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i
k ( x2 y2 ) 2f
k k 2 2 i ( x y ) i ( x2 y2 ) 1 2 d1 2f f ( x , y ) * e P ( x , y ) e d1
光波由P3平面到P4平面：P3面到P4面的菲涅耳衍射结果； P4面上的光波场分布为：
为物函数与成像系统脉冲响应函数的叠加积分；
g ( xi , yi )
f ( x0 , y0 )h( x0 , y0 ; xi , yi )dx0dy0
只要能够确定成像系统的脉冲响应函数，就能完备的描述该 成像系统的性质。
( x0 , y0 ) h( x0 , y0 ; x1, y1 )
积分形式为
1 g ( x, y ) 2 d1d 2 e
i k ( 2 2 ) 2f
e
i
f ( , )e
i
k ( )2 ( ) 2 2 d1
P( , )
k ( x )2 ( y ) 2 2 d2
物后表面上的光场分布：
物(的透过)函数
fA i 2kd ( x2 y2 ) gi ( x, y ) e f ( x, y ) P d
f d
f x, d y
物面被照明部分 的孔径函数
从物后表面到透镜后焦面可视
为菲涅尔衍射过程，则：
A
gi(x,y) gt(x,y) gf(x,y) d
fA -i 2kd ( x2 y2 ) i 2kd ( x2 y2 ) f f g ( x, y ) e f ( x, y ) P d x, d y e d
§3.0 概述
光学成像系统最基本的元件：透镜
透镜能使人们在较近的距离观察到物体的远场衍
射图样。
透镜能够改变光波的空间位相分布，即透镜具有
透镜可以用来实现物体的傅立叶变换。透镜的这
对透射光波进行空间位相调制的能力。
一性质是光学模拟计算方法的基础，也是相干光学 信息处理方法的基础。
§3.1 薄透镜的作用
一、薄透镜的位相调制作用
为研究透镜对入射波前的作用，引入透镜的复振幅透过率：
PL ( x, y ) U 2 ( x, y ) U1 ( x, y )
P1 P2 U2(x,y) I d1 d2
U1(x,y) O
透镜能将一点成像到另一点处。
o点发出的球面波到达P1平面上某点(x, y)时，其复振幅可表 示为(A为紧靠透镜表面的光场振幅)：
位相弯曲
傅立叶谱
物面不同位置讨论
（1）物体位于透镜前焦面时，透镜后焦面上得光场分布为：
g ( x, y) 1 i f F ( fx , f y )
物体位于透镜前焦面时，透镜后焦面上将得到物函数的准确
的傅立叶变换。
（2）物平面紧靠透镜前表面时透镜后焦面上的光场分布为：
P1, P2 P3 gi(x,y)
出瞳：孔径光栏通过它后面的光学系统所成的像。
孔径光栏、入瞳和出瞳存在互为物像关系。
衍射受限系统：指系统可以不考虑像差影响，仅仅考虑 光瞳产生的衍射限制； 衍射受限系统：当像差很小，或者系统的孔径和视场都 不大，实际光学系统就可以近似看作是衍射受限系统；
衍射受限系统的边端性质：物面上一点光源发出的发散
物面上点发出的都可以 经过透镜的最大空间频率
分量为：
物面上点发出的光被透 镜完全挡住的最小空间频
Dd f max ( f ) 2
率（截止频率）：
如图，透镜焦距 40 厘米， d=2 厘米 , D=5 厘米 , 波长为 500 纳米， d1=60厘米，求 1）物面上点发出的都可以经过透镜的最大空间频率； 2）物面上点发出的光被透镜完全挡住的最小空间频率。
透镜的复振幅透过率可表示为：
U 2 ( x, y) A2 d1 ik ( d1 d2 ) i k2 ( d11 d12 ) x2 y 2 PL ( x, y) e e U1 ( x, y) A1d 2
忽略透镜表面的反射损耗，显然
A2 d1 1 A1d 2
略去与x, y无关的常数因子，透镜的复振幅透过率可得：
d d d d
若观测屏处于透镜后焦面，且不考虑透镜孔径的影响， 有d2=f, P(x, y)=1, 于是整理得
g ( x, y )
1 i f
e
i
d k (1 1 )( x 2 y 2 ) 2f f
F ( fx , f y )
fx x / f fy y / f
孔径函数 （振幅）
相位函数
孔径函数
1 P( x, y ) 0
x 2 y 2 r0 x y r0
2 2
r0为透镜孔径
二 透镜的傅立叶变换性质
单色平面光波垂直照明
y
P1
x
P2 P3
L
y
P4
x O2
O1
f(x,y)
fl(x,y) f’l(x,y)
g(x,y)
考虑光波由 P1 平面到 P2 平面：物函数对入射光波的菲涅
其光强分布为
2 2
2 1 I ( x , y ) g ( x, y ) F ( fx, f y ) f
仍可在后焦面上得
到傅立叶功率谱。
（3）物体位于透镜后时，通过物的光波是会聚波，物面上 光强和它离后焦面的距离d有关。物面上光场可表示为
fA i 2kd ( x2 y 2 ) g i ( x, y ) e d
第三章 光学成像系统的频 率特性
主讲人：徐世祥
本章主要内容： 光波通过透镜的位相分布； 透镜的傅立叶变换特性； 透镜孔径对傅立叶变换的影响； 衍射受限系统的点扩散函数、成像规律； 相干传递函数、光学传递函数； 有像差系统的传递函数； 相干与非相干成像系统的比较。 本章的教学目的与要求： 掌握光波通过透镜的位相分布； 掌握透镜傅立叶变换特性及孔径对傅立叶变换的影响； 掌握衍射受限系统的点扩散函数、物象规律； 掌握传递函数的物理意义及传递函数的计算。
球面波入射到入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的会聚球 面波；
像差系统的边端性质：点光源发出的发散球面波入射到 入瞳上，出瞳处的波前明显偏离理想球面波。偏离的程
度可由波像差描述，它决定于透镜组本身的物理结构。
二 衍射受限系统的点扩散函数
研究光学系统的核心任务就是求系统的点扩散函数。 成像系统是线性系统，其像平面上的光场复振幅分布可写
物放在透镜后，在后焦面上仍可以得物的傅立叶谱，仅多一
位相因子。强度分布仍然是物的功率谱。
2 fA I ( x, y) g ( x, y) 2 F ( f x , f y ) , d 2 2
fx
x y , fy d d
而且
dD x x y d 2f y 1, x P f , f d d 0,
如果物面全部被照明，且令 P(fx/d,
fy/d )=1, 透镜后焦面上光场分布为：
Lens
f(x,y) f
fA -i 2kd ( x 2 y 2 ) i 2kd ( x 2 y 2 ) fA g ( x, y ) e f ( x, y ) e 2 d d
k k k i ( x2 y2 ) i ( x2 y2 ) i ( x2 y2 ) 1 2 d2 2 d1 2f g ( x, y ) 2 f ( x , y ) * e P ( x , y ) e * e d1d 2
k ( x2 y 2 ) 2 d1
A1 ikd1 U1 ( x , y ) e e d1
i
P2平面上复振幅可表示为：
i k ( x2 y 2 ) 2 d2
A2 ikd2 U 2 ( x, y ) e e d2
结合成像关系，假 如U1(x,y)经透镜变 换后成为 U2(x,y)
2 2 2
y D f f
2
x y D f f d d 2 else
2
小结：
1）无论物放在透镜前还是后，在透镜的后焦面上都可以得到 物的傅立叶变换功率谱。 2）物紧贴透镜前或后，在透镜的后焦面上得到相同的场分布。 3）值得注意的是，当物放在透镜后时，由于
f ( , )e
-i
k k 2 2 ( 2 2 ) i ( x ) y 2d 2d
e
d d
fA i 2kd ( x 2 y 2 ) e F( fx, f y ) 2 d
f x x / d f y y / d
耳衍射；P2面上的光波场分布为：
1 f l ( x, y ) f ( x, y ) * e d1
i
k ( x2 y2 ) 2 d1
光波由P2平面到P3平面： P2平面的光波场乘以透镜的透 过率函数； P3面上的光波场分布为：
f l( x, y ) f l ( x, y ) P( x, y )e
即将物函数看成无穷多个 (x0-, y0-)函数的集合。
显然对于物面点(, )
g ( xi , yi )
(x
0
, y0 )h( x0 , y0 ; xi , yi )dx0dy0 h( ,; xi , yi )
