角动量与对称性

依据角动量定理： ，
在O-X轴上的投影： ，
当 角很小时， 即单摆的动力学方程。
2 光滑水平面上的弹簧经度系数为k，其一端连结质量为M的木块，另一端固定在O‘点，质量为m的子弹以速度 沿水平方向垂直弹簧的方向射向木块并嵌入其中。弹簧原长为
再以m2为研究对象，在质心坐标系（惯性系）中，它受细绳拉力绕质心作圆周运动，由质点组动量定理得： 得：质心的速度
m2相对质心的速度大小为：
所以细绳的拉力为：
因细绳质量不计，所以细绳中的张力处处相等，大小均为F。
2．质点系对参考点的角动量定理： 外
3．质点系对参考点的角动量守恒定律：若 外=0，则 恒矢量
4．质点系对轴的角动量：（几个质点均分别在与z轴垂直的平面内运动）
：面对z轴观察从 沿逆时针转到 的角
5．质点系对轴的角动量定理：（几个质点均分别在与z轴垂直的平面内运动）
设 和 间的夹角为 ，则： --------------（2）
《m,M》由A到B过程中，仅内部保守力作功，系统的机械能守恒，以弹簧自由伸展状态为弹性势能的零点，则： -------------（3）
解（1）、（2）和（3）得：
3质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，置于光滑的水平面上，当弹簧处于自然状态时，长为a，弹簧的经度系数为k，今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a，求两球的初速度
解：根据质心定义求得m1与m2的质心距m2的距离为：
C
m1
m22
x
y
V0
在水平面上（惯性系）上以释放瞬间质心C的位置为原点，建立坐标系C-xyz，Cz轴垂直纸面向上。

,
比 牛顿 三 定律具 有
,
更 广适 用 范 围 的实验 定 律 做 为 更普 遍 的规 律 在 经典 力 学 中却用 范 围有 限 的 牛 顿定 律
,
一少
,
认
来 推导
这确实 是 比 较整 扭 的
。
本 文 想从 空
。
间 的均 匀 性 和 各 向 同 性 ( 对称 性 ) 用 比 较 简 明 的 方 法导 出 动量 守 恒 和 角 动 量守 恒定 律 空 间的均 匀性 伺 的性 质
。
浏
厂 扩
)
, , ,
相应 的 守 恒 定律 参
表明
,
。
)
。
这 些都 是牛 顿概 另外
、
组成 的 系 统
系 统所 受外 力忽 略
: ,
,
这样 对 于
,
近 代 物理 学
动量
,
角 动量 守恒 定律 完 全适用 于 牛 高速 领 域
,
丈附
硅 节。行
介
一
-
顿 运 动定 律 不成 立 的微观
由此
可见
,
动 量 守恒 定律
,
角 动量 守恒 定律 应 看
,
做 是从 实 验 中总 结 出来
K
/
认 为物理 规律 对坐 标平 移具 有 不 变 性 ( 又 叫
性
所 以无 论从 K 系 还是 从
系来 看
太阳
,
对 空间平 移的 对称 性
.
)
空 间各 向 同 性
,
就
与地球 的相 互 作 用 势 能应该 是 个不变 量
以应 有
U (丫
`
,
所

i
LZ 恒量
学资 若质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和始终为零，则质点系对轴的角 教 动量保持不变，叫做质点系对Z轴的角动量守恒定律。
校数字 .140 O 高 27 例题： 省 7.1 悬挂于光滑轴承O处的轻杆连接质量均为1kg的两个
南 19 圆球如图。一子弹质量为100g，以6m/s的速度与杆成 45o 湖 202. 射向下方的圆球，并嵌入球内。求嵌入后瞬时轻杆摆动的
学资
即： r p C r mv C
字教 0 （1）平面运动：即
r
mv
的矢量方向不变，而此方向又垂直于
r
与
v
所
数 14 决定的平面，即运动平面。
省高校 7.127. （2）开普勒第二定律（面积定律）：单位时间内扫过的面积
s
1
r
v
相等
南9 2
湖 02.1 注意：有心力作用下，角动量相对于力心的角动量守恒， 2 并不是相对与所有参考点的角动量守恒。
源中 点对该点的角动量：
资 L r p r mv
教学 r、p、L构成右手螺旋系统。
高校数字 27.140 注意:
(1)
因为
L
与
p
有关，故角动量
L
与参考系有关。
(2)
L
与
r
有关，故角动量与参考点O
的位置有关。
省 7.1 2. 质点对某轴的角动量(与力矩类比！）
南 19 质点对轴的角动量等于对轴上任一点的角动量在该轴上的投影。
*本节研究： 质心参考系中质点系角动量的变化规律。
心 c x' y' z'表示质心参考系，c为质心，ac为质心加速度。 中 o xyz 表示惯性参考系， xyz 与 x' y' z' 总保持平行.

第五章角动量.关于对称性习题解答5.1.1我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km，远地点d远=2384km，地球半径R=6370km，求卫星在近地点和远地点的速度之比。

解：人造卫星绕地心转动，受地球的吸引力过地心，所以吸引力对地心的力矩等于零，故卫星的角动量守恒。

近地点、远地点的速度与矢径垂直。

设近地点的速度为v1，矢径为r1；远地点的速度为v2，矢径为r2，根据角动量守恒定律5.1.2一个质量为m的质点沿着一条由定义的空间曲线运动，其中a、b及皆为常数。

求此质点所受的对原点的力矩。

解：已知所以根据牛顿第二定律，有心力对原点的力矩：5.1.3一个具有单位质量的质点在力场中运动，其中t是时间。

设该质点在t=0时位于原点，且速度为零。

求t=2时该质点所受的对原点的力矩。

所受的对原点的力矩。

解：因单位质量m=1 且又t=0时当t=2s时对原点的力矩5.1.4地球质量为6.01024kg，地球与太阳相距km，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动。

求地球对于圆轨道中心的角动量。

解：地球绕太阳的速率角动量=2.65kg.m2/s5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。

解：由得对原点的角动量5.1.6解：根据5.1.3题所给的条件，求该质点在t=2s时对原点的角动量。

解：由m=1积分：t=2s 时5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N。

如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？解：小球受力：重力、桌面的支持力，二者相等；拉力，通过圆心，力矩为零。

所以小球的角动量守恒。

根据牛顿第二定律由动量定理拉力作的功5.1.8 一个质量为m的质点在0-xy平面内运动，其位置矢量为,其中a、b和是正常数。

试以运动方程及动力学方程观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。