第二章 数列极限

1. 实数及其性质
回顾中学数学里关于有理数和无理数的定义.
有理数：
⎧⎪能用互质分数 ⎨
p q
(
p,
q
为整数，q
≠
0)
表示的数；
⎪⎩有限十进小数或无限十进循环小数表示的数
例 1 设 p 为正整数，若 p 不是完全平方数，则 p 是无理数.
证明：反证法。若
p 是有理数，则
p 可表示成：
p
=
n ，从而整数 p 可表示成： p = m
记作ξ = inf S . 上确界与下确界统称为确界。
{ } 例 1 讨论数集 S = x x为区间(0,1)中的有(无)理数 的确界。
分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界。
提示：利用有理数集在实数集中的稠密性。 sup S = 1, inf S = 0.
例 2（１）
S = [0,1],sup S = 1,inf S = 0. （２）
分析：首先，由 S = A ∪ B 及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集。其次，证明（１）、（２）。
〖课外作业〗
2-2 数列极限
4
〖教学目的和要求〗初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延；学会用定义证明极限的基本方法；加深 对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义。
（其中 xn 为 x 的 n 位不足近似， yn 为 y 的 n 位过剩近似）．
例 2 设 x, y 为实数， x < y ，证明存在有理数 r ，满足 x < r < y ．
( ) 证明
由x<
y 知：存在非负整数 n，使得 xn
<
yn ．令 r
=
1 2
xn + yn
，则 r 为有理数，且 x ≤ xn < r < yn ≤ y ．即
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定义１（上、下界）： 设 S 为 R 中的一个数集。若存在数 M (L) ，使得一切 x ∈ S 都有 x ≤ M (x ≥ L) ，则称
Ｓ为有上（下）界的数集。数 M (L) 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界
集。 若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集。 注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：
负实数 x , y ，若按定义 有 − x > − y ，则称 x < y 或 y > x ；规定任何非负实数大于任何负实数
定义２（不足近似与过剩近似） 设 x = a0a1Lan L 为非负实数，称有理数 x = a0a1Lan 为实数 x 的 n 位不
足近似； xn
=
xn
+1 10n
S
=
⎧ ⎨ ⎩
(−1)n n
n = 1, 2,L⎬⎫,sup S ⎭
=
1 ,inf S 2
= −1.
（３） N+ , sup N+不存在, inf N+ = 1.
确界的性质
3
《数学分析》教案 ---- 数列极限
z 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；
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z 若数集Ｓ存在上、下确界，则有 inf S ≤ sup S ；
4
接多边形的周长组成的）数列
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DE = r −
r2
−
a
2 n
,
4
r =1
⇒
a2 n+1
=
⎜⎛ an ⎝2
⎟⎞ 2 ⎠
+
DE 2
=
an2 4
+
(1−
1 − an2 4
)2=2 −4 − an来自 )可以看出，随着 n 的无限增大， an 无限地接近圆的周长π 。 这正如刘徽所说“割之弥细，所失弥小，割之
n
p
于是 x = a + x − a = m − q = mp − nq 为有理数，矛盾 n p np
(2)有序性 任意两个实数 a, b 必满足下列关系之一： a < b, a > b, a = b .
(3)传递性 实数大小有传递性，即 a > b, b > c 则有 a > c. (4)阿基米德性 ∀a,b ∈ R,b > a > 0 ⇒ ∃n ∈ N 使得 na > b ．
(5)稠密性 两个不等的实数之间总有另一个实数． (6)实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．
例 4 设 ∀a,b ∈ R ，证明：若对任何正数 ε ，有 a < b + ε ，则 a ≤ b ．
2
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（提示：反证法．利用“有序性”，取 ε = a − b ）
4. 有界集与无界集
为 2 的过剩近似值。
注：实数 x 的不足近似 xn 当 n 增大时不减，即有 x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ L ≤ x; 过剩近似 xn 当 n 增大时不增，即有 x0 ≥ x1 ≥ x ≥ L ≥ x ．
命题 1 记 x = a0a1Lan L ，y = b0b1Lbn L 为两个实数，则 x > y 的等价条件是：存在非负整数 n，使 xn > yn
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第二章 数列极限
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总学时 18
〖教学要求〗掌握实数及其性质、实数集合的最大数和最小数、集合的上界、下界、上确界和下确界等基本 概念；掌握确界原理。掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性 的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。掌握上（下）极限的定义, 理解上下极限和极限的关系,掌握 上（下）极限的运算。 〖教学内容〗 §1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
a0.a1a2 Lan = a0.a1a2 L(an −1)99L9L 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如：2.001 记为 2.000999 L ；0 记为 0.000 L ；− 8 记
为 − 7.999 等等. 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此
z 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ； 定理１（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界。
例 3 设数集Ｓ有上界，证明：η = sup S ∈ S ⇔ η = max S.
分析：由确界原理， sup S 意义，按确界定义证明。
例 4 设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切 x ∈ A 和 y ∈ B 有 x ≤ y . 证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，
x<r< y．
３．实数常用性质
(1)封闭性 实数集Ｒ对 +, −,×, ÷ 四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是
实数．
例 3 设 a 为有理数， x 为无理数，则 a + x 是无理数。
证明：反证法。若 a + x 是有理数 ⇒ a + x 可表示成 a + x = m ，因 a 为有理数， a 也能表示成 a = q ，
例 1 讨论数集 N+ = {n | n为正整数} 的有界性。
分析：有界或无界? 有上界、下界？下界显然有，如取 L = 1 ；上界似乎无，但需要证明。 解：任取 n0 ∈ N+ ，显然有 n0 ≥ 1 ，所以 N+ 有下界１；但 N+ 无上界。证明如下：假设 N+ 有上界 M,则 M>0，
按定义，对任意 n0 ∈ N+ ，都有 n0 ≤ M ，这是不可能的，如取 n0 = [M ] +1, 则 n0 ∈ N+ ，且 n0 > M .
综上所述知： N+ 是有下界无上界的数集，因而是无界集。
例 2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有 界集。 [问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)。 5. 确界与确界原理
定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η 满足：(1) 对一切 x ∈ S, 有 x ≤ η （即η 是Ｓ的上界）;
又割，以之不可割，则与圆合体而无所失矣”.
再例如,有这么一个变量，它开始是１，然后为
1 2
,
1 3
,
1 4
,L,
1 n
,L
如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，
但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说，这个变量的极限为０。
这三个数列有一个共同的特征，都存在一个常数 A ， 当 n 充分大时， | an − A | 充分的小， 即不管事 先给多么小的一个正数，比如 0.1, 0.01, 0.001 … , 我们都能找到一个相应的自然数 N ， 当 n > N 时
且 sup A ≤ inf B.
分析：首先，证明 sup A, inf B.有意义，用确界原理。其次，证明 sup A ≤ inf B.
例 5 设Ａ、Ｂ为非空有界数集， S = A ∪ B ，证明：
（１） sup S = max{sup A,sup B} ；（２） inf S = min{inf A,inf B} 。
规定下，如何比较实数的大小？ ２．实数大小的比较
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定义 1 给定两个非负实数 x = a0a1Lan L ，y = b0b1Lbn L . 其中 a0 , b0 为非负整数，ak , b k (k = 1, 2,L) 为 整数，0 ≤ ak ≤ 9, 0 ≤ b k ≤ 9 ．若有 ak = b k , k = 1, 2,L，则称 x 与 y 相等，记为 x = y ；若 a0 > b0 或存在非 负整数 l ，使得 ak = b k , k = 1, 2,L, l ，而 al+1 > bl+1 ，则称 x 大于 y 或 y 小于 x ，分别记为 x > y 或 y < x ．对 于负实数 x 、 y ，若按上述规定分别有 −x = − y 或 −x > − y ，则分别称为 x = y 与 x < y （或 y > x ）．对于