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四年级秋季班第六讲 周期问题

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位应该是 9 拓展 2 （第七届希望杯培训试题） 若 2008 示 2008 个 2009 连乘，则 2008 分析 ： 2009
2008
2009
2009
表示 2009 个 2008 连乘，2009
2008
表
2009
2008
的个位数是几？
的个位，和 9
2008
的个位相同。9 的乘方的个位是按照 9、1 这样
总结：数列规律不明显时，考虑问题时可从数的奇偶性或余数等方面入手。
四、 乘方个位的规律
练习 6 2007 个 2 连乘 2 2 2 2 ，乘积的末位是几？ 分析： 2 的乘方，个位依次是：2,4,8,6,2，4,8,6，„„4 个一循环。
2007 4 501 (组) 3 （ 个 ）
291
291
2
91
91
的个位数字。
2
的个位数字与 17 8 的个位相同，等于 9。
总结：乘方个位的三点性质： （1） 任何一个自然数的乘方， 个位都是由其个位数字乘方得到的。 例如， 123 的 10 次方的个位，与 3 的 10 次方的个位相同。 （2） 0,1,5,6 的任何次方的个位数字仍是它本身。例如，365
二、三。下表列出各个月的 1 号的相关信息：
月份 1 号是第
2 32
3 60
4 91
5 121
6 152
7 182
8 213
9 244
10 274
11 305
12 335
几天 除以 7 的 4 余数 1 号的星 期数 日 日 三 五 一 三 六 二 四 日 二 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6
10 月 1 号是第 274 天，274 除以 7 的余数是 1，所以，10 月份的第一天也是 星期四。 3 月 1 号是星期日，3 月份有 31 天， 所以 3 月有 5 个星期日； 5 月 3 号是星期日，5 月份有 31 天，所以 5 月有 5 个星期日； 8 月 3 号是星期日，8 月份有 31 天，所以 8 月有 5 个星期日； 11 月 1 号是星期日，11 月份有 30 天，所以 11 月有 5 个星期日。
四年级秋季班第六讲
李拉娜
lilana927@hotmail .com
三、数列的规律
练习 5 在下面的一串数 1,9，9，9,8,5,1,3,7，6,7,3,3,9,2,7,1,9,9,6，„„ 中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数 中，能否出现相邻的四个数一次是 2、5、9、 8？ 分析：观察发现这串数的奇偶性为：奇、奇、奇、奇、偶、奇、奇、奇、奇、偶、 奇、奇、奇、奇、偶、奇、奇、奇、奇、偶„„，即 5 个数一周期，四奇一偶循 环出现。那么这串数中任意的两个偶数之间至少间隔 4 个奇数。而 2、5、9、8 中偶数 2 和 8 之间只有两个奇数，所以不能出现。
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李拉娜
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1988-4-8 星期五
1989-4-8 星期六
1990-4-8 星期日
1991-4-8 星期一
1992-4-8 星期三
1993-4-4 星期四
1994-4-8 星期五
其中， 1992 年是闰年， 这时候就是 367 7 52 ( 周) 3 （ 天 ） ， 应该往后顺延 2 天。 1988 年之后，1994 年 4 月 8 日才首次又是星期五。
二、 日期的规律
日期问题是周期问题的一个重难点，更是各种杯赛的常考点。 周期问题均是 从一个排列出发，寻找规律。对于日期问题，我们可以这样处理：把已知的日期 作为第一天，把日期按照先后顺序排成一列，7 天是一个周期，按这样的周期分 组。日期问题迎刃而解。 练习 3 （第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第 1 试，第 2 题，6 分） 2009 年 1 月的月历如图 1 所示， 则 2009 年的 “六一” 儿童节是星期 。
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李拉娜
lilana927@hotmail .com
1 8 8
就是 2008
2009
2009
2008
的个位。
91 291 拓展 3 求 2 3 的个位数字。
分析 ：2 的乘方，个位依次是：2,4,8,6,2，4,8,6，„„4 个一循环。
91 4 22 (组) 3 （ 个 ）
练习 4
已知 1988 年 4 月 8 日是星期五，在此之后的哪一年，4 月 8 日才首次
又是星期五？ 分析：从 1988 年 4 月 8 日开始算，至 1989 年 4 月 7 日是一整年，共 365 天。 那么 89 年的 4 月 8 日是第 366 天。 366 7 52 ( 周) 2 （ 天 ） 。 此时一个周期是： 五、六、日、一、二、三、四。即 1989 年 4 月 8 日是星期六，往后顺延了 1 天，以此类推：
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李拉娜
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第六讲 周期问题
知识框架
枚举找规律
解决周期问题的常规方法 观察能力
日期的规律
算头也算尾，注意周期的变化 观察能力、总结归纳能力
数列的规律
经常从奇偶性、余数的角度找规律 探索能力
乘方个位的规律
任何自然数的乘方个位数字4个一周期 总结归纳能力 一、 枚举法找规律
周期问题的出题方式经常是非常简练， 问题总是比较突兀地让我们来求一个 很大的数。找规律是最关键的一步，这时候枚举法起到了重要的作用。 练习 2 有一个一千位数，它的各个数位数字都是 1，问这个数被 7 出的余数是 几？ 分析： 一千位数太大了， 我们不可能直接拿这个数本身去除 7。 先看数位少点的：
152 7 21 ( 周) 5天 ，那么“六一”应该是周期的第 5
天，也就是星期一。
总结： （ 1）计算日期时，算“头”也算“尾” ，也就是第一天算上，最后一天也要算上。 （ 2）一个周期为 7 天， “头”是星期几，周期就是从星期几开始算。
日期的几个小知识点： （1） 平年 365 天，闰年 366 天。闰年的计算方法：四年一闰，百年不闰，四百 年又闰。 （2） 大月 31 天：1 月，3 月，5 月，7 月，8 月，10 月，12 月。小月 30 天：4 月，6 月，9 月，11 月。特殊月：平年 2 月 28 天，闰年 2 月 29 天。 （3） 平年头尾相同。
从以上的分析我们可以看到，求一个排列中的某一项时，靠枚举法罗列到 所求的位置是不可取的，我们要从已知条件出发找到此排列的规律，若是循环 出现的话，就是一个周期问题。循环出现，我们就可以分组，一个周期是一组： 若从头开始就是呈周期出现的，可通过算式 序号÷一个周期中元素的个数 （1）没有余数时，所求的某一项就是一个周期中的最后一个。 （2）有余数时，所求的就是一个周期中的第余数个，如余数是 6，就是周期中 的第 6 个。 若周期不是从头开始的，则要把无关的元素去掉，这时候算式就变成： （序号—无关的个数）÷一个周期中元素的个数。
2008
的顺序 2 个一循环。 2008 2 1004 (组) ， 2009
2008
2009
的个位是 1。
的个位，和 8
2009
的个位相同。8 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ乘方的个位是按照 8、4、2、6 这样
2009
1个 ） 的顺序 4 个一循环。 2009 4 502 (组) （ ， 2008
的个位是 8。
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李拉娜
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知识储备
客观世界中存在着一些数、 图形和事物， 它们的变化是周而复始循环出现的， 我们把具有这种规律性的问题称为周期问题。 找到规律是解决周期问题最核心的 一步。周期问题在近年来杯赛中出现较为频繁，09 年的迎春杯、希望杯都出现 了这类题型。 练习 1（第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第 1 试，第 10 题，6 分） 奥运商品展卖厅的厨窗里放了 100 个福娃，从左向右依次是：
，那么 2007 个 2 连乘时，个位应该是 8。
拓展 1 2006 个 123 连乘的得数的个位是几？ 分析： 123 的乘方的个位， 和 3 的乘方的个位相同。 3 的乘方的个位是按照 3、 9、
（ 个 ） ，2006 个 123 连乘时个 7、1 这样的顺序 4 个一循环。 2006 4 501 (组) 2
365 7 52 ( 周) （ 1天 ）
， 那么平年的最后一天与第一天相同， 也就是说，
1 月 1 日是星期几，12 月 31 日就是星期几。 （4） 平年中，只有 1 月 1 日是星期几，这一年中这个星期几就有 53 个，其余 星期几只有 52 个。 （5） 对于大月， 31 7 4 ( 周) 3天 ，当月 1 号、2 号、3 号是星期几，这三个 星期几在这个月中共有 5 个，其它的星期几只有 4 个。 （6） 对于小月，30 7 4 ( 周) 2 天 。当月 1 号、2 号是星期几，这两个星期几 在这个月中共有 5 个，其它的星期几只有 4 个。
总结： 第二年的同一日期， 星期几往后顺延一天 （平年） 或两天 （闰年） 。
拓展（第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 10 分第二大题）2009 年的 元旦是星期四，问：在 2009 年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有 5 个星期日？ 分析 把 2009 年的元旦看做第一天，这时候的周期是：四、五、六、日、一、
图1
分析：把 2009 年 1 月 1 日看做是第一天，根据 1月 31 2月 28 3月 31 4月 30 5月 31
四年级秋季班第六讲
李拉娜
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2009 年的“六一”儿童节应该是第 31+28+31+30+31+1=152 天。把这 172 天分成 七天一组，每组中的排列都是：四、五、六、日、一、二、三，这就是一个周期。

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四年级奥数-周期问题-教案

四年级奥数-周期问题-教案

周期问题教案教学目标：1、使学生了解很多事物变化的周期性，掌握事物变化的周期；2、使学生能掌握周期问题中的基本概念，对于较复杂的周期问题，能够通过画图，计算等方法分析，找出周期，达到解决问题的目的。

教学重难点：理解周期问题意义，掌握准确需寻找周期数的方法与解决周期问题的公式，如何使用总量除以周期，并区分是否有余数。

教学过程：情景导入：《老和尚和小和尚的故事》从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说：“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说……”从而揭示周期问题的概念：在日常生活中，同样有一些现象按照一定规律周而复始，持续重复出现，我们把这种特殊的规律问题称为周期问题。

归纳定义：在日常生活中，有很多现象都是按照一定的规律、依次持续重复出现的，我们把这种现象叫做周期现象，而重复出现一次的个数叫做周期。

专题简析：在日常生活中，有一些现象按照一定的规律持续重复出现，例如，人的生肖、每周的七天等等。

我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。

解答周期问题的关键是找规律，找出周期。

确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，能够从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算。

例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。

（1）□△□△□△□△……（2）□△△□△△□△△……分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20÷2=10，即“□△”重复出现10次，所以第20个图形是△。

第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现，20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△”，所以第20个图形是△。

练习一（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜色？第112只呢？例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。

学而思讲义四年级第六讲(周期问题)

学而思讲义四年级第六讲(周期问题)


当于问 2008 个 8 相乘的末位数字。
8
82
83
84
85
末位 8 4 2 6 8
……
发现 8n 的尾数是 8,4,2,6 四个数一周期循环，那么 20082008 的尾数就用 2008÷4=502（组），应
该是周期中的第 4 个，即尾数是 6。
（尖子）学案 3 2011 个 2 连乘 2×2×……×2，乘积的末两位数是几？ 解析：同前面的题类似，我们肯定也是去找规律，注意题目问的是末两位，那么就找末两位 的规律。同学们自己试试看，找出规律如下： 02,04,08,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52,04,08,16，……除了 第一个 02 外，每 20 个数为一周期循环。 （2011-1）÷20=100（组）……10（个） 那么应该是 48。
2010 年四年级秋季班 第六讲 周期问题
程雪
第六讲 周期问题
一、周期问题 周期现象指重复现象，所以当我们遇到有重复现象时可用周期问题解决。
二、解答思路 1、判断是否是周期现象。（几个重复一次周期就是几）。 2、用除法算式来表示周期现象:
总数 ÷ 周期 = 组数 ……
余数
3、根据除法算式想象排列图 4、根据要求求解。
当然我们也可以计算，如果每年都是 364 天，即都是整好的 52 周，那来年的同一日与上一年 的同一日一定是一样的星期几。可是每年都多出来 1 天或 2 天，我们把这些零碎的天数凑在 一起，如果能凑成完整的星期不也可以吗？ 1999 年 2000 年 2001 年 2002 年……
1 + 2 + 1 + 1 +1+2+1+1+1+2+1=14（天） 注意：7 天也是一个完整的星期，可是“7“跳过去了。所以我们要找 14。 以上有 11 个年头的零碎天，所以年头数要加 11 1998+11=2009（年）
周期问题(课件)-2024-2025学年四年级上册数学苏教版

周期问题(课件)-2024-2025学年四年级上册数学苏教版

公元1960年到公元2000年，一共是:20001960+1=41（年）；
每12年一个周期:
41÷12=3（组）5（个）
因为公元1960年是鼠年，所以2000年是一个周期中的 第5年，也就是龙年。
计算连续自然数的个数: 1.尾数－首数+1 2.减补思想:先从1补全，再减去补上的数
有一列数:1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5， 7，…第84个数是多少？
田田写了一列数:6，4，7，1，2，6，4，3，7， 1，2，6，4，3，7，1，2，6，4，3，7，…由 此推断第2016个数是_________
[解析]
6,4,7,1,2,6,4,3,7,1,2,6,4,3,7,1,2,6,4,3,7,....
这串数列不是从第1个数，而是从第3个数开始不 断循环出现的，7, 1, 2, 6, 4, 3不断循环出现，所 以周期是从7开始，6个数一个周期;除去6，4这2 个数可得到周期总数:
2÷7的商的小数点后面第2018位上的数字是多少？
牛牛放学回家的路上看到一商店“友朋小吃”,于是正 着念完了接着反着念,反着念完了又正着念，越念越来 劲儿,如果大家说出牛牛念的第100个字是什么,牛牛就 会停下来了,快来试试吧!
【解析】枚举牛牛念的字找规律：
友朋小吃吃小朋友友朋小吃吃小朋友友朋小吃吃小朋 友…(8个字一个周期)
二组“B京”, 问第二十组是什么?
解析： 方法一:分行找周期 ABCABCABCA…这一行三个字母一个周期, 第二十个字母是:20÷3=6(组)……..2(个) 所以第二十组的第一个字母为一个周期的第二个,即“B”。 北京冬奥会北京冬奥会…这一行是五个字一个周期,第二十个字为 20÷5=4(组) 所以第二十组的第二个字为一个周期的最后一个,即“会”。 所以第二十组是“B会”。
四年级下册数学【说课稿】-找规律——周期问题 苏教版

四年级下册数学【说课稿】-找规律——周期问题 苏教版

四年级下册数学说课稿-找规律——周期问题苏教版一、前言数学是一门非常重要的学科，也是一个需要具备长期坚持和不断积累的学科。

在学习数学的过程中，很多学生会遇到类似于找规律、解方程等问题。

本文将介绍四年级下册数学中的找规律——周期问题。

二、找规律找规律是数学中一个非常重要的环节，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解决问题的能力。

找规律既可以用图形来表示，也可以用数字来表示。

在四年级下册中，学生要掌握的就是用数字的方式来找规律。

这时需要通过观察一些数列，然后推出它们的规律，最后得到一般项公式。

例如：已知数列：3，6，9，12，15……观察这个数列，我们将每个数都除以3，得到新的数列：1，2，3，4，5……新的数列恰好是一个等差数列，公差为1，首项为1。

所以原数列的通项公式也就是：a n=3n三、周期问题如果一个数列按照某个规律重复出现，那么就可以称这个数列是具有周期性的。

在四年级下册数学中，我们要解决的就是具有周期性的数列问题。

在处理周期性的数列问题时，首先需要确认这个数列是否具有周期性。

例如：已知数列：1，2，3，4，1，2，3，4……可以发现该数列是按照1，2，3，4的顺序重复出现的，因此该数列具有周期性。

确定了数列具有周期性之后，我们需要知道它的周期，也就是数列重复出现的长度。

例如：已知数列：1，2，3，4，1，2，3，4……可以看到该数列重复出现的长度为4，因此该数列的周期为4。

了解了数列的周期，我们就可以通过找规律来推出数列中每一项的值。

这可以通过以下步骤来完成：1.找到数列的一般项公式2.将该公式中的n值替换成$n\\bmod p$，其中p为数列的周期例如：已知数列：2，4，1，3，2，4，1，3……首先确定该数列的周期为4。

因此，我们需要找到这个数列的一般项公式。

可以发现该数列的规律为每隔4个数重复出现。

因此，该数列的一般项公式为：a n=a n−4然后我们将公式中的n值替换成$n\\bmod 4$，得到：$$a_{n}=a_{n\\bmod 4}$$因此，当n为0，1，2，3时，分别对应的项数为2，4，1，3。