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动态规划法-1.独⽴任务最优调度问题C++实现问题描述：⽤2台处理机A和B处理n个作业。
设第i个作业交给机器A处理时需要时间，若由机器B来处理，则需要时间。
由于各作业的特点和机器的性能关系，很可能对于某些i，有，⽽对于某些j,j≠i，有。
既不能将⼀个作业分开由2台机器处理，也没有⼀台机器能同时处理2个作业。
设计⼀个动态规划算法，使得这2台机器处理完这n个作业的时间最短(从任何⼀台机器开⼯到最后⼀台机器停⼯的总时间)。
研究⼀个实例：(a1,a2,a3,a4,a5,a6)＝(2,5,7,10,5,2)；(b1,b2,b3,b4,b5,b6)＝(3,8,4,11,3,4)。
算法设计：对于给定的2台处理机A和B处理n个作业，找出⼀个最优调度⽅案，使2台机器处理完这n个作业的时间最短。
数据输⼊：由⽂件input.txt提供输⼊数据。
⽂件的第1⾏是1个正整数n, 表⽰要处理n个作业。
接下来的2⾏中，每⾏有n个正整数，分别表⽰处理机A和B 处理第i个作业需要的处理时间。
结果输出:将计算出的最短处理时间输出到⽂件output.txt中。
输⼊⽂件⽰例输出⽂件⽰例input.txt output.txt1562 5 7 10 5 23 84 11 3 4问题分析：对于这个问题，我们可以考虑，当完成第k个任务时，有两种可能：⼀是A处理机完成了第k个任务，那么B处理机完成k个任务的最短时间就与B处理机完成k-1个任务所需的最短时间是相同的⼆是B处理机完成了第k个任务，那么B处理机完成k个任务的最短时间就等于B处理机完成k-1个任务的最短时间加上B处理机完成第k个任务所需要的时间设F[k][x]表⽰完成第k个任务时A耗费的时间为x的情况下B所花费的最短时间，其中0<=k <= n， 0<=x<= Σai，那么，状态转移⽅程为F[k] [x]=minF[k−1][x−ak],F[k−1][x]+bk处理好特殊情况（如x⼩于0时）开始填表即可。
动态规划算法的实现及其应用动态规划，英文缩写为 DP，是一种算法设计技术，通常用于求解最优化问题。
动态规划是解决一类特殊问题的有效方法。
它通过将原问题转化为若干个子问题的方式，逐个求解这些子问题，最终得到原问题的解。
这种方式具有很强的适用性，能够解决很多实际问题。
动态规划的实现动态规划算法的实现基本上可以分为以下两个步骤：1. 确定状态：将原问题转化为若干个子问题，定义合适的状态量来表示子问题。
状态的定义应该满足无后效性，即状态一旦确定，之后的状态转移不会再受之前的状态影响。
2. 确定状态转移方程：定义状态转移方程，通过状态之间的转移来逐步求解原问题。
状态转移方程可以通过一些简单的规律得到，也可以通过数学方法进行求解。
动态规划的应用动态规划算法有很多应用，下面列举一些常见的应用场景。
1. 最长公共子序列问题：给定两个字符串，求出它们的最长公共子序列，即在两个字符串中都出现的、长度最长的子序列。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为在两个字符串的某段位置上的最长公共子序列的长度，状态转移方程比较简单。
2. 背包问题：有一个容量为 V 的背包和 n 种物品，每种物品的重量为 wi，价值为 vi，现在要用这些物品装满背包，使得背包中所装物品的总价值最大。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为在前 i 件物品中，体积为 j 的情况下能获得的最大价值，状态转移方程也比较简单。
3. 最短路问题：给定一个带权图，求出其中从起点到终点的最短路径。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为从起点到某个点的最短路径，状态转移方程可以通过分阶段来进行求解。
4. 求解最大子段和问题：给定一个序列，求出其中连续子段的和的最大值。
这个问题也可以用动态规划算法求解，状态可以定义为以某个位置为结尾的最大子段和，状态转移方程与之前的问题类似。
动态规划算法虽然能够解决很多问题，但是它也存在一些限制。
动态规划算法的计算复杂度较高，需要占用大量的内存空间。
动态规划算法原理及应用动态规划算法（Dynamic Programming，DP）是一种通过将问题分解为子问题来解决复杂问题的方法。
其核心思想就是将原问题分解为若干个子问题，先求解子问题，然后再根据子问题的解得出原问题的解。
1.定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，每个子问题都是原问题的一个子集。
2.构建状态转移方程：根据子问题的关系，建立状态转移方程来描述问题的解。
3.确定边界条件：确定问题的边界条件，即当问题规模很小的时候可以直接求解的情况。
4.自底向上求解：根据状态转移方程，自底向上地求解子问题，最终得到原问题的解。
1.背包问题：给定一个背包的容量和一系列物品的重量和价值，选择若干个物品放入背包中，使得背包的总重量不超过容量，同时总价值最大化。
2.最长公共子序列（LCS）问题：给定两个字符串，求它们的最长公共子序列，即两个字符串中都出现的最长的子序列。
3.最短路径问题：给定一个有向带权图和两个顶点，求两个顶点之间的最短路径。
4.最大连续子序列和问题：给定一个整数数组，找到一个具有最大和的连续子序列。
5.斐波那契数列：求解斐波那契数列中第n个数的值。
其中，斐波那契数列的定义为：F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)，n>11.避免了重复计算：动态规划算法使用备忘录或者数组来存储中间计算结果，避免了重复计算，提高了效率。
2.自底向上求解：动态规划算法从最小的子问题开始求解，逐步拓展到原问题，保证了每个子问题都是已经求解过的。
3.可通过状态压缩进行优化：动态规划算法中，可以根据具体问题的特点，通过状态压缩来减少空间复杂度。
然而，动态规划算法也有一些限制：1.无法应用于所有问题：动态规划算法要求问题满足最优子结构的性质，因此不是所有问题都可以使用动态规划算法来解决。
2.有时需要额外的空间和时间：动态规划算法可能需要使用额外的空间来存储中间结果，同时也需要额外的时间来计算和存储中间结果。
动态规划算法及其应用动态规划算法是一种常用的解决最优化问题的方法，它将问题划分为若干子问题，并通过求解子问题的最优解，逐步推导出原问题的最优解。
本文将介绍动态规划算法的基本原理、应用场景以及一些经典的动态规划问题。
一、动态规划算法的基本原理动态规划算法的基本思想是将问题划分为若干子问题，并记录子问题的最优解，再通过递推关系式计算出原问题的最优解。
它通常包括以下几个步骤：1. 定义状态：确定问题的状态，即需要求解的子问题。
2. 设置初始状态：找到最简单的子问题，并确定其最优解。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，构建递推公式，以确定问题的最优解与子问题最优解之间的关系。
4. 计算最优解：利用递推公式，按照一定的顺序计算各个子问题的最优解，并记录下来。
5. 利用最优解构造原问题的解：根据记录的最优解，逐步构造出原问题的最优解。
动态规划算法的核心是状态转移方程的构建，它描述了子问题之间的关系，并且决定了问题的最优解与子问题最优解的联系。
二、动态规划算法的应用场景动态规划算法在许多领域都有广泛的应用，特别是那些具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
1. 最短路径问题：例如在图的最短路径算法中，可以利用动态规划算法求解顶点i到顶点j之间的最短路径。
2. 背包问题：背包问题是指在给定背包容量和一组物品的重量和价值的情况下，如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
动态规划算法可以求解该问题。
3. 编辑距离问题：编辑距离是指将一个字符串转换成另一个字符串所需的最少操作次数，包括插入、删除和替换操作。
动态规划算法可以求解编辑距离。
4. 股票买卖问题：给定一组股票的价格序列，可以进行多次交易，但每次只能进行一次买入和一次卖出，求解如何获取最大利润。
动态规划算法可以求解该问题。
5. 最长上升子序列问题：给定一个序列，求解其中最长的上升子序列的长度。
动态规划算法可以求解该问题。
三、经典的动态规划问题1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的动态规划问题，其递推关系式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
算法设计与分析——流⽔作业调度（动态规划）⼀、问题描述N个作业{1,2,………,n}要在由两台机器M1和M2组成的流⽔线上完成加⼯。
每个作业加⼯的顺序都是先在M1上加⼯，然后在M2上加⼯。
M1和M2加⼯作业i所需的时间分别为ai和bi，1≤i≤n。
流⽔作业⾼度问题要求确定这n个作业的最优加⼯顺序，使得从第⼀个作业在机器M1上开始加⼯，到最后⼀个作业在机器M2上加⼯完成所需的时间最少。
⼆、算法思路直观上，⼀个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。
在⼀般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。
最优调度应该是：1. 使M1上的加⼯是⽆间断的。
即M1上的加⼯时间是所有ai之和，但M2上不⼀定是bi之和。
2. 使作业在两台机器上的加⼯次序是完全相同的。
则得结论：仅需考虑在两台机上加⼯次序完全相同的调度。
设全部作业的集合为N={1，2，…，n}。
S是N的作业⼦集。
在⼀般情况下，机器M1开始加⼯S中作业时，机器M2还在加⼯其他作业，要等时间t后才可利⽤。
将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。
流⽔作业调度问题的最优值为T(N,0)。
这个T(S,t)该如何理解?举个例⼦就好搞了（⽤ipad pencil写的...没贴类纸膜，太滑，凑合看吧）1、最优⼦结构T(N,0)=min{ai + T(N-{i}, bi)}, i∈N。
ai：选⼀个作业i先加⼯，在M1的加⼯时间。
T(N-{i},bi}：剩下的作业要等bi时间后才能在M2上加⼯。
注意这⾥函数的定义，因为⼀开始⼯作i是随机取的，M1加⼯完了ai之后，要开始加⼯bi了，这⾥M1是空闲的可以开始加⼯剩下的N-i个作业了，但此时M2开始加⼯bi，所以要等bi时间之后才能重新利⽤，对应到上⾯函数T(s,t)的定义的话，这⾥就应该表⽰成T(N-{i},bi), 所以最优解可表⽰为T(N,0)=min{ai + T(N-{i}, bi)}, i∈N，即我们要枚举所有的⼯作i，使这个式⼦取到最⼩值。
动态规划算法在空间规划中的应用随着城市化进程的加速，人们在城市中生活、学习和工作越来越需要合理的空间规划。
空间规划旨在通过对城市空间的整体规划和管理，实现城市资源的优化配置和效益最大化。
因此，在实际应用中，如何有效地解决空间规划问题成为了一个亟待解决的问题。
本文将探讨动态规划算法在空间规划中的应用。
一、什么是动态规划算法动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段决策最优化问题的数学方法。
它最早由美国数学家理查德·贝尔曼（Richard Bellman）在1953年提出。
其核心思想是将问题分成多个阶段，并且每个阶段都要做出某种决策，以便获得最优解。
动态规划算法的基本思路是在问题的求解过程中，利用已解决的子问题的最优解，逐步递推求解出整个问题的最优解。
因此，它在解决大规模、复杂的最优化问题时有着很好的优势。
二、1. 路径规划路径规划是指在城市建设、场馆规划等项目中，对道路、通道等线性路径的规划。
在实际应用中，经常需要考虑多种因素，如道路长度、通行条件、环境保护等，因此需要建立一个多维度的模型。
动态规划算法可以很好地解决路径规划的多维度模型问题。
其基本思路是将路径分成不同的阶段，每个阶段都有一个状态，通过遍历状态树来求解最优路径。
2. 设施配套规划在城市建设中，人们需要为规划区域设立一些公共设施，如学校、医院等，以便提高城市的居住及生活环境。
在设施配套规划中，需要考虑到多种因素，如成本、区域人口密度等，制定一个合理的规划方案。
动态规划算法可以对设施配套规划进行优化。
其中，“设施数量优化”的问题是其中的一个典型问题，其基本思路是将区域分成不同的阶段，每个阶段都有一个状态，通过遍历状态树求解最优解。
3. 建筑设计在建筑设计中，需要考虑到建筑的布局、结构等诸多因素，以便提高建筑的舒适性、安全性等。
在建筑设计中，采用动态规划算法进行优化也是一个很好的选择。
其中，“房间布局优化”是建筑设计中的一个典型问题，其基本思路是将建筑分成不同的阶段，每个阶段都有一个状态，通过遍历状态树，找到最优解。
动态规划算法的原理及应用1. 动态规划算法的原理动态规划是一种将复杂问题分解为更小、更简单子问题的优化技术。
它通常应用于需要求解最优解的问题，并通过将问题分解为子问题，并且利用子问题的最优解来求解整个问题。
动态规划算法的基本思想是自底向上求解子问题，然后将子问题的解合并为原问题的解。
这种方法避免了重复计算子问题，减少了时间复杂度。
动态规划算法一般需要满足以下两个条件： * 子问题的最优解能够组成原问题的最优解； * 子问题之间不存在重叠。
2. 动态规划算法的应用2.1 背包问题背包问题是指给定一个背包的容量，一系列物品的重量和价值，如何选择将哪些物品放入背包中以使得背包内物品的总价值最大化的问题。
动态规划可用于解决背包问题。
具体方法是创建一个二维数组，横轴表示物品的可选数量，纵轴表示背包的容量。
通过填表格的方式，逐步计算出不同容量下放入不同物品的最大价值。
最后得出背包的最大价值。
2.2 最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列，如何找到它们最长的公共子序列的问题。
动态规划可用于解决最长公共子序列问题。
具体方法是创建一个矩阵，矩阵的行表示第一个序列的元素，列表示第二个序列的元素。
通过填表格的方式，逐步计算出不同元素位置下的最长公共子序列的长度。
最后得出最长公共子序列的长度。
2.3 最短路径问题最短路径问题是指在一个带有权值的图中，如何找到两个顶点之间最短的路径的问题。
动态规划可用于解决最短路径问题。
一种常见的动态规划算法是Floyd-Warshall算法，它通过创建一个矩阵，矩阵的元素表示两个顶点之间的最短路径长度。
通过逐步更新矩阵的值，求解出所有顶点之间的最短路径。
2.4 斐波那契数列问题斐波那契数列问题是指给定一个整数n，如何求解斐波那契数列的第n个数的问题。
动态规划可用于解决斐波那契数列问题。
具体方法是创建一个数组，通过填表格的方式，逐步计算出斐波那契数列的每个数。
最后得出斐波那契数列的第n个数。
动态规划算法详解和应用动态规划（Dynamic Programming）算法是从多个阶段中逐步逼近最优解的一种算法。
它的主要思想是将原问题拆分成若干个子问题，并使用已解决的子问题的解来推导还未解决的子问题。
在处理每个子问题时，都会保存之前已经部分解决过的子问题的结果。
借助这些结果来解决更复杂的问题。
动态规划算法因此得名。
本文将详细介绍动态规划算法的基本思想、步骤和应用。
动态规划算法的基本思想：当解决一个问题时，将其分解成若干个子问题并求解。
每个子问题的解只会记录一次，以避免重复求解。
因此，动态规划算法重复使用以前的子问题的解来解决当前的子问题。
在计算机编程中，动态规划通常需要做出一种递归解法，以解决问题的所有可能情况。
如果递归解法的效率太低，可以让它转化为带有动态规划思想的算法，其根据已经解决的子问题计算其它子问题。
动态规划算法的基本步骤：1. 定义状态: 状态是决定某个时刻或某个条件的变量（或变量集合）。
它反映了解决一个问题需要的参数信息。
例如，对于求解最长公共子序列问题来说，状态就是两个字符串的下标。
2. 定义转移：对于当前状态，转移就是从上一状态到达当前状态所要执行的操作（比如以左上角有没有两个字符为例，若匹配则加上当前结果，否则不加）3. 初始化状态：通常在定义状态时，会初始化状态。
在问题开始时，只需要初始化状态就可以得出问题的部分或全部答案。
4. 通常使用一维或多维数组存储状态。
状态也可以是其他容器，如哈希表、树和堆等。
5. 最后得到问题的最终答案。
动态规划算法的应用：1. 寻找最长/最短路径问题（例如：Dijkstra算法和Floyd算法）；2. 寻找最优二叉树（例如：Huffman编码算法）；3. 求解最大子数列问题（例如：Kadane算法）；4. 求解最长公共子序列问题（例如：LCS算法）；5. 求解最长回文子串（例如：Manacher算法）；6. 求解背包问题（例如：01背包、完全背包）。
