2014高考广东卷文科数学真题及答案解析

A．充分必要条件
x2 y2 x2 y2 1 与曲线 1的 16 5 k 5 k 16
C．离心率相等 D．焦距相等
B．虚半轴长相等
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【考点与思路】本题考查双曲线的标准方程及几何性质.先判断曲线的类型，再考虑选项. 【答案】D 【解析】由 0 k 5 ，可知曲线为双曲线， a1 16, b1 5 k , c1 21 k ，
12．从字母 a, b, c, d , e 中任取两个不同的字母，则取到字母 a 的概率为 【考点与思路】本题பைடு நூலகம்查古典概型概率计算.用列兴法求解即可. 【答案】
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【解析】从5个字母中任取两个不同的字母，有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种情况， 而取得字母a有ab,ac,ad,ae，共4种情况. 所以所求概率为 P
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为 x 1 ，联立俩曲线直角坐标方程易得交点坐标为 (1, 2) .
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15．(几何证明选讲选做题)如图 3，在平行四边形 ABCD 中， 点 E 在 AB 上且 EB 2 AE ， AC 与 DE 交于点 F ，则
CDF的周长 AEF的周长
【考点与思路】本题考查相似三角形的判断与性质.求 【答案】3 【解析】由 EB 2 AE 得
4 2 . 10 5
13．等比数列 an 的各项均为正数，且 a1a5 4 ，则 log2 a1 log2 a2 log2 a3 log2 a4 log2 a5 ＝ 【考点与思路】本题考查等比数列的和对数的运算性质. 【答案】5 【解析】
a1 a5 a32 4,a3 2 ,
2 2 2

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A iB iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.x x212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x x xx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π= （1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin 2 3.121234(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336cos sin 33331cos ,()336f A A A f x x f f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=++-+-===∴=∴-=解由得1sin()3sin()3cos 3 1.6323πππθθθ-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,,2233336()(4411362.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=={}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-2222002222220.:1(0)(1);(2)(,),,.:(1)3,954,1.94(2),,4x yC a ba bCP x y C P C Pcc e a b a cax yCx y+=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x xx yy k x x yk x k y kx x y kxk y kx y kx k y kx-±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即2222200000122220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.kyx k x y k y k kxx yP x y+=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a Rf xa x f x f=+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x a x f x f x x a a a a x x ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->=>∴<<<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋯+-，其中x 表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014广东，文1)已知集合M ＝{2,3,4}，N ＝{0,2,3,5}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,2} B ．{2,3} C ．{3,4} D ．{3,5} 答案：B解析：由题意知M ∩N ＝{2,3}，故选B.2．(2014广东，文2)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( )． A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i 答案：D解析：由题意知2525(34i)34i 34i (34i)(34i)z +===+--+，故选D. 3．(2014广东，文3)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( )． A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3) 答案：B解析：由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.4．(2014广东，文4)若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩+，，，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )．A ．7B ．8C ．10D ．11 答案：C解析：画出x ，y 约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l ：y ＝－2x ，平移直线l ，经过可行域上的点A (4,2)时，z 取最大值，即z max ＝2×4＋2＝10，故选C.5．(2014广东，文5)下列函数为奇函数的是( )． A ．122xx -B ．x 3sin xC ．2cos x ＋1D ．x 2＋2x 答案：A解析：对于A 选项，函数的定义域为R .令()122xx f x =-，()11()2222x x x x f x f x ---=-=-=-，故A 正确；对于B 选项，函数的定义域为R ，令g (x )＝x 3sin x ，g (－x )＝(－x )3sin(－x )＝x 3sin x ＝g (x )，该函数为偶函数；对于C 选项，函数定义域为R ，令h (x )＝2cos x ＋1，h (－x )＝2cos(－x )＋1＝2cos x ＋1＝h (x )，h (x )为偶函数；对于D 选项，令m (x )＝x 2＋2x ，由m (1)＝3，3(1)2m -=，m (1)≠m (－1)，m (1)≠－m (－1)，知该函数为非奇非偶函数，故选A.6．(2014广东，文6)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )．A ．50B ．40C ．25D ．20 答案：C解析：由题意知分段间隔为10002540=，故选C. 7．(2014广东，文7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )．A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 答案：A解析：由正弦定理2sin sin a bR A B==(R 为三角形外接圆半径)得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，故a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B ，故选A.8．(2014广东，文8)若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线22=1165x y k --与曲线22=1165x y k --的( )．A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等答案：D解析：∵0＜k ＜5，∴5－k ＞0,16－k ＞0，∴对于双曲线22=1165x y k--，实轴长为8，虚轴长为，焦距为对于双曲线22=1165x y k --，实轴长为，虚轴长为焦距为 D.9．(2014广东，文9)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )．A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案：D解析：如图所示正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为BB 1，l 2为BC ，l 3为AD ，l 4为CC 1，则l 1∥l 4，可知选项A 错误；取l 1为BB 1，l 2为BC ，l 3为AD ，l 4为C 1D 1，则l 1⊥l 4，故B 错误，则C 也错误，故选D.10．(2014广东，文10)对任意复数ω1，ω2，定义1212ωωωω*=，其中2ω是2ω的共轭复数．对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)； ②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)； ③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)； ④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：由定义知12312313231323()()()()z z z z z z z z z z z z z z +*=+⋅=+=*+*，故①正确；对于②，12312312312131213()()z z z z z z z z z z z z z z z z z *+=⋅+=+=+=*+*，故②正确；对于③，左边＝123123()z z z z z z ⋅*=，右边＝123123()z z z z z z *=，左边≠右边，故③错误；对于④，取z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i ，左边＝12(1i)(2i)3i z z =+-=+；右边＝21(2i)(1i)3i z z =+-=-，左边≠右边，故④错误，故选B.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题(11～13题)11．(2014广东，文11)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 答案：5x ＋y ＋2＝0解析：∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率00e |55x k y ='==-=-，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.12．(2014广东，文12)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．答案：25解析：基本事件总数有10个，即(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，其中含a 的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，共4个，故由古典概型知所求事件的概率42105P ==. 13．(2014广东，文13)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.答案：5解析：由等比数列性质知a 1a 5＝a 2a 4＝a 32＝4. ∵a n ＞0，∴a 3＝2，∴a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝25， ∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5 ＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2014广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案：(1,2)解析：曲线C 1的普通方程为y ＝2x 2，曲线C 2的普通方程为x ＝1，联立212,x y x ⎧⎨⎩=，=解得12.x y ⎧⎨⎩=，=因此交点的直角坐标为(1,2)．15．(2014广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝________.答案：3解析：∵EB ＝2AE ，∴AB ＝3AE . 又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴△CDF ∽△AEF ， ∴3CDF CD ABAEF AE AE∆===∆的周长的周长.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)(2014广东，文16)已知函数()π=sin 3f x A x ⎛⎫+⎪⎝⎭，x ∈R，且5π=122f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求A 的值； (2)若()(ff θθ--π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求π6f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：(1)∵()π=sin 3f x A x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且5π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5π5ππ3πsin sin 121234f A A A ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴A ＝3.(2)∵π()3sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，且()(f f θθ-- ∴()ππ()=3sin 3sin 33f f θθθθ⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ππππ3sin coscos sin sin cos cos sin 3333θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝π32sin cos =3sin 3θθ⋅∴sin θ=π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴cos θ==. ∴πππ=3sin 663f θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝π3sin(2θθ-17．(本小题满分13分)(2014广东，文17)某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁) 工人数(人) 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1合计20 (1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．解：(1)由图可知，众数为30.极差为：40－19＝21. (2)(3)根据表格可得：19283293305314323403020x ⨯⨯⨯⨯⨯==++++++，∴s 2＝120[(19－30)2＋3(28－30)2＋3(29－30)2＋5(30－30)2＋4(31－30)2＋3(32－30)2＋(41－30)2]＝13.65.18．(本小题满分13分)(2014广东，文18)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.图1图2(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积．(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，且PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥面ABCD，交线为CD.又∵四边形ABCD为矩形，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴MD⊥平面PCD.又由于CF⊂平面PCD，∴MD⊥CF.∵MF⊥CF，且MD∩MF＝M，∴CF⊥平面MDF.(2)解：∵MD⊥平面PCD，∴V M－CDE＝13·S△CDE·MD.∵CF⊥平面MDF，DF⊂平面MDF，∴CF⊥DF.∵在Rt△PCD中，CD＝1，PC＝2，∴∠PCD＝60°，且CD＝1，∴12CF=，故13222PF=-=.∴32 MF=.又∵CF⊥MF，故利用勾股定理得：CM=，∴在Rt △MDC中，CM =，CD ＝1，得DM =又∵F 点位于CP的四等分点，且PD =，∴E 为PD的四等分点，故DE =，∴11122CDE S CD DE ∆=⋅=⨯=， ∴V M －CDE ＝13S △CDE ·DM＝16.19．(本小题满分14分)(2014广东，文19)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足2n S －(n 2＋n －3)·S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a ++<…++++.(1)解：由2n S －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *， 令n ＝1，得21S －(－1)S 1－6＝0， 即21160a a +-=，解得a 1＝2或a 1＝－3. 由于数列{a n }为正数数列，所以a 1＝2.(2)解：由2n S －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *， 因式分解得(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0.由数列{a n }为正数数列可得S n －n 2－n ＝0， 即S n ＝n 2＋n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ， 由a 1＝2可得，∀n ∈N *，a n ＝2n . (3)证明：由(2)可知11(1)2(21)n n a a n n =++， ∀n ∈N *，111111(1)2(21)(21)(21)22121n n a a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪-+⎝⎭++-+.当n ＝1时，显然有11111<163a a =(+)；当n ≥2时，1122111111n n a a a a a a +⋯(+)(+)(+)++111111111111<2(21)23557212+132213n n n ⎛⎫<+-+-++-=-⋅ ⎪⋅-+⎝⎭…+, 所以，对一切正整数n ，有11221111<1113n n a a a a a a +⋯(+)(+)(+)++. 20．(本小题满分14分)(2014广东，文20)已知椭圆C ：2222=1x y a b+ (a ＞b ＞0)的一个焦点为，离心率为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)由c =c e a ==得：a ＝3，b ＝2. 椭圆方程为：22=194x y +. (2)设两个切点分别为A ，B .①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A ，B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P 点坐标为(±3，±2)．②当两条切线斜率均存在时，设椭圆切线斜率为k ，过点P 的椭圆的切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立0022()194y y k x x x y -⎧⎪⎨⎪⎩-=，+=，得(9k 2＋4)x 2＋(18ky 0－18k 2x 0)x ＋2209k x －18kx 0y 0＋209y －36＝0， Δ＝0⇒9k 2＋4＝(kx 0－y 0)2⇒(20x －9)k 2－2x 0y 0k ＋20y －4＝0， 设P A ，PB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝y 20－4x 20－9，又P A ，PB 互相垂直，∴201220419y k k x -⋅==--，化简得2200013(3)x y x +=≠±． 又∵P (±3，±2)在220013x y +=上， ∴点P 在圆x 2＋y 2＝13上． ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.21．(本小题满分14分)(2014广东，文21)已知函数()32113f x x x ax =+++(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解：(1)由()32113f x x x ax =+++，求导得f ′(x )＝x 2＋2x ＋a . 令f ′(x )＝0，即x 2＋2x ＋a ＝0，Δ＝4－4a .①当Δ≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增； ②当Δ＞0，即a ＜1时，方程x 2＋2x ＋a ＝0的两根分别为：1x =-21x =-当(1x ∈∞－，-时，f ′(x)＞0，f (x )单调递增； 当(11x ∈--时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当(1)x ∈+∞-时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． (2)当a ＜0时，由(1)，令111x=-=，解得a ＝－3.①当a ＜－3时，1<-，由(1)的讨论可知f (x )在(0,1)上单调递减，此时不存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得01()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.②当－3＜a ＜0时，1>-f (x )在(0,-上递减，在(-上递增，1125(1)2224f f a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， 依题意，若f (x )存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得01()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，只需1125(1)02224f f a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，解得2512a >-，于是有25012a -<<即为所求．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一．选择题：1、已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ ） A. {}2,0 B. {}3,2 C. {}4,3 D. {}5,32、已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A.i 43--B. i 43+-C. i 43-D. i 43+3、已知向量)1,3(),2,1(==b a，则=-a b （ ）A. )1,2(-B. )1,2(-C. )0,2(D. )3,4(4、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 11 5、下列函数为奇函数的是（ ） A.x x212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 6、为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ） A.50 B.40 C.25 D.207、在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件8、若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ） A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题： ①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：（一）必做题（11—13题）11.曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a _____. （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的直角坐标为________15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三.解答题：16、已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1） 求A 的值；（2）若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-17、某车间20名工人年龄数据如下表： （1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3） 求这20名工人年龄的方差.18、如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF. （1）证明：CF ⊥平面MDF （2）求三棱锥M-CDE 的体积.19、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a20、已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。