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程序设计方法-动态规划法

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程序设计五大算法

程序设计五大算法

程序设计五大算法算法是计算机程序设计中非常重要的概念，它是一系列解决问题的步骤和规则。

在程序设计中，有许多经典的算法被广泛应用于各种领域。

下面将介绍程序设计中的五大算法，包括贪心算法、分治算法、动态规划算法、回溯算法和图算法。

1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的算法，它通过每一步都选择当前最优解来达到全局最优解。

贪心算法通常适用于那些具有最优子结构的问题，即问题的最优解可以通过子问题的最优解来推导。

例如，找零钱问题就可以使用贪心算法来解决，每次选择面额最大的硬币进行找零。

2. 分治算法分治算法将问题分解成更小的子问题，然后递归地求解这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。

分治算法通常适用于那些可以被划分成多个相互独立且相同结构的子问题的问题。

例如，归并排序就是一种典型的分治算法，它将待排序的数组不断划分成两个子数组，然后分别对这两个子数组进行排序，最后将排序好的子数组合并成一个有序数组。

3. 动态规划算法动态规划算法通过将问题划分成多个重叠子问题，并保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划算法通常适用于那些具有最优子结构和重叠子问题的问题。

例如，背包问题就可以使用动态规划算法来解决，通过保存每个子问题的最优解，可以避免重复计算，从而在较短的时间内得到最优解。

4. 回溯算法回溯算法是一种穷举法，它通过尝试所有可能的解，并回溯到上一个步骤来寻找更好的解。

回溯算法通常适用于那些具有多个决策路径和约束条件的问题。

例如，八皇后问题就可以使用回溯算法来解决，通过尝试每个皇后的位置，并检查是否满足约束条件，最终找到所有的解。

5. 图算法图算法是一类专门用于处理图结构的算法，它包括图的遍历、最短路径、最小生成树等问题的解决方法。

图算法通常适用于那些需要在图结构中搜索和操作的问题。

例如，深度优先搜索和广度优先搜索就是两种常用的图遍历算法，它们可以用于解决迷宫问题、图的连通性问题等。

《算法设计与分析》第3章 动态规划法

《算法设计与分析》第3章 动态规划法

最优解的递推关系 定义m[i:j]，表示矩阵连乘A[i:j]所需的最少计算 量 则有： i j 0 m[i ][ j ] i j minj{m[i ][ k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i k
假设：N个矩阵的维数依序放在一维数组p中， 其中Ai的维数记为Pi-1×Pi
A=A1×A2×A3×…×An
A=(A1×A2×…×Ak) × (Ak+1×Ak+2×…×An)
B
C
1.2 穷举法
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出 每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出 一种数乘次数最少的计算次序。
穷举法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序有P(n)种。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子连乘的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
【程序】矩阵连乘的 穷举法实现 int MatrixChain::LookupChain(int i, int j) { if(i==j) return 0; int u=LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; //k=i s[i][j]=i; //记录最优分解位置 for ( int k=i+1;k<j; k++ ) { //遍历k int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j) +p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if (t<u) { u=t; s[i][j]=k; //记录最优分解位置 } } int MatrixChain::LookupChain() return u; { } return LookupChain(1,n);

动态规划算法的优化技巧

动态规划算法的优化技巧

动态规划算法的优化技巧福州第三中学毛子青[关键词] 动态规划、时间复杂度、优化、状态[摘要]动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。

全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文。

[正文]一、引言动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。

使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。

但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。

本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。

二、动态规划时间复杂度的分析使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。

所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。

动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。

但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。

它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。

下面给出动态规划时间复杂度的决定因素：时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1]下文就将分别讨论对这三个因素的优化。

这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。

有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。

因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。

CCF中学生计算机程序设计能力评级信息学奥赛NOIP动态规划算法及优化

CCF中学生计算机程序设计能力评级信息学奥赛NOIP动态规划算法及优化
1 ≤ n ≤ 5000, 1 ≤ b, ci, di ≤ 109。
动态规划算法 及优化
Codeforces 815C Karen and Supermarket
背包类问题 数据结构优化 决策单调性 计数
可以发现依赖关系形成了一棵树，因此可以考虑在树上
进行 DP。需要注意的是，本题中物品的价格可能非常大， 但是每个物品的收益只有 1，因此我们 DP 时第二维表示的 应当是买了多少个物品。
动态规划算法 及优化
背包类问题 数据结构优化 决策单调性 计数
动态规划算法及优化
动态规划算法 及优化
背包问题
背包类问题 数据结构优化 决策单调性 计数
01 背包：n 个物品，每个物品有价格 ci 及收益 wi ，问 m 元最多能得到多少收益。
完全背包：n 种物品，每种物品有价格 ci 及收益 wi，并 且每种物品能买无限个，问 m 元最多能得到多少收益。
n ≤ 500, m ≤ 4000, di ≤ 100。
动态规划算法 及优化
BZOJ4182 Shopping
背包类问题 数据结构优化 决策单调性 计数
先考虑我们知道必选某个节点时怎么做。可以把这个点
当成根，那么问题就转化为了一个树上依赖背包问题。 考虑用和上一题类似的方法进行 DP。令 fi,j 表示在节点
背包类问题 数据结构优化 决策单调性 计数
树上依赖背包其实还有一个经典的做法。考虑一边 dfs 一边 DP。dfs 到节点 i 的时候，我们先把 DP 数组拷贝一份， 表示不选 i 的子树时的背包。接着我们用多重背包的做法加 入商品 i，并且强制至少买一个商品 i。然后我们再依次 dfs 进每个儿子的子树中，回溯到 i 时我们就得到了在 i 的子树 中买了物品的背包，把它与原先拷贝的背包取个 max 即可。 这样复杂化即可。这样加入一个物品的复杂度是 O(m)

C++动态规划

C++动态规划
动态规划
概念
动态规划程序设计是对解最优化问题的 一种途径、一种方法，而不是一种特殊 算法。不象前面所述的那些搜索或数值 计算那样，具有一个标准的数学表达式 和明确清晰的解题方法。动态规划程序 设计往往是针对一种最优化问题，由于 各种问题的性质不同，确定最优解的条 件也互不相同，因而动态规划的设计方 法对不同的问题，有各具特色的解题方 法，而不存在一种万能的动态规划算法， 可以解决各类最优化问题。
分类
动态规划一般可分为线性动规，区域动 规，树形动规，背包动规四类。
线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地 雷等
区域动规：石子合并， 加分二叉树，统 计单词个数等
树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树 等
背包问题：装箱问题，挤牛奶等
基本思想
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。 在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对 应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规 划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题 分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子 问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合 于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不 是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得 到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多 次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在 需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的 重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有 已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到， 只要它被计算过，就将其结果填入表中。
一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，
对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优
策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个

程序的简单算法设计

程序的简单算法设计

贪心算法
分治算法是将一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
分治算法的适用场景包括但不限于归并排序、快速排序、堆排序等。
分治算法
动态规划
动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。
优化算法设计
复杂度分析的重要性
算法应用实例
04
排序算法
冒泡排序：通过重复地遍历待排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来，遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
Dijkstra算法
用于求解最短路径问题的图论算法。该算法的基本思想是从起始节点出发，按照距离的远近逐步向外扩展，直到扩展到目标节点为止。
空间复杂度
1
2
3
通过分析算法的时间复杂度和空间复杂度，可以评估算法在处理不同规模输入时的性能表现。
评估算法性能
通过比较不同算法的时间复杂度和空间复杂度，可以评估算法的优劣，选择适合特定问题的最优算法。
比较不同算法
了解算法的时间复杂度和空间复杂度，可以帮助我们发现算法中的瓶颈，进而优化算法设计，提高运行效率。
时间复杂度优化
优化算法所需存储空间，通过减少数据结构的大小或使用更有效的数据结构来降低空间复杂度。
空间复杂度优化
将算法拆分成多个独立的任务，并利用多核处理器或多线程环境并行执行，以提高处理速度。
并行化与并发
将问题分解为子问题，并存储子问题的解以避免重复计算，提高算法效率。
动态规划
算法优化策略
通过数学公式推导简化算法，减少计算量，提高效率。

计算机编程算法设计

计算机编程算法设计随着计算机技术的飞速发展，计算机编程已成为当今信息化社会中不可或缺的一部分。

而在计算机编程的过程中，算法是核心和灵魂，它决定了计算机的运行效率和性能。

因此，良好的算法设计对于程序的性能优化和问题解决具有重要意义。

本文将介绍计算机编程算法设计的基本概念、重要性以及一些常见的算法设计方法和技巧。

一、算法设计的基本概念算法是指解决特定问题的一系列步骤和操作的有序集合。

它是计算机编程的基础，可以说没有算法就没有计算机编程。

算法设计的目标是通过合理的步骤和操作来解决问题，并使程序能够以最高效的方式执行任务。

而优秀的算法设计需要满足以下几个基本要素：1.输入：算法需要接受一定的输入数据，这些数据将作为算法执行的基础。

2.输出：算法需要输出最终的结果或解决方案。

3.确切性：算法需要精确描述每个步骤和操作，确保执行过程不会产生歧义。

4.有限性：算法必须在有限的步骤内终止，不能陷入无限循环或死循环。

5.确定性：算法的每一步骤必须确切且唯一，给定相同的输入数据，算法的执行结果也必须相同。

二、算法设计的重要性良好的算法设计对于计算机程序的效率和性能优化具有关键作用。

一个高效的算法可以大大减少程序的执行时间和空间复杂度，降低计算资源的消耗。

同时，算法设计还可以提高程序的可读性和可维护性，使程序更易于理解和修改。

在实际工程中，合理选择和设计算法可以解决复杂的实际问题，提高系统的稳定性和可靠性。

三、常见的算法设计方法和技巧1.分而治之：将一个复杂的问题拆分成若干个简单的子问题，并分别解决这些子问题。

最后将子问题的解合并起来，得到最终的解决方案。

这种方法可以显著降低问题的复杂度，提高程序的执行效率。

2.贪心算法：贪心算法指在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，以期达到全局最优的结果。

贪心算法通常适用于具有最优子结构性质的问题，即问题的最优解可以通过一系列子问题的最优解来构造。

3.动态规划：动态规划是一种自底向上的设计方法，通过保存子问题的解来构建更大规模问题的解。

计算机算法设计五大常用算法的分析及实例

计算机算法设计五⼤常⽤算法的分析及实例摘要算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。

也就是说，能够对⼀定规范的输⼊，在有限时间内获得所要求的输出。

如果⼀个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执⾏这个算法将不会解决这个问题。

不同的算法可能⽤不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。

其中最常见的五中基本算法是递归与分治法、动态规划、贪⼼算法、回溯法、分⽀限界法。

本⽂通过这种算法的分析以及实例的讲解，让读者对算法有更深刻的认识，同时对这五种算法有更清楚认识关键词：算法，递归与分治法、动态规划、贪⼼算法、回溯法、分⽀限界法AbstractAlgorithm is the description to the problem solving scheme ,a set of clear instructions to solve the problem and represents the describe the strategy to solve the problem using the method of system mechanism . That is to say, given some confirm import，the Algorithm will find result In a limited time。

If an algorithm is defective or is not suitable for a certain job, it is invalid to execute it. Different algorithms have different need of time or space, and it's efficiency are different.There are most common algorithms: the recursive and divide and conquer、dynamic programming method、greedy algorithm、backtracking、branch and bound method.According to analyze the five algorithms and explain examples, make readers know more about algorithm , and understand the five algorithms more deeply.Keywords: Algorithm, the recursive and divide and conquer, dynamic programming method, greedy algorithm、backtracking, branch and bound method⽬录1. 前⾔ (4)1.1 论⽂背景 (4)2. 算法详解 (5)2.1 算法与程序 (5)2.2 表达算法的抽象机制 (5)2.3 算法复杂性分析 (5)3．五中常⽤算法的详解及实例 (6)3.1 递归与分治策略 (6)3.1.1 递归与分治策略基本思想 (6)3.1.2 实例——棋盘覆盖 (7)3.2 动态规划 (8)3.2.1 动态规划基本思想 (8)3.2.2 动态规划算法的基本步骤 (9)3.2.3 实例——矩阵连乘 (9)3.3 贪⼼算法 (11)3.3.1 贪⼼算法基本思想 (11)3.3.2 贪⼼算法和动态规划的区别 (12)3.3.3 ⽤贪⼼算法解背包问题的基本步骤： (12)3.4 回溯发 (13)3.4.1 回溯法基本思想 (13)3.3.2 回溯发解题基本步骤 (13)3.3.3 实例——0-1背包问题 (14)3.5 分⽀限界法 (15)3.5.1 分⽀限界法思想 (15)3.5.2 实例——装载问题 (16)总结 (18)参考⽂献 (18)1. 前⾔1.1 论⽂背景算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。

描述算法的常用方法

描述算法的常用方法
算法是计算机科学家日常工作的核心，它也是互联网技术发展的基础。

普遍描
述算法设计的方法大体上有很多：
1、遍历法：遍历法是指在计算机中系统地遍历搜索所有可能的解决方案，以
找出最优解。

一般来讲，遍历法在解决困难问题时效率较低，特别是处理大型数据集时，计算耗时会非常长。

2、分治法：分治法是一种在求解复杂问题时，分而治之的思路。

它的核心思
想是将一个大的问题划分成若干个小的子问题，再用同样的方法求解小问题，这些小问题的结果最后再组合起来，得到最大问题的答案。

3、贪心法：贪心法是一种在每一步选择中都作出"最优"选择，从而希望能够
导致结果是"最优解"的搜索方法。

它属于动态规划的一种，它的每一步的解决不会影响最终的解决方案。

4、动态规划：动态规划是一种重要的算法设计工具，它能够求解出多个阶段
决策问题的最优解，通常是一种有效的多阶段最优化策略，它属于运筹学中的一种学科。

5、回溯法：回溯法是一种穷举搜索算法，它以一种深度优先的遍历搜索方式，让计算机尝试各种可能的解决方案，直至找到最优解为止。

6、分支限界法：分支限界法是一种搜索算法，主要用于解决规模较大的优化
问题，它能够判断出某个状态是不可行还是该节点的子节点不可行，因此可以减少对无用的节点的搜索，从而提高了搜索的效率。

总的来说，以上这些方法都可以应用于互联网技术的研究和设计，并且在实际
的项目中广泛采用。

而在不同的需求条件下，可以根据问题的特性，选择最合适的算法设计方式，从而优化计算机程序的效率和性能。

算法设计与分析

算法设计与分析算法在计算机科学和信息技术领域中起着至关重要的作用。

算法设计与分析是指通过研究和设计不同的算法，以解决特定的计算问题。

在本文中，我们将探讨算法设计与分析的重要性，介绍常见的算法设计策略，并讨论算法性能分析的方法。

一、算法设计的重要性算法是计算机程序的核心，好的算法能够提高程序的执行效率和性能。

在实际应用中，优秀的算法设计所带来的性能改进往往是显著的。

通过深入理解并掌握各种算法设计策略，我们可以更好地解决问题，提高程序的运行效率和响应速度。

二、常见的算法设计策略1.分而治之（Divide and Conquer）：将一个复杂问题分解成若干个相似的子问题，逐个解决，最后合并子问题的解得到原问题的解。

典型的应用包括快速排序和归并排序等。

2.贪心算法（Greedy Algorithm）：在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，以期望达到全局最优解。

例如，霍夫曼编码和最小生成树算法（Prim算法和Kruskal算法）。

3.动态规划（Dynamic Programming）：通过将原问题分解为相互重叠的子问题，将每个子问题的解存储起来，避免重复计算，从而得到最终问题的解。

经典的应用有背包问题和最短路径问题等。

4.回溯法（Backtracking）：通过不断尝试所有可能的解，并在不满足条件时进行回溯，直到找到满足条件的解。

典型的应用有八皇后问题和0-1背包问题等。

5.分支限界法（Branch and Bound）：通过扩展搜索树并设置界限函数来减少搜索空间，从而有效地找到最优解。

典型的应用有旅行商问题和迷宫求解问题等。

三、算法性能分析的方法算法性能分析是评估算法效率的重要手段，常用的方法有以下几种：1.时间复杂度分析：衡量算法的运行时间随着问题规模的增加而增长的趋势。

通常使用大O记法表示时间复杂度，如O(n)、O(nlogn)等。

2.空间复杂度分析：衡量算法所需的额外空间随着问题规模的增加而增长的趋势。

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(p( 0,6,3)|q=0) = 3 * p( 1,6,2 )
q=l+1=1 3 2 1 5 1 2 5 01234 5 6
d( l,q)=d(0,1)=32 p( q+1,r,k-1 )=p( 2,6,2 )
(p( 0,6,3)|q=1) = 32 * p( 2,6,2 )
q=l+2=2 3 2 1 5 1 2 5 01234 5 6
p( 5,6,1 )
2*5
25 56
p(5,6,1) = 10
p( 1,6,2 )= max { 2 * p( 2,6,1 ) , 21 * p( 3,6,1) , 215 * p( 4,6,1) , 2151 * p( 5,6,1) }
=max{2*7560,21*2560,215*60,2151*10} = 53760
《程序设计实践》
程序设计方法之 动态规划
任务:摘桃子（1104)
长满桃子的树很大，共有n层（最
高层为第1层），第i层有i条树枝，
1
树的形状呈一个三角形（如图）
图中的点表示树枝，每个点上方的数字表示这条
树枝最多能摘到的桃子数
2
3
在摘得某枝条的桃子之后，小猴子只能选择往左 上方爬或者是往右上方爬
A1
P(D) = max{P(G), P(H)}+7 P(E) = max{P(H), P(I)}+6
B2 C9
P(F) = max{P(I), P(J)}+5
D7 E6 F 5
P(G) = 2, P(H) = 3, P(I) = 6, P(J) = 4
G2 H3 I 6 J4 x
将底层到每个点的最长路径P也存放在二维 数组中
参考程序如下
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <iostream>
using namespace std;
#define MAXLAYER 110
int maxnum(int x, int y) {
if (x > y) return x;
动态规划的指导思想是：在做每一步决策时， 列出各种可能的局部解，之后依据某种判定条 件，舍弃那些肯定不能得到最优解的局部解。
在每一步都经过筛选，以每一步都是最优的来 保证全局是最优的。
筛选相当于最大限度地有效剪枝（从搜索角度 看），效率会十分高。
但它又不同于贪心法。贪心法只能做到局部最 优，不能保证全局最优，因为有些问题不符合 最优性原理。
12 5 456
p(5,6,1) = 2 * 5 = 10
p(4,6,2) = 1 * p(5,6,1) = 10
p( 0,6,3)= max{ 3 * p( 1,6,2 ) , // q=0 32 * p( 2,6,2 ) , // q=1 321* p( 3,6,2 ) , // q=2 3215 * p( 4,6,2 ) } // q=3
动态规划与贪心法区别
贪心法产生一个按贪心策略形成的判定序 列，该序列不保证解是全局最优的。
动态规划会产生许多判定序列，再按最优 性原理对这些序列加以筛选，去除那些非 局部最优的子序列。
举例说明动态规划思路
问题： 在数字串中插入若干乘号使 总的乘积最大
*
**
s
3215 1 2 5
0123 4 5 6
请插入3个乘号使乘积最大 32*15*12*5=28800 3*215*12*5=38700 321*51*2*5=163710
解题思路
定义 : 从 l 到 r 加入 k 个乘号的最大乘积
值
*
p( l , r , k )
l l+1 l+2 . . . q q+1 q+2 . . . r
d(l,q)
5 * p(4,6,1 )
51 2 5 34 5 6
51 * p(5,6,1)
51 2 5 34 5 6
p( 3,6,2 ) = { 5 * 60 , 51 * 10 } = 510
p( 4,6,2 )
1*2*5
125 456
p( 4,6,2 ) = 10
p( 4,6,2 )
1* p(5,6,1 )
桃子的数目，我们定义为路径 7 6 5 长度。 原问题转化为求所有路径中路 2 3 6 4
径长度的最大值。
问题分析（续）
按照前面的思路，最长路径的长度是：
P(A) = max{P(B), P(C)}+1
y
P(B) = max{P(D), P(E)}+2
P(C) = max{P(E), P(F)}+9
for (i = 0; i < n; i++)
// n-i层的的节点
{
for (j = 0; j < k; j++)
{
cin >> peachtree[j][n-i-1];
}
k++;
}
参考程序（续）
//初始化P[x][0] for (i = 0; i < n; i++) {
P[i][0] = peachtree[i][0]; }
}
}
cout << P[0][n-1] << endl;retur Nhomakorabea 0; }
动态规划
阶段 状态 决策 状态转移方程
动态规划的几个概念:
阶段：据空间顺序或时间顺序对问题的求解 划分阶段。
状态：描述事物的性质，不同事物有不同的 性质，因而用不同的状态来刻画。对问题 的求解状态的描述是分阶段的。
//递推过程P[x][y] = max{P[x][y-1], P[x+1][y-1]}+peachtree[x][y]
for (j = 1; j < n; j++)
// i是行号，j是列号
{
for (i = 0 ; i + j < n; i++)
{
P[i][j] = maxnum(P[i][j-1], P[i+1][j-1])+peachtree[i][j];
else return y;
}
//返回2个整数中的大者
参考程序（续）
int main() {
int peachtree[MAXLAYER][MAXLAYER]; int P[MAXLAYER][MAXLAYER]; int i, j, k, n;
//读入数据
cin >> n;
k = 1; //当前这层的节点数目
d( l,q)=d(0,2)=321 p( q+1,r,k-1 )=p( 3,6,2 )
(p( 0,6,3)|q=2) = 321 * p( 3,6,2 )
q=l+3=3 3 2 1 5 1 2 5 01234 5 6
d( l,q)=d(0,3)=3215 p( q+1,r,k1 )=p( 4,6,2 )
151 2 5 234 5 6
151 2 5 234 5 6
151 2 5 234 5 6
151 2 5 234 5 6
p(2,6,1) = max { 1 * 5125 , 15 * 125 , 151 * 25 , 1512 * 5 }
= 7560
p( 3,6,1 )
5 * 125
51 2 5 34 5 6
从上述两条路径中选择一条最优的
令
令P(X)表示从底层到X点可以摘到最多桃子数目， 包含X点可以摘到的桃子数目
则：P(A) = max{P(B)，P(C)}+1
思路（续）
而第1阶段的
P(B) = max{P(D), P(E)}+2 P(C) = max{P(E), P(F)}+3 按照题意，P(D),P(E),P(F)分别初始化为4, 6, 5
51 * 25
51 2 5 34 5 6
5 12* 5
51 2 5 34 5 6
p( 3,6,1 )=max{5*125, 51*25, 512*5 }
= 2560
p( 4,6,1 )
1 * 25
125 456
12 * 5
125 456
p( 4,6,1 ) = max { 1 * 25, 12 * 5 } = 60
数据结构(续)
#define MAXLAYER 3 int peachtree[MAXLAYER][MAXLAYER] = {
{1, -1, -1, -1}, {2, 9, -1, -1}, {7, 6, 5, -1}, {2, 3, 6, 4} }; int P[MAXLAYER][MAXLAYER]
( p( 0,6,3)|q=3) = 3215 * p( 4,6,2 )
p( 0,6,3)= max{ 3 * p( 1,6,2 ) , // q=0 32 * p( 2,6,2 ) , // q=1 321* p( 3,6,2 ) , // q=2 3215 * p( 4,6,2 ) } // q=3
决策：根据题意要求，对每个阶段所做出的 某种选择性操作。
状态转移方程：用数学公式描述与阶段相关 的状态间的演变规律。
动态规划相关概念
动态规划是运筹学的一个重要分支，是解 决多阶段决策过程最优化的一种方法
所谓多阶段决策过程，是将所研究的过程 划分为若干个相互联系的阶段，在求解时， 对每一个阶段都要做出决策，前一个决策 确定以后，常常会影响下一个阶段的决策。
数组行上存放桃树上一层中每个树枝上桃子数