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压缩感知稀疏贝叶斯算法
压缩感知是一种信号处理方式，其基本思想是通过采集少量的信号样本，然后通过某种算法重构出原始信号。
稀疏贝叶斯算法是压缩感知中的一种重要方法，它利用贝叶斯估计理论来恢复稀疏信号。
压缩感知的基本模型可描述为：y = Ax + v，其中y为观测到的信号，A为M×N的感知矩阵，x为N×1维的待求信号，v为M×1维的噪声向量。
稀疏贝叶斯学习则是在压缩感知的基础上引入了贝叶斯估计理论，用于恢复稀疏信号。
具体来说，稀疏贝叶斯学习将信号建模为一个稀疏的概率图模型，然后通过贝叶斯公式来求解最优的信号值。
然而，传统的稀疏贝叶斯算法在存在噪声的情况下，其恢复效果可能不佳。
为了解决这个问题，研究者们提出了结合自适应稀疏表示和稀疏贝叶斯学习的压缩感知图像重建方法。
此外，还有研究者提出基于块稀疏贝叶斯学习的多任务压缩感知重构算法，该算法利用块稀疏的单测量矢量模型求解多任务重构问题。
这些改进的方法都在一定程度上提高了压缩感知的性能。
压缩感知稀疏分解1、 压缩感知压缩感知是一种新的信息获取理论，是建立在信号稀疏表示、测量矩阵的非相关性以及逼近理论上的一种信号采集和重建的方法。
该理论2004年由Donoho 等人提出，2006年发表正式论文。
与基于奈奎斯特定理的传统采样方式不同，该理论指出，只要信号是稀疏的或者在某个基下是可压缩的，就可以通过远低于奈奎斯特采样定理要求的采样率获取信号的结构信息，再通过重构算法完成信号的精确重构。
压缩感知理论主要包括两个部分：将信号在测量矩阵上投影得到观测值以及利用重构算法由观测值重构信号。
设x 是一个长度为N 的信号，x 在变换域Ψ内K 稀疏，即：x ψθ=(1)式中Ψ为稀疏变换基。
通过与稀疏变换基Ψ不相关的测量矩阵Φ将高维信号x 投影到低维空间y 上，即：y x A ΦΦψθθ=== (2)式中y 为观测向量，Φ为测量矩阵，A=ΦΨ为传感矩阵。
重构的关键是找出信号x 在Ψ域中的稀疏表示，可以通过l 0范数优化问题找到具有稀疏结构的解：min ..T xs t y x ψΦ= (3)由于式（3）的优化问题是一个难求解的NP-hard 问题，所以可以用l 1约束取代l 0约束：1min ..T xs t y x ψΦ= (4)2、 稀疏的概念对于长度为N 的向量（实际上是指一个N 维离散离值信号）来说，它的N 个元素值只有K 个是非零的，其中K <<N ，这时我们称这个向量是K 稀疏的或者说是严格K 稀疏的；实际中要做到严格K 稀疏不容易，一般来说，只要除了这K 个值其它的值很小，我们就认为向量是稀疏的。
3、稀疏分解用不同的稀疏基对测试信号进行稀疏分解，设定阈值，小于阈值的系数视为0，比较信号在各稀疏基下的稀疏度。
常见稀疏基有离散傅里叶基（FFT）、离散余弦变换基（DCT）、离散正弦变换基（DST）、离散哈特莱变换（DHT）、离散W变换。
（1）仿真1测试信号（信号长度N=1841）：表1 不同稀疏基下测试信号稀疏度FFT DCT DST DHT Wc=0.01 1313 1468 1657 1473 1477c=0.05 311 490 1107 494 487c=0.1 183 220 945 218 221 （2）仿真2测试信号（信号长度N=300）：表2不同稀疏基下测试信号稀疏度FFT DCT DST DHT W c=0.01 230 247 275 250 249 c=0.05 51 77 200 103 98 c=0.1 33 38 170 46 45 （3）仿真3测试信号（信号长度N=300）：表3不同稀疏基下测试信号稀疏度FFT DCT DST DHT W c=0.01 298 223 289 279 296 c=0.05 188 31 247 197 241 c=0.1 1112207120114（4） 仿真4测试信号（信号长度N =300）：表3不同稀疏基下测试信号稀疏度FFT DCT DST DHT W c=0.01 189 221 263 230 227 c=0.05 15 31 184 70 73 c=0.13616019184、 离散余弦变换迭代次数与重构成功概率关系（1） 仿真1信号长度400，迭代次数20至100，间隔为5。
生物医学信号处理中的稀疏表示与压缩方法研究一、引言近年来，生物医学信号处理中的稀疏表示与压缩方法成为了一个热门的研究领域，其应用涉及生物医学工程、电子工程、计算机科学等多个领域。
稀疏表示与压缩方法的研究旨在通过降低信号的冗余度，减少信号传输和保存所需的存储空间，从而提高信号处理的效率和准确性。
本文将从稀疏表示和压缩方法两方面探讨生物医学信号处理中的研究现状、应用场景以及未来发展趋势。
二、生物医学信号处理中的稀疏表示稀疏表示是指通过使用尽可能少数量的基向量来表示信号，以达到降低信号冗余、节省存储空间和提高信号处理速度的目的。
稀疏性表示方法在生物医学信号处理中得到了广泛应用，其中最常用的是基于小波变换的稀疏表示方法。
小波变换是一种多分辨率分析方法，将信号分解为不同频率的子带，使得高频细节和低频趋势可以分开处理。
在小波变换中，离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）是两种常用的变换形式。
离散小波变换通过一系列的卷积和下采样操作，将信号分解为不同的频带。
离散小波变换可以通过选取不同的小波基函数来实现不同的分解效果，例如Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
连续小波变换通过对信号进行连续的卷积和下采样操作，将信号分解为不同的频带。
连续小波变换主要有基于Morlet小波和基于Mexican hat小波的两种形式。
基于小波变换的稀疏表示方法广泛应用于生物医学信号处理中，如心电信号、脑电信号、语音信号等。
稀疏表示方法可用于信号的去噪、信号的高频补偿、信号的特征提取等方面，具有较好的效果和广泛的应用前景。
三、生物医学信号处理中的压缩方法压缩方法是指通过对信号进行编码压缩，以降低信号保存和传输所需的存储空间和带宽。
在生物医学信号处理中，压缩方法主要应用于图像和视频数据的压缩，例如医学影像数据、生物实验视频等。
基于压缩感知理论的压缩方法是当前比较流行的压缩方法之一。
压缩感知理论通过研究信号的稀疏表示，提出了一种数据压缩和重构的方法。
陆吾生教授短期课程“压缩感知方法及其在稀疏信号和图像处理中的应用”资料1. 课程介绍_压缩感知方法及其在稀疏信号和图像处理中的应用.doc2. 陆吾生教授短期课程“压缩感知方法及其在稀疏信号和图像处理中的应用”的讲义Lecture_Notes_CS_LWS_Final.pdf3. 各章所涉及到的Matlab程序Main functionsMain functions.zip（内含 ex3_1.m (for Example 3.1)ex3_2.m (for Example 3.2)gp_denoise.m (for Algorithm GP in Sec.3.2)fgp_denoise.m (for Algorithm FGP in Sec.3.2)gp_deblurr.m (for Algorithm GPB in Sec.3.3) )Auxiliary functionsAuxiliary functions.zip（内含gen_dct.m oper_L.m oper_Lt.mproj_bound.m proj_pair.mgp_denoise_w.m）DataData.zip（内含camera256.mat 及 lena256.mat）4. 陆吾生“压缩感知方法及其在稀疏信号和图像处理中的应用”课程（1A-6B）上课录像Lecture_LWS_1A.rmvb 2010.11.09.(220M)Lecture_LWS_1B.rmvb 2010.11.09.(231M)Lecture_LWS_2A.rmvb 2010.11.11.(252M)Lecture_LWS_2B.rmvb 2010.11.11.(193M)Lecture_LWS_3A.rmvb 2010.11.12.(225M)Lecture_LWS_3B.rmvb 2010.11.12.(200M)Lecture_LWS_4A.rmvb 2010.11.16.(239M)Lecture_LWS_4B.rmvb 2010.11.16.(169M)Lecture_LWS_5A.rmvb 2010.11.18.(239M)Lecture_LWS_5B.rmvb 2010.11.18.(226M)Lecture_LWS_6A.rmvb 2010.11.19.(256M)Lecture_LWS_6B.rmvb 2010.11.19.(224M)5. 陆吾生教授2010.11.17.在上海大学所做的学术报告，题为：Reconstruction of Sparse Signals by Minimizing a Re-Weighted Approximate L_0-Norm in the Null Space of the Measurement Matrix报告录像报告的ppt文件论文的全文陆吾生教授短期课程资料(2007)。
信号处理中的稀疏表示技术研究信号处理是一个非常广阔而重要的研究领域，其中涵盖了大量的技术和理论。
而稀疏表示技术则是其中最为重要的技术之一。
今天，我们将深入探讨什么是稀疏表示技术，以及它在信号处理中的应用。
什么是稀疏表示技术稀疏表示技术是指利用少量非零系数来近似表示一个向量或矩阵的技术。
它被广泛应用于信号处理、图像处理、计算机视觉和机器学习等领域，并且已经成为了这些领域中的基础性技术之一。
在稀疏表示技术中，我们假设我们的信号可以表示为向量x的线性组合，而这个向量只有很少的非零系数。
这种假设在实际中非常常见，因为大多数信号都是由少量的基函数或原子组合而成的。
比如说，可以将图像表示为少量的基函数（如小波基）的线性组合。
利用这种假设，我们可以通过优化问题来求解最优的系数向量，从而实现对信号的稀疏表示。
具体来说，稀疏表示问题可以表示为以下形式：minimize ||x-Da||_2subject to ||a||_0 <= k其中，x是我们想要表示的信号，D是表示信号的原子库，a是系数向量，k是我们想要的非零系数的数量。
在这个问题中，我们通过最小化表示误差来求解最优的系数向量a，同时限制a中非零元素的数量不超过k个，从而实现稀疏表示。
稀疏表示技术在信号处理中的应用稀疏表示技术在信号处理中有着非常广泛的应用，下面我们将详细介绍其中的几个方面。
1. 压缩感知压缩感知是一种利用稀疏表示来实现信号压缩的方法。
它通过使用较少的测量样本（比如说，对信号进行采样）来重构完整的信号。
具体来说，压缩感知算法可以表示为以下形式：minimize ||a||_1subject to y = Ax其中，a是系数向量，y是我们的测量向量，A是测量矩阵，x是原始信号。
这个问题可以通过基于稀疏表示的算法来求解，比如说OMP（正交匹配追踪）和MP（匹配追踪）算法等。
2. 图像处理稀疏表示技术在图像处理中有着广泛的应用。
通过将图像表示为稀疏系数向量的形式，我们可以实现对图像的降噪、去模糊、超分辨等操作。
基于压缩感知技术的稀疏信号恢复算法引言：稀疏信号恢复是当今信号处理领域中一个重要的研究方向。
在许多实际应用中，信号通常以高维度的形式存在，并且只有很少的部分是真正有用的。
传统的信号处理方法通常会面临到诸如维数灾难等问题。
为了从这样的信号中提取有用的信息，压缩感知技术被提出。
本文将重点讨论基于压缩感知技术的稀疏信号恢复算法以及其应用。
一、压缩感知技术概述压缩感知是一种从高维度信号中采集和恢复稀疏表示的技术。
它通过将信号压缩为远远低于原始信号维度的测量，然后利用稀疏性进行恢复。
压缩感知技术的核心思想是通过非常少的线性测量，即使在高维度信号的情况下，也能准确地恢复出信号的原始表示。
该技术不仅在信号处理领域有着广泛的应用，还被应用于图像恢复、图形模型和机器学习等领域。
二、基于压缩感知技术的稀疏信号恢复算法1. 稀疏表示稀疏表示是压缩感知技术的基础。
通过选择适当的基向量，信号可以以较少的非零元素进行表示。
基于稀疏表示的信号恢复算法的目标是找到使得测量结果最佳的稀疏表示。
2. l1-Minimizationl1-Minimization是一种经典的稀疏信号恢复算法，通过将恢复问题转化为一个最小化l1范数的问题来实现。
该算法的目标是最小化误差项和l1范数的和，从而实现信号的稀疏恢复。
l1-Minimization算法简单、高效，并且能够保证信号恢复的准确性。
3. Orthogonal Matching Pursuit (OMP)OMP算法是一种迭代算法，通过不断地选择与残差最匹配的基向量来逐步重建稀疏信号。
该算法在每一步都选择最具代表性的基向量，并更新残差，直到满足停止准则。
OMP算法的优势在于它能够在较短的时间内实现准确的信号恢复，并且对噪声有较强的鲁棒性。
4. Compressive Sampling Matching Pursuit (CoSaMP)CoSaMP算法是对OMP算法的改进和扩展，可以更好地恢复具有大规模稀疏度的信号。
图像压缩中的稀疏表示技术随着数字化技术的发展，各种数字图像的应用越来越广泛。
然而，不可避免地需要在存储、传输和显示时对图像进行压缩以减少数据量。
图像压缩技术既能节约存储空间，又能提高传输速率和信号质量。
其中，稀疏表示技术是一种重要的压缩方式，下面将详细介绍。
一、稀疏表示的概念稀疏表示是指将一个信号表示为一组线性组合的形式，而这组线性组合只包含少量非零项。
换言之，一个信号的稀疏表达是指在某个给定基下，信号的绝大多数分量都是零，而仅有极少数个非零分量决定了信号的特征。
例如，针对图像信号，我们可以通过将图像表示为一些基本元素的和的形式来实现其稀疏表示。
这些基本元素可以是某种预定义的函数，例如小波函数、Haar函数等，也可以是从图像自身获取的特征向量，比如像素亮度或者梯度等。
然后，我们可以从这些基本元素中挑选出极少数个，将其系数非零化并保留，其他的则置为零。
二、基于稀疏表示的压缩方法基于稀疏表示的图像压缩方法通常包括以下三个步骤：1. 字典训练：针对某个图像集合，先构造一个基字典集合，通常用许多样本的稀疏表达的方式来学习。
2. 稀疏表示：对于待压缩的图像，定义一个稀疏约束问题，求解最优的系数向量。
稀疏约束问题通常是一个求解带约束的优化问题，例如 L1 正则化问题等。
3. 压缩重构：根据已有的基字典集和最优系数向量，通过线性组合的方式进行压缩重构。
最终的压缩重构图像可以进行解压和再次重构。
三、稀疏表示技术的优点相较于其他传统的压缩方法，基于稀疏表示的压缩方法具有以下优点：1. 较高的压缩比：在保证图像质量的前提下，可以实现更高的压缩比。
因为稀疏表达的原理是仅保留少量非零系数，从而大大压缩了原始数据的体积。
2. 更强的鲁棒性：稀疏表示压缩的基字典集合可以自适应地学习和更新，从而可以较好地适应数据的不同特征和变化情况。
同时，该方法还具有一定的对噪声和失真的鲁棒性。
3. 更广泛的适用性：基于稀疏表示的方法可以应用于各种不同类型的信号，如声音、图像、视频等，具有很好的通用性。
图像处理中的稀疏表示与压缩感知第一章：引言现代科技有着广泛的应用，而图像处理技术在其中扮演着越来越重要的角色。
稀疏表示和压缩感知是当前图像处理领域中备受关注的两个技术，能够帮助我们实现更高效且稳定的图像处理任务，极大地提升了图像处理的质量。
本文将就图像处理中的稀疏表示与压缩感知做一些讨论。
第二章：稀疏表示稀疏表示是一种通过构建少量的线性组合来表示特定信号或图像的技术。
我们可以用一些基本的元素来表示每一个信号，在这个过程中，使用到了如下的数学公式：Y=AXB其中 Y 是我们需要探测的信号，A 为测量矩阵，X 为稀疏的表示矩阵，B 为我们的观测值。
当 X是稀疏的时候，我们可以通过求解上述方程得到最佳的信号。
稀疏表示技术的应用也非常广泛，可以被用于诸如特征选取、信号压缩等图像处理任务。
第三章：压缩感知压缩感知是一种利用稀疏表示技术压缩数据的方法，其核心思想是在降低数据量的同时保留信息量和信噪比，从而实现图像压缩的目的。
对于正常的压缩算法，它们通常会丢失大量的数据，从而影响图像的整体质量。
而压缩感知正是通过稀疏表示技术帮助我们在压缩数据的同时保留更多重要信息，从而实现高质量的图像压缩。
在压缩感知中，测量矩阵可以在压缩图像前被预先定义。
这样的做法使得压缩和解压缩的过程都非常快速，同时，我们通过逆运算和稀疏表示技术可以保留更多重要信息，帮助我们获得更好的图像效果。
通过以上的论述，我们可以发现压缩感知技术的应用范围非常广泛，比如在通信、储存等领域中都得到了很好的应用。
第四章：应用举例稀疏表示和压缩感知都是非常有用的图像处理技术，在各种应用场景中都得到了广泛的应用。
下面我们具体来看一下这两类技术是如何被应用的。
4.1 面部识别面部识别是目前比较常见的一种应用场景，在这个过程中，主要通过人脸图片的处理来实现识别。
在这种情况下，稀疏表示可以被用于选择对于微笑、睁眼等表情的响应，从而帮助我们实现更加准确的面部识别。
4.2 信号遥感信号遥感可以被用于从远程设施获得数据。
数字图像处理中的稀疏表示和压缩感知算法研究引言数字图像处理是一门涉及数字图像获取、处理、分析和压缩等领域的学科，而稀疏表示和压缩感知算法是数字图像处理中的两个重要研究方向。
稀疏表示是指利用较少的非零系数来表示一个信号或图像，而压缩感知算法则是一种通过获取信号或图像的部分采样来重建完整信号或图像的方法。
本文将从理论和应用两个方面介绍数字图像处理中的稀疏表示和压缩感知算法的研究进展。
一、稀疏表示的原理与方法稀疏表示是一种能够用较少的非零系数精确表示信号或图像的方法。
其基本原理是信号或图像在某个稀疏基下，可以用尽可能少的基函数线性组合来表示。
常用的稀疏表示方法包括基于字典的稀疏表示和基于流形的稀疏表示。
1. 基于字典的稀疏表示基于字典的稀疏表示是指利用一个事先训练好的字典来表示信号或图像。
常用的字典包括小波字典、傅里叶字典和谱展开字典等。
基于字典的稀疏表示方法如正交匹配追踪（OMP）和最小L1范数（LASSO）等，通过求解优化问题来选取符合稀疏性的系数。
2. 基于流形的稀疏表示基于流形的稀疏表示是指将信号或图像看作是低维流形上的点，并利用流形的局部性质来进行稀疏表示。
常用的基于流形的稀疏表示方法包括局部线性嵌入（LLE）、局部保持投影（LPP）和拉普拉斯特征映射（LE）等。
二、压缩感知算法理论与方法压缩感知是一种通过采样和重建的方法实现信号或图像的压缩。
其基本思想是信号或图像在某个稀疏基下，可以通过较少的采样来恢复完整信号或图像。
常用的压缩感知算法包括稀疏重建算法、随机投影算法和迭代重建算法等。
1. 稀疏重建算法稀疏重建算法是指通过最小化稀疏表示系数的L1范数或L2范数来恢复信号或图像。
常用的稀疏重建算法包括基于BP（Basis Pursuit）的算法和基于OMP （Orthogonal Matching Pursuit）的算法等。
2. 随机投影算法随机投影算法是指通过随机映射将信号或图像投影到低维空间，并利用投影后的信息重建原始信号或图像。
压缩感知新技术专题讲座(二)第3讲 压缩感知技术中的信号稀疏表示方法X周 彬1,朱 涛2,张雄伟3(1.解放军理工大学指挥自动化学院研究生2队,江苏南京210007;2.中国人民解放军66242部队,内蒙古锡林郭勒026000;3.解放军理工大学指挥自动化学院信息作战系)摘 要:信号的稀疏表示是信号分析领域的基本问题,也是近几年兴起的压缩感知理论的基础。
文章首先分析了信号稀疏表示的基本原理,然后介绍了当前信号稀疏表示的主要方法,并重点阐述了基于过完备字典的稀疏表示方法及其在压缩感知中的应用,最后总结了稀疏表示所面临的问题和未来发展方向。
关键词:稀疏表示;压缩感知;字典学习中图分类号:T N 911.7文献标识码:A 文章编号:CN 32-1289(2012)01-0085-05Sparse Representation of Signals in Compressive SensingZH OU Bin 1,ZH U T ao 2,ZH A N G X iong -w ei 3(1.Postg r aduate T eam 2ICA ,PL A U ST ,Nanjing 210007,China ; 2.U nit 66242of P LA ,Xiling uole 026000,China; 3.Depar tment of I nfo rm atio n O peration Studies ICA ,PL A U ST )Abstract :T he sparse representation is a basic problem in signal analy sis field and also thebasis o f the new emerging compressiv e sensing theory .The definitio n and principles of the sparserepresentation w ere firstly reviewed.And then some m ain m ethods o f the sparse representation,especially those based on the overco mplete dictionary w er e inv estig ated .The applications of thesparse repr esentation in CS w er e discussed.Some problem s to so lve were given and further devel-opm ent w as pointed out .Key words :sparse representation;com pressive sensing ;ov ercomplete dictionary 随着现代传感器技术的发展,许多领域面临着日益膨胀的海量数据,如地球物理数据、视频数据、天文数据、基因数据等。
如何实现对这些数据更为灵活、简洁的表达已成为一个倍受关注的问题。
传统的信号表示方法通常是基于正交基(如傅里叶基,小波基)的展开。
为了实现信号的灵活、简洁和自适应的表示,一种更好的信号分解方式是根据信号本身的特点,自适应地选择合适的基函数,来完成信号的分解,从而得到信号的一个非常简洁的表达,即稀疏表示。
由于信号的稀疏表示能在一定程度上自然地贴近信号的本质特征,因而对稀疏分解的研究有极其重要而深远的理论意义和广泛的应用价值。
目前,稀疏表示被广泛应用于信号处理和图像处理的各个领域,如图像压缩、音频压缩、噪声抑制、盲信号分离、地震数据处理、系统辨识、雷达成像处理等等。
尤其是近年来新兴起的压缩感知(com pressed sensing)理论[1,2],其优点就是针对可稀疏表示的信号,将传统的数据采集与数据压缩合二为一,在获取信号同时对数据进行压缩。
压缩感知理论的一个重要基础和前提就是选择信号的稀疏域,只有选择合适的基矩阵才能保证信号的稀疏度,从而保证信号的恢复精度。
由于压缩感知理论的提出和蓬勃发展,稀疏表示越来 第33卷第1期 2012年3月军 事 通 信 技 术Jour na l o f M ilitar y Co mmunicatio ns T echnolog y V ol.33N o.1M ar.2012X 收稿日期:2011-10-18;修回日期:2011-12-12作者简介:周 彬(1986-),男,博士生.越表现出它的优越性,许多人将目光投向这个领域,并进行了大量的研究,取得了广泛而深入的研究成果[3]。
1 信号稀疏表示1.1 信号的稀疏性 考虑R N 空间一个实值的有限长一维离散时间信号x ,假设{W i ûi =1,…,N }是R N 的一组基向量,则R N 空间的任何信号x 可以线性表示为x =∑Ni =1s i W i 或 x =7s (1)图1 信号在7域稀疏表示其中,7=[W 1ûW 2û…ûW N ]是N ×N 的基矩阵,s 是x 在7域的变换向量,s i =<x ,W i >。
显然,x 和s 是同一个信号的等价表示,x 是信号在时域的表示,s 是信号在7域的表示。
如果s 仅仅有K 个非零项,且Kn N ,或者s 中的各个分量按一定量级呈现指数衰减,具有非常少的大系数(K 个)和许多小系数,则称s 是K 项稀疏的,或x 在7域是K 项稀疏的。
图1是信号x 在7域稀疏表示的形象描述,图中s 为信号x 在7域的变换向量,且s 仅包含三个非零分量(用图中的非空白格子表示),即信号s 是3项稀疏的。
(a )原始图像(b )图像小波系数(c )压缩重构图像图2 基于小波变换的图像稀疏表示参考文献[1]给出信号稀疏性的另一种定义:如果信号x 在7域的变换系数s i =〈x ,W i 〉的支撑域{i ;s i ≠0}的势小于等于K ,则可以说信号x 在7域是K 项稀疏的。
通常时域内的自然信号都是非稀疏的,但在某些变换域可能是稀疏的。
例如,自然图像在小波变换域具有稀疏性。
图2为基于小波变换的图像稀疏表示示意图。
其中图2(a )是一幅大小为512×512的原始图像,图中几乎所有的像素值都是非零的;图2(b)为原始图像的小波变换系数,为便于观察,图中将这些系数随机排列,从中可以看出,大多数小波系数的绝对值都接近于零,取其中绝对值最大的10%部分系数进行小波重构,得到的重构图像如图2(c)所示,从中可以看出,重构图像与原始图像差别很小,由此可得出结论有限的大系数包含了原始图像的绝大部分信息,可用于近似表示图像。
目前广泛采用的JPEG2000图像编码标准正是以此为基础,通过小波变换实现图像压缩的[4]。
1.2 压缩感知中的信号稀疏表示信号的稀疏性是压缩感知的重要前提和理论基础。
因此,对信号稀疏表示的研究是压缩感知理论的首要任务。
稀疏表示对于压缩感知的基础性作用主要体现在:只有选择合适的稀疏矩阵,才能保证表示系数具有足够的稀疏性或衰减性,才能在减少压缩测量的同时保证压缩感知的重建精度。
(1)根据压缩感知理论,高概率重构稀疏信号的充分条件是感知矩阵(((∈R M ×N )必须满足约束等距性RIP(Restricted Isom etry Property )条件,即对于任意K 稀疏信号x (x ∈R N )和常数D k ∈(0,1),(1-D k )‖x ‖22≤‖(T x ‖22≤(1+D k )‖x ‖22(2)成立,其中T <{1,…,N },且ûT û≤K ,(T 为(中由索引T 所指示的相关列构成的大小为K ×ûT û的子矩阵。
从上式可以看出,信号的稀疏度K 越小,即信号越稀疏,约束等距性条件越容易满足。
86军 事 通 信 技 术2012年 (2)Candes 等进一步指出,在感知矩阵(满足约束等距性条件的前提下,如果要精确重构K 稀疏信号x ,测量次数M 必须满足M ≥O (K log (N ))。
因此,信号的稀疏度K 越小,稀疏性越强,保证信号重构所需的测量次数越少。
在研究信号的稀疏表示时,可以通过变换系数衰减速度来衡量变换基的稀疏表示能力。
Candes 和T ao 研究表明,满足具有幂次衰减速度的信号,可利用压缩感知理论得到恢复。
2 压缩感知中信号稀疏表示的主要方法目前,信号的稀疏分解已经发展了多种算法。
从信号展开的基的选择出发,概括起来说可以分为三大类:正交基展开方法、多尺度几何分析方法和基于过完备字典的展开方法。
2.1 正交基展开方法正交基展开方法主要基于调和分析理论。
常用的正交分解包括傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换。
从傅里叶变换到小波分析,信号分析处理能力不断加强。
傅里叶变换只对频率空间进行均匀划分;短时傅里叶变换增加了时间轴的划分,具有时频局部特性,但是各个时频窗口的形状大小都是一致的;小波变换的时频窗口可变,时频局部化能力大大增强,但是小波分析在一维时所具有的优良特性并不能简单地推广到二维或者更高维。
它们共同的特点就是对于给定信号的表示形式唯一,一旦信号的特性与基函数不完全匹配,则不一定能够获得信号的稀疏分解结果。
因此,迫切需要寻求新的信号稀疏表示方法。
2.2 多尺度分析方法多尺度几何分析M GA (Multiscale Geom etric Analysis)是以“最优”图像表示理论为基础而提出的一类新方法,它的提出主要是为了解决高维空间数据稀疏表示的问题。
根据生理学家和人类视觉系统的研究结果和自然界图像统计模型,“最优”图像表示方法应该具有如下特性:¹多分辨率,能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续近似,也即“带通”性;º局域性,在空域和频域,该表示的“基函数”都必须是局部的;»方向性,表示的“基函数”应该具有不同的形状,特别地具有不同的纵横比,这样有利于更稀疏地表示图像的轮廓。
自从多尺度几何分析的首次提出,短短的几年时间内,其理论构建和应用已经得到深入展开,广泛应用于数学分析、计算机视觉、模式识别、统计分析等不同学科领域。
到目前为止,提出的多尺度几何分析方法有Hou 等人提出的Beam let 变换,Candes 等人提出的Ridg clct 变换和Curvelet 变换,Meyers 等人提出的Br usheflet 变换,Donolct 等人提出的Wedgelet 和Edgelet 变换,Do 等人提出的Co ntourlet 变换,Per mec 提出的Bandelet 变换,Velisavljevic 等人提出的Directionlet 变换,以及Yue 等人提出的Sur facelet 变换等。
