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在高中数学中同学们感到吃力的一部分是三角函数的学习，在这一部分有大量的公式需要同学们熟练记忆，并且在使用的时候不能够混淆。
为了方便同学们能够清楚掌握这部分内容，在考试中能够取得好成绩，下面小编给大家整理了高中书序中二倍角公式推导讲解。
正弦二倍角公式： sin2α = 2cosαsinα 推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA 拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2] 1+sin2A=(sinA+cosA)^2余弦二倍角公式： 余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价： 1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2] 2.Cos2a=1-2Sina^2 3.Cos2a=2Cosa^2-1 推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cosA^2-sinA^2=2cosA^2-1 =1-2sinA^2正切二倍角公式： tan2α=2tanα/[1-tanα^2] 推导：tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-tanA^2]降幂公式： cosA^2=[1+cos2A]/2 sinA^2=[1-cos2A]/2 tanA^2=[1-cos2A]/[1+cos2A] 变式： sin2α=sin^2(α+π/4)-cos^2(α+π/4)=2sin^2(a+π/4)-1=1-2cos^2(α+π/4); cos2α=2sin(α+π/4)cos(α+π/4)以上就是关于高中数学二倍角公式的分享，对于这些公式同学们要掌握他们的推到过程，认真对应三角图形，参考推导过程进行熟练记忆。
最后要强调同学们还是要进行适当的习题训练，加强公式记忆。
3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式考点学习目标核心素养二倍角的正弦、余弦、正切公式会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式逻辑推理二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P132－P134，并思考下列问题：1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？二倍角的正弦、余弦、正切公式名称公式推导记法正弦sin 2α＝2sin__αcos__αS(α＋β)――→令β＝αS2αS2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC(α＋β)――→令β＝αC2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αC2α正切tan 2α＝2tan α1－tan2αT(α＋β)――→令β＝αT2αT2α正确理解二倍角公式(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)10α是5α的倍角，5α是5α2的倍角．( ) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225 D.2425答案：D计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32 答案：B已知tan α＝43，则tan 2α＝________．答案：－247给角求值求下列各式的值． (1)sin π8cos π8；(2)cos 2π6－sin 2π6；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π5cos 2π5.【解】 (1)sin π8cos π8＝12×2sin π8cos π8＝12×sin π4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin2π6＝cos⎝⎛⎭⎫2×π6＝cosπ3＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．cos4π12－sin4π12等于()A．－12B．－32C.12 D.32解析：选D.原式＝⎝⎛⎭⎫cos2π12－sin2π12⎝⎛⎭⎫cos2π12＋sin2π12＝cos π6＝32.2．求下列各式的值．(1)tan 30°1－tan2 30°；(2)1sin 10°－3cos 10°.解：(1)tan 30°1－tan230°＝12×2tan 30°1－tan230°＝12tan 60°＝32.(2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin （30°－10°）sin （2×10°）＝4sin 20°sin 20°＝4.给值求值已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos(2α＋π4)的值． 【解】 因为π2≤α＜3π2，所以3π4≤α＋π4＜7π4.因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，所以3π2<α＋π4<7π4. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 所以cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250.三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x .1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724 C.247D ．－247解析：选D.由cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247，故选D.2．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718D ．－1718解析：选 D.cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.化简与证明(1)化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α；(2)证明tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2tan 2α. 【解】 (1)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. (2)证明：法一：左边＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin 2α12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝2sin 2αcos 2α＝2tan 2α＝右边．所以等式成立．法二：左边＝1＋tan α1－tan α－1－tan α1＋tan α＝4tan α1－tan 2α＝2tan 2α＝右边．故原式成立．三角函数式的化简与证明(1)化简的方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.(2)证明三角恒等式的方法①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．1．若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________．解析：因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0， 所以1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.答案：02．求证：4sin αcos α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α.证明：左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边．1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A ．2 B ．－2 C.34D ．－34解析：选D.因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.2．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 答案：13 793．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin 2α，cos 2α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35. (2)由(1)知cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.[A 基础达标]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 的值为( )A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( )A.79 B ．－79C.35D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝⎛⎭⎫－132－1＝－79.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝⎛⎭⎫－79＝79.故选A. 5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( )A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A.6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________． 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值．解：由π4<α<π2，得π2<2α<π. 因为sin 2α＝513，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169； cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169. 10．已知π2<α<π，sin α＝45. (1)求tan 2α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． 解：(1)由题意得cos α＝－35， 所以tan α＝－43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝⎛⎭⎫－725×22＋⎝⎛⎭⎫－2425×22＝－31250. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A.43B ．－43 C.34 D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34. 12．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)， 所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12. 答案：1213．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值． 解：因为0<x <π4，所以0<π4－x <π4. 又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213. 因为cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 14．(选做题)已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0， 知cos x 2≠0，所以tan x 2＝2， 所以tan x ＝2tan x 21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)知tan x ＝－43， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ） ＝cos 2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ） ＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x ＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式知识④自主预习新知初探⍓知识点.二倍角公式【思考】（1）在公式C (α＋β)，S (α＋β)和T (α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？（2）在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？【答案】（1）成立(2) cos2α＝cos 2α－sin 2α，sin2α＝2sin αcos α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.自我测评⍓1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )(2)存在角α，使得sin 2α＝sin α成立．( )(3)对任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)×2．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( ) A.75 B.125 C.1225 D.2425【答案】D3．设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ＝( ) A ．－79 B ．－19 C.19 D.79【解析】 sin 2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79. 【答案】A4．已知α为第三象限角，cos α＝－35，则tan 2α＝________. 【答案】－2475．函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为____________．【解析】 f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x＝2×1－cos 2x 2＋sin 2x ＝sin 2x －cos 2x ＋1 ＝2sin(2x －π4)＋1，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z . 所以所求区间为[－π8＋k π，3π8＋k π](k ∈Z )． 【答案】[－π8＋k π，3π8＋k π](k ∈Z )【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！题型 多维探究题型1给角求值问题【例1】求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.【解】(1)原式＝2sin π12cos π122＝sin π62＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4. (5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 【方法总结】化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．【变式训练1】化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.【解】sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋3·3sin10°cos 10°) ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10° ＝sin 50°×2(12cos 10°＋32sin 10°)cos 10°＝2sin50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 【答案】1题型2给值求值【例2】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 【解】∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 【方法总结】条件求值问题的解决方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．【变式训练2】本例条件不变，求cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值． 【解】原式＝cos 2α－sin 2αsin π4cos α＋cos π4sin α＝2(cos α－sin α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝65. 题型3化简问题【例3】化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan (π4－x )sin 2(π4－x ). 【解】原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin (π4－x )cos 2(π4－x )cos (π4－x ) ＝12(1－sin 22x )2sin (π4－x )cos (π4－x )＝12cos 22x sin (π2－2x )＝12cos2x . 【方法总结】三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．【变式训练3】 化简：(1tan α2－tan α2)·(1＋tan α·tan α2)． 【解】(1tan α2－tan α2)·(1＋tan α·tan α2)＝(cos α2sin α2－sin α2cos α2)·(1＋sin αcos α·sin α2cos α2) ＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2·cos αcos α2＋sin αsin α2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos α2cos αcos α2＝2sin α. 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式总分：_____ 用时：_______A 组（学业基础）一．选择题1.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan α B ．tan 2α C ．1D.12【解析】原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝sin 2αcos 2α＝tan 2α. 【答案】B2．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝ ( ) A.12 B.34 C.58 D.38【解析】cos 2α＝1－2sin 2α＝14，解得sin 2α＝38. 【答案】D3．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12【解析】法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2 θtan θ＝4， ∴4tan θ＝1＋tan 2 θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2 θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12. 【答案】D 4.1＋sin 100°－1－sin 100°＝( )A ．－2cos 50°B ．2cos 50°C ．－2sin 50°D ．2sin 50°【解析】原式＝sin 250°＋2sin 50°cos 50°＋cos 250°－sin 250°－2sin 50°cos 50°＋cos 250°＝sin 50°＋cos 50°－sin 50°＋cos 50°＝2cos 50°.【答案】B5．若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝35，则cos 2x 的值为( )A ．－725 B.1425 C ．－1625 D.1925【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝－cos x ＝35， ∴cos x ＝－35. ∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×925－1＝－725. 【答案】A6．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π【解析】∵f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋2sin x cos x＝1＋cos 2x ＋sin 2x＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝a·b 的最小正周期是π.【答案】B二．填空题7．化简1＋cos 2α＋2sin 2α＝________.【解析】原式＝2cos 2α＋2sin 2α＝2(sin 2α＋cos 2α)＝2.【答案】28．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．【解析】f (x )＝1＋cos 2x ＋sin 2x＝1＋2sin(2x ＋π4)， ∴f (x )的最小值为1－ 2.【答案】1－29．已知等腰三角形ABC 的腰长为底长的2倍，则顶角A 的正切值是________．【解析】取BC 的中点D ，令BD ＝1，则AB ＝4，则AD ＝15，在Rt △ABD 中，tan θ＝BD AD ＝115(令∠BAD ＝θ)， ∴tan ∠BAC ＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2151－(115)2＝157. 【答案】15710．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，计算1cos 2α＋tan 2α的值为________． 【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α1－2sin 2α＝(sin α＋cos α)21－2sin 2α＝⎝⎛⎭⎫35＋4521－2×925＝7. 【答案】7三．解答题11．已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值． 【解】(1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α， 所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α， 所以tan α＝13. (2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α(2cos 2α－1)cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α. 因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110， 又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010. 12．已知0<x <π2，sin 2 x 2＋3sin x 2cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－110，求tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 【解】∵sin 2 x 2＋3sin x 2cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2 ＝1－cos x 2－3sin x 2cos x 2＝12－⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴由已知得12－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－110，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35. ∵0<x <π2，结合sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35易知π6<x ＋π6<π2.∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝34. ∴tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π61－tan 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2×341－916＝247. B 组（能力提升）13．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝26⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，则sin 2θ的值为( ) A.23 B.73 C.76 D.346【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－θ＝26， 即cos ⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝26，即12sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝26， 所以cos 2θ＝23. 又因为0<θ<π2，所以0<2θ<π，所以sin 2θ＝73. 【答案】B14．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，11π24时，f (x )的值域为( )A ．[1，2]B ．[2， 3 ]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】f (x )＝a 2sin 2x －1＋cos 2x 2＋1－cos 2x 2＝a 2sin 2x －cos 2x ， 因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，所以a ＝23，所以f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤π4，11π24时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4，f (x )∈[2，2]． 【答案】D15．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________． 【解析】设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459.【答案】45916．已知cos 2α＝13，π<2α<2π，求1＋sin α－2cos 2 α23sin α＋cos α的值． 【解】原式＝sin α－cos α3sin α＋cos α， 又∵cos 2α＝13，∴2cos 2α－1＝13， ∴cos 2α＝23，3π2<2α<2π， ∴3π4<α<π，∴⎩⎨⎧cos α＝－63，sin α＝33，∴原式＝5＋427. 17．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求角α. 【解】f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x )＝33－2sin 2x ＋23cos 2x＝33－4⎝⎛⎭⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32 ＝33－4⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π12＝33－4sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝33－4sin π2＝33－4. (2)由f (α)＝53，得sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝－32， 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得2α－π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，5π3， ∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。
高一数学必修四3.1.3二倍角公式编写：张惠玲 校审：高一数学组3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标：熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用其解决一些实际问题。
学习重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式学习难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的灵活应用知识链接：复习()()()S C T αβαβαβ±±±：()sin αβ+= ；()sin αβ-= ；()cos αβ+= ；()cos αβ-= ；()tan αβ+= ；()tan αβ-= 。
学习过程：1.利用上述公式推导sin 2,cos 2,tan 2ααα公式：sin 2α= ;cos 2α= = =tan 2α= .2. cos 2α的变形式：2sin α= ，2c o s α= ，2.公式应用：例1.已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值。
姓名： 班级： 第23页例2.在三角形ABC 中，4cos ,tan 2,5A B ==求()tan 22A B +的值。
目标测试：A 组：课本135页练习1---5题B 组：1.已知00cos 270,3θθ=-<<求sin 2,cos 2,tan 2θθθ的值。
2.已知11tan ,tan ,73αβ==求()tan 2αβ+的值。
3.已知等腰三角形一个底角的正弦值为513，求这个三角形的顶角的正弦、余弦、正切值。
4.已知()()1c o s c o s s i n s i n ,3αββαββ+++=且3,2,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。
高一数学必修四3.1.3二倍角公式编写：张惠玲 校审：高一数学组5.化简：()()21.cos sin ;αα+ ()442.cos sin ;θθ-()3.sin cos cos2;x x x ()114.1tan 1tan θθ--+6.已知函数()22sin cos 2cos y x x x =++，求⑴它的减区间；⑵最大值，最小值。
