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协整和误差修正模型一、协整理论 1. d 阶单整序列对不平稳时间序列{}t Y 进行d 阶差分如下(d =1,2,…n)：1t t t Y Y Y -∆=- 一阶差分21()t t t t Y Y Y Y -∆=∆∆=∆-∆ 二阶差分……1111()d d d d t t t t Y Y Y Y ----∆=∆∆=∆-∆ d 阶差分若{}t Y 进行d 阶差分后成为平稳序列, 则称{}t Y 为d 阶单整序列。
记为{}~()t Y I d2. 协整定义如果时间序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r tttY Y Y 都是d 阶单整序列，即，{}~(),1,2,...,jtY I d j r =，且存在12,,...,rβββ使得(1)(2)()12...~()r t t r t Y Y Y I d b βββ+++-其中b>0, 称序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r t tt Y Y Y 存在(d,b) 阶协整关系。
3. 协整的意义若序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r t tt Y Y Y 存在协整关系，则它们之间存在长期稳定关系，对它们进行回归，可排除伪回归现象。
4. 协整检验EG 两步法( see p.275)二、误差修正模型 ECM 方法：若{}{},t t X Y 都是1阶单整序列，它们存在协整关系，建立自回归模型 012131t t t t t Y X Y X ββββμ--=++++ (1) 整理得：011t ttt Y X e ββγμ-∆=+∆++ (2) 其中t e 为残差序列, 1t e -为误差修正项。
(1) 或(2) 称为ECM模型，用于短期分析。
它们的Eviews命令分别为：LS Y C X Y(-1) X(-1),或：GENR T=Y-Y(-1)GENR H=X-X(-1)GENR e= residLS T C H e(-1)三、实例根据下表，讨论时间序列的平稳性、协整关系以及它们的误差修正模型。
协整与误差修正模型的研究第一部分协整理论概述 (2)第二部分误差修正模型介绍 (4)第三部分协整与误差修正关系 (7)第四部分模型构建与检验方法 (9)第五部分实证分析应用案例 (13)第六部分结果解释与经济含义 (16)第七部分模型局限性与改进方向 (18)第八部分研究展望与未来趋势 (22)第一部分协整理论概述协整理论概述在经济学和金融学中，我们常常遇到时间序列数据之间的长期均衡关系。
然而，在实际经济活动中，这种均衡关系并不总是能够得到严格的保持，而是存在着一定程度的波动和偏差。
为了解决这一问题，经济学家们提出了协整理论。
协整理论是指两个或多个非平稳的时间序列之间存在一种长期稳定的关系。
换言之，即使各时间序列本身是随机游走的过程，它们之间也可能存在一个稳定的线性组合，使得这个组合呈现出平稳性质。
协整理论的发展为研究经济变量之间的长期动态关系提供了一个强有力的工具。
协整理论的核心思想是由 Engle 和Granger 于1987 年提出的。
他们认为，如果两个非平稳的时间序列之间存在协整关系，则这两个时间序列可以通过一个线性组合达到长期均衡状态，且这个线性组合具有零均值、有限方差和恒定自相关等特性。
在这个意义上，我们可以将协整关系看作是一种长期均衡关系的表现形式。
为了检验两个时间序列之间是否存在协整关系，Engle 和 Granger 提出了一种两步法：首先检验每个时间序列是否为非平稳过程；然后，如果这两个时间序列都是非平稳过程，再通过回归分析来检验它们之间是否存在协整关系。
这种方法被称为 Engle-Granger 两步协整检验。
除了 Engle-Granger 两步协整检验之外，还有许多其他的方法可以用来检验协整关系，例如 Johansen 检验和 Pedroni 检验等。
这些方法都可以有效地帮助我们确定不同时间序列之间的协整关系。
协整理论不仅用于检验不同时间序列之间的长期均衡关系，还可以用于构建误差修正模型。
协整与误差修正模型有些时间序列，虽然他们本身非平稳，但是其线形组合确实平稳。
这个线形组合反映了变量之间的长期稳定的比例关系，称为协整关系。
第一节协整的定义与协整检验1、协整的定义如果时间序列nt t t y y y ,,21都是d 阶单整，即)(d I ，存在一个向量),(21n αααα =，使得)(~b d I y -'α，这里),,(21nt t t t y y y y =，0≥≥b d ，则称序列nt t t y y y ,,21是),(b d 阶协整的，记为),(~b d CI y t ，α为协整向量。
本部分只是介绍两个时间序列的协整关系，关于三个以上变量的协整关系将在另外一章予以讨论。
关于两个变量t x 和t y 是否协整，Engle 和Granger 于1987年提出了两步检验法，称为EG 检验。
序列t x 和t y 若都是d 阶单整的，用一个变量对另一个变量进行回归，即有t t t u x y ++=βα用αˆ和βˆ表示回归系数的估计值，则模型残差估计值为 tt t x y u βαˆˆˆ--= 若)0(~ˆI u，则t x 和t y 具有协整关系，且)ˆ(β-I 为协整向量，上式即为协整回归方程。
实例待定误差修正模型误差修正模型是由Davidsom 、Hendry 、Srba 和Yeo 于1978年提出的，称为DHSY 模型。
对)1,1(ADL 模型t t t t t x y x y αββββ++++=--131210移项后整理可得t t t t x y x y αββββββ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∆+=∆-12312101)1( 该方程即为ECM ，其中x y 2311βββ-+-是误差修正项，记为ecm 。
模型解释了因变量t y 的短期波动t y ∆是如何被决定的。
一方面，它受到自变量短期波动t x ∆的影响，另一方面，取决于ecm 。
如果变量t x 和t y 间存在着长期均衡关系，即有x y α=，式中的ecm 可以改写为x y 2311βββ-+= 可见，ecm 反映了变量在短期波动中偏离它们长期均衡关系的程度，称为均衡误差。
第6章协整和误差修正模型本章介绍含有非平稳变量结构方程或V AR的估计。
在一维模型中，我们已经看到，可以通过差分去掉一个随机趋势，得到的平稳序列，再用Box-Jenkins方法来估计模型。
在多维情况下，并不这样直接处理。
通常，整变量的线性组合是平稳的，这些变量称为协整的。
许多经济模型都有这种关系。
本章主要内容：1．介绍协整的基本概念，及在经济模型中的应用。
非平稳变量之间的均衡关系意味着它们的随机趋势是相联系的。
均衡关系意味着这些变量不能相互独立运动。
随机趋势之间的这种联系保证了这些变量是协整的。
2．考虑了协整变量的动态路径，由于协整变量的趋势是相互联系的，这些变量的动态路径反映了偏离均衡的偏差的联系。
详细分析了变量的变化与偏离均衡的偏差之间的联系。
3．讨论了协整检验的几种方法。
6.1整变量的线性组合考虑一个简单的货币需求模型：1）居民持有实际货币余额，使名义货币需求与价格水平成比例；2）当实际收入及交易次数的增加，居民希望持有更多的货币余额；3）利率是持有货币的机会成本，货币需求与利率负相关。
因而，方程设定形式（采用对数形式）如下：0123t t t t t m p y r e ββββ=++++ （6.1.1） 这里： t m =货币需求， t p =价格水平 t y =实际收入 t r =利率t e =平稳扰动项i β=待估计的参数在货币市场是均衡的条件下，可以得到货币供给、价格水平、实际收入和短期利率的时间序列数据，且要求1231,0,0βββ=><。
当然，在研究中需要检验这些限制。
货币需求的任何偏差{}t e 必须是暂时的。
如果{}t e 有随机趋势，偏离货币市场均衡的偏差不能消失。
所以，这里的关键假设是{}t e 是平稳的。
许多研究者认为，实际GDP 、货币供给、价格水平、利率都是I(1)变量。
每个变量都没有返回到长期水平的趋势。
但（6.1.1）说明：对这些非平稳变量，存在线性组合是平稳的。
协整分析与误差修正模型1.协整分析协整分析用于找到两个或多个非平稳时间序列之间的长期关系。
当两个变量之间存在协整关系时，它们的线性组合将是平稳的。
协整关系可以解释为变量之间长期的平衡关系，即存在一种平衡机制使得变量保持在一个相对稳定的范围内。
协整分析的步骤如下：1）对非平稳时间序列进行单位根检验，例如ADF检验。
2）如果两个或多个时间序列都是非平稳的，那么可以进行线性组合，得到一个平稳的时间序列，通过单位根检验确定这个线性组合是否是平稳的。
3）如果线性组合是平稳的，那么就可以认为存在协整关系。
协整分析的优点是可以探索多个非平稳时间序列之间的关系，并且提供了具体的数值关系，能够描述长期平衡关系。
但是，协整分析不能提供因果关系，只能提供关联关系。
2.误差修正模型(ECM)误差修正模型是一种用于描述非平稳变量之间长期关系的模型。
它是在协整分析的基础上发展而来的。
误差修正模型的基本思想是，如果两个变量之间存在协整关系，那么它们之间的误差会随着时间的推移逐渐修正，回归到长期平衡关系。
因此，误差修正模型可以用来分析变量之间的动态行为。
基本的误差修正模型可以表示为：△Y_t=α+βX_t-1+γE_t-1+ε_t其中，△表示时间差分，Y_t和X_t分别表示被解释变量和解释变量，E_t表示长期误差修正项，ε_t表示短期误差项。
α、β和γ分别表示模型的截距和参数。
误差修正模型的步骤如下：1）进行协整分析，确定变量之间的协整关系。
2）构建误差修正模型，通过估计模型参数来描述长期关系。
3）进行模型检验，包括参数显著性检验、拟合优度检验等。
4）根据模型结果进行解释和预测。
误差修正模型的优点是能够同时分析长期和短期关系，提供了关于变量之间回归到长期平衡的速度信息。
同时，误差修正模型还可以用于预测和政策分析等方面。
但是，误差修正模型的局限性在于假设模型中的所有变量都是线性关系，不能很好地处理非线性关系。
综上所述，协整分析和误差修正模型是非平稳时间序列分析中常用的方法，它们能够揭示非平稳变量之间的长期关系，并对其动态行为进行建模和分析。
.第六讲协整与误差修正模型一、非平稳过程与单位根检验二、长期均衡关系与协整三、误差修正模型可编辑.一、非平稳过程与单位根检验1、非平稳过程1）随机游走过程（random walk）。
y t = y t-1 + u t, u t IID(0, 2)10y=y(-1)+u5-5-1020406080100120140160180200差分平稳过程（difference- stationary process）。
可编辑.可编辑2）有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift ）或随机趋势非平稳过程（stochastic trend process ）。
y t = + y t -1 + u t , u t IID(0,2)迭代变换：y t =+ (+ y t -2 + u t -1) + u t = … = y 0 + t +∑-ti i u 1=t +∑-ti i u 120406080100400450500550600650700750800-80-60-40-2020100200300400500600700800差分平稳过程.3）趋势平稳过程（trend-stationary process）或退势平稳过程。
y t = + t + u t, u t IID(0, 2)2520151055101520253035404550趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程：y t = + u t - u t-1。
所以应该用退势的方法获得平稳过程。
y t - t = + u t。
可编辑.4）确定性趋势非平稳过程（non-stationary process with deterministic trend）y t = + t + y t-1+ u t, u t IID(0, 2)1801601401201008060400450500550600650700750800确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程，yt = + t + ut。
确定性趋势非平稳过程的退势过程是非平稳过程，yt - t = + yt-1+可编辑.ut 。
只有既差分又退势才能得到平稳过程，yt - t = + ut。
5）单位根过程前述的差分平稳过程可改写为：（1-L）yt= m + ut滞后算子多项式1-L=0的根L=1称为“单位根”。
含有单位根的随机过程称为单位根过程。
如果一个序列在成为平稳序列之前必须经过d次差分，则该序列被称为d 阶单整，记为I（d)。
可编辑.2.单位根检验1）DF（ADF）检验法（Dickey-Fuller,1979）观察如下模型：y t = y t-1 + u t , u t IID(0, 2) (1.a) y t = + y t-1+ u t , u t IID(0, 2) (2.a)y t = +t + y t-1+ u t , u t IID(0, 2) (3a)若//<1,则y t平稳；若//=1,则y t一阶单整；若//〉1,则y t发散。
可编辑.可编辑假设H 0： =1，y t 非平稳；H 1： <1。
y t 平稳检验统计量DF =)ˆ()1ˆ(ββs - 当DF 〉临界值时，不拒绝原假设，y t 非平稳。
前述三个方程可改写为： y t = y t -1 + u t , u t IID(0,2) (1.b)y t = + y t -1 + u t , u t IID(0, 2)（2.b)y t = +t + y t -1 + u t , u t IID(0, （3.b)其中= -1。
于是H 0：= 0，y t 非平稳；H 1： < 0。
y t 平稳检验统计量DF =)ˆ(ˆρρs =)ˆ(ˆβρs 。
.可编辑其中βˆ和ρˆ分别表示 和 的OLS 估计量。
注意： 检验顺序（3.b)、（2.b)、 (1.b)2）ADF 检验（增项或扩展的DF ）如果被检验的真实过程是一个AR(p) 过程，而检验式是AR(1)形式，那么由于对y t 形式的设定错误，检验式对应的误差项必然表现为自相关。
当误差项具有相关性时，回归参数的检验统计量不再服从DF 分布。
假定y t 是AR(p) 过程：y t = 1 y t -1 +2 y t -2 + … + p y t -p + u t检验式应写为：y t =y t -1 + j t p j j y --=*∑11∆φ + u ty t = y t -1 +.可编辑j t p j jy --=*∑11∆φ+ u t其中= -1 = (∑=pi i 1φ)-1，j * = -∑+=pj i i1φ, j = 1, 2, …, p – 1。
如果 = 0成立，则y t 含有单位根。
称此检验为ADF 检验。
在ADF 检验式中也可以加入漂移项 和时间趋势项t 。
对于式：y t = y t -1 +j t p j j y --=*∑11∆φ+ + u tH 0：y t 是一个非平稳过程，H 1：y t 是一个均值非零的平稳过程。
对于式：y t = y t -1 +j t p j j y --=*∑11∆φ+ + t + u t.H0：y t是一个非平稳过程，H1：y t是一个确定性趋势平稳过程。
注意：差分滞后项y t-j个数的选择非常重要。
滞后项个数太少，会导致当原假设为真时，拒绝原假设的概率变大。
当滞后项个数太多时，又会导致检验功效降低（当备择假设为真时，检出的概率变低）。
3）PP检验（Phillips-Perron,1988）用非参数方法检验AR（1）的平稳性。
对于方程：y t = + y t-1 + u t构造一个具有体分布的检验统计量t p,p。
H0：= 0，y t非平稳；H1：< 0。
y t平稳可编辑.使用PP检验必须定义截断滞后因子的滞后阶数q。
4）KPSS检验（Kwiatkowski- Phillips-Schmidt-Shin,1992）用从待检验序列y t中剔出截距项和趋势项的序列e t构造LM统计量。
H0：y t是一个平稳过程，H1：y t是一个非平稳过程5）ERS检验（Elliot-Rothenberg-Stock Point Optimal，1996）在待检验序列y t的拟差分序列回归基础上构造的统计量进行检验。
H0：y t有一个单位根，H1：y t是一个平稳过程。
6）NP检验（Ng-Perron，2001）可编辑.基于被检验序列y t 的广义最小二乘退势序列y t d构造了四个检验统计量检验序列的平稳性。
二、长期均衡关系与协整1、长期均衡经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。
可编辑.可编辑假设X 与Y 间的长期“均衡关系”由式： 描述 式中:mt 是随机扰动项。
该均衡关系意味着:给定X 的一个值，Y 相应的均衡值也随之确定为 a 0+a 1X 。
在时期t ，假设X 有一个变化量DX t ，如果变量X 与Y 在时期t 与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y 的相应变化量由式给出:式中，v t =m t -m t-1 一个重要的假设就是:随机扰动项m t 必须是平稳序列。
01t t tY X ααμ=++1t t t Y X v α∆=∆+.2、协整如果序列{X1t,X2t,…,X kt}都是d阶单整，存在向量a=(a1,a2,…,a k)，使得Z t= aX T ~ I(d-b)其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,X k)T，则认为序列{X1t,X2t,…,X k}是(d,b)阶协整，记为X t~CI(d,b)，a为协整向量（cointegrated vector）。
可编辑.由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整；三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。
从协整的定义可以看出：●（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。
●尽管这两时间序列是非稳定的，但可以用经典的回归分析方法建立回归模可编辑.型。
●检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。
●从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。
3、协整检验一是基于回归模型残差的协整检验；二是基于回归系数的协整检验。
变量间的Engle-Granger检验（Engle-Granger，1987）。
基于回归模型残差的协整检验，也称为EG检验，步骤如下：可编辑.可编辑第一步，若序列Y t 和X 1t ，…，X k 均为一阶单整，用OLS 方法估计方程 ：Y t =a 0+a 1X 1t +…+a k X kt +m t并计算估计模型的残差 e t ，第二步，检验残差序列是否平稳（通常用ADF 检验）。
若残差序列平稳，则可以确定变量之间存在协整关系；否则，变量之间不存在协整关系需要注意是，这里的DF 或ADF 检验是针对协整回归计算出的误差项 e t ，而非真正的非均衡误差m t 进行的。
.可编辑而OLS 法采用了残差最小平方和原理，因此估计量d 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。
于是对 e t 平稳性检验的DF 与ADF 临界值应该比正常的DF 与ADF 临界值还要小。
三、误差修正模型1、误差修正模型误差修正模型（Error Correction Model ，简记为ECM ）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson 、 Hendry 、Srba 和Yeo 于1978年提出的，称为DHSY 模型。
.可编辑 下面通过一个具体的模型来说明它的结构：假设两变量X 与Y 的长期均衡关系为: Y t =a 0+a 1X t +m t由于现实经济中X 与Y 很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X 与Y 间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1)阶分布滞后形式t t t t t Y X X Y εμβββ++++=--11210由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS 法。
对上述模型适当变形得： t t t t t t t t t X Y X Y X X Y εμββμβμβεμββββ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-----∆=+--++∆+=∆----12101111211011)1()1()(.可编辑简记：t t t t t X Y X Y εααλβ+---∆=∆--)(11011该式称为一阶误差修正模型(first-order error correction model)。
