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数a.
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数列极限的精确定义 设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xna |<
总成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为 n l x n i a 或 x n m a ( n ) .
A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积,
A3表示圆内接正24边形面积,
,
An表示圆内接正62n-1边形面积,
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第 第一 二天天 截截 下的 下杖 X的 1 长 为 12杖 ;为 X2长 12总 212和 ;
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x 1,x 2, ,x n , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
三、数列的极限
数列极限来自实践，它有丰富的实
际背景.我们的祖 先很早就对数列
进行了研究，早在战国时期就有了
极限的概念
例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也 就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过 程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排 成一列, 如图所示,
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
章数列极限
§2.1数列极限的概念 §2.2收敛数列的性质 §2.3数列极限存在的条件
§2.1 数列极限的概念
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列极 限的方法
一、概念的引入
引 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 例 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
2.N与任意给定的 有正 关 . 数
N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
例如 n l n l n n n n 1 1 1 1 , , i im m
n n l l 2 2 1 1 n n 0 0 , , i im m
n l n l n n ( n ( 1 n ) 1 n ) n 1 1 1 i 1 . i . m m
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
或 说 数 列 { x n } 是 发 散 的 , 习 惯 上 也 说 n l x i n 不 m 存 在 .
•极限定义的简记形式
nlimxn a 0, NN, 当nN时, 有|xna| .
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8, ,2n, ; { 2 n }
1 2,1 4,1 8, ,21n, ;
{
1 2n
}
1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1, ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ;
23
n
n (1)n1
{
}
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
•分析
当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 .
当n无限增大时, |xna|可以任意小, 要多小就能有多小.
当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意
小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先
给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常
（c11(k)） 其长度组成的数列为
1
2
n
1
0.8
0.6
,
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Байду номын сангаас
随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。
数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为 n l x n a . im
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
注
