第二章 数列极限第一节 数列极限概念一、数列的概念定义：设f 定义在+上，则称:f +→ ，或(),f n n +∈ 为数列，写作12,,,,,n a a a 或简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。
例：1111,,,,,23n二、收敛数列的概念考虑数列1{}n ，不难看出10n a n=→（当n 足够大时），即随着n 的无限增大，n a 无限的接近某一常数0a =。
下面给出收敛数列及其极限的精确定义。
1、 收敛数列的定义定义1：设n a 为数列，a 为一定数，若0,N ε+∀>∃∈ ，使得n N >时，有||n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为{}n a 的极限，记为lim n n a a →∞=，或()n a a n →→∞，如：1{}n收敛于0()n →∞。
2、 发散数列的定义若{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列。
例：①{(1)}n -发散，②{},(||1)nq q <收敛。
3、 应注意的几个问题 （1）ε的任意性 （2）N 的相应性（3）定义1的几何意义“当n N >时有||n a a ε-<” ⇔当n N >时，有(,)n a U a ε∈。
定义'1（等价于定义1）0ε∀>，若在(,)U a ε之外{}n a 中的项只有有限个，则称{}n a 收敛于极限a 。
注：若00ε∃>，使得无穷多0(,){}n n a U a a ε∉⇒一定不以a 为极限。
4、例子24P 例3，25P 例5，28P 习题5（2）。
三、无穷小数列定义2：若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列。
如：1{},{}(||1)nq q n<。
定理2.1：lim lim()0n n n n a a a a →∞→∞=⇔-=。
四、课堂练习1、证明定理2.1，2、27P 习题1，3、27P 习题3，4、28P 习题7。
第二章 数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势．例如有这么一个变量，它开始是１，然后为1111,,,,,234n如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零．我们就说，这个变量的极限为０．在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位．例如求圆的面积和圆周长（已知：2,2S r l r ππ==），但这两个公式从何而来？要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度．然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破．问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形．而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面．在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾．在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化．恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定的条件下直线和曲线应当是一回事”．整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧．执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n 个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n 边形．易知，正n 边形周长为2sinn l nR nπ=显然，这个n l 不会等于l ．然而，从几何直观上可以看出，只要正n 边形的边数不断增加．这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长．N 越大，近似程度越高．但是，不论n 多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长．无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值．问题并没有最后解决．为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n 无限地增大，记为n →∞．直观上很明显，当n →∞时，n l l →，记成lim n n l l →∞=．——极限思想．即圆周长是其内接正多边形周长的极限．这种方法是我国刘微（张晋）早在第３世纪就提出来了，称为“割圆术”．其方法就是——无限分割．以直代曲；其思想在于“极限”．除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想．所以，我们有必要对极限作深入研究．§１ 数列极限的概念一 什么是数列１ 数列的定义数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→为数列．注：１）根据函数的记号，数列也可记为(),f n n N +∈；２）记()n f n a =，则数列()f n 就可写作为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a ，即{}{}()|n f n n N a +∈=；３）不严格的说法：说()f n 是一个数列．２ 数列的例子（1）(1)111:1,,,,234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭；（2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭ （3）{}2:1,4,9,16,25,n ；（4）{}11(1):2,0,2,0,2,n ++-二、什么是数列极限１．引言对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12， 第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，第n 天截下1111222n n -⋅=，得到一个数列：231111,,,,,2222n 不难看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零． 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列．据此可以说，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是收敛数列，０是它的极限． 数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列．需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来．还有待进一步分析．以11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，11n a n =+无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n+与１的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1|11|n+-会任意小，只要n 充分大． 如：要使1|11|0.1n +-<，只要10n >即可； 要使1|11|0.01n+-<，只要100n >即可；任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n ε>，取1[]1N ε=+即可．这样0,ε∀>当n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭．综上所述，数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项11n +随n 的无限增大，11n+无限接近于１，即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．此即11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭以１为极限的精确定义，记作1lim 11n n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1,11n n →∞+→． 2.数列极限的定义定义1 设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a)． 由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列． [问题]：如何表述{}n a 没有极限？ ３．举例说明如何用N ε-定义来验证数列极限 要证,lim a a n n =∞→关键是：对任正数ε，解不等式ε<-a a n找出n 的范围，进而确定． （1） 直接解不等式 ε<-a a n例１ 证明1(1)lim 0(0)n n nαα+→∞-=> 同理可证：12(1)lim 0n n n +→∞-=，13(1)lim 0,n n n+→∞-= . （2）适当放大),)((k n nAn a a =≤-ϕ转化为解不等式εϕ<)(n ． 例２ 证明 lim 0(||1)nn q q →∞=<．同理可证：1lim 02n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，12lim 0,lim(1)0,,23n nn n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .例３．证明 321lim097n n n →∞-=+.例４．证明 223lim 33n n n →∞=-. 例５．证明1n =，其中0a >.４ 关于数列的极限的N ε-定义的几点说明 （１） 关于ε：①ε的任意性．定义１中的正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接近程度，ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意小，说明n a 与常数a 可以接近到任何程度；②ε的暂时固定性．尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③ε的多值性．ε既是任意小的正数，那么2,3,2εεε等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε等来代替．从而“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替；④正由于ε是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数．（２） 关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随ε的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N ε，来强调Ｎ是依赖于ε的；ε一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性．Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由ε唯一确定的，因为对给定的ε，若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =或更大的数时此不等式自然成立．所以Ｎ不是唯一的．事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大．基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“n N >”改为“n N ≥”也无妨．（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当n N >时有||n a a ε-<”⇔“当n N >时有n a a a εε-<<+” ⇔“当n N >时有(),(;)n a a a U a εεε∈-+=” ⇔所有下标大于Ｎ的项n a 都落在邻域(;)U a ε内；而在(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）．反之，任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当n N >时有(;)n a U a ε∈，即当n N >时有||n a a ε-<，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义1' 任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00ε>，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在0(;)U a ε之外，则{}n a 一定不以a 为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关． 所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响．例１ 证明{}2n 和{}(1)n-都是发散数列．例２．设lim lim n n n n x y a →∞→∞==，作数列如下：{}1122:,,,,,,,n n n z x y x y x y . 证明 lim n n z a →∞=.例３．设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{}n b 与{}n a 同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．三、无穷小数列在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２ 若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列．如1211(1)1,,,2n n n n n +⎧⎫-⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭都是无穷小数列．数列{}n a 收敛于a 的充要条件：定理２.１ 数列{}n a 收敛于a 的充要条件是{}n a a -为无穷小数列． 作业 P27 2（2）（3），3（1）（4）（6），4，5（1），6。
数列极限第二章数列极限§1数列极限概念I.教学目的与要求1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.II.教学重点与难点：重点:数列极限概念.难点:数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.III.讲授内容若函数f的定义域为全体正整数集合N+,则称或nf:NTR B f(n)，果N++为数列.因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作a,a，…,a,•••,12n或简单地记为，其中，称为该数列的通项．{a}ann关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．例1古代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下1，第二天截下£,,第n天截222下_!,……这样就得到一个数列2n111.或J1I.,，…,，…<>2222n[2n J不难看出，数列{£}的通项£随着n的无限增大而2n2n 无限地接近于0．一般地说，对于数列，若当{a}nn无限增大时〃能无限地接近某一个常数〃，则称n此数列为收敛数列，常数〃称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列．收敛数列的特性是“随着n的无限增大，〃无n限地接近某一常数「.这就是说，当n充分大时，数列的通项a与常1数a之差的绝对值可以任意n小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．定义1设为数列，为定数．若对任给a an的正数s，总存在正整数N ,使得当，/N 时有l a 一a …则称数列｛a ｝收敛于〃，定数〃称为数列｛0｝的极限，并记作5：二°,或0-0(““." nn读作“当n 趋于无为大时，a 的极限等于a或a 趋nn于a ”若数列没有极限，则称不收敛，或称aaannn为发散数列．定义1常称为数列极限的£—N 定义.下面 举例说明如何根据定义来验证数列极限．8—N例2证明li m±=0,这里。
第二章数列极限1. 教学框架与内容教学目标①掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法．②掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限．③掌握单调有界定理；理解柯西收敛准则．教学内容①数列极限的分析定义，数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念与几何意义；利用放缩法证明数列收敛或发散.②数列极限性质（唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则）的证明与应用，数列的子列及有关子列收敛的定理．③单调有界定理的证明及应用；柯西收敛准则，用柯西收敛准则判别数列的敛散性．2. 重点和难点①数列极限的Nε-语言，数列极限证明中N的存在性.②数列极限性质的分析证明, 数列极限性质的应用．③数列单调有界定理的证明和应用，利用柯西收敛准则判别数列的敛散性．3. 研究性学习选题● 数列极限证明的技巧将书后习题分类，首先自己总结数列极限证明的技巧，然后进行小组交流和讨论.● 如何利用单调有界原理求迭代数列的极限课后自己总结单调有界原理求极限的方法与步骤，选用经典习题小组讨论，进行讲解并评分.4. 综合性选题，尝试写小论文：★不等式技巧在数列极限证明中的应用.★数列极限存在的常用结论.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习选题计30分.◎小论文计20分.◎小测验计30分§1数列极限概念一、数列若函数f 的定义域为全体正整数集合Z +(或N )，则称:f N R → 或()f n n N ∈为数列. 通常记为()n a f n =.或 12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ .数列表示法：通项、递推公式、1{}n n a ∞=或0{}n n a ∞=.特殊数列：常数数列、单调数列、有界数列、等比数列、等差数列. 二、数列极限------反映变量在某个变化过程中的变化趋势 [作图]1{}n、(1){}n n -、 {}n 、{(1)}n -、 {(1)}n n - 变化趋势： 1) 有一定的变化趋势; 无限接近于某数a ----收敛;震荡、无限增大、无限减小----定向发散;2) 无一定变化趋势----不定向发散.数列{}n a 收敛于a ，||0n a a -→(n a 与a 的距离越来越接近). 1、定义下面我们首先给出数列收敛及其极限的精确定义.定义1 ()N ε- 设{}n a 为数列, a 为一定数, 若对任给的正数0ε>，总存在 正整数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ，而a 称为{}n a 的极限. 记作 lim n n a a →∞= 或 n a a →(n →∞).若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛或发散, 也称{}n a 为发散数列.例1验证下列极限:1) 1lim 0n n →∞=;2) 1lim 02n n →∞=;3) lim 0n n q →∞=, ||1q <;4) 223lim 33n n n →∞=-.注1 ε的任意性.ε的作用在于刻画数列{}n a 与定数a 之间的接近程度.ε越小表示接近度越好，而正数ε—可任意小说明n a 与a 可以无限接近，ε虽具有任意性， 但一经给出，就可看作暂时固定的数,并由此确定N ,从而N 与ε有关系. 同时，ε主要用于刻画n a 与a 的逼近程度，因而n a a ε-<中的ε可用22εε,2,εk ε(0k >常数)等代替，同时n a a ε-<可改写成n a a ε-≤.注 2 N 的相应性. 前面说过N 与ε有关，可记作()N ε但并不意味着N 由ε唯一确定. 这里我们主要强调N 的存在性(一般来说,ε愈小,相应的N 越大)，同时n N ≥时(对大于N 的任一n )有n a a ε-<.如对11,1000n a n ε==，相应的1001, 1002N =都可.例2 1) 0n →∞=;2) 1(1)n a =>;3) 1n =;4) 2lim 04n n n →∞=.思考 考虑1n =, 3lim 04n n n →∞=?2、几何意义 当n N >时,n a a ε-<d⇔所有下标大于N 的项n a 都落在a 的 邻域(,)U a ε内，而在(,)U a ε之外，数列{}n a 至多只有有限项(至多N 项). 定义1’任给0ε>，若在(,)U a ε之外{}n a 至多只有有限项，则称{}n a 收敛于a . 例3 改变或去掉数列的有限项，不改变数列的敛散性.例4 设n a a →,则n k a a +→. 这里k 为某固定的正整数.例5 设lim lim n n n n x y a →∞→∞==， 作数列{}n z 1122,,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅验证: lim n n z a →∞=. 思考 用N ε-定义如何证明?3、收敛的否定n a a →0, , ||dn N n N a a εε⇔∀>∃∀>-<：;0, (,)U a εε⇔∀>之外至多有{}n a 的有限项.n a →a 00000,, ||n N n N a a εε⇔∃>∀∃>-≥：; ⇔存在某00ε>,使数列{}n a 有无穷多项落在邻域0(,)U a ε之外.{}n a 收敛, 0, , ||n a R N n N a a εε⇔∃∈∀>∃∀>-<：. {}n a 发散0000, 0, , ||n a R N n N a a εε⇔∀∈∃>∀∃>-≥：.例6 验证 1) lim 01n nn →∞≠+;2) 2{}, {}n n (-1)为发散数列.4、N ε-定义的一些等价形式(变形)1D ：20,, , (n N n N a a k εεε∀>∃≥-<：或. (k 为常数)2D ：0(),, n c N n N a a εεε∀><∃>-<：. 3D ：0,, n N n N a a εε∀>∃>-<有理数：. 4D ：1,, n m N N n N a a m∀∈∃>-<：. 5、无穷小数列定义 若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列.定理 n a a →{}n a a ⇔-为无穷小数列.注 3 ||00n n a a →⇔→.例7 证明: 若lim n n a a →∞=，则lim ||||n n a a →∞=. 但反之未必成立，即||||n a a →⇒n a a →.习 题1. 用N -ε定义验证1) lim 12n nn →∞=+; 2) 2233lim 212n n n n →∞-=+;3) !lim 0n n n n →∞=; 4) limsin 0n nπ→∞=;5) lim cos1n nπ→∞=; 6) lim02nn n→∞=;2. 指出下列数列哪些是无穷小数列.; ; 11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭; 32n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭; {}n n q α(,||1)R q α∈<.3. 证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数k , 有a a k n n =+∞→lim .4. 试用定义1'证明：1) 数列}1{n不以1为极限； 2) 数列}{)1(n n -发散.§2 收敛数列的性质一、收敛数列的性质1、唯一性 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限.2、有界性 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列. 即0, , n M n N a M ∃>∀∈≤使得. (画图分析) 推论 无界数列必发散.注 1 有界数列未必是收敛的(定理2.3的逆未必成立).3、保号性 若lim 0 (0)n n a a →∞=><或，则对任何(0,)r a ∈(,0))a ∈（或r ， 存在N ，使得n N >时，0 0n n a r a r >><<（或）.推论 若lim 0n n a a →∞=>，则存在N ，n N >时，0n a > (保符号).若lim 0n n a a →∞=≠，则存在N ，n N >时，||||02n a a >>. 注 2 由lim 0n n a →∞≥不能推出 , , 0n N n N a ∃>≥.4、保不等式性 设{}n a 和{}n b 为收敛数列，若存在,,N n N >使得时n n a b ≤，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤. [直接证明或反证法]定理 设lim , lim , n n n n a a b b a b →∞→∞==>, 则存在N ,n N >时，n n a b >.注 3 在定理2.5中，不等式若为n n a b <, 则不能推出a b <.例1 设0, 1,2,n a n ≥=⋅⋅⋅. 若n a a →.5、迫敛性 若数列{}n a 、{}n b 和{}n c 满足n n n a c b ≤≤,n N ∀∈,, n n a a b a →→, 则n c a →.注 4 用得较多的是0, 0 0n n n n c b b c ≤≤→⇒→.例2 1) 1lim sin 0n n n →∞=2) lim 3n →∞= .... 一般形式?思考 上述定理中若{},{}n n a b 均发散, 能否推出{}n c 发散? 6、四则运算定理 若, n n a a b b →→，则1) n n a b a b +→+， 2) n n a b a b ⋅→⋅，3) 若还有0,0n b b ≠≠,则n n a ab b→.思考 若{},{}n n a b 均发散或其中之一发散, 上述结论又如何?例3 求 11101110lim , , 0, 0m m m m m k k k n k k a n a n a n a m k a b b n b n b n b ---→∞-++⋅⋅⋅++≤≠≠++⋅⋅⋅++.例4 求 lim 1nn n a a →∞+ (1a ≠-).例5 求 1) (31)(5)lim (12)(25)n n n n n →∞++-+;2) 268n ;3) n .例6 求1) 21)sin(21)n n →∞+;2) 1lim nn i →∞=;3)1)21n n →∞⋅⋅⋅++.二、子列的收敛性定义(子列) 设{}n a 为一数列，{}k n N ⊂为无限子集，且12k n n n <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅， 则数列 12,,,,k n n n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 称为数列{}n a 的一个子列，记作{}k n a .注 5 {}k n a 选自{}n a 中且保持{}n a 中的顺序不变, 注意k n a 为{}k n a 中的第k 项， 是{}n a 的第k n 项，故k n k ≥. 注意子列的子列仍为子列. 例 7 数列{(1)}n -，奇子列21{}k a +与偶子列2{}k a .注 6 平凡子列是指数列{}n a 本身或者去掉有限项得到的数列,易见平凡子列与 数列{}n a 本身的性质(态)完全一样.定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任一子列(非平凡子列)均收敛.⇔{}n a 的任一子列(非平凡子列)均收敛于同一个数.注 7 我们通常用上述定理来证明数列{}n a 不收敛，只需找到某个发散子列或某两个子列收敛但极限不同. 如{(1)}n -. 三、利用上述性质讨论极限*例8 证明: 数列2(1){}31n n nn +-⋅+发散.例9 1) 22231lim(12...)n n n→∞+++; 2) n ;3) n 11lim ()n nn n n a b a b a b++→∞+≠-+.例10 1) 1321lim 242n n n →∞-⋅⋅⋅⋅⋅⋅; 2) lim[(1)]n n n αα→∞+- 01α<<;3) 22lim(1)(1)(1)nn ααα→∞++⋅⋅⋅+ 1α<.例11 设1,...,m a a 为m个正数，则1max{,,}m n a a =⋅⋅⋅.例12 设lim nn na b →∞存在，则若0n b →，必有0n a →.例13 若1||||n n a q a +≤，01q <<，则lim 0n n a →∞=.例14 若0n a >，1lim1nn n a L a →∞+=>，则lim 0n n a →∞=, 并利用其求2lim 4n n n →∞, 3lim n n n q →∞以及213lim 22n →∞+ 212n n -+⋅⋅⋅+. 一般常用结论: 若1lim ||1n n na l a +→∞=<, 则lim 0n n a →∞=.习题1. 求下列数列的极限1) limn→∞(n2) limn→∞3) limn→∞(1n4) limn→∞11(2)3(2)3n nn n++-+-+5) limn→∞212232n nnn++++6) limn→∞12()22n nn+++-+7)limn→∞8) limn→∞11(1)nkk k=+∑2. 设{}n a为无穷小数列, {}n b为有界数列, 证明: {}n na b⋅为无穷小数列.3. 求下列极限1)122lim(2sin cos)nnn n→+∞+2)1lim(arctan)nnn→+∞3) 11lim(1)n n n→∞- 4) 22)nn →∞⋅5) 1!2!!lim!n n n →∞+++ 6) 1321lim 242n n n→∞-⋅⋅⋅4. 说明下列数列发散1) (1)1nn n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭ 2) {}(1)n n- 3) sin 4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭5. 证明: 若0>n a , 且1lim 1>=+∞→l a a n nn , 则.0lim =∞→n n a6．设a a n n =∞→lim , 证明:1) a nna n n =∞→][lim;2) 若0,0>>n a a , 则1lim =∞→n n n a .§3 数列极限存在条件考察数列极限问题，首先应考察其极限是否存在 (极限存在性问题)， 若极限存在，则应考虑如何求极限值(极限的计算问题). 一、单调有界原理 (充分条件)定理 (单调有界定理) 有界的单调数列必有极限.[上(下)有界的单调递增(递减)数列必有极限且极限为其上(下)确界] 例1 设111123n a nααα=+++⋅⋅⋅+, (2)α≥, 证明: {}n a 收敛.例2 设12,n a a a ==⋅⋅⋅=n 重根号)， 证明：{}n a 单调有界, 并求其极限.注 1 在具递推关系式的数列{}n a 中，如1()n n a f a +=，若要求其极限，则我们可首先假定极限存在设为a ,则有()a f a =.由此方程解出a (此值一般即为极限), 其次一方面可考察n a a -(考虑用N ε-定义);另一方面,可考察是否有n a a ≤ (或n a a ≥)? 若n a a ≤，则一般证n a 递增(如n a a ≥，则证n a 递减)，此时应考察1n n a a +-的符号(或1n na a +与“1”的大小关系).例3 设1, 0a x >，11()2n n nax x x +=+，n N ∈, 求证: {}n x 收敛,并求其极限.例4 证明: 极限1lim (1)n n n→+∞+存在，并利用其来求下列极限1) 1lim (1)n k n n +→+∞+ 2) 31lim (1)2n n n →+∞+3) 1lim (1)n n n -→+∞- 4) 1lim (1)n n n →-∞+5) 3lim ()2n n n n →+∞++ 6) 31lim (1)2n n n→+∞-.二、Cauchy 准则定义 (Cauchy 列) 如果数列{}n a 满足：0,,,:m n N m n N a a εε∀>∃>-<，则称 数列{}n a 为Cauchy 列或基本列.注 2 {}n a 为Cauchy 列0,,,:dn p n N n N p N a a εε+⇔∀>∃∀>∀∈-<. 定理 (Cauchy 准则) {}n a 收敛⇔{}n a 为Cauchy 列.注 3 Cauchy 准则方便之处在于无需知道具体极限值的情况下，就可以直接 判断{}n a 是否收敛.例6 利用Cauchy 准则证明：{}n a 收敛, 其中22211112n a n =++⋅⋅⋅+.例7 利用Cauchy 准则叙述{}n a 发散的条件, 并证明1112n a n =++⋅⋅⋅+发散.例8 利用Cauchy 准则证明limsin n n →∞不存在.三、邻域的语言*a R ∈,a 的邻域，(,)U a a εε=-+; ∞的邻域，(,)M -∞-⋃(,)M +∞，0M ∀>+∞的邻域, (,)M +∞,0M ∀> -∞的邻域，(,)M -∞-,0M ∀>lim n n a a →∞=0,,:n N n N a a εε⇔∀>∃>-<.⇔对a 的任一邻域U ，∃+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.lim n n a →∞=+∞0,,:n M N N n N a M ⇔∀>∃∈>>.⇔对+∞的任一邻域U ，∃+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.lim n n a →∞=-∞⇔……记*{,}R R =⋃-∞+∞，*a R ∈.*lim n n a a R →∞=∈⇔对a 的任一邻域U ，存在+∞的邻域V ，:n n N V a U ∀∈⋂∈.习 题1. 证明}{n a 收敛，并求其极限，，其中11n a a +==1,2,n =.2. 设c a =1)0(>c , 11,2...n a n +==, 证明数列}{n a 极限存在并求其值.3. 求下列极限1) 1lim(1)nn n→∞-; 2) 21lim(1)n n n →∞+; 3) 241lim ()2n n n n +→+∞++.4. 证明: 若单调数列}{n a 含有一个收敛子列, 则}{n a 收敛.5. 证明: 若}{n a 为递增(递减)有界数列, 则{}{}).(inf sup lim n n n n a a a =∞→又问逆命题成立否?7. 应用Cauchy 准则证明{}n x 收敛，其中 1) 2sin1sin 2sin 222n n nx =++⋅⋅⋅+2) 0.90.090.0009n x =++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅（n 个0）8. 利用Cauchy 准则叙述数列}{n a 发散的充要条件,并用它证明下列}{n a 发散:1) n a nn )1(-=; 2) 2sinπn a n =.习题课一、知识复习1、n a a →d⇔0,,:n N n N a a εε∀>∃>-< ⇔{}n a 的任一子列均收敛于a ⇔{}n a 的奇偶子列均收敛于a . n a a →⇔2、 {}n a 收敛 ⇔{}n a 的任一子列均收敛⇔{}n a 的任一子列均收敛并且收敛于同一个数.⇔0,,,:n m N m n N a a εε∀>∃>-<. {}n a 发散⇔3、单调有界数列必收敛 1lim(1)n n e n →∞+=.4、n a a →的几何意义.5、收敛数列的性质及其证明. 二、典型方法 1、求极限的方法 1) 利用定义a) 观察确定极限值，利用定义验证.b) 对递推数列，可先假定极限存在，利用递推关系，求得极限，再用定义验证.2) 利用10nα→ (0)α>，0n a → (1)a <, 1(0)a →>,1及四则运算法则.3) 利用已知极限，如1lim(1)n n e n →∞+=.4) 利用单调有界原理(如何求极限).5) 利用适当的变换或变形(拆项、插项、裂项).2、证明极限存在方法 1) 用定义(先求极限值). 2) 利用单调有界原理. 3) 利用Cauchy 准则.3、证明极限不存在的方法 1) 定义.2) 找一个发散子列或两个收敛子列但极限不等. 3) 利用Cauchy 准则.4、一些常用结论1) lim 0n n a →∞=，{}n b 有界，则lim 0n n n a b →∞=.2) limnn na b →∞存在，且lim 0n n b →∞=，则lim 0n n a →∞=. 3) 设1lim ||1n n na l a +→∞=<，则lim 0n n a →∞=.4) 若数列满足{}n a 满足1n n a a q a a +-≤-, 01q <<，则lim n n a a →∞=.5) 若{}n x 满足11n n n n x x q x x +--≤- 01q <<，则{}n x 收敛. 6) 1,...,m a a 为m个正数，则1lim max{,,}m n a a =⋅⋅⋅.思考: 设{}n a为有界正数列，则?n =. 7) 设n n x a y ≤≤，0n n x y -→，则,n n x a y a →→.8) 设{}n x ↑，{}n y ↓, 0n n x y -→, 则{},{}n n x y 均收敛,且极限相同. 9) 0,n n a a b b →>→，则n b b n a a →.10) , n n a a b b →→，则max{,}max{,}n n a b a b →, min{,}min{,}n n a b a b →. 11) 设lim n n a a →∞=，则i) 12limnn a a a a n→∞++⋅⋅⋅+=，ii) 若0n a >，则n a =.并考察下列极限(教材43页第四题)(1)1112n n ++⋅⋅⋅+(2) 0)a >(3)……12) (Stolz 定理) 设{},{}n n x y 满足i) 1n n y y +>， ii) lim n n y →∞=+∞，iii)11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，(l 为有限数)， 则lim n n nxl y →∞=.并利用Stolz 定理求下列极限 i) 设n x a →，求1222limnn x x nx n →∞++⋅⋅⋅+.ii) 112lim p p pp n n n +→∞++⋅⋅⋅+ (0)p >.iii)113(21)lim p p pp n n n+→∞++⋅⋅⋅+- (0)p >.利用单调有界原理或Cauchy 准则考察下列命题.13) 设10x >，13(1)3n n n x x x ++=+，证明: lim n n x →∞存在并求极限.14) 证明: 若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且0)(lim =-∞→n n n b a ， 则n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 都存在且相等.15) 设011>>b a , 记 211--+=n n n b a a , 11112----+=n n n n n b a b a b .,3,2 =n 证明: 数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a .16) 给定正数1a 与)(111b a b >,作出等差中项2112b a a +=与等比中项112b a b =, 一般地令 21n n n b a a +=+, n n n b a b =+1, ,2,1=n . 证明: n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在且相等.17) 设0,0>>σa ,1111(), (), 1,2,.22n n n n a a a a n a a σσ+=+=+=证明: 数列}{n a 收敛, 且其极限为σ.18) 设数列}{n a 满足: 存在正数M , 对一切n 有 .12312M a a a a a a A n n n ≤-++-+-=-证明: 数列}{n a 与}{n A 都收敛.19) 若单调数列有一子列收敛，则该数列收敛.20) 若S 为有界集，则存在数列{}n x S ⊂，使得sup n x S →.21) 若S 为有界集，如果sup S S ∉，那么存在严格递增数列{}n x S ⊂，使得sup n x S →.22) 设S 为无界集，则存在{}n x S ⊂,使得n x →∞23) 若S 为无上界集, 则存在严格增的{},n n x S x ⊂→+∞.24) 证明: 任一数列必有单调子列.25) 证明: 任一有界数列必有收敛子列.。
