广东省湛江市2020版高考数学三模试卷(理科)(I)卷

试卷类型：A湛江市2020年普通高考测试（一）数 学（理 科）本试卷共4页，共21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上. 在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式：h S V ⋅⋅=31，其中S 是底面面积，h 是高 柱体的体积公式：h S V ⋅=，其中S 是底面面积，h 是高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，则ii 13+=A ．i 2-B ．i 2C ．i -D ．i2. 命题2,0x R x x ∀∈-≥的否定是 A ．2,0x R x x ∀∈-≥ B ．2,0x R x x ∃∈-≥C ．0,2<-∈∀x x R xD ．0,2<-∈∃x x R x 3. 已知向量()1,1=a ，b ),2(y =，若| a +b |=a ·b ，则=yA ．3-B ．1-C ．1D ．3 4. 等差数列{}n a 前17项和1751S =，则5791113a a a a a -+-+=A . 3B . 6C . 17D . 515. 设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若p P =>)3.1(ξ，则=<<-)03.1(ξPA .12p + B .1p - C .12p - D .12p - 6. 设0>a ，若不等式|||1|1x a x -+-≥对于任意R x ∈恒成立，则a 的最小值是A .1B .1-C .0D . 27. 如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球1O 、2O ， 这两个球相外切，且球1O 与正方体共顶点A 的三个面相切， 球2O 与正方体共顶点1B 的三个面相切，则两球在正方体的1AA1O2O1CC面C C AA 11上的正投影是A B C D8. 对于任意实数a 、b ，当0>b 时，定义运算2log (01)2(01)ba b a a a a b b ab a a a ⎧+>≠⎪*=⎨+-=⎪⎩且或≤，则满足方程x x *-=*)2(2的实数x 所在的区间为A .（0，1）B .（1，2）C .（2，3）D .（3，4）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~13题）9．双曲线3322=-y x 的离心率为 . 10．62)x展开式中，常数项的值为 .11．设函数xk x x x f tan ))(2()(++=为奇函数，则=k ．12．命题：“若空间两条直线a ，b 分别垂直平面α，则b a //”学生小夏这样证明：设a ，b 与面α分别相交于A 、B ，连结A 、B ，αα⊥⊥b a , ，α⊂AB …①∴AB b AB a ⊥⊥, …………② ∴b a // ………………………③ 这里的证明有两个推理，即： ①⇒②和②⇒③. 老师评改认为 小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是 .13．运行右图的流程图，输出的=n ．（二）选做题（14、1514. （坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=，则该圆的半径是 ．15.（几何证明选讲选做题）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PB PA 3=，则=BCPB． P三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知函数x x x x f 22cos 2)cos (sin )(-+=． （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）试比较)12(π-f 与)6(πf 的大小．17．（本小题满分12分）设函数b ax x x f +-=3)(3（0≠a ）.（1）若曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处与直线2=y 相切，求a 、b 的值； （2）求)(x f 的单调区间.18．（本小题满分14分）如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是 底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中 点，1DE CBB ⊥面． （1）证明：//DE ABC 面；（2）求四棱锥11A ABB C -与圆柱1OO 的体积比； （3）若BC BB =1，求1CA 与面C BB 1所成角的正弦值．19．(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足：111(,)1,22(,)n n na n n n N a a a n n n N *+*⎧+∈⎪==⎨⎪-∈⎩为奇数为偶数. （1）求32,a a ；（2）设*∈-=N n a b n n ,22，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式；（3）已知n n b c 21log =，求证：111113221<+++-nn c c c c c c ． 20．（本小题满分14分）某工厂生产A 、B 两种型号的产品，每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和二等品. 为便于掌握生产状况，质检时将产品分为每20件一组，分别记录每组一等品的件数. 现随机抽取了5组的质检记录，其一等品数如下面的茎叶图所示： （1）试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A 、B 两种产品为一等品的概率P A 、P B ；（2）已知每件产品的利润如表一所示，用ξ、η分别表示一件A 、B 型产品的利润，在（1）的条件下， 求ξ、η的分布列及数学期望（均值）ξE 、ηE ；A 型号B 型号9 0 82 02 3 7 7 1 6 4 3（3）已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可用资金40万元，设x 、y 分别表示生产A 、B 两种产品的数量，在（2）的条件下，求x 、y 为何值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）21．（本小题满分14分）如图，在x 轴上方有一段曲线弧Γ，其端点A 、B 在x 轴上（但不属于Γ），对Γ上任一点P 及点)0,1(1-F ，)0,1(2F ，满足：22||||21=+PF PF ．直线AP ，BP 分别交直线)2(:>=a a x l 于R ，（1）求曲线弧Γ的方程；（2）求||RT 的最小值（用a 表示）； （3）曲线Γ上是否存点P ，使PRT ∆为正三角形？若存在，求a 的取 值范围；若不存在，说明理由．表一 表二试卷类型：A湛江市2020年普通高考测试（一）数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.A2.D3.D4.A5.D6.D7.B8. B二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.9．332 10．60 11．2- 12．②⇒③ 13．3 14. 1； 15.21． 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 16．(本小题满分12分)解：（1）x x x x f 22cos 2)cos (sin )(-+=x x x 2cos 2cos sin 21-+= ………………………………………………2分x x 2cos 2sin -= …………………………………………………………3分)2cos 222sin 22(2x x -= ……………………………………………4分 )42sin(2π-=x ．…………………………………………………………5分∴函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ． ………………………………………6分（2）由222242k x k πππππ--+≤≤可得：388k x k ππππ-+≤≤． ………………………………………………………8分 ∴函数)(x f 在区间388x ππ-≤≤上单调递增． ……………………………10分又]83,8[6,12ππππ-∈- ，∴)6()12(ππf f <-． ……………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）a x x f 33)(2-='，…………………………………………………………………2分∵曲线在点（1，)1(f ）处与直线2=y 相切，∴⎩⎨⎧=='2)1(0)1(f f 即 ⎩⎨⎧=+-=-231033b a a ， ……………………………………………4分解得 ⎩⎨⎧==41b a . ……………………………………………………………………5分（2）∵)(333)(22a x a x x f -=-='（0≠a ） …………………………………7分（i ）当0<a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 在（∞-，∞+）上单调递增；……9分 （ii ）当0>a 时，由0)(>'x f ，得a x >或a x -<，………………………10分 ∴函数)(x f 的单调增区间为（∞-，a -）和（a ，∞+）；单调减区间为（a -，a ）. ………………………………………………12分18．（本小题满分14分） 解：（1）证明：连结EO ，OA .O E , 分别为BC C B ,1的中点，∴1//BB EO .…………………………………2分 又1//BB DA ，且121BB EO DA ==. ∴四边形AOED 是平行四边形，即ABC DE OA DE 面⊄,//. ………………3分 ∴ABC DE 面//. ………………………4分 （2）由题1CBB DE 面⊥，且由（1）知OA DE //.∴1CBB AO 面⊥，∴ BC AO ⊥，∴AB AC =. …………………………………………………………………………6分 因BC 是底面圆O 的直径，得AB CA ⊥，且CA AA ⊥1，∴B B AA CA 11面⊥，即CA 为四棱锥的高．………………………………………7分设圆柱高为h ，底半径为r ，则h r V 2π=柱，232)2()2(31hr r r h V =⋅=锥 ∴锥V ：=柱V π32. …………………………………………………………………9分 （3）解一：由(1)(2)可知，可分别以1,,AA AC AB 为坐标轴建立空间直角标系，如图设21==BC BB ，则)2,0,0(1A ，)0,2,0(C ，)0,22,22(O ，从而)0,22,22(=AO ， )2,2,0(1-=CA ，由题，AO 是面1CBB的法向量，设所求的角为θ.…………………12分 则111||6sin |cos ,|6||||AO CA AO CA AO CA θ⋅=<>==.………………………………14分解二：作过C 的母线1CC ，连结11C B ，则11C B 是上底面圆1O 的直径，连结11O A ，得 11O A AO //，又11C CBB AO 面⊥，∴1111C CBB O A 面⊥，连结1CO ， 则11CO A ∠为1CA 与面C BB 1所成的角， 设21==BC BB ，则6)2(2221=+=C A ，111=O A .……12分在C O A Rt 11∆中，66sin 11111==∠C A O A CO A ．………………14分19．(本小题满分14分)解：（1）由数列{}n a25,2332-==a a ．…………………………………………………………………2分（2）2)12(21212221-++=-=+++n a a b n n n)12()4(21)12(21212-+-=-+=+n n a n a n nn n n b a a 21)2(2112122=-=-=． ……………………………6分 又21,0,212121=∴≠∴-=-=+n n n b b b a b ，即数列{}n b 是公比为21，首项为21-的等比数列，n n n b )21()21(211-=-=-． ………………………………………………………7分（3）由（2）有n b c nn n =⎪⎭⎫⎝⎛==21log log 2121．………………………………………8分n n n n 111)1(1--=-． ……………………………………………………10分∴nn c c c c c c n n 111312121111113221--++-+-=+++- 111<-=n． ………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：(1) 由茎叶图知 68.0100171713129=++++=A P ；……………………………2分71.0100201314168=++++=B P . ……………………………4分（2）随机变量ξ、η的分布列是……………6分∴ 68.332.0368.04=⨯+⨯=ξE ，71.229.0271.03=⨯+⨯=ηE . ………8分（3）由题设知6230484000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，目标函数为y x yE xE z 71.268.3+=+=ηξ，………………………10分作出可行域如图所示…………………12分 作直线l ：071.268.3=+y x ，将向l 右上方平移至l 1位置时，即直线经过可行域上的点M 时，yx z 71.268.3+=取最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+40843026y x y x ，得4=x ，3=y ，即4=x ，3=y 时，z 取最大值，最大值是22.85. …………………………14分 21．（本小题满分14分）解：（1）由椭圆的定义，曲线Γ是以)0,1(1-F ，)0,1(2F 为焦点的半椭圆，1,2,1222=-===c a b a c . ……………………………………………1分∴Γ的方程为)0(1222>=+y y x . ……………………………………………3分 （注：不写区间“0>y ”扣1分）（2）解法1：由（1）知，曲线Γ的方程为)0(1222>=+y y x ，设),(00y x P ， 则有222020=+y x ， 即 2122020-=-x y ……① ………………………………4分又)0,2(-A ，)0,2(B ，从而直线BP AP ,的方程为 AP ：)2(200++=x x y y ； BP ：)2(200--=x x y y ……………5分令a x =得R ，T 的纵坐标分别为)2(200++=a x y y R ； )2(200--=a x y y T .∴ )2(222020--=⋅a x y y y T R ……② ………………………………………7分将①代入②， 得 )2(212a y y T R -=.∴||||R T RT y y =-==当且仅当T R y y =，即T R y y -=时，取等号．即||RT 的最小值是)2(22-a . ……………………………………………9分 解法2：设),(),,(),,(21y a T y a R n m P ，则由R P A ,,三点共线，得221+=+m n a y ．．①同理，由T P B ,,三点共线得：222-=-m n a y …② …………………5分由①×②得：2222221-=-m n a y y .由21122222m n n m -=⇒=+，代入上式，21221222221-=--=-m m a y y . 即)2(21221a y y -=. …………………………………………………………7分12||||RT y y =-==当且仅当21y y =，即21y y -=时，取等号．即||RT 的最小值是)2(22-a . ………………………………………………9分 （3）设),(00y x P ，依题设，直线l ∥y 轴，若PRT ∆为正三角形，则必有30180=∠-=∠PBx PAB ，…………………………………………………10分从而直线BP AP ,的斜率存在，分别设为1k 、2k ，由（2）的解法1知，332001=+=x y k ； 332002-=-=x y k ， ……………………………11分 于是有 312202021-=-=⋅x y k k ， 而2122020-=-x y ，矛盾.………………………13分∴不存在点Ｐ，使PRT ∆为正三角形． ……………………………………………14分注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.。

2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x≤5}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣5≤x＜4} 2．设（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．2D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝7，S3＝9，则a10＝（）A．25B．32C．35D．404．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分．某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘成频率分布直方图如图：嘉宾A B C D E F评分969596899798嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）A．B．C．D．6．若两个非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．已知{a n}为等比数列，a5+a8＝﹣3，a4a9＝﹣18，则a2+a11＝（）A．9B．﹣9C．D．8．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A，B，过点B作x轴的垂线，垂足恰为F1，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．2D．9．已知a＝log0.30.5，b＝log30.5，c＝log0.50.9，则（）A．ab＜ac＜a+b B．a+b＜ab＜ac C．ac＜ab＜a+b D．ab＜a+b＜ac 10．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝2，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为8，则|AB|＝（）A．6B．9C．9D．611．已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p＝p0时，f（p）最大，则p0＝（）A．1﹣B．C．D．1﹣二、填空题13．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．14．已知函数f（x）＝ln为奇函数，则a＝．15．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成种不同的音序．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为﹣，当三棱锥P﹣ABC的体积最大值为时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题17．如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝，点D在线段AB上．（1）若cos∠CDB＝﹣，求CD的长；（2）若AD＝2DB，sin∠ACD＝sin∠BCD，求△ABC的面积．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB1＝CB1．（1）证明：平面BDD1B1⊥平面ABCD；（2）若∠DAB＝60°，△DB1B是等边三角形，求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．19．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm，只要误差的绝对值不超过0.03cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．20．已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（4，0）的直线交椭圆于A，B两点，若，在线段AB上取点D，使，求证：点D在定直线上．21．设函数f（x）＝ax（2+cos x）﹣sin x，f'（x）是函数f（x）的导数．（1）若a＝1，证明f'（x）在区间上没有零点；（2）在x∈（0，+∞）上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求l的普通方程和C1的直角坐标方程；（2）把曲线C1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2（纵坐标不变），设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|的最小值为．（1）求证：a+2b＝1；（2）若2a+b≥tab恒成立，求实数t的最大值．参考答案一、选择题1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x≤5}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣5≤x＜4}【分析】先求出集合M，N，由此能求出M∩N．解：集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2+3x﹣10≤0}＝{x|﹣5≤x≤2}，则M∩N＝{x|1＜x ≤2}，故选：B．2．设（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．2D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：z＝＝+2i＝1﹣i+2i＝1+i，则|z|＝．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝7，S3＝9，则a10＝（）A．25B．32C．35D．40【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出a1＝﹣1，d＝4，由此能求出a10．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝7，S3＝9，∴，解得a1＝﹣1，d＝4，∴a10＝﹣1+4×9＝35．故选：C．4．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分．某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘成频率分布直方图如图：嘉宾A B C D E F评分969596899798嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【分析】计算，，，进行比较，得出结论．解：，＝75×0.2+85×0.3+95×0.5＝88，由于场外有数万人观众，则．故选：C．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）A．B．C．D．【分析】由图象结合趋近性即可得出结论．解：由图象可知，当x→0+时，f（x）→﹣∞，故可排除BD；当x→+∞时，f（x）→+∞，故可排除C；故选：A．6．若两个非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设与夹角为θ，由分析可得||＝||，对变形可得：10•＝3（2+2），由数量积公式分析可得答案．解：根据题意，设与夹角为θ，若两个非零向量满足，则有2﹣2＝0，即||＝||，又由，则（+）2＝4（﹣）2，变形可得：10•＝3（2+2），则有cosθ＝；故选：D．7．已知{a n}为等比数列，a5+a8＝﹣3，a4a9＝﹣18，则a2+a11＝（）A．9B．﹣9C．D．【分析】推导出a5a8＝a4a9＝﹣18，从而a5，a8是方程x2+3x﹣18＝0的两个根，求出a5＝3，a8＝﹣6或a5＝﹣6，a8＝3，解得或，再由a2+a11＝a1q（1+q9），能求出结果．解：∵{a n}为等比数列，a5+a8＝﹣3，a4a9＝﹣18，∴a5a8＝a4a9＝﹣18，∴a5，a8是方程x2+3x﹣18＝0的两个根，∴a5＝3，a8＝﹣6或a5＝﹣6，a8＝3，∴，或，解得或，∴a2+a11＝a1q（1+q9）＝．故选：C．8．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A，B，过点B作x轴的垂线，垂足恰为F1，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．2D．【分析】可得直线AB的方程为：．联立可得．依题意可得，求得2a2＝b2即可从而求得双曲线C的离心率．解：设双曲线C：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0），双曲线C的一条渐近线方程设为bx±ay＝0，直线AB的方程为：．联立可得．依题意可得，∴2a2＝b2，则双曲线C的离心率为e＝．故选：B．9．已知a＝log0.30.5，b＝log30.5，c＝log0.50.9，则（）A．ab＜ac＜a+b B．a+b＜ab＜ac C．ac＜ab＜a+b D．ab＜a+b＜ac 【分析】可先根据对数的换底公式和对数的运算求出，，ac＝log0.30.5•log0.50.9，然后根据对数函数的单调性即可得出ab，a+b和ac的大小关系．解：，＝，ac＝log0.30.5•log0.50.9，∵log0.50.3＞0，log0.53＜0，0＜log0.50.9＜1，log0.30.5＞0，∴log0.50.3•log0.53＜0，＜log0.30.5•log0.50.9，∴ab＜a+b＜ac．故选：D．10．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝2，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为8，则|AB|＝（）A．6B．9C．9D．6【分析】设焦点F的坐标及直线AB的方程，与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，由且＝2，可得A，B的纵坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得斜率的值，再由抛物线的性质可得三角形ACF的面积，再由题意可得p的值，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出弦长AB的值．解：由抛物线的方程可得焦点F（，0），有题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线与抛物线联立可得：，整理可得y2﹣2mpy﹣p2＝0，y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，因为＝2，即（﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣，y2），所以可得：y1＝﹣2y2，所以，可得：＝，所以|m|＝，所以|y2|＝＝，|y1|＝2|y2|＝p，所以S△CFA＝|CF|•|y1|＝＝8，解得：p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝8x，所以|AB|＝x1+x2+p＝m（y1+y2）+2p＝2m2p+2p＝2•4+8＝9，故选：B．11．已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由题意可知，g（x）＝A cos（φ）由图象可知A，T，ω，把代入（，0）后可得φ，进而可得即g（x）＝cos（2x+），f（x）＝cos（2x﹣）＝﹣cos（2x+），利用三角函数知识分析充分性和必要性即可．解：由题意可知，g（x）＝A cos（φ），由图象知，A＝1，T＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，所以ω＝＝2；代入（，0）后可得：cos（φ）＝0，φ＝kπ+，k∈Z，所以φ＝kπ﹣π﹣，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝﹣，即g（x）＝cos（2x+），f（x）＝cos（2x﹣）＝﹣cos（2x+）当f（x）＝时，cos（2x+）＝﹣；cos（2x+）＝2cos（x+）2﹣1＝﹣，解得cos（x+）＝，g（+）＝cos（x+）＝﹣cos（x+）＝，当时，g（）＝cos[2（）+]＝cos[x+]＝﹣cos（x+）＝，所以cos（x +）＝﹣，所以f（x）＝cos（2x ﹣）＝cos[π﹣2（x +）]＝﹣cos2（x +）＝﹣[2cos2（x +）﹣1]＝﹣[2（﹣）2﹣1]＝．故是的必要不充分条件．故选：B．12．强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p＝p0时，f（p）最大，则p0＝（）A．1﹣B ．C ．D．1﹣【分析】先求出概率，再求最大值，借助于不等式求解．解：设事件A为：检测了5个人确定为“感染高危户”；设事件B为：检测了6个人确定为“感染高危户”；∴P（A）＝p（1﹣p）4，P（B）＝p（1﹣p）5，即f（p）＝p（1﹣p）4+p（1﹣p）5＝p（2﹣p）（1﹣p）4，设x＝1﹣p＞0，则g（x）＝f（p）＝（1﹣x）（1+x）x4＝（1﹣x2）x4，∴g（x）＝（1﹣x2）x4＝≤＝．当且仅当2﹣2x2＝x2，即时取等号．即．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x，y 满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为1．【分析】画出约束条件表示的平面区域，利用目标函数找出最优解，即可求出目标函数的最小值．解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示；化目标函数为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过点B时，直线在y轴上的截距最小，由，解得A（3，﹣1）；∴z的最小值为3﹣2×1＝1．故答案为：1．14．已知函数f（x）＝ln为奇函数，则a＝1或﹣1．【分析】由已知可得f（﹣x）+f（x）＝0，代入后结合对数的运算性质即可求解．解：因为f（x）＝ln为奇函数，所求f（﹣x）+f（x）＝ln（）＝0，故＝1，所以a＝1或a＝﹣1，当a＝﹣1时，f（x）＝0符合题意，当a＝1时，f（x）＝ln符合题意．综上可得，a＝1或a＝﹣1故答案为：1或﹣115．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成32种不同的音序．【分析】根据角所在的位置，分两类，根据分类计数原理可得．解：若角排在一或五，则有＝24种，若角排在二或四，则有2＝8，根据分类计数原理可得，共有24+8＝32种，故答案为：32．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为﹣，当三棱锥P﹣ABC的体积最大值为时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π．【分析】根据题意作出图象，利用三垂线定理找出二面角P﹣AC﹣B的平面角，再设出AB，BC的长，即可求出三棱锥P﹣ABC的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值，从而可得出各棱长的长度，最后根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关机即可求出外接球的表面积．解：如图所示，过点P作PE⊥面ABC，垂足为E，过点E作DE⊥AC交AC于点D，连接PD，则∠PDE为二面角P﹣AC﹣B的平面角的补角，即有cos∠PDE＝，易知AC⊥面PDE，则AC⊥PD，而△PAC为等边三角形，所以D为AC中点，设AB＝a，BC＝b，AC＝＝c，则PE＝PD sin∠PDE＝×c×＝，故三棱锥P﹣ABC的体积为：V＝ab×＝abc≤c×＝，当且仅当a＝b＝c时，体积最大，则＝，即a＝b＝，c＝2，所以B、D、E三点共线，设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，半径为R，过点O作OF⊥PE于F，则四边形ODEF为矩形，则OD＝EF＝，ED＝OF＝PD cos∠PDE＝＝，PE＝1，在Rt△PFO中，R2＝2+（1﹣）2，解得R2＝2，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为S＝4πR2＝8π，故答案为：8π．三、解答题17．如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝，点D在线段AB上．（1）若cos∠CDB＝﹣，求CD的长；（2）若AD＝2DB，sin∠ACD＝sin∠BCD，求△ABC的面积．【分析】（1）根据已知条件可得，再由正弦定理可得答案；（2）先在△ADC及△BDC中，分别运用正弦定理可得，再利用余弦定理可得AB＝3，最后由三角形面积公式得到答案．解：（1）由cos∠CDB＝﹣，得，∴，由正弦定理得，即，解得；（2）在△ADC中，由正弦定理，①，在△BDC中，由正弦定理，②，又，由得，，由余弦定理可得，CB2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos A，即7＝4+AB2﹣2AB，解得AB＝3，∴．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB1＝CB1．（1）证明：平面BDD1B1⊥平面ABCD；（2）若∠DAB＝60°，△DB1B是等边三角形，求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．【分析】（1）首先由AC⊥BD，B1O⊥AC可得AC⊥平面BDD1B1，而AC在平面ABCD 内，由面面垂直的判定即得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式计算得出答案．解：（1）证明：如图，设AC与BD相交于点O，连接B1O，又面ABCD为菱形，故AC⊥BD，O为AC中点，又AB1＝CB1，故B1O⊥AC，又BD在平面BDD1B1内，B1O在平面BDD1B1内，且BD∩B1O＝O，∴AC⊥平面BDD1B1，又AC在平面ABCD内，∴平面BDD1B1⊥平面ABCD；（2）由△DB1B是等边三角形，可得B1O⊥BD，故B1O⊥平面ABCD，∴B1O，AC，BD两两互相垂直，则以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB＝2，则，则，设平面C1BD的一个法向量为，则，可取，设平面A1BD的一个法向量为，则，可取，∴，∴二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为0．19．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm，只要误差的绝对值不超过0.03cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．【分析】（1）设该批次产品长度误差绝对值为X，则X的取值为0.04，0.03，0.02，0.01，0，然后依次求出每个X的取值所对应的概率即可得解；（2）设生产一件产品为标准长度是事件A，则P（A）＝0.4，再结合对立事件的概率求出工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率，然后与0.8比较大小即可判断设备是否符合要求；当符合要求时，设P（A）＝p，再用p表示出至少有1件是标准长度产品的概率，并列出不等式，解之即可得解．解：（1）设该批次产品长度误差绝对值为X，则X的取值为0.04，0.03，0.02，0.01，0，P（X＝0.04）＝，P（X＝0.03）＝，P（X＝0.02）＝，P（X＝0.01）＝，P（X＝0）＝．所以该批次产品长度误差绝对值的数学期望为0.04×0.025+0.03×0.075+0.02×0.2+0.01×0.3+0×0.4＝0.01025．（2）设生产一件产品为标准长度是事件A，则，工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率为P＝，所以现有设备不符合此要求．当符合要求时，设P（A）＝p，则工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率为P＝，解得，所以生产一件产品为标准长度的概率的最小值为．20．已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（4，0）的直线交椭圆于A，B两点，若，在线段AB上取点D，使，求证：点D在定直线上．【分析】（1）由题意过的点的坐标及离心率和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）设D，A，B的坐标由，，可得A，B，D的坐标的关系，再由A，B在椭圆上可得D在定直线上．解：（1）由题意可得：+＝1，＝，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝6，b2＝2，所以椭圆的方程为：+＝1；（2）证明：设D（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由，，可得（4﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣4，y2），（x﹣x1，y﹣y1）＝﹣λ（x2﹣x，y2﹣y），可得：x1+λx2＝4（1+λ）①x1﹣λx2＝x（1﹣λ）②y1+λy2＝0③y1﹣λy2＝y（1﹣λ）④①×②可得：x12﹣λ2x22＝4x（1﹣λ2）⑤，③×④可得y12﹣λ2y22＝0⑥因为A，B在椭圆上，所以x12+3y12＝6，x22+3y22＝6，所以⑤×+⑥×3可得6﹣λ2×6＝8x（1﹣λ2），因为λ＜0，λ≠﹣1，所以8x＝6，即x＝，即证D在定直线x＝上．21．设函数f（x）＝ax（2+cos x）﹣sin x，f'（x）是函数f（x）的导数．（1）若a＝1，证明f'（x）在区间上没有零点；（2）在x∈（0，+∞）上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1带入，求导可得f′（x）＝2﹣x sin x，进一步研究导函数f′（x），可得当时，f′（x）单调递增，当时，f′（x）单调递减，结合即可得出结论；（2）问题等价于恒成立，设，易判断当时，符合题意；当a≤0时，不合题意；难点在于判断当时的情况，先通过构造函数g（x）＝sin x﹣3ax，利用导数可知当x∈（0，x1）时，sin x＞3ax，进而放缩可得，由此判断此情况也不合题意，综合即得出实数a的取值范围．解：（1）证明：若a＝1，则f（x）＝x（2+cos x）﹣sin x，则f′（x）＝2﹣x sin x，设h （x）＝f′（x）＝2﹣x sin x，则h′（x）＝﹣sin x﹣x cos x，h′（0）＝0，且h′（﹣x）＝sin x+x cos x＝﹣h′（x），故函数h′（x）为奇函数，当时，sin x＞0，x cos x＞0，这时h′（x）＜0，又函数h′（x）为奇函数，∴当时，h′（x）＞0，综上，当时，f′（x）单调递增，当时，f′（x）单调递减，又，故f′（x）＞0在上恒成立，∴f′（x）在上没有零点；（2），由cos x∈[﹣1，1]可知，2+cos x＞0恒成立，若f（x）＞0，则恒成立，记，则，故当时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，又F（0）＝0，∴当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；当a≤0时，有，与题设矛盾；当时，令g（x）＝sin x﹣3ax，则g′（x）＝cos x﹣3a，又3a＜1，故g′（x）＝0在（0，+∞）上有无穷多个零点，设最小的零点为x1，则当x∈（0，x1）时，g′（x）＞0，因此g（x）在（0，x1）上单调递增，故当x∈（0，x1）时，g（x）＞g（0）＝0，故sin x＞3ax，于是，当x∈（0，x1）时，，得，与题设矛盾．综上，实数a的取值范围为．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求l的普通方程和C1的直角坐标方程；（2）把曲线C1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2（纵坐标不变），设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0．（2）曲线C1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2（纵坐标不变），即代入x2+y2﹣2y＝0，得到，转换为参数方程为（θ为参数），所以点P（2cosθ，sinθ）到直线的距离d＝＝，即当时，．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|的最小值为．（1）求证：a+2b＝1；（2）若2a+b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【分析】（1）由题意可得f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|＝|x+|+|x+|+|x﹣b|，运用绝对值不等式的性质和绝对值的意义，可得f（x）的最小值，即可得到所求；（2）由题意可得t≤+恒成立，运用乘1法和基本不等式可得此不等式右边的最小值，即可得到t的最大值．解：（1）证明：a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|＝|x+|+|x+|+|x﹣b|≥|﹣+|+|x+﹣x+b|＝0+|b+|＝b+，当且仅当x＝b时，上式取得等号，可得f（x）的最小值为b+，则b+＝，即a+2b＝1；（2）若2a+b≥tab恒成立，由a，b＞0，可得t≤+恒成立，由+＝（a+2b）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当a＝b＝，上式取得等号，则t≤9，可得t的最大值为9．。

2020 年高考第三模拟考试数学(理)试题(全国新课标 1 卷)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A {1,2,4} , B {x|x2 4x m 0}，若A B {1} ，则BA ．1, 3 B．1,0 C．1,3 D．1,52．设复数z1, z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1 3 i ，则z1z2A．10 B．9 i C．9 i D．-103．已知向量a (2,3),b (x,4) ，若a (a b)，则x1A ．B．1 C．2 D． 324．设等差数列{a n} 的前n项和为S n，若a3 a6 23，S5 35，则{a n}的公差为A．2 B．3 C ．6 D．95．已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A．若m ,n , // ，则m//n B．若m , // ，则m//C. 若n , ，则n//D．若m ,n ，l ，且m l,n l ，则6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是A．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演27．函数 f (x) ( x 1) cosx (其中 e 为自然对数的底数)图象的大致形状是 1e、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.8．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用， 0.618就是黄金分割比 m 5 1 的近似值，黄金分割比还可以表2示成 2sin18 ，则 m 4 m2cos 2 27 1A ．4B ． 5 1C ． 2D ． 5 19．已知 x, y 满足约束条件 xy20x y 2 0 ，若目标函数 z 2x y 的最大值为 ym03，则实数 m 的值为A ．-1B ． 0C ．1D ．210．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形， 侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接 球的表面积为1920 A ．B． 8 C ． 9 D ．3311．已知函数2x 2 2 5f (x) 2sin xcos 2() sin 2 x( 0) 在区间 [ , ] 上是增函数，且在 2 4 3 6区间 [0, ]上恰好取得一次最大值，则 的范围是3 1 3 1 3A ． (0,35]B ．[12,35]C ．[12,34] D1,5 2,212．若 x, a, b 均为任意实数，且 (a 2)2 (b 3)2 1，则(x a)2 (ln x b) 2的最小值为A ．3 2B ．18C ．3 2 1 D ．19 6 24513． ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 cosA 4,cosB 5 ,a 1，5 13则 b __________ ．14．已知函数 f (x) ln(x x 2 1) 1,若 f (a) 2,则 f( a) ______________________ ．15．已知函数 f(n) n 2 cos(n )，且 a n f(n) f(n 1)，则 a 1 a 2 ... a 20 _____________________________________ ． 16．已知四边形 ABCD 为矩形， AB=2AD=4， M 为 AB 的中点，将 ADM 沿 DM 折起，得到四棱锥A 1 DMBC ，设 A 1C 的中点为 N ，在翻折过程中，得到如下三个命题：① BN //平面A 1DM ，且 BN 的长度为定值 5 ； ②三棱锥 N DMC 的体积最大值为 2 2 ；3③在翻折过程中，存在某个位置，使得 DM A 1C 其中正确命题的序号为 __________ ．三、解答题：共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤第 22、23 题为选考题 (一)必考题：共 60 分17. (12 分)18. (12 分)已知数列 {a n }满足 a 1 2,nS n 1 (n 1)S n 2n(n 1). (1)证明数列 { S n }是等差数列，并求出数列 {a n } 的通项公式； n2）设 b n a 2 a 4 a 8a 2n ，求b n .. 第 17～ 21 题为必考题，已知函数 f (x) Asin ( x ) ， x R ， 3 所示， P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点， 点 P 的坐标为 (1,A) ． (1) 求 f (x)的最小正周期及的值；2( 2)若点 R 的坐标为 (1,0) ， PRQ ，3yPO 求 A 的值．RQxA 0，0 2 ． y f(x)的部分图像，如图19．（12 分）如图，菱形ABCD的边长为12，BAD 60 ，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD ，点M 是棱BC的中点，DM 6 2．（1）求证：平面ODM ⊥平面ABC ；（2）求二面角M AD C 的余弦值．20．（12 分）如图，在四棱锥S ABCD中，侧棱SA 底面ABCD ，底面ABCD是直角梯形，AD∥ BC，AB AD，且SA AB BC 2，AD 1，M是棱SB的中点．（1）求证：AM ∥平面SCD ；（2）求平面SCD 与平面SAB所成锐二面角的余弦值；（3）设点N 是线段CD上的动点，MN 与平面SAB所成的角为，求sin 的最大值．21．（12 分）已知函数f （x） xe x a（x 1）2（a R）（1）讨论 f （x）的单调性；（2）若 f （x）有两个零点，求 a 的取值范围（二）选考题：共10 分。

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2+i)z=3+4i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为（ ）A ．2−iB ．2+iC ．1−2iD ．1+2i 2．已知集合M ={−1，0，1}，N ={y |y =1+sin2x π，x ∈M }，则集合M ∩N 的真子集的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 6 8 10 12 y2356根据上表可得回归直线方程ˆy=0.7x +a ，据此可以预测当x =15时，y =（ ） A ．7.8 B ．8.2 C ．9.6 D ．8.5 4．若向量a ，b 满足|a |=3，|b |=2，a ⊥(a −b )，则a 与b 的夹角为（ ）A ．2π B ．23π C ．6πD ．56π5．阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．{x ∈R |0 x 2log 3}B ．{x ∈R |−2 x 2}C ．{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}D ．{x ∈R |−2 x 2log 3或x =2}6．设变量x ，y 满足10222270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤，z =2a x y +(0<a)的最大值为5，则a =（ ）A ．1B ．12C．2 D7．已知双曲线2x −2y =1的左、右两个焦点分别是1F 、2F ，O 为坐标原点，圆O 是以12F F 为直径的圆，直线lt -+=0与圆O 有公共点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[−2，2] B ．[0，2] C ．[−4，4] D ．[0，4]8．已知等差数列{n a }的公差d ≠0，首项1a =d ，数列{2n a }的前n 项和为n S ，等比数列{n b }是公比q 小于1的正项有理数列，首项1b =2d ，其前n 项和为n T ，若33S T 是正整数，则q 的可能取值为（ ）A ．17B ．37C ．12D ．349．若函数y=cos(2x +φ)(0<φ<2π)的图象的对称中心在区间(6π，3π)内只有一个，则φ的值可以是（ ） A ．12π B ．6π C ．3πD ．56π 10．已知三棱锥P −ABC 的顶点都在同一个球面上(球O )，且P A =2，PB =PC，当三棱锥P −ABC 的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是（ ） A ．316π B ．38π C ．116πD ．18π11．已知抛物线2y =8x 的准线与双曲线22221x y a b-=相交于A ，B 两点， 若直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2 CD12．已知函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1e +1，e −1]B ．[1e+1，e −1)C．{1}∪(1e+1，e−1] D．{1}∪[1e+1，e−1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若261()(2)x a xx+-展开式中的常数项为60，则实数a的值为．14．已知一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．15．已知在三角形ABC中，角A，B都是锐角，且sin(B+C)+3sin(A+C)cos C=0，则tan A的最大值为．16．已知函数()f x=212ln xx-，若对任意的1x，2x∈(0，1e]，且1x≠2x，122212()()||f x f xx x-->2212kx x⋅恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS，且满足3nS=2na+1．(1)求数列{na}的通项公式；(2)设数列{nb}满足nb=(n+1)na，求数列{nb}的前n项和nT．18．(本小题满分12分)某运动会为每场排球比赛提供6名球童，其中男孩4名，女孩2名，赛前从6名球童中确定2名正选球童和1名预备球童为发球队员递球，假设每名球童被选中是等可能的．(1)在一场排球比赛中，在已知预备球童是男孩的前提下，求2名正选球童也都是男孩的概率；(2)(i)求选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩的概率；(ii)某比赛场馆一天有3场排球比赛，若每场排球比赛都需要从提供的6名球童中进行选择，记球童选取情况恰为(i)中结果的场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)已知四棱锥A−BCPM及其三视图如图所示，其中PC⊥BC，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形．(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角M−AC−B的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点分别为1F，2F，过点A (−4，0)的直线l与椭圆C相切于点B，与y轴交于点D(0，2)，又椭圆的离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)圆Q与直线l相切于点B，且经过点2F，求圆Q的方程，并判断圆Q与圆2x+2y=2a的位置关系．21．(本小题满分12分)已知函数()f x=ax+ln x−2，a∈R．(1)若曲线y=()f x在点P(2，m)处的切线平行于直线y=−32x+1，求函数()f x的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数()f x在(0，2e]上有最小值2?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−6π)=12．(1)写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆ρ=2相交于A ，B 两点，求点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲设函数()f x =1+|2x −3|，()g x =|9x +3|．(1)求不等式()f x13()g x 的解集； (2)若不等式()f x 2t x +12+|x −32|的解集非空，求实数t 的取值范围．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)答案1．A 【解析】由(2+i)z=3+4i ，得z=34i (34i)(2i)105i2i (2i)(2i)5++-+==++-=2+i ，则z 的共轭复数为2−i ，选A ．2．B 【解析】因为N ={0，1，2}，所以M ∩N ={0，1}，其真子集的个数是3，故选B ． 3．B 【解析】根据题中表格可知x =6810124+++=9，y =23564+++=4，所以a =y −0.7x =4−0.7×9=−2.3，所以ˆy=0．7x −2.3， 当x =15时，y =0.7×15−2.3=8.2．4．C 【解析】通解 因为a ⊥(a −b )，所以a ·(a −b )=0，即a ·a −a ·b =|a |2−|a |·|b |cos<a ，b >=0，所以cos<a ，b >=2||||||⋅a a b =32，又<a ，b >∈[0，π]，故a 与b 的夹角为6π，选C ．优解 因为a ⊥(a −b )，所以利用三角形法则不难得出，向量a ，b ，a −b 构成直角三角形，且a ，b 的夹角必定为锐角，从而可知选C ．5．C 【解析】根据题意，得当x ∈(−2，2)时，()f x =2x ，由1 2x 3，得0 x 2log 3；当x ∉(−2，2)时，()f x =x +1，由1 x +1 3，得0 x 2，即x =2．故输入的实数x 的取值范围是{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}．故选C ．6．A 【解析】如图，画出可行域，∵z =2a x +y ，∴y =−2a x z +，求z 的最大值，即求直线y=−2a x z+在y 轴上的最大截距，显然当直线y=−28a x +过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值．由10270x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得A (2，3)，则22a +3=5，可得a =1．故选A ．7．C 【解析】双曲线2x −2y =1的两个焦点分别是1F (2，0)，2F 2，0)，从而圆O 的方程为2x +2y =253x t +=0与圆O 有公共点，，即|t| 4，从而实数t的取值范围是[−4，4]，故选C．8．C【解析】由题意知，33ST=2222222249141d d dd d q d q q q++=++++为正整数，设为t，则1+q+2q=14t，即2q+q+1−14t=0，因为q有解，故1−4(1−14t) 0，t563．故q因而t整除56，即t的可能取值为1、2、4、7、8、14，经检验当t=8时符合题意，此时q12=，故选C．9．A【解析】令2x+φ=2π+kπ(k∈Z)，则x=4π+2kπ−2ϕ，所以6π<4π+2kπ−2ϕ<3π，即ϕπ−16<k<ϕπ+16．又由0<φ<2π，得−16<ϕπ−16<13，16<ϕπ+16<23，所以k=0，此时φ∈(−6π，6π)，选A．10．A【解析】三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和为12×sin∠APB+12×sin∠APC+12sin∠BPC，由于∠APB，∠APC，∠BPC相互之间没有影响，所以只有当上述三个角均为直角时，三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和最大，此时P A，PB，PC两两垂直，以其为长方体的三条棱长得出一个长方体，则三棱锥P−ABC与该长方体有共同的外接球，故球O的半径r==2，所以三棱锥P−ABC的体积与球O的体积的比值是311233241623ππ⨯⨯=⨯．11．A【解析】通解因为直线AF(点F为抛物线的焦点)与直线y=x垂直，所以直线AF的斜率为AFk=−1，又抛物线2y=8x的焦点为F(2，0)，则直线AF的方程为y=−x+2，与抛物线的准线：x=−2联立，得点A(−2，4)，又点A在双曲线上，所以24a−1616=1，解得2a=2，故2e=22ca=9，双曲线的离心率e=3．故选A．优解 因为直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，所以直线AF 的斜率为AF k =−1，又A ，B 两点是抛物线2y =8x 的准线与双曲线222116x y a -=的交点，根据双曲线的对称性，可知△ABF 是等腰直角三角形，故由点A 的横坐标为−2，AF k =−1，知点A 的纵坐标为4，即A (−2，4)，代入双曲线方程可得24a −1616=1，解得2a =2， 2e =22c a =9，故双曲线的离心率e =3．故选A ．12．C 【解析】因为函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，即点(x ，y )与(x ，−y )分别在两个函数的图象上，且唯一．又1ex e ，所以()ln ()y f x x y g x x a==⎧⎨=-=-⎩，即方程ln x =x −a 在[1e ，e ]上有唯一解，所以函数()f x =ln x 的图象和直线y=x −a 在区间[1e ，e ]上有唯一的公共点，作出大致图象如图所示．当两函数图象相切时， 设切点为(0x ，0y )，1()(ln )f x x x''==，所以001()f x x '=，所以0x =1，切点为(1，0)，代入直线方程得a =1．当直线y =x −a 过点A (1e ，−1)时，a =1e+1；当直线y =x −a 过点B (e ，1)时，a =e −1．结合图象可知，若恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则a =1或1e+1<a e −1．13．1【解析】261(2)x x -展开式的通项为1r T +=6C r 26(2)r x -−1()r x-=(−1)r ×62r -6C r 123rx -，当12−3r =0时，r =4，而12−3r =−1时，r =133不符合题意，所以常数项为(−1)4×2246C a =60，解得a =1．14．4【解析】由三视图得该几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直于直角梯形的上底边的直角顶点的四棱锥，所以该几何体的体积为13×242+×2×2=4．15．34【解析】因为sin (B +C )+3sin (A +C )cos C =0，所以sin(B +C )=−3sin B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =−3sin B cos C ，sin C cos B =−4sin B cos C ．易知C ≠90°， 所以tan C =−4tan B ，所以tan(A +B )=4tan B ， 所以tan A =tan[(A +B )−B ]=2tan()tan 3tan 1tan()tan 14tan A B B BA B B B+-==-+⋅+114tan 3tan 3B B +34=(B 是锐角，tan B >0)，当且仅当1tan B=4tan B ， 即tan B =12时取等号，所以tan A 的最大值为34． 16．(−∞，4]【解析】由对任意的1x ，2x ∈(0，1e]，且1x ≠2x ，122212()()||f x f x x x -->2212kx x ⋅， 得122212()()||11f x f x x x --min >k ，令g (21x )=()f x ，x ∈(0，1e ]，则()g x =x +x ln x ，x ∈[2e ，+∞)，()g x '=2+ln x ≥4，又122212()()||11f x f x x x --=2212221211()()||11g g x x x x --表示曲线y=()g x在[2e ，+∞)上不同两点的割线的斜率的绝对值， 则122212()()||11f x f x x x -->4，则k ≤4，即实数k 的取值范围是(−∞，4]．17．【解析】(1)当n =1时，31S =21a +1⇒1a =1，当n ≥2时，由11321321n n n n S a S a --=+⎧⎨=+⎩，得3(n S −1n S -)=2n a −21n a -⇒n a =−21n a -，从而n a =(−2)1n -．（4分）(2)由n b =(n +1) n a 得n b =(n +1)×(−2)1n -，则n T =2×(−2)0+3×(−2)1+4×(−2)2+…+(n +1)×(−2)1n -， ① −2n T =2×(−2)1+3×(−2)2+4×(−2)3+…+(n +1)×(−2)n ， ② 由①−②得，3n T =2×(−2)0+(−2)1+(−2)2+…+(−2)1n -−(n +1)×(−2)n=1+1(2)1(2)n ----−(n +1)×(−2)n =43−(n +43)×(−2)n ，从而n T =49−349n +×(−2)n ． （12分）18．【解析】(1)从6名球童中选取3名球童，已知预备球童为男孩，2名正选球童从其余5人中选取，共有25C =10种不同的选法，因为2名正选球童都是男孩，则需要从剩余3名男球童中选取，有23C =3种选法，由古典概型的概率计算公式，得2名正选球童也都是男孩的概率P =310． （5分）(2)(i)从6名球童中选取3名球童，共有36C =20种不同的选法，记事件A 为“选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩”，则事件A 包含的选法有2142C C =12种，由古典概型的概率计算公式，得P (A )=123205=． （7分） (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ~B (3，0.6)，P (ξ=0)=03C (0.6)0×(0.4)3=0.064，P (ξ=1)=13C (0.6)1×(0.4)2=0.288， P (ξ=2)=23C (0.6)2×(0.4)1=0.432，P (ξ=3)=33C (0.6)3×(0.4)0=0.216．（10分） 因而ξ的分布列为P0.064 0.288 0.432 0.216Eξ=3×0.6=1.8．（12分） 【备注】在解决概率与统计问题时，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件，还是某一事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的情况，从而选择正确的概率计算公式，同时注意上述几种事件的综合问题，要全面考虑．19．【解析】(1)由三视图可知，平面PCBM ⊥平面ABC ，又平面PCBM ∩平面ABC =BC ，且PC ⊥BC ，（2分）∴PC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB ．（4分）(2)解法一 如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ． 作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连接MH ，易知AC ⊥MH ，∴∠MHN 为二面角M −AC −B 的平面角．（6分）由三视图可知PC =MN =1，PM =CN =1，CB =2，AC =1，过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则A 到直线BC 的距离为AE 3（7分） 在Rt △AEC 中，AC =1，AE 3sin ∠ACE 3 ∴∠ACE =60°，∴∠ACB =120°，（8分） 在Rt △NHC 中，∵∠NCH =∠ACE =60°，∴NH =CN ·sin ∠NCH =1×sin 60°=32．（10分） 在Rt △MNH 中，∵MH 22MN NH +7cos ∠MHN =NH MH =217．故二面角M −AC −B的余弦值为217．（12分）解法二 如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ．（5分）由三视图知PC =MN =1，CB =2，AC =1，过A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则点A 到直线BC 的距离为AE =32．（6分） 在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立如图所示的空间直角坐标系．在Rt △AEC 中，AC =1，AE =32，∴CE =12， ∴C (0，0，0)，P (0，0，1)，M (0，1，1)，B (0，2，0)，A 3−12，0)， ∴CA u u u r 3−12，0)，AM u u u u r =(3，32，1)．（8分） 设平面MAC 的法向量为n =(x ，y ，z )，则由00AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，得33023102x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令z =1，则x =3y =−1， ∴n =(−33，−1，1)是平面MAC 的一个法向量．（10分） 又平面ABC 的一个法向量为CP u u u r =(0，0，1)，∴cos<n ，CP u u u r >=||||CP CP ⋅=u u u r u u u r n n 21． 由图可知二面角M −AC −B 为锐二面角，∴二面角M −AC −B 的余弦值为217．（12分）20．【解析】(1)由题意知，直线l的方程为x−2y+4=0，由22221240 x yabx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得(2a+42b)2y−162b y+162b−2a2b=0，（2分）又椭圆的离心率e=ca=12，所以2e=2222214c a ba a-==，因而42b=32a，则42a2y−122a y+234a(16−2a)=0，（3分）由直线l与椭圆相切，得Δ=22(12)a−124a(16−2a)=0，则2a=4，2b=3，所以椭圆C的方程为22143x y+=．（5分）(2)由(1)得B(−1，32)，2F(1，0)，由题意知圆心Q在过点B与l垂直的直线上，该直线方程为y−32=−2(x+1)，即4x+2y+1=0．（6分）设圆心Q(x，y)，因而4x+2y+1=0，连接QB，2QF，则|QB|=|2QF|，（7分）从而2(1)x++23()2y-=2(1)x-+2y，解得x=−38，y=14，则Q(−38，14)，圆Q的半径R=|QB223135(1)()8428-++-=，（9分）所以圆Q的方程为(x+38)2+(y−14)2=12564．（10分）而2x +2y =4的圆心为O (0，0)，半径r =2，两圆的圆心距|OQ ，（10分）由于144>125，因而16−5因而|OQ <2，即两圆内含． （12分）【备注】分析近几年的高考题可知，解析几何的考查基本稳定在椭圆与圆、抛物线与圆、椭圆与抛物线的结合上，已知条件以向量的形式呈现也很普遍，而众多与圆、椭圆、抛物线有关的结论更是备受青睐，因而在复习备考阶段，应加以强化，这些结论不但要知其然，更要知其所以然，突破传统思维定势的影响，寻求解题的突破口，提高复习的全面性与灵活性．21．【解析】(1)∵()f x =a x+ln x −2(x >0)， ∴()f x '=2a x -+1x(x >0)，（1分） 又曲线y =()f x 在点P (2，m )处的切线平行于直线y =−32x +1， ∴(2)f '=−14a +12=−32⇒a =8． ∴()f x '=28x -+1x =28x x -(x >0)，（3分） 令()f x '>0，得x >8，()f x 在(8，+∞)上单调递增；令()f x '<0，得0<x <8，()f x 在(0，8)上单调递减．∴()f x 的单调递增区间为(8，+∞)，单调递减区间为(0，8)．（5分）(2)由(1)知()f x '=2a x -+1x =2x a x- (x >0)． (i)当a 0时，()f x '>0恒成立，即()f x 在(0，2e ]上单调递增，无最小值，不满足题意．（6分）(ii)当a >0时，令()f x '=0，得x =a ，所以当()f x '>0时，x >a ，当()f x '<0时，0<x <a ，（7分）此时函数()f x 在(a ，+∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =2()f e =2a e +ln 2e −2=2a e ， 由2a e=2，得a =22e ，满足a >2e ，符合题意；（8分） 若a 2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =()f a =a a +ln a −2=ln a −1， 由ln a −1=2，得a =3e ，不满足a 2e ，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a =22e ，使函数()f x 在(0，2e ]上有最小值2．（12分）22．【解析】(1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，得y −1=3(x −1)， 显然，直线l 过定点(1，1)，倾斜角为6π， 因此直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．（5分）(2)圆ρ=2的直角坐标方程为22x y +=4，把12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22x y +=4， 得)2+(1+12t )2=4，2t+1)t −2=0， 因为+1)2+8>0，故设其两根分别为1t ，2t ，显然12t t =−2，故点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积为2．（10分）【备注】极坐标方程与直角坐标方程互化及参数方程与普通方程互化是本知识板块的基础，当然也是近年高考命题的重点与热点．直线参数方程中参数的几何意义的应用也是重要的考点，值得考生关注．23．【解析】(1)由()f x 13()g x，可得|3x+1|−|2x−3| 1，则当x32时，3x+1−2x+3 1，即x −3，∴不符合题意；当−13x<32时，3x+1+2x−3 1，∴−13x35；当x<−13时，−3x−1+2x−3 1，∴−5 x<−13．综上，不等式()f x13()g x的解集为{x|−5 x35}．（5分）(2)根据题意，由不等式()f x−2tx12+|x−32|，化简得()f x−tx 0，即()f x tx．由()f x=1+|2x−3|=322,2342,2x xx x⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩≥，作出y=()f x与y=tx的大致图象如图所示．由单调性可知()f x的最小值点为A(32，1)，∵当过原点的直线y=tx经过点A时，t=23，当直线y=tx与AC平行时，t=−2．∴当−2 t<23时，y=()f x与y=tx的图象无交点，且y=tx的图象都在y=()f x的图象的下方，∴当不等式()f x−tx 0的解集非空时，t的取值范围是(−∞，−2)∪[23，+∞)．（12分）。

姓名，年级：时间：绝密★启用前湛江市2020年普通高考测试（一)理科数学注意事项1。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效3。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设集合M={x|1<1},N={x|lgx>0}，则|x|A.∅B.(−1,1)C.(1,+∞)D.(−∞,−1)2已知复数z满足|z−i|≤2(i是虚数单位),则|z|的最大值为A.2B.3C.4D.53.已知a=613,b=log22√2,c=1.22,则a,b,c的大小关系是A .b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD .b>a>c4.已知α,β是两个不同的平面,直线a,b满足a⊂α,b⊂α，则“a//β且b//β”是“α//β”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分又不必要条件5.已知a=(2,−6),b=(3,1),则向量a+b在b方向上的投影为A.−6B.−√10C.√2D.√10=6.已知α∈(0,π),2sinα+cosα=1，则cos2α1−sin2αA.−24 25B.−7 25C.−7D.−1 77.已知函数f(x)=ax2−x−a+2,若y=lnf(x)在(12,+∞)为增函数,则实数a的取值范围是A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2]D.(−∞,2]8.“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域,风月同天”.自新冠肺炎疫情爆发以来,全国各省争相施援湖北.截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北,支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情.某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作,则不同的安排方案共有A.105种B。

2020年广东省第三次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则AB =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,12. 复数z 满足(1)|1|z +=+，则z 等于（ ）A ．1B ．1C ．12D 12i -3. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A.B.C. D. 24. 在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（ ）A.B. C. D.5. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A. 15B. 16C. 18D. 216. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种7. 若1x 是方程4xxe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18. 已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.10. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.11．已知函数a x ax e ex f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则( )A.)(a f <)(b f <)(c fB.)(b f <)(c f <)(a fC.)(a f <)(c f <)(b fD.)(c f <)(b f <)(a f12．已知函数1,)21(1,2542{)(≤>-+-=x x x x x x f ，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围为（ ）A．1,64⎡⎢⎣ B．1,64⎡⎢⎣C ．][1,2ln2,64⎛-∞-⋃ ⎝ D ．][1,2ln2,64e ⎛-∞-⋃ ⎝ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省湛江市实验中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣参考答案：D【考点】圆的切线方程；直线的斜率．【专题】计算题；直线与圆．【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．2. 已知A，B为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为（）A. [3,4]B.C. [1,9]D.参考答案：C【分析】由题可得，设，由两点间距离公式结合可得解.【详解】为椭圆上的两个动点，为其左焦点.，则有..设，则..由，得.故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的应用及数量积的坐标运算，属于中档题.3. 已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：D略4. 函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx?cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．5. 已知条件：p：，条件q：直线与圆相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A圆的标准方程为：，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1，即：，解得：，据此可得：是的充分不必要条件.本题选择A选项.6. 设等差数列的前项和为，若，则( )A．27 B．36 C.45 D．54参考答案：D7. 函数的图象为，①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象，以上三个论断中，正确论断的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：C略8. 已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）=A．B．2 C．D．3参考答案：A9. 设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”?“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．即可判断出结论．【解答】解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”?“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．∴“z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 有四个关于三角函数的命题：：x R, +=: ,: x,:其中假命题的是A.，B.，C.，D.，参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 .参考答案：12. 若，且，则的最大值是．参考答案：13. 等差数列中，，记，则当____时，取得最大值.参考答案：4略14. 已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则前8项之和等于. 参考答案：1715. 已知等差数列满足，，则参考答案：2016. 已知不等式的解集不是空集,则实数a的取值范围是▲；若不等式对任意实数a恒成立，则实数x的取值范围是▲ .参考答案：的最小值为，则要使不等式的解集不是空集，则有化简不等式有，即而当时满足题意，解得或所以答案为17. 已知圆柱的底面半径为2，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为．参考答案：24π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据已知求出圆柱的母线长，代入圆柱表面积公式S=2πr（r+l）可得答案．【解答】解：∵圆柱的底面半径为2，母线长与底面的直径相等，故圆柱的母线l=4，故圆柱的表面积S=2πr（r+l）=24π，故答案为：24π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

广东省湛江市东简中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“关于的方程有实数根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A关于x的方程有实数根，则，据此可知：“ a=1”是“关于x的方程有实数根”的充分不必要条件.本题选择A选项.2. 设函数,则（）A．B．3 C．D．参考答案：D3. 已知集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）参考答案：D解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝（﹣1，2）．故选：D．4. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42] B．（20，30）C．（20，30] D．（20，42）参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由程序框图依次求得程序运行的结果，再根据输出的k值判断运行的次数，从而求出输出的S值．【解答】解：由程序框图知第一次运行第一次运行S=0+2，k=2；第二次运行S=0+2+4，k=3；第三次运行S=0+2+4+6，k=4；第四次运行S=0+2+4+6+8，k=5；第五次运行S=0+2+4+6+8+10，k=6∵输出k=6，∴程序运行了5次，此时S=0+2+4+6+8+10=30，∴m的取值范围为20＜m≤30．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据程序运行的结果判断程序运行的次数是关键．5. 不等式＞0的解集是A．（-2，1）（2，+）B．（2，+）C．（-2，1）D．（-，-2）（1，+）参考答案：A略6. 已知函数是上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数是A. B. C. D.参考答案：B略7. 已知集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}，B={﹣2，﹣1}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，0，1}参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}={﹣1，0}，B={﹣2，﹣1}，∴A∪B={﹣2，﹣1，0}．故选：C．8. 已知函数f（x）＝, 对任意m∈[－3，3]，不等式f（mx－1）＋f（2x）＜0恒成立，则实数x 的取值范围为（）A．（－1，） B．（－2，） C．（－2，） D．（－2，）参考答案：A9. 若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4=0，解得a=4．故选：D．10. 已知实数x，y满足不等式组，且z=x -y的最小值为-3，则实数m拘值A．-1 B． C.6 D.7参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （坐标系与参数方程选讲选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数．以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为 .参考答案：试题分析：曲线（为参数）的普通方程为，曲线（为参数）的普通方程为．由得：，所以曲线与的交点的直角坐标为．，因为，点在第一象限上，所以，所以曲线与的交点的极坐标为．考点：1、参数方程与普通方程互化；2、直角坐标与极坐标互化．12. 设函数．若，则▲．参考答案：-9略13. 若，且，则的最大值是．参考答案：14. 已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，BC=4，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC距离分别为m，n，则的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】根据题意，作出△ABC的图形，分析可得PE=PB，PF=PC，结合题意分析可得m+n=2，由此可以变形为=（）（）=（5++），由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图所示，过点P做PE⊥AB，PF⊥AC，则PE=m，PF=n，又由AB=AC，∠BAC=120°，则∠ABC=∠ACB=30°，则PE=PB，PF=PC，即m=PB，n=PC，又由PB+PC=BC=4，即m+n=2，则=（）（）=（5++）≥，即的最小值为，此时m=2n．故答案为：．15. 对于实数，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是____________．参考答案：略16. 祖暅（公元前5﹣6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆=S环知总成立．据此，短轴长为4cm，长轴为6cm的椭球体的体积是cm3．参考答案：16π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，短轴长为4cm，长轴为6cm的椭球体的体积是=16πcm3．故答案为16π．17. 设为向量，若与的夹角为，与的夹角为，则_______．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

绝密★启用前广东省湛江市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(理)试题(解析版)2020年6月一、选择题1.已知集合{}|14M x x =-<<，{}2|3100N x x x =+-≤，则M N =（ ）A. {}|15x x -<≤B. {}|12x x -<≤C. {}|11x x -<≤D. {}|54x x -≤<【答案】B【解析】【分析】 分别求出集合M 和N ,即可根据交集的运算求出M N ⋂.【详解】∵{}{}2|310052N x x x x x =+-≤=-≤≤,而{}|14M x x =-<<,∴M N ={}|12x x -<≤.故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算,以及一元二次不等式的解法,属于容易题.2.设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ）B. 1C. 2 【答案】A【解析】【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ,即可根据复数的模计算公式求出||z ．【详解】∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++,∴||z == 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用,以及复数的模计算公式的应用,属于容易题．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,37a =,39S =,则10a =（ ）A. 25B. 32C. 35D. 40【答案】C【解析】【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差,即可根据题意列出两个方程,求出通项公式,从而求得10a ．【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,则 313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得11,4a d =-=,∴45n a n =-,即有10410535a =⨯-=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用,涉及等差数列的前n 项和公式的应用,属于容易题．4.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照[)70,80,[)80,90,[]90,100分组,绘成频率分布直方图如下：。

2020年广东省湛江市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合M={2,3，4，5}，N={x|x2−5x+4<0}，则M∩N为()A. {2,3，4，5}B. {2,3}C. {3,4，5}D. {2,3，4}2.若z=1+i，则|z2–2z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=5，a7=1，则a1=()A. −12B. −1 C. 12D. 144.某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四个等级，其中分数在［60，70)为D等级；分数在［70，80)为C等级；分数在［80，90)为B等级；分数在［90，100］为A等级．考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数是()A. 80.25B. 80.45C. 80.5D. 80.655.图中的图象所表示的函数的解析式为()A. y=32|x−1|(0≤x≤2)B. y=32−32|x−1|(0≤x≤2)C. y=32−|x−1|(0≤x≤2)D. y=1−|x−1|(0≤x≤2)6.已知向量m⃗⃗⃗ ，n⃗满足|m⃗⃗⃗ +n⃗|=|m⃗⃗⃗ −2n⃗|，且|m⃗⃗⃗ |=2|n⃗|，则m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角的余弦值为A. 13B. 14C. 16D. 187.在等比数列{a n}中，若a2+a5=3，a5+a8=6，则a11=()A. 4B. 8C. 16D. 32 8. F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，过F 作直线l 与一条渐近线平行，直线l 与双曲线交于点M ，与y 轴交于点N ，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. √5 D. √109. 设a =2−5，b =log 52，c =log 32则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. c <a <b10. 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与其准线交于点M ，且FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 23B. 43C. 13D. 1 11. 已知函数的图象向左平移π6个单位后得到g(x)=cos(2x +π6)的图象，则φ的值为( ) A. −2π3 B. −π3 C. π3 D. 2π3 12. 武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查，在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p <1)且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p =p 0时，f(p)最大，则p 0=( )A. 1−√63 B. √63 C. 12 D. 1−√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x ，y 满足约束条件{2x +y +2≥0x −y +1≥0−2x +y +2≥0则z =3x −2y 的最小值为__________．14. 已知函数f(x)=lg (21−x +a)是奇函数，则a =________．15. “宫、商、角、徽、羽”是中国古代的五声音阶，类似于简谱中的1、2、3、5、6，古人以这五音进行组合，得到不同的音律．现要用“宫、商、角、徽、羽”排列成一个音序，要求五声音阶全部用上，且每声音阶只能使用一次，则“角”不在第四位且“宫”不在头尾的音序种数为________．16.如图，在边长为6的菱形ABCD中，若∠BCD=60°，现将△ABD沿对角线BD折起，得到三棱时，三棱锥P−BCD的外接球的表面积为___．锥P−BCD，则当二面角P−BD−C的大小为2π3三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB=AC，BD=1，sin∠CAD=3sin∠BAD．(1)求DC的长；(2)若AD=2，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA=PB，求二面角A−PC−D的余弦值．19.某工厂A,B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A,B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p−1(0.5≤p≤1)．(1)从A,B生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0；(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．①已知A,B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A,B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如下图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−√3,0)，且过点P(√32,√134)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q,A2Q分别交椭圆C于不同的两点M,N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．21. 已知函数f(x)=2sinx −xcosx −x ，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；(2)若x ∈[0,π]时，f(x)≥ax ，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为{x =1+cos φy =1+sin φ(φ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． (1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈(0,π4]时，求|OA|+|OB|的取值范围．23. 已知函数f(x)=|2x +a|+|2x −b|+2的最小值为3．(1)求a +b 的值；(2)若a >0，b >0，求证：a +b ≥3−log 3(4a +1b )．【答案与解析】1.答案：B解析：化简集合N ，根据交集的定义写出M ∩N ．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．解：集合M ={2,3，4，5}，N ={x|x 2−5x +4<0}={x|1<x <4}，则M ∩N ={2,3}．故选：B ．2.答案：D解析：本题考查复数的运算和模，考查计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则和模长公式即可求解．解：由题意，得z 2–2z =(1+i)2−2(1+i)=−2，故|z 2–2z|=2，故选D ．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．设该等差数列的公差为d ，则根据通项公式和前n 项和公式列出关于a 1、d 的方程组，通过解方程组即可得到答案． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+6d =110a 1+10×92d =5, 解得{a 1=−1d =13． 故选B ．4.答案：C解析：本题考查利用频率分布直方图估计平均数，属于基础题．取每个区间的中点作为该区间的变量，频率作为权重，加权平均即可．解：平均数为x=(65×0.015+75×0.040+85×0.020+95×0.025)×10=80.5．故选C．5.答案：B解析：特殊值代入排除法既可以提高解题速度，又可以提高解题精度，是解答选择题常用的方法．特殊值代入排除法的关键是寻找最易于运算的特殊值，如本题中的(0,0)点，求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法．)在函数图象上，解：由已知函数图象易得：点(0,0)、(1,32)代入可排除D.将点(0,0)代入可排除A、C，将(1,32故选B．6.答案：B解析：本题主要考查了用向量的数量积求夹角的应用问题，是基础题．由题意利用两个向量的数量积定义，求得m⃗⃗⃗ 与n⃗夹角的余弦值．解：非零向量m⃗⃗⃗ ，n⃗满足|m⃗⃗⃗ +n⃗|=|m⃗⃗⃗ −2n⃗|，且|m⃗⃗⃗ |=2|n⃗|，∴|m⃗⃗⃗ +n⃗|2=|m⃗⃗⃗ −2n⃗|2，即m⃗⃗⃗ 2+2m⃗⃗⃗ ·n⃗+n⃗2=m⃗⃗⃗ 2−4m⃗⃗⃗ ·n⃗+4n⃗2∴m⃗⃗⃗ ·n⃗=1n⃗2，2设向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角为θ，|n⃗|2，则|m⃗⃗⃗ |·|n⃗|cosθ=2|n⃗|2cosθ=12∴cosθ=14， 即m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角的余弦值为14． 故选B ． 7.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式和性质，属于较易题．根据已知求公比，然后利用通项求项．解：因为a 2+a 5=3，a 5+a 8=6，所以a 5+a 8a 2+a 5=a 1q 4+a 1q 7a 1q+a 1q 4=q 3=2，因为a 2+a 5=a 2(1+q 3)=3，所以a 2=1，则a 11=a 2q 9=1×23=8，故选B ．8.答案：B解析：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量相等等基础知识与基本技能方法，属于中档题.如图所示，过F 作直线l 与一条渐近线平行，可得直线l 的方程为y =ba (x −c)，与双曲线方程联立解得点M 的坐标，再利用FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出． 解：如图所示，∵过F 作直线l 与一条渐近线平行， ∴直线l 的方程为y =ba (x −c)， 联立{y =ba (x −c)x 2a 2−y 2b 2=1，化为x =a 2+c 22c，. ∵FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴a 2+c 22c−c =−12a 2+c 22c，化为c 2=3a 2， 解得e =ca =√3． 故选B ．9.答案：A解析：本题考查利用对数函数的性质比较大小，涉及对数运算，属于基础题． 由对数函数的换底公式可知b <c ，再由a =2−5=132=log 55132<log 52=b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．解：因为b =log 52=lg2lg5，c =log 32=lg2lg3， 由lg5>lg3，则b <c ，且a =2−5=132=log 55132<log 52=b ，所以a <b <c ． 故选A ．10.答案：B解析：本题主要考查直线与抛物线的关系，以及抛物线的性质．利用比例关系求出PM =2PN ，进而求出直线方程，联立得到交点，即可得答案 解：如图所示：过点P 作PN 垂直于准线x =−1， 根据抛物线的定义，可知PN =PF ， 又因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PM =2PN ，所以∠PMN =30°，则∠MFO =60°， 所以直线l 的方程为y =√3(x −1)，所以{y =√3(x −1)y 2=4x，解得x P =13,x Q =3， 所以|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+1=43． 故选B ．11.答案：C解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和诱导公式，属于基础题． 利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和诱导公式即可求得φ的值． 解：函数的图象向左平移π6个单位长度，得到函数的图象，又，所以，|φ|<π，则φ=π3，故选C．12.答案：A解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率，利用导数研究闭区间上函数的最值，考查概率的实际应用，理解题意是解题的关键，属于中档题．由题意，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)=(1−p)4p+(1−p)5p，再利用导数求f(p)最大值可得结论．解：由题意，该家庭第5个人检测为阳性的概率为(1−p)4p，该家庭第6个人检测为阳性的概率为(1−p)5p，∴该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)=(1−p)4p+(1−p)5p，(0< p<1)，∴f′(p)=4(p−1)3p+(1−p)4−5(1−p)4p+(1−p)5=(p−1)3(−6p2+12p−2)，令f′(p)=0，∵0<p<1，∴−6p2+12p−2=0，即3p2−6p+1=0，解得p=1−√63或p=1+√63(舍去)易知0<p<1−√63时，f′(p)>0，f(p)单调递增，1−√63<p<1时，f′(p)<0，f(p)单调递减，∴p=p0=1−√63时，f(p)最大．故选A．13.答案：−3解析：本题考查了简单的线性规划，作出可行域寻找最优解是解题关键，作出可行域，由目标函数变形得y=32x−z2，根据可行域找出最优解即可，属于基础题．解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z =3x −2y 得y =32x −z2，由图象可知当直线y =32x −z2经过点A 时，截距最大，即z 最小． 解方程组{2x +y +2=0x −y +1=0得x =−1，y =0，即A(−1,0)．∴z 的最小值为−3+0=−3． 故答案为−3．14.答案：−1解析：本题考查了奇函数的性质，以及对数的运算性质的应用，考查了化简、变形能力，属于基础题． 根据奇函数的性质：f(−x)=−f(x)列出方程，利用对数的运算性质化简后求出a 的值． 解：∵函数f(x)=lg (21−x +a)是奇函数， ∴f(−x)=−f(x)，则lg (21+x +a)=−lg (21−x +a)=lg 1−x2+a−ax ， ∴21+x+a =1−x 2+a−ax，化简得(a +1)(a −1)x 2=(a +1)(a +3)，则当a =−1时上式恒成立， 故答案为−1．15.答案：60解析：本题考查了排列组合的综合应用，分类加法计数原理的应用，属于基础题．分两种情况：若“角”在头或尾和若“角”不在头或尾，也不在第四位，并结合分类加法计数原理解答即可．解：若“角”在头或尾，则有2×3×A33=36种；若“角”不在头或尾，也不在第四位，则有2×2×A33=24，故共有36+24=60种．故答案为60．16.答案：解析：【试题解析】本题考查了球的表面积和体积，线面垂直的判定，线面垂直的性质和二面角，属于中档题．取BD的中点E，连接PE、CE，利用平面几何知识得BD⊥PE，BD⊥CE，且PE=CE=3√3，再利用二面角平面角定义得∠PEC是二面角P−BD−C的平面角，从而得，设三棱锥P−BCD的外接球的球心为O，△ABD和△BCD的外心分别为G和H，利用平面几何知识得EG=EH=√3，连接OP、OG、OH、OE，利用球心与小圆圆心的连线与小圆所在平面垂直得OG⊥平面PBD，OH⊥平面BCD，且OP是三棱锥P−BCD的外接球半径，再利用线面垂直的性质得OG⊥BD，OH⊥BD，再利用线面垂直的性质得BD⊥平面POE，BD⊥平面OEC，再利用过空间一点能只能作一个平面与已知直线垂直得平面POE与平面OEC重合，再利用线面垂直的性质得OG⊥PE，OH⊥EC，再利用平面几何知识得，从而得和，再解得OP，最后利用球的表面积公式，计算得结论．解：如图：因为在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，所以△ABD和△BCD都是边长为6的正三角形，现将△ABD沿对角线BD折起得到△PBD，因此△PBD也是边长为6的正三角形．取BD的中点E，连接PE、CE，则BD⊥PE，BD⊥CE，且PE=CE=√32×6=3√3，因此∠PEC是二面角P−BD−C的平面角，所以．设三棱锥P−BCD的外接球的球心为O，△ABD和△BCD的外心分别为G和H，则EG=EH=13PE=√3．连接OP、OG、OH、OE，则OG⊥平面PBD，OH⊥平面BCD，且OP是三棱锥P−BCD的外接球半径．又因为BD⊂平面PBD，BD⊂平面BCD，所以OG⊥BD，OH⊥BD．又因为OG∩PE=G，OG、PE⊂平面POE，所以BD⊥平面POE，同理可得BD⊥平面OEC，因此由过空间一点能只能作一个平面与已知直线垂直知：平面POE与平面OEC重合．又因为OG⊥平面PBD，OH⊥平面BCD，PE⊂平面PBD，EC⊂平面BCD，所以OG⊥PE，OH⊥EC，因此，所以，因此．在中，PG=23PE=23×3√3=2√3，因此OP=√PG2+OG2=√21，所以三棱锥P−BCD的外接球的表面积为．故答案为．17.答案：解：(1)在ΔABD中，由正弦定理得，，在ΔADC中，由正弦定理得，，因为AB=AC，sin∠ADB=sin∠ADC，BD=1，sin∠CAD=3sin∠BAD，所以DC=3BD=3，(2)在ΔABD中，由余弦定理得，，在ΔADC 中，由余弦定理得，，因为AB =AC ，AD =2，BD =1，DC =3，cos∠ADB =−cos∠ADC ， 所以4+1+2×2×1×cos∠ADC =4+9−2×2×3×cos∠ADC ， 解得cos∠ADC =12， 所以∠ADC =60°， 所以=2√3．解析：本题主要考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式． (1)利用正弦定理，即可得；(2)利用余弦定理，以及三角形的面积公式，即可得．18.答案：(1)证明：取AB 的中点为O ，连接CO ，PO ，∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴AB =BC =2． ∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴CO ⊥AB ，OC =√3． ∵PA ⊥PB ，∴PO =12AB =1．∵PC =2，∴OP 2+OC 2=PC 2，∴CO ⊥PO ． ∵AB ∩PO =O ，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．(2)∵OP 2+OA 2=12+12=(√2)2=PA 2，∴PO ⊥AO ． 由(1)知，平面PAB ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∴直线OC ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ， 则O(0,0，0)，A(0,−1,0)，B(0,1，0)，C(√3,0，0)，D(√3,−2,0)，P(0,0，1)，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)．设平面APC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{y 1+z 1=0,√3x 1−z 1=0,取x 1=1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)，设平面PCD 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，由{n ⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3x 2−z 2=0,2y 2=0,取x 2=1，得n ⃗ =(1,0，√3)， ∴cos 〈m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |·|n ⃗⃗ |=2√77， 由图易知二面角A −PC −D 为锐二面角， ∴二面角A −PC −D 的余弦值为2√77．解析：本题考查面面垂直的判定，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题． (1)先证明CO ⊥平面PAB ，再根据面面垂直的判定定理即可得到答案；(2)建立空间直线坐标系，求出半平面的法向量，进而求出它们的夹角的余弦值，即可得到二面角A −PC −D 的余弦值．19.答案：解：(1)记“从A 生产线上抽检到合格品”为事件A ，“从生产线B 上抽检到合格品”为事件B ，“从A 、B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格”为事件C ， 则P(C)=1−P(A)⋅P(B)=1−(1−p)[1−(2p −1)]=1−2(1−p)2⩾0.995， 解得p ⩾0.95 ，故p 的最小值p 0=0.95．(2)由(1)可知A ，B 生产线生产的产品为不合格品率分别为0.05和0.1 ，①设从A 、B 生产线上各随机抽检1000件产品，抽到的不合格品件数分别为X 1、X 2，挽回损失分别为Y 1、Y 2，则X 1∼B(1000 , 0.05)，X 2∼B(1000 , 0.1)，且E(Y 1)=E(5X 1)=5E(X 1)=5×1000×0.05=250(元)， E(Y 2)=E(3X 2)=3E(X 2)=3×1000×0.1=300(元)， 故估计B 生产线挽回的平均损失较多． ②X 的取值为10，8，6， 用样本的频率分布估计总体分布， 则P(X =10)=20+35200=1140，P(X =8)=60+40200=12，P(X =6)=20+25200=940，∴X 的分布列为：∴E(X)=10×1140+8×12+6×940=8.1(元)， 设该厂产量2000件时的利润为Y ，则E(Y)=E(2000X)=2000E(X)=2000×8.1=16200(元).解析：本题考查概率的求法及应用，离散型随机变量的数学期望的求法，离散型随机变量及其分布列，考查运算求解能力，是中档题．(1)记′′从A 、B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格”为事件C ，则P(C)=1−(1−p)[1−(2p −1)]，再根据题意列出不等式求解即可；(2)由(1)可知A ，B 生产线生产的产品为不合格品率分别为0.05和0.1，①设从A 、B 生产线上各随机抽检1000件产品，抽到的不合格品件数分别为X 1、X 2，挽回损失分别为Y 1、Y 2，则X 1∼B(1000 , 0.05)，X 2∼B(1000 , 0.1)，分别求解； ②X 的取值为10，8，6，从而求得分布列，求解即可．20.答案：解：(1)由题意可知，{a 2−b 2=334a 2+1316b 2=1，解得a =2，b =1，则椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设Q(1,t)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则直线A 1Q 的方程为y =t3(x +2)， 将直线方程代入椭圆方程消去y 得，(4t 2+9)x 2+16t 2x +16t 2−36=0， ∵x 1×(−2)=16t 2−364t 2+9，∴x 1=−8t 2+184t 2+9，代入直线方程解得M(−8t 2+184t 2+9,12t4t 2+9)，同理可得N(8t 2−24t 2+1,4t4t 2+1)，k MN =4t 4t 2+1−12t4t 2+98t 2−24t 2+1−−8t 2+184t 2+9=−2t4t 2+3，直线MN 的方程为y −12t4t 2+9=−2t4t 2+3(x −−8t 2+184t 2+9)，即y =−2t4t 2+3(x −4)，故直线MN 过定点(4,0)．解析：【试题解析】本题考查直线椭圆位置关系的综合应用，属于较难题．(1)利用焦点坐标以及点的坐标满足方程得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 即可；(2)设出Q ，M ，N 坐标，写出直线A 1Q 的方程，与椭圆联立方程组，结合根与系数的关系求出M 点坐标，同理求出N 点坐标，写出直线MN 方程，即可得到定点坐标．21.答案：(1)设g(x)=f′(x)，则g(x)=cosx +xsinx −1，g′(x)=xcosx ．当x ∈(0, π 2)时，g′(x)>0；当x ∈( π 2,π)时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0, π 2)单调递增，在( π 2,π)单调递减． 又g(0)=0，g( π 2)>0，g(π)=−2， 故g(x)在(0,π)存在唯一零点． 所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点．(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a ≤0． 由(1)知，f′(x)在(0,π)只有一个零点，设为x 0， 且当x ∈(0,x 0)时，f′(x)>0； 当x ∈(x 0,π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x 0)单调递增，(x 0,π)单调递减． 又f(0)=0，f(π)=0，所以，当x ∈[0,π]时，f(x)≥0．又当a ≤0，x ∈[0,π]时，ax ≤0，故f(x)≥ax ． 因此，a 的取值范围是(−∞,0]．解析：本题考查导数与函数的零点．(1)令g(x)=f′(x)，再对g(x)求导后分类讨论；(2)根据第一问单调性求解参数a的取值范围．22.答案：解：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)．曲线M的普通方程为(x−1)2+(y−1)2=1，即x²+y²−2x−2y+1=0，因为，，x2+y2=ρ2，所以极坐标方程为．(2)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，且ρ1，ρ2均为正数，将θ=α代入，得，当α∈(0,π4]时，，所以，根据极坐标的几何意义，，分别是点A，B的极径．从而：．当α∈(0,π4]时，α+π4∈(π4,π2]，故的取值范围是(2,2√2]．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(1)消去参数φ可得曲线M的普通方程，进而求出M的极坐标方程；根据题意可得直线l的极坐标方程；(2)根据极径的几何意义可得，再利用三角函数的性质即可求解．23.答案：(1)解：∵f(x)=|2x+a|+|2x−b|+2≥|2x+a−(2x−b)|+2=|a+b|+2，当且仅当(2x+a)(2x−b)≤0时，“=”成立，∴f(x)的最小值为|a+b|+2=3，∴|a+b|=1，∴a+b=±1．(2)证明：a>0，b>0，由(1)得：a+b=1，∴4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba +ab≥5+2×2=9，当且仅当4ba =ab,且a+b=1即a=23,b=13时取“=”，∴3−log3(4a +1b)≤3−log39=1=a+b，故命题得证．解析：本题考查了绝对值三角不等式，基本不等式的应用与不等式证明．属于中档题．(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值，即得a+b的值；(2)利用基本不等式证明．。