非线性无阻尼单摆运动的研究ppt概述

非线ห้องสมุดไป่ตู้物理(单摆杜芬方程)讲义
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

要点三
研究摆与其他领域的 交叉应用
探索摆在物理学、生物学、工程学等 其他领域的应用，研究其共性和规律 性。
06
摆的结论和展望
摆的研究结论
摆的周期公式
单摆周期公式为T=2π√(L/g)， 其中L为摆长，g为当地重力加速 度。这个公式可以用来预测摆的 周期时间。
等效质量和等效重力 加速度
在摆的研究中，我们使用等效质 量和等效重力加速度的概念来简 化问题。对于一个相对于地球表 面高度为h的摆，其等效重力加 速度为g'=g(1+h/R)，其中R为 地球半径。
2023
《摆的研究课件》
目录
• 摆的简介 • 摆的种类和特点 • 摆的应用 • 摆的实验与模型 • 摆的进一步研究 • 摆的结论和展望
01
摆的简介
摆的定义
摆是由一根固定在一端的轻杆或细线，另一端悬挂物体组成 的简单装置。
摆动过程中，悬挂物体在重力作用下沿弧线轨迹运动，而摆 线在垂直方向上振动。
下进行周期性往复振动。
特点
单摆运动规律简单，当摆角小于 5°时，可近似认为摆角不变。因 此，单摆常被用作简谐振动模型 。
应用
单摆在计时、测量和振荡等领域有 广泛的应用，如摆钟、地震监测等 。
双摆
定义
双摆是指两个单摆在同一支架 上悬挂，相互之间有一定距离 ，同时受到外力作用而产生周
期性往复振动。
特点
03
摆的应用
物理学中的应用
振动系统
摆被广泛应用于物理学中的振动系统，如钟摆、振荡器等， 用来测量和记录振动频率、能量传递等物理现象。
重力加速度测量
通过测量摆的振动周期和摆长，可以得出重力加速度的值Βιβλιοθήκη 进而推算出所在位置的重力场分布情况。

摘要单摆是日常生活中常见的一种物理现象，用一根细绳的一端拴着一个重物，把另一端固定，当重物来回摆动时，就形成了一个单摆模型。

本文讨论理想单摆和非线性单摆的分析方法，着重讨论非线性单摆的角度和角速度的关系及用摄动法求解一类特殊非线性单摆（duffing振子）。

并介绍几种常用的数学求解单摆方程的方法。

关键字：无阻尼；周期强迫；任意角度；阻尼振子；非线性；摄动法；平均法AbstractSingle pendulum is a common physic phenomenon in our life. Tie an object with a line, fasten the other side. When the object rock around, we can get a single pendulum.The main content of this paper is to discuss the method of analysis the ideal single pendulum and the nonlinear single pendulum. We put our eye on the relationship between the angle speed and the angle acceleration. Then we will use perturbation method to solve one special angle pendulum equation. At last we will introduce some common ways to solve the problem.Keywords:no damp, period forced, any angle, damp flap, nonlinear,perturbation method, average method.II目录一、无阻尼振荡的分析 (1)二、周期强迫振动的分析 (4)三、摆角为任意角度的分析 (5)四、阻尼振子的分析 (8)五、有摩擦强迫振动的分析 (10)六、非线性振子的分析 (12)七、摄动法求解duffing振子方程（perturbation method） (15)1、正规摄动法（regular perturbation method） (16)2、Poicarè法： (17)八、用平均法求解单摆方程 (19)参考文献 (21)附件 (22)III一、无阻尼振荡的分析1一、无阻尼振荡的分析如图所示，忽略细绳重量，也不计小球受到的空气阻力，则上诉单摆可看成理想单摆，对其进行受力分由牛顿第二定律得：θsin mg ma -=（1）因为2222dtd l dt s d a θ== )(θl s= （2）把（2）代入（1）式可得 0sin 22=+θθmg dtd ml （3）将（3）两端同除以ml 可得 0sin 22=+θθlgdtd （4）令lg=0ω，其中0ω为自然频率.则（4）可变为 0sin 2022=+θωθdtd （5） 当θ很小时,θθ=sin 故有,02022=+θωθdt d （6）解此方程得:ti ti eC e C t 0021)(ωωθ-+= （7）若θ为实数,则有θθ=*,即t i t i ti t i e C e C e C e C 000021*2*1ωωωω--+=+ （8）所以, *21C C =, *12C C = （9）令ϕi e A C 21=,ϕi e AC -=22.一、无阻尼振荡的分析2则有())cos(2)(0)()(00ϕωθϕωϕω+=+=+-+t A e e A t t i t i （10） )cos()(0ϕωθ+=t A t （11）从能量守恒方面考虑:0022=+θωθdt d 可变形为 020=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛θωθθθdtd d dt d d （12） 令dtd θθ='，则有 0''20=+θωθθθd d （13） 两边同时乘以θd ，得到 0''20=+θθωθθd d （14）在对两边求积分， ⎰⎰⎰=+θθθωθθd d d 0''20 （15）积分结果为 E =+220221'21θωθ （16）令2'21θ=T (动能),22021θω=V (势能).则有E V T =+,机械能守恒.E =+220221'21θωθ为椭圆方程：00.20.40.60.811.2 1.4 1.6 1.82tt h e t a /d t h e t a图1 a一、无阻尼振荡的分析3-1.5-1-0.500.51 1.5xy图 1 b 图1 a 的图像为摆动角度θ及角度θ的导数随时间变化的曲线，其中实线表示角度θ随时间的变化，点线表示θ的导数（即角速度）随时间的变化。

思考题4
如何设计一个实验来验证单摆 和复摆的周期公式？
THANKS
感谢观看
复摆的回复力由重力和支点的 支持力合成，方向始终指向平 衡位置。
单摆和复摆的能量转换
单摆和复摆在运动过程中，动能 和势能之间相互转换。
当摆角较小时，单摆的运动近似 简谐振动，能量转换呈现周期性
变化。
复摆在运动过程中，由于支点摩 擦和空气阻力等因素，能量会有
所损失，导致运动周期变长。
03
单摆和复摆的应用
02
4. 启动计时器，记录复摆完成一 个周期的时间。
实验结果和实验分析
实验结果
通过实验测量得到单摆和复摆的运动周期，并记录在表格中。
实验分析
根据测量结果，分析单摆和复摆的运动特性，比较两者之间的差异。通过计算单摆的振动周期公式 T=2π√(L/g) ，其中L为单摆的长度，g为重力加速度，验证理论公式是否与实验结果相符。对于复摆，分析其转动惯量、质量 等因素对周期的影响。
钟表和计时器中的应用
钟表的核心机制
复摆在高级钟表中的应用
单摆被用作钟表的核心计时机制。其 规律的周期性运动被转换成时间单位 ，如秒、分、小时。
在高级机械钟表中，复摆常用于更精 确地调节和平衡钟表的运行。
精确度与稳定性
由于单摆的简单运动模式和自然频率 的稳定性，它为钟表提供了高精度的 时间基准。
振动隔离和减震中的应用
实验步骤和实验操作
3. 开始计时，记录单摆和复摆的运动周期。 4. 重复实验多次，求平均值。
5. 分析实验数据，得出结论。
实验步骤和实验操作
实验操作 1. 调整单摆的长度，使小球能够自由摆动。
2. 启动计时器，记录单摆完成一个周期的时间。

度、湿度等参数。
4. 数据处理
计算摆动周期的平均值 及误差范围，分析实验
数据。
数据处理与误差分析
数据处理
将实验测量得到的摆动周期数据 进行整理，计算平均值、标准差 等统计量，绘制摆动周期与摆线 长度的关系图。
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差 来源，如测量误差、环境因素等 ，并讨论其对实验结果的影响。
结果分析
通过对比不同温度下的摆动数据，分析温度变化对摆动运动的影 响。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
01
02
03
04
摆的等时性
摆的周期与摆角大小无关，仅 与摆长和重力加速度有关。
摆的周期公式
T=2π√(L/g)，其中T为周期 ，L为摆长，g为重力加速度
。
摆的能量转化
摆动过程中，重力势能和动能 相互转化，机械能守恒。
04 摆的应用领域举例
计时器设计原理及应用
摆钟工作原理
利用单摆的等时性，通过 控制摆长来调节摆动周期 ，进而实现计时功能。
摆钟发展历程
从早期的机械钟到现代的 石英钟、电子钟，摆钟的 精度和稳定性不断提高。
计时器应用领域
广泛应用于钟表制造、计 时仪器、定时控制等领域 。
精密测量中的应用
长度测量
利用摆的等时性，通过测量摆动 周期和摆长来计算待测长度。
非线性振动的研究方法
采用摄动法、数值计算等方法进行分析和研 究。
感谢您的观看
THANKS
在小振幅振动时，弹簧振子的运 动可近似为简谐振动。
03 摆的实验方法与技巧
实验仪器介绍及使用注意事项
01
02
03
摆线
选用细且不易伸长的线， 长度可调，用于悬挂摆锤 。

例题
周期T=2s的单摆叫做秒摆，试计算秒摆的摆 长。(g=9.8m/s2）
解：根据单摆周期公式： T 2 L g L4gT22=49.83.12422m=1m ( g 2 ) ∴秒摆的摆长是1m.
跟踪训练
一个作简谐运动的单摆,周期是1s（ ACD ）
A.摆长缩短为原来的1/4时,频率是2Hz B.摆球的质量减小为原来的1/4时,周期是4秒 C.振幅减为原来的1/4时周期是1秒 D.如果重力加速度减为原来的1/4时,频率是0.5Hz.
0.03491
3o
0.05234
0.05236
4o
0.06976
0.06981
5o
0.08716
0.08727
6o
0.10453
0.10472
7o
0.12187
0.12217
8o
0.13917
0.13863
当θ角很小（θ＜50）时，角的正弦值近似等于θ所对应 的弧度值，即sinθ≈θ
二．单摆的运动
当很小时，
（1）弧长≈x
= 弧 x ll
sin x l
(2)sin
mgsinmgx
l
若考虑回复力和位移的方向，
F回m lgxkx(令 km lg)
T
x
mg sin
mg
mg cos
2、单摆的回复力
仔细观察下面表格：你能得到什么结论？
角度
sinθ
弧度值θ
1o
0.01754
0.01754
2o
0.03490
1.单摆作简谐运动的回复力由下列哪 些力提供（ ）B
A.摆球的重力 B.摆球重力沿圆弧切线的分力 C.摆线的拉力 D.摆球重力与摆线拉力的合力

第一章 非线性振动初步第一节 无阻尼单摆的自由振荡1 小角度无阻尼单摆 椭圆点单摆，一个由摆线l 联着的重量为mg 的摆锤所组成的力学系统，是力学教科书中通常都要进行讨论的一个简单的动力学模型。

其实我们将会看到，它具有非常复杂的动力学行为，是一个复杂系统。

我们研究一个理想的单摆，即忽略摆线l 质量，认为整个系统的质量都集中在摆锤上，是一个具有集中参数的数学摆，如图1-1所示。

因为如果把摆线与摆锤的质量一起计算，单摆就是一个具有分布参数的摆，与此相应的数学模型是偏微分方程，处理起来很复杂。

理想单摆的数学表达是常微分方程，研究起来就要容易得多了。

图1-1 数学摆首先忽略一切阻尼，例如忽略摆锤在运动中受到的空气阻力、摆线与悬挂点之间的摩擦力等等。

由牛顿第二运动定律，摆锤质量为m 的单摆的运动方程为：(1-1-1)式中θ为摆角，g 为重力加速度。

将等式右边项移到到左边，并以ml 相除后有：设 ，它是以单位时间的弧度为单位的角频率，则式(1-1-1)可写为：(1-1-2)由于正弦函数是非线性的，因此这是一个二阶非线性微分方程。

用级数展开正弦函数：(1-1-3)如果x 很小，则可以忽略三次以上的高次项，即。

这就是说当单摆的摆角很小时，式(1-1-2)变为线性微分方程：ml d dtmg 22θθ=−sin 0sin 22=+θθl g dt d l g /0=ω0ω0sin 2022=+θωθdt d L +−+−=!7!5!3sin 753x x x x x x x ≈sin(1-1-4)方程(1-1-4)的解可以通过如下的代换解获得：式中λ为常数。

代入方程(1-1-4)并消去因子后得特征方程：(1-1-5)方程(1-1-5)的特征根为：由此得到方程(1-1-4)的通解为：(1-1-6)式中，为复常数。

由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数，必须满足条件：于是得条件：，。

将满足这样条件的系数，写成指数形式：， 其中P 为它们的模，为幅角，则(1-1-6)式写成如下形式：(1-1-7)(1-1-7)式是一个振幅为P ，角频率为的简谐振动表示式，表明单摆在摆角很小时的摆动为简谐振荡，其振动波形可以用正弦曲线来表示。

02 sin

0
非线性方程
式中角频率：
0 g / l
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
线性化处理
d 2
dt2
02 sin

0
sin x x x3 x5 x7 3! 5! 7!
忽略3次以上的高次项
得线性方程
sin x x
d 2
dt2
02
C e* i0t 1
C2*ei0t
C1ei0t
C2ei0t
C1 C2*; C2 C1*
将 C1,C2 写成指数形式C1 (P / 2)ei ,C2 (P / 2)ei 后得：
(t) (P / 2)(ei(0t ) e ) i(0t ) P cos(0t )
看看实验结果：

0
5
10
20
T/T0 1.0000 1.0005 1.0019 1.0077
30 1.0174
45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 dt 2
02 sin

E
2 dt 2
K V E
右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过
程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
cos

摆角θ>10°时，需要考虑空气阻力等 因素，运动方程会变得复杂。
单摆的周期和频率
单摆的周期T=2π√(L/g)，其中L为摆长，g为重力加速度。 单摆的频率f=1/T，即f=√(g/4π^2L)。
单摆的能量分析
单摆的动能E_k=1/2mV^2， 其中m为摆球质量，V为摆球速 度。
单摆的势能E_p=mgh，其中h 为摆球相对于平衡位置的高度 。
复摆的周期和频率
01
02
03
周期
复摆完成一次完整的旋转 所需的时间。
频率
单位时间内复摆完成的旋 转次数。
关系
周期和频率互为倒数，即 $T = frac{2pi}{omega}$ 。
复摆的能量分析
定义
能量分析是指对系统能量 的来源、转换和消耗进行 分析。
机械能守恒
在无外力矩作用的情况下 ，复摆的机械能守恒。
感谢您的观看
THANKS
当摆角θ较小时，单摆的总能 量E=E_k+E_p=1/2mgL(1cosθ)。
03
复摆的运动分析
复摆的运动方程
定义
解法
复摆是指具有固定轴的刚体绕固定点 旋转的装置。
通过求解该方程，可以得到复摆的运 动规律。
运动方程
$Ifrac{domega}{dt} + Domega = 0$，其中$I$是转动惯量，$omega$ 是角速度，$D$是阻尼系数。
特点
单摆的运动具有周期性，即小球可以 在一个固定的圆周上摆动。单摆的周 期与摆长、地球的重力加速度以及小 球的转动惯量有关。
复摆的定义和特点
定义
复摆是一个质量为m的小球，在一根刚性杆的一端固定，另一端通过一根无质 量的线悬挂起来。当小球在垂直平面内摆动时，它的运动可以看作是简谐振动 。

面。所有相轨线都将呈现在柱
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期 周期与摆角无关？
T0 2 / 0 2 l g ? T ?
T0为零摆角极限下的周期 看看实验结果：
T/T0
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论：
1. 周期随摆角增加 而增加 2. 随摆角增加波形 趋于矩形
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 0 sin 0 2 dt
(1) (2) (3)
非线性方程, 式中角频率：
0 g / l
线性化处理
d 2 2 0 sin 0 2 dt
x x x sin x x 3! 5! 7!
g l
t
看作 t )，可得
(16)
1 2 E 1 cos H 2 mgl
由此解得
常量
2H 1 cos
(17)
3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线
单摆完整相图
0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合道； 1.坐标原点[ 0， 2.平衡点[ 0 ]为单摆倒置点(鞍点),附近相轨线双曲线; 0 ]或相反的连线为分界线. 0 ]到[ 3.从[
相图
引入代换 0t t 得： d 2 0 2 dt 一次积分后：
1 d 1 2 E 2 dt 2
2
(6)
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两 个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 2 E ，振动过 程是一个代表点沿圆周转动。

(2)等效摆长：图 11－4－2(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆 起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为 l·sin α，这就是等效摆
长。其周期 T＝2π
lsin g
α，图(b)中，乙在垂直纸面方向摆
动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。
图11－4－2
2．重力加速度 g (1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆 所处的空间位置决定，即 g＝GRM2 ，式中 R 为物体到地心的距离， M 为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。另外， 在不同星球上 M 和 R 也是变化的，所以 g 也不同，g＝9.8 m/s2 只是在地球表面附近时的取值。 (2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、 减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止 在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。
(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角 小于 10°，然后释放摆球，过平衡位置时用秒表开始计时，测量 30 次～50 次全振动的时间。计算出平均摆动一次的时间，即为 单摆的振动周期 T。
(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测 出相应的摆长 l 和周期 T。
3．数据处理 (1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的 l 和 T，代入 公式 g＝4Tπ22l中求出 g 值，最后求出 g 的平均值。 设计如下所示实验表格
1．仪器和器材 摆球2个(铁质和铜质并穿有中心孔)、秒表、物理支 架、米尺或钢卷尺、游标卡尺、细线等。 2．实验步骤 (1)做单摆：如图所示，把摆球用细线悬挂在物理支架 上，摆长最好能有1米左右，这样可使测量结果准确些。
(2)测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长 l′，精确到毫米；用 游标卡尺测量出摆球的直径 d，精确到毫米；则 l＝l′＋d2，即为 单摆的摆长。

2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 2 sin 0 0 2 dt
双曲点
乘以 d / dt 后积分 其中 E 2 2 cos 0 0
d 2 E 20 cos dt
2
积分 d [2(cos cos )1 / 2 0 0
势能曲线
• 基本方程 若取 0 1后积分得
d 2 2 sin 0 0 dt2
2
1 d cos E 2 dt 左边第一项是单摆动能 K， 左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
2 dt 2
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期
周期与摆角无关？ 看看实验结果：
T/T0
双曲点
T0 2 / 0 2 l g ? T
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
dt
0t
d [2(cos cos0 )]1/ 2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
0T / 4
0
0
2 sin 2 0 / 2 sin得：
1 2 2 0 1 3 2 4 0 T T0 1 sin sin 2 2 4 2 2
0 0
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频 率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。

单自由度系统无阻尼振动
单自由度系统的自 由振动——简谐振
动
1 运动微分方程的建立
弹簧—质量系统放在竖直方向，质量运动方向有重力。
重力只影 响质量块 的平衡位 置，并不 影响其振 动规律。
以系统的静平衡位置o为坐标原点，以垂直向下为轴 正向，建立如图所示的坐标系。
在静平衡位置有：
当物体在任意位置x时：
当质量块m在某一瞬时的速度为 弹簧在x处的微段d x的相应速度为
设r为弹簧单位长度的质量，则弹簧的动能为：
单自由度系统无阻尼振动
弹簧质量 弹簧的等效质量
例7 在长为l，抗弯刚度为EJ的简支梁的中点放一重量为W的物 体，梁的单位长度的质量为r，当考虑梁的分布质量时，求系 统的固有频率。
解：首先假定梁的振型。假设梁在自由振 动时动挠度曲线和简支梁中间有集中静载 荷作用下的静挠度曲线一样。
B点的等效刚度：
N个弹簧串联：
两个弹簧并联，在B端施加力F后，两个弹簧均伸长xB: 两个弹簧受力不同，分别为：
并联弹簧的等效刚度是原来弹簧刚度的总和， 比原来各弹簧单自的由刚度系度统无都阻要尼振大动 。
混联弹簧
等效刚度：
单自由度系统无阻尼振动
设计系统时：若需要减小刚度，采用串联弹性元件； 若需要增大刚度，采用并联弹性元件。
平面运动的刚体 T12mvc2 12Jc2
常见物体的势能计算
拉伸弹簧
扭转弹簧
U x kxdx 1 kx2
U
x
0
Kd
2 1
K2
0
2
刚体的重力势能 U mgzc 单自由度系统无阻尼振动
K 为抗扭弹簧系数
例1 可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤（直杆的重量和 锤的体积都可以不计），组成单摆，杆长为l，锤重为mg，试 求摆的运动微分方程。

.
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程， 不能获得系统的频率、振幅等基本参数。
只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因 此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近 似解析方法主要用于弱非线性系统。
发生非线性振动的原因：
1、内在的非线性因素
振动系统内部出现非线性回复力
单摆（或复摆） 的回复力矩
Mm(g l35)
3! 5!
振动系统的参量不能保持常数，
如漏摆、荡秋千。
自激振动 .
2、外在的非线性影响 非线性阻尼的影响 如 frk1vk2v2k3v3 策动力为位移或速度的非线性函数
如 F F (x ,x 2 ,x 3 ,v ,v 2 ,v 3 ) 线性振动与非线性振动的最大区别： 线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理
基本解(x0, x0)的领域内展开成泰勒级数:
x 02xF(t)
x ( t,) x 0 ( t)x 1 ( t)2x 2 ( t)
.
第5章 非线性振动 5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在 时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可 按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。 这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。
步长D t 内的线性方程来求解，常用的数值分析方法有纽马克
（Newmark）法、威尔逊（Wilson） 法、Runge－Kutta法等。
纽马克（Newmark）法
梯形法 最早由欧拉提出，其基本思想是将方程的解，即位移响

巢湖学院本科毕业论文设计
题目
非线性无阻尼单摆运动的研究
08物理学 肖元鹏 导师 史良马
单摆模型
无阻尼单摆动力方程
牛顿第二定律
d ml 2 F mg sin dt
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单摆运动学方程
w sin 0
2 0
2 0

4w (k sin ) 2
2 2 2
巢湖学院本科毕业论文设计题目非线性无阻尼单摆运动的研究08物理学肖元鹏导师史良马单摆模型无阻尼单摆动力方程牛顿第二定律22sindmlfmgdt?20sin0w??单摆运动学方程222204sin2wk??2022whk线性振动角位移tw00sin022ltwg角位移时间图像hw22202??非线性振动k1情况能量影响02arcsinksnwtk摆长影响周期推导公式推导04wktk1情况能量影响图像012arcsinsnwktk摆长影响图像k1情况摆长对角位移的影响02arcsintanhwt周期的推导分析周期函数2sin12sin1ln210?wt系统的势能cos120??wmvk1势能随摆角的变化k1是上式得特殊情况包含端点
k2
H 2 2w0
线性振动
角位移
0 sin w0t
2 T 2 w0
l g
角位移时间图像
2 w0 2 2H 2
非线性振动
k<1情况 能量影响
2arcsin[kSN (w0t, k )]
摆长影响
周期推导
公式推导
4( K ) T w0
k>1情况
k=1,是上式得特殊情况，包 含端点。
k>1势能
势能表达式：
V m w (1 cos( 2n )),n 1,2,3...