2）是函数的最大值，|x 1﹣x 2|的最小值就是函数的半周期， T 2=12×2π12=2π；故选：C ．6．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ，若P ，Q 分别在AA 1，CC 1上，且AP =13AA 1，CQ =13CC 1，则四棱锥B ﹣APQC 的体积是（ ） A ．16VB ．29VC ．13VD ．79V【分析】由题意画出图形，过P 作PG ∥AB 交BB 1于G ，连接GQ ，由等体积法可得V B﹣APQC=23V ABC−PQG ，再由已知得到V ABC−PQG =13V ABC−A 1B 1C 1，即可得出．解：如图，过P 作PG ∥AB 交BB 1于G ，连接GQ ，在三棱柱ABC ﹣PQG 中，由等积法可得V B ﹣APQC =23V ABC−PQG ，∵AP =13AA 1，CQ =13CC 1， ∴V ABC−PQG =13V ABC−A 1B 1C 1，∴V B−APQG =23V ABC−PQG =23×13V ABC−A 1B 1C 1=29V ．故选：B．7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．47【分析】基本事件总数n=C105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m=C22C21C31C31+C21C22C31C31+C21C21C32C31+C21C21C31C32，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=C105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m=C22C21C31C31+C21C22C31C31+C21C21C32C31+C21C21C31C32=108，则每个宣传小组至少选派1人的概率为P=mn=108252=37．故选：C．8．已知直线l：y＝x﹣2与x轴的交点为抛物线C：y2＝2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB中点到抛物线准线的距离为（）A ．8B ．6C ．5D ．4【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB 的中点的横坐标，然后求解即可．解：抛物线C ：y 2＝2px ，可得准线方程为：x =−p2，直线l ：y ＝x ﹣2，经过抛物线的焦点坐标，可得P ＝4，抛物线方程为：y 2＝8x 由题意可得：{y 2=8xy =x −2，可得x 2﹣12x +4＝0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为：6， 则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为：6+2＝8． 故选：A ．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5＝4，若S n ≥4a n +8（n ∈N *），则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【分析】利用等差数列通项公式求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，结合不等式求解即可．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5＝4， 可得：13+d +13+4d ＝4，解得d =23，所以S n =n 3+n(n −1)×13=n23，a n =13+(n −1)×23=2n−13， S n ≥4a n +8（n ∈N *），可得：n 23≥8n−43+8，可得：n 2﹣8n ﹣20≥0，解得n ≥10或n ≤﹣2（舍去）， 所以n 的最小值为10． 故选：C ．10．已知点P （x 0，y 0）是曲线C ：y ＝x 3﹣x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行，则（ ） A ．x 0＝2B ．x 0=−43C ．x 0＝2或x 0=−43D ．x 0＝﹣2或x 0=43【分析】先求出y ＝x 3﹣x 2+1的导数，得到曲线C 在点P （x 0，y 0）处的切线斜率k ，然后根据曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行得到关于x 0的方程，解方程得到x 0的值，再检验得到符合条件的x 0． 解：由y ＝x 3﹣x 2+1，得y '＝3x 2﹣2x ，则曲线C 在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率为k =y′|x=x 0=3x 02−2x 0， ∵曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行， ∴3x 02−2x 0=8，∴x 0＝2或x =−43， ∵当x 0＝2时，切线和y ＝8x ﹣11重合， ∴x =−43． 故选：B ．11．已知O 为坐标原点，设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为A ，若b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．54B ．43C ．53D ．2【分析】由角平分线的性质可得延长F 2A 交PF 1与B ，由PA 为∠F 1PF 2的角平分线，F 2A ⊥PA ，所以A 为F 2B 的中点，|PF 2|＝|PB |，可得OA 为△BF 1F 2的中位线，b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |＝2c ﹣2a 再由a ，b ，c 的关系求出离心率．解：延长F 2A 交PF 1与B ，由PA 为∠F 1PF 2的角平分线，F 2A ⊥PA ，所以A 为F 2B 的中点，|PF 2|＝|PB |，连接OA ，则OA 为△BF 1F 2的中位线，所以|BF 1|＝2|OA |，而|BF 1|＝|PF 1|﹣|PB |＝|PF 1|﹣|PF 2|＝2a因为b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |＝2c ﹣2a ，而b 2＝c 2﹣a 2所以c 2﹣a 2＝4（c ﹣a ）2整理可得3c 2﹣8ac +5c 2＝0，即3e 2﹣8e +5＝0，解得e =53或1， 再由双曲线的离心率大于1，可得e =53， 故选：C ．12．已知函数f (x)={−x 2−x +1，x ＜0x 2−x +1，x ≥0，若F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）＝（ ） A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．解：∵F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点， ∴f （x ）﹣1＝sin （2020πx ）在区间[﹣1，1]上有m 个零点，即g （x ）＝f （x ）﹣1={−x 2−x ，x ＜0x 2−x ，x ≥0与h （x ）＝sin （2020πx ）在区间[﹣1，1]上有m 个交点， ∵T =2πω=2π2020π=11010且h （x ）关于原点对称， 在区间[﹣1，1]上h （x ）max ＝1，h （x ）min ＝﹣1 又∵g （x ）＝f （x ）﹣1={−x 2−x ，x ＜0x 2−x ，x ≥0∴在区间[﹣1，1]上g （x ）max ＝g （12）=12，g （x ）min ＝g （−12）=−12且g （x ）关于原点对称．∵根据g （x ）和h （x ）函数图象特点易知在h （x ）一个周期内， g （x ）和h （x ）图象有两个交点． ∵T =11010∴在（0，1]内共有1010个周期， ∴g （x ）和h （x ）图象共有2020个交点， ∵g （x ）和h （x ）图象都关于原点对称，∴g （x ）和h （x ）图象在[﹣1，0）U （0，1]共有4040个交点， 再加上（0，0）这个交点．∵g （x ）关于原点对称，设x 1，x 2为关于原点对称的两个交点横坐标， ∴g （x 1）+g （x 2）＝0，即f （x 1）﹣1+f （x 2）﹣1＝0， 即f （x 1）+f （x 2）＝2，∴f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）=40402×2+f （0）＝4040+1＝4041． 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 √3π3，表面积为 3π ．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1，高为√3．再由圆锥的体积公式及表面积公式求解．解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，该几何体的体积V =13×π×12×√3=√3π3；表面积S =π×12+12×2π×1×2=3π． 故答案为：√3π3；3π．14．在（ax +1x ）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝ 5 ．【分析】先求得（x 2﹣1）5的展开式的通项公式，再列出含x 3的系数的关于a 的方程，最后求出a ．解：∵（x 2﹣1）5的展开式的通项公式为T r +1＝C5r （x 2）5﹣r •（﹣1）r ＝（﹣1）r•C5r x10﹣2r，r ＝0，1， (5)∴（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中含x 3的系数为a ×（﹣1）4×C 54+C53•（﹣1）3＝5a ﹣10．又∵5a ﹣10＝15，∴a ＝5． 故答案为：5．15．已知单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，若向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，则实数k 的值为 ﹣10 ．【分析】根据单位向量的定义与平面向量数量积的运算法则，求解即可． 解：单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，即|e 1→|＝|e 2→|＝1，e 1→•e 2→=1×1×cos π3=12；又向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，所以（e 1→+2e 2→）•（2e 1→+k e 2→）＝|e 1→+2e 2→|×|2e 1→+k e 2→|cos5π6，即2×12+（4+k ）×12+2k ×12=√12+4×12+4×12×√4×12+4k ×12+k 2×12×（−√32）；8+5k =−√21•√k 2+2k +4； {8+5k ≤0(8+5k)2=21(k 2+2k +4)， 解得k ＝﹣10，所以实数k 的值为﹣10．16．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2（n ∈N*），且m +S 2019＝﹣1009，a 1m ＞0，则1a 1+9m的最小值为 16 ．【分析】通过递推式，可求得S 2019与a 1的关系，结合已知等式m +S 2019＝﹣1009，即可求出结论．解：由已知，a 2+a 3＝﹣2； a 4+a 5＝4；a6+a7＝﹣6；⋮a2018+a2019＝﹣2018；将上述等式左右分别相加，得S2019﹣a1＝﹣2018+1008＝﹣1010；将S2019＝a1﹣1010代入等式m+S2019＝﹣1009，得m+a1＝1；∵a1m＞0，故都为正数；∴1a1+9m=（1a1+9m）（m+a1）＝10+ma1+9a1m≥10+2√ma1⋅9a1m=16；当且仅当m＝3a1即m=34，a1=14时等号成立；故答案为：16．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC=√3．（1）求角C的大小；（2）求b+2a的最大值．【分析】（1）根据已知条件，结合正余弦定理可得cosC=12，由此即可求得C；（2）易知b=2sinB=2sin(A+π3)，再由三角恒等变换可得b+2a=2√7sin(A+Φ)，结合A∈(0，2π3)，可知sin（A+ϕ）max＝1，由此求得b+2a的最大值．解：（1）由题意及正弦定理可得：abca2+b2−c2=√3，由余弦定理得：a2+b2﹣c2＝2ab•cos C，所以cosC=a2+b 2−c22ab=12，又C为△ABC内角，∴C=π3；（2）由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，又因为A+B+C＝π，所以b=2sinB=2sin(A+π3 )，所以b+2a=2sin(A+π3)+4sinA=sinA+√3cosA+4sinA=5sinA+√3cosA=2√7sin(A+ϕ)，且tanϕ=√35，又因为A∈(0，2π3 )，所以sin（A+ϕ）max＝1，所以b+2a≤2√7，即b+2a的最大值为2√7．18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x x≤55＜x＜20x≥20人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望E（Y）．【分析】（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A．求出P(x≥20)= 25100=14，利用独立重复实验的概率求解即可．（2）由题意得：x＜20的人：12×34=9；x≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～H（3，3，12），求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A．由表可知P(x≥20)=25 100，所以P(A)=C 42(14)2(1−14)2=27128．（2）由题意得：x ＜20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H （3，3，12）P(Y =0)=C 93C 123=84220，P(Y =1)=C 92C 31C 123=108220，P(Y =2)=C 91C 32C 123=27220，P(Y =3)=C 33C123=1220，所以Y 的分布列为： Y 0123P84220108220272201220Y 的分布列及数学期望E(Y)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34． 19．如图1，在边长为2的等边△ABC 中，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，将△AED 沿ED 折起，使得AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，得到如图2的四棱锥A ﹣BCDE ，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ． （1）求证：AH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值．【分析】（1）证明AD ⊥CD ，CD ⊥BD ，即可证明CD ⊥平面ABD ．推出CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，即可证明AH ⊥平面BCDE ．（2）过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AED 的法向量，平面AEB 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值即可．【解答】（1）证明：由题意，AD ＝CD ＝1，BD =CE =√3， 又因为AB ⊥AD ，所以AB =√BD 2−AD 2=√3−1=√2=AC ， 所以AC 2＝AD 2+CD 2，即AD ⊥CD 又因为CD ⊥BD ，且BD ∩AD ＝D ， 所以CD ⊥平面ABD ．所以CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，CD 与BE 是相交直线，所以AH ⊥平面BCDE ． （2）解：如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系所以D （0，0，0），B(√3，0，0)，E(√32，−12，0)，设点A （a ，0，b ）由AD =1，AB =√2得{a 2+b 2=1(a −√3)2+b 2=2，解得：a =√33，b =√63， 所以A(√33，0，√63)，所以AE →=(√36，−12，−√63)，AB →=(2√33，0，−√63)，DA →=(√33，0，√63)，设平面AED 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)， 所以{AE →⋅n 1→=0DA →⋅n 1→=0⟹{x 1=√3y 1+2√2z 1x 1+√2z 1=0，取z 1＝﹣1，得n 1→=(√2，√6，−1)，同理可得平面AEB 的法向量n 2→=(1，−√3，√2)，所以cos ＜n 1→，n 2→≥n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=−√33，由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值为−√33．20．已知⊙M 过点A （√3，0），且与⊙N ：（x +√3）2+y 2＝16内切，设⊙M 的圆心M 的估轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点B （2，0）且与曲线C 交于点P ，Q 两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为−12，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【分析】（1）由题意⊙M 过点A(√3，0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，推出M 的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求轨迹C 的方程．（2）当l 的斜率不存在的时，设P （x 0，y 0），所以Q （x 0，﹣y 0），利用斜率乘积以及点在椭圆上，转化求解l 与x 轴的交点为(23，0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1，通过判别式推出4k 2＞b 2﹣1，结合韦达定理，利用斜率的乘积推出b =−23k ，然后得到直线系方程说明结果距离． 解：（1）由题意⊙M 过点A(√3，0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，设两圆切点为D 所以|MD |+|MN |＝|ND |＝4，在⊙M 中，|MD |＝|MA |所以|MA |+|MN |＝4， 所以M 的轨迹为椭圆，由定义可知{2a =4c =√3，所以求轨迹C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当l 的斜率不存在的时，设P （x 0，y 0），所以Q （x 0，﹣y 0）， 所以{k PB ⋅k QB =y 0x 0−2⋅−yx 0−2=−12x 024+y 02=1，解得{x 0=23y 0=2√33或{x 0=2y 0=0(舍)， 所以l 与x 轴的交点为(23，0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1消元可得（1+4k 2）x 2+8kbx +4b 2﹣4＝0， △＝（8kb ）2﹣4（1+4k 2）（4b 2﹣4）＝64k 2﹣16b 2+16＞0， 所以4k 2＞b 2﹣1， 由韦达定理x 1+x 2=−8kb1+4k 2；x 1x 2=4b 2−41+4k2，k PB ⋅k QB=y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+b)(x 1−2)(kx 2+b)(x 2−2)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 24b 2−41+4k 2−8k 2b21+4k2+b24b 2−41+4k2−2−8kb1+4k2+4=b 2−4k2(4k+2b)2=(b−2k)(b+2k)4(2k+b)2，又因为2k+b≠0，所以b−2k4(b+2k)=−12，即b=−23k，所以b2−1=(−23k)2−1＜4k2，所以b=−23k成立，所以y=kx−23k=k(x−23)，当x=23时，y＝0，所以l过(23，0)综上所述l过定点，且点坐标为(23，0)21．已知函数f（x）＝（x﹣4）e x﹣3+x2﹣6x，g（x）＝（a−13）x﹣1﹣lnx．（1）求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，f′（x）为f（x）的导函数，设函数h（x）＝max{f′（x），g（x）}，若h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln3（n∈一、选择题*）．【分析】（1）求出导函数，通过f′（x）＝0得x＝3然后判断函数的单调性求解函数的单调区间即可．（2）通过h（x）＝max{f’（x），g（x）}≥0恒成立，令F(x)=1+lnxx，推出a−13≥F(x)max，结合函数的导数求解函数的最大值，求解即可．（3）设m（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），利用函数的导数推出e x＞x+1，然后结合不等式转化求解证明即可．解：（1）因为f（x）＝（x﹣4）e x﹣3+x2﹣6x，所以f′（x）＝（x﹣3）e x﹣3+2x﹣6＝（x﹣3）（e x﹣3+2），令f′（x）＝0得x＝3当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增当0＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减所以f（x）单调递增区间为（3，+∞）；f（x）单调递减区间为（0，3）．（2）由（1）知f′（x）＝（x﹣3）（e x﹣3+2），当x≥3时f’（x）≥0恒成立，故h （x）≥0恒成立当x＜3时，f’（x）＜0，又因为h（x）＝max{f’（x），g（x）}≥0恒成立，所以g（x）≥0在（0，3）上恒成立所以(a−13)x−1−lnx≥0，即a−13≥1+lnxx在（0，3）上恒成立令F(x)=1+lnxx，则a −13≥F(x)max ，F’(x)=1−(lnx+1)x 2=−lnx x2，令F ’（x ）＝0得x ＝1，易得F （x ）在（0，1）上单增，在[1，3）上单减，所以F （x ）max ＝F （1）＝1，所以a −13≥1，即a ≥43综上可得a ≥43， （3）设m （x ）＝e x ﹣x ﹣1（x ＞0），则m ′（x ）＝e x ﹣1＞0，所以m （x ）在（0，+∞）上单增，所以m （x ）＞m （0）＝0，即e x ＞x +1 所以e 1n +1n+1+1n+1+⋯+13n =e 1n⋅e1n+1⋅e 1n+2⋯e 13n＞n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2⋯3n3n−1⋅3n+13n ＞n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2⋯3n3n−1=3，所以1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ（θ为参数，且θ∈（π2，3π2））．（1）求C 1与C 2的普通方程，（2）若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．解：（1）由题可得：C 1的普通方程为2x ﹣y ﹣5＝0又因为C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ，两边平方可得{x 2=3cos 2θy 2=3sin 2θcos 2θ，所以C 2的普通方程为x 23−y 23=1，且x ≤−√3．（2）由题意，设C 1的平行直线2x ﹣y +c ＝0联立{2x −y +c =0x 23−y 23=1消元可得：3x 2+4cx +c 2+3＝0所以△＝4c 2﹣36＝0， 解得c ＝±3又因为x ≤−√3， 经检验可知c ＝3时与C 2相切， 所以|AB|min =|3−(−5)|√2+(−1)=8√55．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |． （1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＜3；（2）若不等式f （x ）＜11﹣4x 对任意x ∈[﹣4，−32]成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（1）a ＝1时，f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +1|，讨论x 的取值范围，去掉绝对值求不等式f （x ）＜3的解集即可；（2）f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |＜11﹣4x 对任意x ∈[−4，−32]成立，等价于|x +a |＜5﹣x 恒成立，去绝对值，从而求出a 的取值范围．解：（1）a ＝1时，f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +1|={−4x +5，x ＜−1−2x +7，−1≤x ≤24x −5，x ＞2；当x ＜﹣1时，由f （x ）＜3得﹣4x +5＜3，解得x ＞12（不合题意，舍去）； 当﹣1≤x ≤2时，由f （x ）＜3得﹣2x +7＜3，解得x ＞2（不合题意，舍去）； 当x ＞2时，由f （x ）＜3得4x ﹣5＜3，解得x ＜2（不合题意，舍去）； 所以不等式f （x ）＜3的解集∅；（2）由f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |＜11﹣4x 对任意x ∈[−4，−32]成立， 得﹣（3x ﹣6）+|x +a |＜11﹣4x ，即|x +a |＜5﹣x ， 所以{|x +a|＜5−x5−x ＞0，所以{x −5＜x +a x +a ＜5−x，得a ＞﹣5且a ＜5﹣2x 对任意x ∈[−4，−32]成立；即﹣5＜a ＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。

201７年广州市普通高中毕业班综合测试(一）理科数学注意事项:１.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

４．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本小题共12题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （Ａ）1i + （B)1i - (C ）1i -+ （Ｄ)1i -- (2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤,则(Ａ)M N = (B)M N ⊆ (C ）N M ⊆ (D ）M N =∅（3)已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列，则3546a a a a ++的值是(51- （B 51+ (C)35- （35+ (4)阅读如图的程序框图． 若输入5n =, 则输出k 的值为(A)2 （B ）3 （Ｃ)4 (D ）5（5)已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左,右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于 （A)1 (Ｂ)13 （C ）4或10 (D)1或13（6)如图, 网格纸上小正方形的边长为１， 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为83,则该几何体的俯视图可以是（7)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(A)12(B）1532（C）1132（D)516（8)已知1F,2F分别是椭圆C()2222:10x ya ba b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C上存在点P使12F PF∠为钝角, 则椭圆C的离心率的取值范围是(A)22⎛⎫⎪⎪⎝⎭(B）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（C）20,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭（D)10,2⎛⎫⎪⎝⎭(9)已知:0,1xp x e ax∃>-<成立, :q函数()()1xf x a=--是减函数, 则p是q的（A)充分不必要条件（B）必要不充分条件（C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(10)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC为鳖臑, PA⊥平面ABC，2PA AB==，4AC=，三棱锥-P ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(A）8π(B)12π（Ｃ）20π(D)24π（11)若直线1y=与函数()2sin2f x x=的图象相交于点()11,P x y,()22,Q x y,且12x x-=23π,则线段PQ与函数()f x的图象所围成的图形面积是（A）233π（B)33π+（C）2323π+(D)323π+（1２)已知函数()32331248f x x x x=-++, 则201612017kkf=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为(A)0(B）504(C)1008（Ｄ）2016P CBA第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()(R A B =ð )A ．[3，)+∞B ．(1，3]C ．(1,3)D ．(3,)+∞2．（5分）设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．604．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ 5．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是( ) A ．3- B ．2-C ．2D ．36．（5分）已知1112x n =，122x e -=，3x 满足33x e lnx -=，则下列各选项正确的是( )A ．132x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．168．（5分）在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则(AEE C =) A ．725B ．1225C ．125D ．144259．（5分）函数2()(1)sin 1xf x x e =-+图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A ．36B ．24C ．72D ．14411．（5分）已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin()(x x -= )A ．35-B ．45-C ．D ．12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( )A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = ．14．（5分）设当x θ=时，函数()sin f x x x =+取得最大值，则tan()4πθ+= ．15．（5分）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，则a b -= ．16．（5分）在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是 ．三、解答题：共70分。

2022年广东省广州市高考数学一模试卷1.已知集合，，则的子集个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 62.若复数，则( )A. 2B.C. 4D. 53.甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是( )A. 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同B. 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同C. 在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D. 在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差4.曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.5.的展开式中的系数为( )A. 60B. 24C.D.6.若函数的大致图象如图，则的解析式可能是( )A.B.C.D.7.设抛物线E：的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比( )A. B. C. D.8.若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.9.已知直线l：与圆C：，则( )A. 直线l与圆C相离B. 直线l与圆C相交C. 圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D. 圆C上到直线l的距离为1的点共有3个10.将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是( )A. 若，则是偶函数B. 若，则在区间上单调递减C. 若，则的图像关于点对称D. 若，则在区间上单调递增11.在长方体中，，，，则下列命题为真命题的是( )A. 若直线与直线CD所成的角为，则B. 若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面交于点M，则C. 若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为，则D. 若经过点A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则12.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若第n次操作去掉的区间长度记为，则( )A. B.C. D.13.已知，，则______.14.已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上包括端点，则的取值范围是______.15.已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于______.16.如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为______.17.在等比数列中，，，分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行323第二行465第三行9128写出，，，并求数列的通项公式；若数列满足，求数列的前n项和18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为证明：；若，求19.如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，求证：平面平面ACD；若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值．20.人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如表：月份12345销售量万件该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程的值精确到；已知该公司的月利润单位：万元与x，y的关系为，根据的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，21.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线求C的方程；已知点，直线l：与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数，使得若存在，求的值；若不存在，说明理由．22.已知函数，为的导数．证明：当时，；设，证明：有且仅有2个零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，，，则的子集个数为故选：求出集合A，进而是求出，由此能求出的子集个数．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数的运算性质，考查复数求模，是基础题．根据复数的运算性质求出z，从而求出的值即可．【解答】解：，则，故选3.【答案】C【解析】解：对于A，甲在5天中每天加工的零件的个数为18，19，23，27，28，乙在5天中每天加工零件的个数为17，19，21，23，25，对于A，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，故A错误，对于B，甲加工零件数的中位数为23，乙加工零件数的中位数为21，故B错误，对于C，甲加工零件的平均数为，乙加工零件数的中位数为，故C正确，对于D，甲加工零件数的方差为，乙加工零件数的方程为，故D错误．故选：根据已知条件，结合极差和中位数的定义，以及平均数和方差的公式，即可求解．本题主要考查极差和中位数的定义，以及平均数和方差的求法，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：，可得，，，所以切线方程：，可得故选：求出导函数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题．5.【答案】B【解析】解：的展开式中第项为，令，得；令，得展开式中的系数为故选：利用展开式的通项公式求得的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由已知图象可得为奇函数，对于A，是偶函数，故A错误；对于B，的定义域为，且，可得为偶函数，故B错误；对于C，的定义域为，且，可得为奇函数，且，比增加快，所以，故C错误；对于D，的定义域为，且，可得为奇函数，且，，故D正确．故选：由函数的奇偶性和函数值的变化趋势可得结论．本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：抛物线方程为，焦点F的坐标为，准线方程为，如图，设，，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则，，把代入抛物线，得，，直线AB过点与，方程为，代入抛物线方程，解得，，，在中，，故选：利用三角形面积公式，可把与的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得答案．本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，正实数a，b满足且，则有或，依次分析选项：对于A，无论或，都有，所以A错误；对于B，，当时，，即，所以B错误；对于C，因为，所以，所以，即选项C错误；对于D，由，两边取自然对数，得，因为，所以，设，，则，设，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，在和上都是单调减函数，所以，即选项D正确．故选：根据题意得出或，再依次分析选项中的命题是否成立即可．本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，以及导数的综合应用问题，是难题．9.【答案】BD【解析】解：圆C：，即圆心坐标为，半径，圆心到直线l：的距离，即直线l与圆相交，圆C上到直线l的距离为1的点共有3个．故选：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．10.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角函数的奇偶性单调性和对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题．利用三角函数的图象变换关系求出函数的解析式，利用三角函数的奇偶性对称性和单调性分别进行判断即可．【解答】解：将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，得，若，则，则函数为偶函数，故A正确，当，则，此时为减函数，则为增函数，故B错误，若时，则，当时，，则的图像关于点对称，故C正确，当，则，此时不单调，则不单调性，故D错误，故选：11.【答案】ACD【解析】解：对于A，如图，直线与直线CD所成角，即为直线与直线AB所成角为，则，故A正确；对于B，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，过A的l与长方体所有棱所成的角都相等，与面交于，且x，，，，，则，，，故B错误；对于C，如图，过A的直线m与长方体所有面所成角都为，则直线m为以4为棱长的正方体的体对角线AM，，故C正确；对于D，如图，过A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，只需面与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱的顶点所在平面平行，如面EDF，，，故D正确．故选：根据长方体的性质找到直线与直线CD所成角的平面角，判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法判断B；将长方体补为以4为棱长的正方体，求线面角和二面角，判断本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】BC【解析】解：由题可得，，²，³，由此可知，即为一个等比数列，对A：，故A错误；对B：，因为，故该数列为递减数列，又因为时，，故B正确；对C：要证，即证，整理可得，当时，，符合条件；当时，恒成立，所以恒成立，故C正确；对D：令，则²²，整理可得²，令²解得或舍，因为，所以，由此可知时；时，，故为最大值，²，根据单调性，，故不成立，故D错误；故选：分析发现得到是一个等比数列，按等比数列的性质逐一判断即可．本题考查简单的合情推理，涉及等比数列的性质应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：因为，，所以，则故答案为：由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，当点P在BC上时，设，，，，则故答案为：建立坐标系，设出点P的坐标，利用向量的数量积，转化求解即可．本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题．15.【答案】【解析】解：将三棱锥补全为棱长为的正方体，如下图所示，若，则，即D，F在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，又，，所以面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，弧长为，面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为，面PBC与球面所成弧以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为，综上所述，最长弧的弧长为故答案为：将三棱锥补全为棱长为的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心，进而求出弧长即可．本题主要考查弧长的求解，考查了转化思想，属于中档题．16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查古典概型的概率的计算，利用分步计数原理进行求解是解决本题的关键，是基础题．根据分步计数原理，古典概型概率计算进行计算即可．【解答】解：质点移动6次，可能结果共有种，质若点位于的位置，则质点需要向左移动4次，然后向右移动2次，则有种，则对应的概率，故答案为：17.【答案】解：根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，故因为，当n为偶数时，，当n为奇数时，，综上所述，【解析】根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到，，，进而求得通项公式；由知，利用分组求和，含有需讨论n为偶数与奇数，然后按照等差数列求和．本题考查了等比数列的通项公式以及分组求和问题，属于中档题．18.【答案】证明：由题设，，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即解：由及题设，，且，所以，则，故，又，可得，若，则，而，故不合题设；所以，所以【解析】根据三角形面积公式及三角形内角性质可得，再由正弦定理的边角关系即可证结论．由及题设可得，进而求得，应用余弦定理及正弦定理边角关系求，即可求，注意根据B的范围判断符号，最后利用及和角余弦公式求值即可．本题考查了正余弦定理，两角和与差的公式，三角形面积等知识，属于中档题．19.【答案】证明：若O是AC中点，连接OB，作，由知：，因为面ABC，则面ABC，又OB，面ABC，所以，，综上，Oz，OB，AC两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，令，，，则，，，所以，若是面CDE的一个法向量，即，令，则，又是面ACD的一个法向量，则，所以面面解：由面ABC，面ABED，则面面ABC，故C到面ABED的距离，即为中AB上的高，因为，则，故，所以AB上的高又面ABC，则，而，有，，所以ABED为直角梯形，令，则，综上，，故由知：，所以，若是面ABED的一个法向量，即，令，则，而，则，所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为【解析】若O是AC中点，连接OB，作，根据题设可得Oz，OB，AC两两垂直，构建空间直角坐标系，令，，并确定点坐标，求面CDE、面ACD的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论．根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出AD，BE，进而求面ABED的法向量、直线CE的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值．本题考查利用向量法解决立体几何的问题，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：令，则，，，，故y关于x的回归方程为由可知，，，令，则，令，解得，令，解得，令，解得，故在处取得极大值，也为最大值，故，故第9个月的月利润预报值最大．【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．由可知，，，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．本题主要考查线性回归方程的求解，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．21.【答案】解：设，则且，所以M的轨迹为曲线C方程为且设，则直线AM为，联立曲线C得：，整理得：，由题设知：，则，故，又，，所以，即，很明显直线斜率不存在的时候也满足上述条件．所以存在，使【解析】利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C，注意设、直线AM为，联立曲线C，应用韦达定理求M坐标，进而应用n表示、，结合二倍角正切公式判断与的数量关系，即可得解．本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．22.【答案】证明：由，得，设，则，当时，设，，因为，，所以和在上单调递增，，，所以当时，，，则，所以在上单调递增，所以，即当吋，由已知得，①当时，因为，所以在上单调递增，又因为，，所以由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，②当时，设，则，所以在上单调递减，所以，所以，所以，所以在上单调递减，又因为，，所以由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，综上所述，有且仅有2个零点．【解析】令，利用导数判断的单调性，并求出其最小值即可证明；由可知，在上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数，即可证明在上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明以及函数零点存在性定理的应用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题．。

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：①第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. (2)分∴. ……………3分 （2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ (4)分(4)2sin 2sin44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分 ∴222222cos 2OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===………10分 ∴POQ sin ∠==……………11分∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯= ……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴(4,OP OQ ==u u u r u . ……………8分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . ……………10分∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯= ……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴直线OP的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分 ∴点Q 到直线OP的距离为d ==. ……………9分∵OP =……………11分∴△POQ的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分 （2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分整理得 ，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 =14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为=1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===2.∴5EH =. (9)∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分在Rt △EHB 中，BH ==cos 1ABA ∠.…13分∴平面1A BD 与平面ABC ……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===∴5EH =. (9)在Rt △EHB中，5BH ==. ∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2.∴1AA =u u u r ()004,,，1A B =u u ur )14,-，1A D =u u u u r()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由10A B u u u r ?，10A D u u u u r ?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî令1y =，则1z x==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA u u u r=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==u u u u ru u u u r u u u u r n AA n AA nAA ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+Q L ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++L , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. (3)分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, ∴BC BA //u u u r u u u r. (4)分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. (13)分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x xy y -=-，即2111212x y x x y -+=. (5)分∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ...............10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. (5)分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. (4)分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) (5)分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭L122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L . ……………10分令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L ， 则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++L 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++L .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++L ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅L …12分()1212n n n nC C C -=+++L()012102n n n nn n n n n n C C C C C C C -=+++++--L()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-. ……………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C. D.2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. B. C. D. 23.已知双曲线：的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则=（）A. B. 2 C. D. 36.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，S2m-1=11，则m=（）A. 11B. 10C. 6D. 57.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A.B.C.D.8.（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A. 5B. 10C. 15D. 209.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在，上单调递减，则ω的最大值是（）A. B. C. D. 210.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.已知以F为焦点的抛物线C：y2=4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A. 2B.C.D. 412.已知函数，＞，，的图象上存在关于直线x=1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3=6，S6=54，则a1=______．14.若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a=______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，点H在线段OB1上，OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（3a-b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b-a=2，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19.某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20.已知椭圆：＞＞的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF 的面积的最大值．21.已知函数f（x）=e2x-ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，A、A∩B={x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A B={x|x＞0}，故本选项错误；C、A B，故本选项错误；D、A B，故本选项正确；故选：D．首先化简集合，再求交集，并集即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心（2，-4），双曲线的一条渐近线为：y=bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，可得2b=4，所以b=2，a=1，则c=，则C的离心率为：．故选：C．求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5.【答案】D【解析】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：=，∴===1•2•+1•2•1=3．故选：D．本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，则：，解得：a m=1．S2m-1===11，解得：m=6故选：C．直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2-1）（1+a）5=32，∴a=1，该展开式中x4的系数是2••a-1••a4=10a-5a4=5，故选：A．令x=1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ=．所以：f（x）=cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k=0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=λ|BF|，∴x1+1=λ（x2+1），∴x1=λx2+λ-1∵|y1|=λ|y2|，∴x1=λ2x2，当λ=1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1=λ，x2=，|AB|=（x1+1）+（x2+1）=．∵，∴（λ++2）max=．则弦AB的中点到C的准线的距离d=，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）==x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x=1的对称图象为g（x），则g（x）=f（2-x）=2-x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（-∞，1）上有公共点．∵g′（x）=-1+＜0，∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，又f（x）=ln（x+a）在（-∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2-1．故选：A．求出f（x）关于直线x=1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（-∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵S3==6，S6==54，∴=1+q3=9，解得q3=8，则q=2，∴=6，解得a1=故答案为：先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：函数的导数为：f′（x）=a+，f′（1）=a+3，而f（1）=a-3，切线方程为：y-a+3=（a+3）（x-1），因为切线方程经过（2，4），所以4-a+3=（a+3）（2-1），解得a=2．故答案为：2．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15.【答案】（ ，]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】【解析】解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=，O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴S ===，∴V =S•O1C1==．故答案为：．当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M-C1O1H的体积最小，求出△O1BH的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B=（3a-b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B=3sin A cos C-sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B=3sin A cos C，∴sin（C+B）=3sin A cos C，…2分∵A+B+C=π，∴sin A=3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C=，…4分∵0＜C＜π，∴sin C==；…6分（2）∵，cos C=，∴由余弦定理：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：24=a2+b2-ab，…8分∴（a-b）2+ab=24，…9分∵b-a=2，∴解得：ab=15，…10分∴S△ABC=ab sin C==5…12分【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，∴Rt△ABD=Rt△BCD，∴AD=CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB=P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由已知二面角A-BD-C为120°，∴∠AEC=120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AB=，在Rt△ABD中，，∴BD=，∵BD=，∴AD=，∵BD2=AB2+AD2，∴AB=2，∴AE=，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO=60°，∴AO=，AE=1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AD=CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由二面角A-BD-C为120°，得∠AEC=120°，由余弦定理得AC=，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO 是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η=2）=，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X=400）=0.4×0.4=0.16，P（X=450）=2×0.4a=0.8a，P（X=500）=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P（X=550）=2ab，P（X=600）=b2，（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得a+b=0.6，∴b=0.6-a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤-0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6-a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）=400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2=520-100a，当a=0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【解析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得b=0.6-a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由椭圆：＞＞可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，-1），根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，故椭圆方程为+y2=1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，则=1，即m2=t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，则△=（2tm）2-4（t2+2）（m2-2）=8＞0，∴y1+y2=-，y1y2=，∴|y1-y2|===，∴△ABF的面积S=|PF|•|y1-y2|=，令f（m）=，m≥1∴f′（m）=，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）=，故△ABF的面积的最大值为【解析】（1）根据根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，可得m2=t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S=，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=2e2x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x-2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）=2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（-∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，＜ln，ln a＞ln，又f′（0）=2＞0，f′（）=2e-a＜0，f′（ln a）=2e2ln a-2a lna=2a（a-ln a）＞0，（易证明a-ln a＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）==0，存在x2∈（，ln a），使得f′（x2）=0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x=x1时，f（x）取得极大值，即M=，由0＜x1＜时，得1-x1＞0，x1≠1-x1，由2-2ax1=0，得=ax1，故M==ax1-ax12=ax1（1-x1）＜a•（）2=，即＜成立．【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。