函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间的关系1、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线)(,,b a b x a x ≠==对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。
证：根据题意有：)()2();()2(x f x b f x f x a f -=+-=+令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+——————————①)2()(b x f x f +-=—————————————②将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。
2、若函数)(x f 在R 上满足图像关于点))(0,(),0,(b a b a ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。
证：根据题意有：0)()2(,0)()2(=-++=-++x f x b f x f x a f令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +--=-+————————① )2()(b x f x f +--=————————————②将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。
3、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线a x =和点))(0,(b a b ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(4b a T -=是它的一个周期。
证：根据题意有：0)()2(),()2(=-++-=+x f x b f x f x a f令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+，)2()(b x f x f +--=则)()22(x f b a x f -=-+，又令b a x x 22-+=，得)22()](4[b a x f b a x f -+-=-+ )()](4[x f b a x f =-+∴∴函数)(x f 是周期函数，且)(4b a T -=是它的一个周期。
函数的双对称性与周期性的关系双对称性是数学中一种有趣的概念，通常用来描述图形，其中一半的形状和另一半是完全一样的。
函数也存在双对称性，在数学中，函数被定义为一个输入和输出之间的映射关系。
双对称性意味着函数经过某些对称变换，比如反射，旋转等，仍保持原有的关系。
而周期性是指函数上的一种变化规律，这种变化规律通常可以表示为一条折线，表示函数随时间改变的规律。
从函数的定义出发，很容易发现双对称性和周期性之间存在一种关系。
双对称性是指函数是否具有某种称之为双对称的特性，即该函数可以从一个点以给定的角度和长度进行旋转，而结果依然如初，即函数不被改变。
例如正弦函数，它具有180°的双对称性，就是说把正弦函数以180°旋转，所得的结果和原来的结果完全一致。
同样，如果函数具有双对称性，那么函数上的变化规律就具有周期性。
例如正弦函数，它具有180°的双对称性，这也意味着函数的变化规律具有周期性，即每次变动范围在180°以内，就会出现重复的结果。
用另外一种表达方式来说，就是说，每次函数变化360°，函数就会重复一次。
由此可见，双对称性和周期性之间存在着密切的联系，他们之间是密不可分的。
函数周期性的变化取决于函数的双对称性，函数双对称性的变化也会影响函数的周期性。
而双对称性和周期性在数学与物理学中也都有着十分重要的作用，因此，深入研究双对称性与周期性之间的关系非常有必要。
首先，双对称性和周期性之间的关系可以用一个简单的例子来说明。
可以以函数y=sin x为例，x为变量、y为因变量，此函数具有180°双对称性，也就是说，将正弦函数以180°旋转，函数结果依然不变。
因此此函数具有周期性，每次变化范围在180°以内，就会出现重复的结果，即每次函数变化360°，函数就会重复一次。
其次，双对称性和周期性之间的关系还可以从复式函数的例子来说明。
一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中,1 等式两端的两自变量部分相加得常数,如()()a x b x a b ++-=+,说明f x ()的图像具有对称性,其对称轴为2b a x +=; 2等式两端的两自变量部分相减得常数,如()()x a x b a b +--=+,说明 fx 的图像具有周期性,其周期T=a +b ;设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律1)()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ 1)()(x a f x a f -=+ a x =⇒2)()(a x f x f += a T =⇒ 2)()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ 3)()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ 3 )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ 4)(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ 4 )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ 5)(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ 5 )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ 61)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ 7 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ 8 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ 9 )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ 10 )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒11 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=212 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=213 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=414 若偶函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称,则fx 为周期函数且T=2a15 若奇函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称,则fx 为周期函数且T=4a16 若奇函数y=fx 满足fx+T=fx x ∈R,T ≠0,则f 2T =0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = fxx ∈R 满足f 5+x = f 5－x ,问：y = fx 是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形例2. 已知函数y = fxx ∈R 满足fx+5= fx －5,问：y = fx 是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形定理1：如果函数y = fxx ∈R 满足)()(x a f x a f -=+,那么y = fx 的图像关于直线x a=对称;证明：设点()P x y 00，是y = fx 的图像上任一点,点P 关于直线x =a 的对称点为Q,易知,点Q 的坐标为()200a x y -，;因为点()P x y 00，在y = fx 的图像上,所以f x y ()00=于是()()[]()[]()000002y x f x a a f x a a f x a f ==--=-+=-所以点()Q a x y 200-，也在y = fx 的图像上;由P 点的任意性知,y = fx 的图像关于直线x =a 对称;定理2：如果函数y = fxx ∈R 满足fa +x = fb －x ,那么y = fx 的图像关于直线x a b =+2的对称; 定理3：如果函数y = fxx ∈R 满足fx +a = fx －a ,那么y = fx 是以2a 为周期的周期函数;证明：令x a x -=',则x x a x a x a =++=+''，2代入已知条件()()f x a f x a +=-得：()()f x a f x ''++2根据周期函数的定义知,y = fx 是以2a 为周期的周期函数;定理4：如果函数y = fxx ∈R 满足()()f x a f x b +=-,那么y = fx 是以a b +为周期的周期函数;。
