S-可除模及S-Dedekind环高玉兵;王芳贵;熊涛【摘要】设R是任何环,M是R-模.S是包含在R的中心内的非零因子乘法封闭集,对任意的非零因子u∈S,Ext(R/Ru,M)=0,则称M是S-可除模;若对任何S-正则左理想I,Ext(R/I,E)=0,则称E是S-正则内射模.环R称为S-Noether环,是指R的S-正则左理想是有限生成的.交换环R称为S-Dedekind环,是指R的任何S-正则理想是可逆理想.讨论S-Noether环的基本性质,并用S-可除模来刻画S-Dedekind 环,证明R是S-Dedekind环当且仅当S-可除模是S-正则内射模.%Let R be a ring and M be a R-module.Let S denote the regular multiplicative closed set of the center in R.If Ext(R/Ru,M)=0,for any regular element u∈S,then M is called an S-divisible modules.A left R-module E is called an S-regular injective if Ext(R/I,E)=0 for any S-regular left ideal I.R is called an S-Notherian rings if every S-regular left ideal in R is finitely generated.A commutative ring is called an S-Dedekind ring if every S-regular ideal in R is invertible.In this paper,we discuss the basic properties of S-Noetherian rings.With S-divisible modules characterized S-Dedekind rings,it is also shown that R is an S-Dedekind rings if and only if S-divisible modules are S-regular injective modules.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)006【总页数】6页(P784-789)【关键词】S-正则理想;S-可除模;S-正则内射模;S-Noether环;S-Dedekind环【作者】高玉兵;王芳贵;熊涛【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066【正文语种】中文【中图分类】O154可除模对整环的刻画起了重要作用,例如,经典的结果有整环R是Dedekind整环当且仅当可除模是内射模[1];再如整环R是Prüfer整环当且仅当可除模是FP-内射模[2].也可以用可除模来刻画其他的整环,例如文献[3]证明了整环R是几乎完全整环当且仅当可除模是弱内射模.如今,有了很多对可除模概念推广的研究[4-10].不少学者希望把用可除模刻画整环的研究方法推广到一般交换环上.有2条路线可以实现这一做法:一条路线是Fuchs和Salce的限制方法,L. Fuchs等[11]率先对整环R的乘法封闭集S引入了S-可除模的概念,并作了相关研究;另一条路线是L. X. Mao等[12]把可除模的概念推广到非交换环上的做法,他们定义左R-模M是可除模,是指对任何对于文献[12]意义的可除模,有些文献称为P-内射模.本文把这2个做法结合起来,在一般环上来定义S-可除模.设S是包含在R中心内一个非零因子乘法封闭集,称R-模M是S-可除模是指如果对任何一个非零因子u∈S,都有M=uM;等价地有并将用S-可除模来刻画与Dedekind整环相对应的S-Dedekind环的性质.为此,本文定义了S-Dedekind环和S-正则内射模.设是交换环,若R的每个S-正则理想都是可逆的,则R称为S-Dedekind环.这里,R的一个左理想I称为S-正则的是指I∩S≠Ø;一个模E称为S-正则内射模是指对任何S-正则左理想I,都有最后证明了一个交换环R(未必是整环)是S-Dedekind环当且仅当S-可除模是S-正则内射模.最后,本文恒设R是有单位元的结合环,若无特别指定,所有的模均指左模.对R-模M,E(M)表示M的内射包络.其他未指明的环与模的概念和符号,可以参见文献[13]. 尽管传统的可除模的研究主要放在交换环上,但为了使结论对非交换环起作用,以下假设R可以是非交换环,S是包含在R的中心内的非零因子乘法封闭集.定义 2.1 设M是R-模.1) 令tor(M)={x∈M|存在u∈S,使得ux=0},这是M的子模,称为M的完全S-挠子模.此外,若tor(M)=M,则M称为S-挠模;若tor(M)=0,则M称为S-无挠模;2) 如果对任何u∈S,都有M=uM,等价地有则M称为S-可除模.当S是R的中心的所有非零因子乘法集时,S-可除模简称为可除模.例 2.2 下面的事实是显然的:1) 内射模和FP-内射模都是S-可除模;2) S-挠模的子模与商模都是S-挠模;3) S-无挠模的子模是S-无挠模;4) 若M是S-无挠模,则E(M)是S-无挠模;5) 若N是任何模,M是S-无挠模,则HomR(N,M)是S-无挠模;6) 设{Mi}是一簇R-模,则是S-可除模当且仅当每一Mi是S-可除模,当且仅当是S-可除模.命题 2.3 R-模M是S-可除模当且仅当对任何u∈S,及任何n≥1,有证明设M是S-可除模,则n=1时断言是成立的.由于u不是R的零因子,故pdRR/Ru≤1，因此当n≥2断言也是成立的.反之是显然的.命题 2.4 对任何R-模M,以下等价:2) 对任何u∈S,0→HomR(R/Ru,M)→HomR(R,M)→HomR(Ru,M)→0是正合列;3) 设A是R-模B的子模,f:A→M是同态.若存在u∈S,使得B/A≅R/Ru,则0→HomR(B/A,M)→HomR(B,M)→HomR(A,M)→0是正合列;4) 设A是R-模B的子模,f:A→M是同态.若存在u∈S,使得B/A≅R/Ru,则同态f可以扩张到B;5) 设0→M→B→C→0是正合列.若存在u∈S,使得C≅R/Ru,则该正合列分裂.证明 1)⟺2)和1)⟺4)⟺3)显然.3)⟺1) 设0→A→B→B/A→0是正合列,则由诱导的正合列0→HomR(B/A,M)→HomR(B,M)→HomR(A,M)→).由条件知B/A≅R/Ru且诱导的正合列右正合,所以得证.1)⟺5) 由文献[13]的定理4.5.4(3)即得.命题 2.5 S-可除模的正向极限是S-可除模.证明设{Mi}是一簇S-可除模.由文献[14],存在子模N⊆使得N.因此是S-可除模. 定义 2.6 设M是R-模,1) 若由x∈E(M),u∈S,ux∈M,能推出x∈M,则M称为S-可约模;2) 令S(M)={x∈E(M)|存在u∈S,使得ux∈M},称之为M的S-可除包络.例 2.7 设u∈R是非零因子,S={un|n≥0},则S(Ru)=S(R)=Ru.命题 2.8 设M是R-模,1) M是S-可约模当且仅当E(M)/M是S-无挠模;2) S(M)是S-可约模;3) 若M是S-可约模,则M是S-可除模,从而S(M)是S-可除模.证明 1) 显然.2) 设x∈E(M),u∈S,ux∈S(M),则存在u1∈S,使得u1ux∈M.于是有x∈S(M),故3) 设u∈S,f:RuM是同态,则存在同态g:RE(M),使得对g(u)=ug(1)=f(u)∈M.由于M是S-可约模,故有x∈M,即Im(g)⊆M.因此有g:R→M是f的扩张.故M是S-可除模.定理 2.9 设M是S-无挠的S-可约模,N是M的子模,则N是S-可约模当且仅当由x∈M,u∈S,ux∈N能推出x∈N.证明必要性设N是S-可约模,由于N是M的子模,可设E(N)⊆E(M),于是有E(M)=E(N)⊕A,其中A是E(M)的子模.记x=y+z,y∈E(N),z∈A.对任何u∈S,有uz=ux-uy∈N∩A,因此uz=0.由于M是S-无挠模,由例2.2知E(M)也是S-无挠模,故得到z=0,因此x∈E(N).再由N是S-可约模的定义知x∈N.充分性设x∈E(N),u∈S,ux∈N.由M是S-可约模及x∈E(M),有x∈M,由条件,故N是S-可约模.设I是R的左理想.若I∩S≠Ø,则称I是S-正则左理想.容易看到,若I是S-正则左理想,则R⊆S(I).文献[15]定义了正则内射模的概念,相应地,本文也引入S-正则内射模的概念.定义 3.1 设E是R-模.若对任何S-正则左理想I,有则E称为S-正则内射模.例 3.2 下面的事实也是显然的.1) 内射模是S-正则内射模;2) S-正则内射模是S-可除模;3) 设{Mi}是一簇R-模,则是S-正则内射模当且仅当每一Mi是S-正则内射模;4) 设0→A→B→C→0是正合列,且A和C都是S-正则内射模,则B也是S-正则内射模.定理 3.3 对R-模E,以下各条等价:1) E是S-正则内射模;2) 对R的任何S-正则左理想I,任何同态f:I→E能扩张到R上;3) 设A是R-模B的子模,f:A→E是同态.若B/A是S-挠模,则f可以扩张到B;4) 对任何S-挠模5) 设A是R-模,f:A→E是同态,则f可以扩张到S(A).证明 1)⟺2)和3)⟺4)显然.2)⟺3) 设f:A→E是同态,令Γ={(C,d)|C是B中包含A的子模,且d是f在C上的扩张}.类似于Baer准则的证明,Γ中有极大元,设为(C,d).下证C=B,从而断语成立.若C≠B,取x∈B-C.令I={r∈R|rx∈C},则I是R的左理想.由于B/A是S-挠模,故存在u∈S,使得ux∈C.因此I是S-正则左理想.令h:I→E,使对r∈I,h(r)=d(rx).由条件,有同态g:R→E,使得h(r)=g(r),r∈I.令C1=C+Rx,d1:C1→E,使d1(c+rx)=d(c)+g(r),c∈C,r∈R.若c+rx=0,则r∈I,从而d(c)+g(r)=d(c)+d(rx)=d(c+rx)=0.故d1是完全确定的同态,且是d的扩张，因此(C1,d1)∈Γ,这与(C,d)的极大性矛盾.3)⟺2)和3)⟺5)显然,因为R/I和S(A)/A都是S-挠模.5)⟺2) 设I是R的正则左理想,f:I→E是同态.由条件,存在f可以扩张为h:S(I)→E.由于R⊆S(I),故同态g=h|R就是f的扩张.定理 3.4 对S-无挠模E,以下各条等价:1) E是S-正则内射模;2) E是S-可除模;3) E是S-可约模.证明 1)⟺2) 显然.2)⟺3) 设E0是E的内射包,x∈E0,u∈S,ux∈E.定义f:Ru→E,使得f(ru)=rux.由于E是S-可除模,故存在同态g:R→E,使得g(u)=f(u)=ug(1)，因此有u(x-g(1))=0.由例2.2的4),E0是S-无挠模,故有x=g(1)∈E,即E是S-可约模.3)⟺1) 设I是R的S-正则理想,f:I→E是同态,则存在同态g:R→E0,使得下图可交换设u∈I∩S,则ug(1)=g(u)=f(u)∈E.由于E是S-可约模,故g(1)∈E,即g:R→E是f 的扩张,故E是S-正则内射模.命题 3.5 设0→A→M→B→0与0→A→M′→C→0是正合列,其中M是S-正则内射模,C是S-挠模,则有正合列0→M′→M⊕C→B→0.证明由定理3.3,存在同态g:M′⟺M,使得下图是行正合的交换图其中g1是左边方图的诱导同态.由此得到0→M′→M⊕C→B→0是正合列.定义 4.1 环R称为(左)S-Noether环,是指每个S-正则左理想都是有限生成的.定理 4.2 对环R,以下各条等价:1) R是S-Noether环;2) R有S-正则左理想的升链条件;3) R有S-正则左理想的极大条件.证明 1)⟺2) 设M1⊆M2⊆…⊆Mn⊆…是R的S-正则左理想升链.令N=∪Mi.由条件N是有限生成的S-正则左理想.记N=Rx1+…+Rxk.故存在m,使得对一切i,xi∈Mm,从而有N⊆Mm.于是当n≠m时,Mn=Mm.2)⟺3) 设Γ是R的S-正则左理想的非空集合.若Γ中无极大元,任取M1∈Γ,则M1不是极大元素.故有M2∈Γ,使得M1⊂M2.同理M2也不是极大元素,故又可找M3∈Γ,使得M2⊂M3.如此下去,于是得到R的一个S-正则左理想升链M1⊂M2⊂…⊂Mn⊂…,该链不是稳定的,这与给定的条件矛盾.因此Γ中有极大元. 3)⟺1) 设N是R的S-正则左理想,令Γ={A⊆N|A是有限生成的S-正则左理想}.取u∈N∩S,则Ru∈Γ,故Γ非空,因此Γ有极大元A.若A≠N,则存在x∈N-A,于是A1=A+Rx是N的有限生成S-正则左理想且真包含A,这与A的选择的极大性矛盾,因此N=A是有限生成的S-正则左理想.故R是S-Noether环.定理 4.3 设R是交换环,则R是S-Noether环当且仅当R的任何S-正则素理想是有限生成的.证明必要性显然.充分性设Γ是R的非有限生成S-正则左理想的集合.若Γ非空,由Zorn引理,Γ中有极大元p.设a,b∈R,使得ab∈p.若a∉p,且b∉p,令J={r∈R|ra∈p},则b∈J.于是p⊂p+Ra,p⊂J,因此p+Ra与J都是有限生成的.设{p1+r1a,…,pn+rna}是p+Ra的生成系,p1,…,pn∈p,r1,…,rn∈R,及{x1,…,xm}是J的生成系.类似于文献[13]中定理1.2.5,可以证明p是有限生成的,这与p的选择矛盾.故Γ为空集,从而R是S-Noether环.设R是交换环,I是环R的理想.当时,则I称为根理想.定理 4.4 设R是交换S-Noether环,则任何S-正则根理想是有限个(S-正则的)素理想的交.证明反设I是S-正则根理想,但I不是有限个素理想的交.令是根理想,但A不是有限个素理想的交},则I∈Γ,故Γ非空.由定理4.2,Γ中有极大元,设为L.显然L不是素理想,则存在a,b∈R,ab∈L,但a∉L,且b∉L.设由a∈J,b∈K,知LJ,LK.由于L是Γ中的极大元,故J 和K都是R中有限个素理想的交.下证L=J∩K.显然L⊆J∩K.设x∈J∩K,则存在正整数m,n,使得xm∈J,xn∈K.记xm=i1+ya,xn=i2+zb,其中,i1,i2∈L,y,z∈R,所以i1i2+i1zb+i2ya+yzab∈L.于是xm+n∈L,故x∈L.因此J∩K⊆L.于是得到L=J∩K,即L可以表示为有限个素理想的交,这与假设矛盾,故原结论成立.定理 4.5 设R是交换S-Noether环,I是R的S-正则理想,则I上只有有限个极小素理想.证明设p是I上的极小素理想,则I⊆⊆p.由定理其中pi是极小素理想.证明p是pi 中的一个,从而有I上的极小素理想只有有限个.由于p1…pn⊆⊆p,故存在i,使得pi⊆p.由p的极小性知p=pi,故得证.定义 5.1 环R称为(左)S-遗传环,是指每个S-正则左理想都是投射模.定理 5.2 对环R,以下各条等价:1) R是S-遗传环;2) S-正则内射模的商模是S-正则内射模;3) 内射模的商模是S-正则内射模;4) 设P是投射模,M是P的子模.若P/M是S-挠模,则M是投射模;5) 设P是投射模,M是P的子模,且I={r∈R|rP⊆M}是S-正则左理想,则M是投射模;6) 对任何S-挠模C,pdRC≤1.证明 2)⟺3)和4)⟺6)显然.1)⟺2) 设0→A→L→C→0是正合列,其中L是S-正则内射模.对R的任何S-正则左理想I,由I的投射性知≅≅故C是S-正则内射模.3)⟺4) 设A是任何R-模.取正合列0→A→E→C→0,其中E是内射模.由条件,C是S-正则内射模.由于P/M是S-挠模,则有≅≅故M是投射模.4)⟺5) 显然,因为此时的P/M是S-挠模.5)⟺1) 设I是R的S-正则左理想.对P=R,M=I应用给定的条件得到I是投射模.故R 是S-遗传环.设R是交换环,用T(R)表示R的完全商环,即T(R)中的元素可以表示为r/s,其中r∈R,s是R的非零因子.注意r/s是T(R)的非零因子当且仅当r是R的非零因子.设A是T(R)中的R-子模,称A是正则的,是指A包含T(R)中的一个非零因子.对T(R)的任何R-子模A,定义A-1={x∈T(R)|xA⊆R},则显然A-1还是T(R)的R-子模.若存在T(R)的R-子模B,使得AB=R,则A称为可逆的.此时必有B=A-1.因此A是可逆的当且仅当AA-1=R.引理 5.3 设A是T(R)的R-子模,则有:1) 若A是可逆的,则A是有限生成的;2) 若A是正则的,则A是投射模当且仅当A是可逆的.证明 1) 因为A可逆,则AA-1=R.故存在ai∈A,xi∈A-1,使得容易看到A是由{a1,a2,…,an}生成的集合,即A是有限生成的.2) 必要性设A是投射模.设{ai,fi|i∈Γ}是A的投射基.由于A是正则的,存在正则元b∈A,不妨设b=r1/t1.t1∈S,r1∈R.对任何的a∈A,不妨设a=r/t,t∈S,r∈R.由可得从而fi(ab)=afi(b).同理可证fi(ab)=bfi(a).故有afi(b)=bfi(a).令xi=fi(b)/b∈T(R),易证Axi⊆R,即有xi∈A-1.于是只有有限个fi(b)≠0,故只有有限个xi≠0.不妨设为n个,从而有所以又因为b是正则元,故即有AA-1=R.从而A可逆.充分性由于A是可逆的,故有其中ai∈A,xi∈A-1.设映射fi:A→R,fi(a)=axi,对任意a∈A,则fi∈HomR(A,R).于是对任何a∈A有因此,A有投射基{a1,…,an,f1,…,fn},故A是投射模.设a∈R,若存在r∈R,及s∈S,使得s=ra,则a称为拟S-正则元素.显然,当S是饱和乘法集时,拟S-正则元全在S中.例 5.4 设R=Z,S={4n|n≥0},则2是拟S-正则元素,但不在S中.引理 5.5 设R是交换环,I是R的S-正则理想.若I是主理想,则I可由一个拟S-正则元素生成.证明设I=(a).取s∈I∩S,则s=ra,r∈R.因此,a是S-正则元素.定义 5.6 设R是交换环.若R的每个S-正则理想都是可逆的,则R称为S-Dedekind环.若每个S-正则理想是主理想,则R称为S-主理想环.当S是R的所有非零因子乘法集时,此时的S-Dedekind环就是诸多文献提到的Dedekind环.当R是整环,S=R-0时,则S-Dedekind整环就是众所周知Dedekind 整环,S-主理想环就是主理想整环.定理 5.7 设R是S-Dedekind环,则R是S-Noether环,且每个S-正则素理想是极大理想.证明由引理5.3,R是S-Noether环.设I是R的S-正则素理想.若I不是极大理想,则存在S-正则素理想J,使得IJ.令K=J-1I.因为I⊆J,则K⊆J-1J=R.又因为JK=I,JI,以及I是素理想,有K⊆I.由I=JK⊆JIRI=I,矛盾.所以I是极大理想.定理 5.8 设R是S-主理想环,则S-可除模是S-正则内射模.证明设E是S-可除模,I=(a)是S-正则理想,f:I→E是同态.设s∈I∩S,b∈R,使得s=ba.由于E是S-正则内射模,则存在x∈E,使得f(s)=sx=bax.令g:R→E,g(1)=x,则g(a)=ax,于是g是f的扩张,从而E是S-正则内射模.设T是R的乘法集,记则ST是RT的乘法集,且ST中任何元素都是RT中的正则元素.引理 5.9 设R是交换环,T是R的乘法集,I是R的有限生成的正则理想.记I(T)={x∈T(R)T|xIT⊆RT},则有:1) I(T)IT⊆RT,且I(T)=(I-1)T;2) 若I是S-正则理想,且IT=aRT/t是主理想,则ITI(T)=RT.证明 1) 显然有I(T)IT⊆RT.设x∈(I-1)T,则x=y/x,y∈I-1,t∈T,则yI⊆R.因此有xIT⊆RT.故x∈(IT)-1,(I-1)T⊆(IT)-1.反之,设x=y/t∈I(T),y∈T(R)T,t∈T,则xIT⊆RT.由于I是有限生成的,故存在t1∈T,使得t1yI⊆R.因此t1y∈I-1.从而有于是得到I(T)=(I-1)T.2) 取s∈I∩S,则存在t1∈T,b∈R,使得t1s=ba.于是b/s∈T(R).由于故b/s∈I(T).由于t1/t是RT中的单位,得到ITI(T)=RT.引理 5.10 设R是交换环,1) I是R的S-正则真理想,则存在R的S-正则极大理想m,使得I⊆m;2) 若A、B是R的S-正则理想,则A=B当且仅当对R的S-正则理想极大理想m,记T=R-m,有AT=BT.证明 1) 显然.2) 必然性是显然的,下证充分性.设a∈A,令I={r∈R|ra∈B},则I是R的理想.取u∈B∩S,则ua∈B,故u∈I,即I是S-正则理想.设m是R的S-正则极大理想,T=R-m.由于AT=BT,故存在t∈T,使得ta∈B,故Im.由1)有I=R.故1∈I.于是a=1a∈B,即A⊆B.同理,B⊆A.于是得到A=B.定理 5.11 设R是交换环,则以下各条等价:1) R是S-Dedekind环;2) R的任何S-正则极大理想m,记T=R-m,有RT是ST-主理想环;3) 对R的任何S-正则素理想P,P是可逆理想.证明 1)⟺2) 设A是RT的ST-的正则理想.令I={a∈R|a/1∈A},则I是R的S-正则理想,且A=IT.由于R是S-Dedekind环,I是投射理想,从而A=IT是投射RT模.因此A是主理想.故RT是ST-主理想环.2)⟺1) 设I是R的S-正则左理想,则IT是RT的ST-正则理想.由条件,IT是主理想.由引理5.9,于是有ITI(T)=IT(I-1)T=(II-1)T=RT.由引理5.10有II-1=R,故I是可逆理想.从而有R是S-Dedekind环.1)⟺3) 显然.3)⟺1) 令Γ={A|A是S-正则理想,A是不可逆的}.证明Γ是空集,从而有R是S-Dedekind环.若Γ非空,则由Zorn引理知Γ中有极大元,设为P.(注意,若{Ai}是Γ中的全序子集,则是不可逆的,从而A∈Γ,故Γ中的全序子集有上界.)设a,b∈R,ab∈P.若b∉P,则J=(P∶a)是R的真包含P的理想.由P的极大性,J是可逆理想.故P=PR=P(JJ-1)=(PJ-1J).注意P⊆PJ-1⊆R,且PJ-1不是可逆理想(否则存在T(R)的R-子模B,使得PJ-1B=P(J-1)=R,这与P不是可逆素理想的事实矛盾),故由P的极大性知PJ-1=P.由于Ja⊆P,有a∈PJ-1=P.因此,P是素理想.由条件,P是可逆的,矛盾.因此有Γ是空集.定理 5.12 设R是交换S-Dedekind环,E是R-模,则E是S-正则内射模当且仅当对R的任何S-正则极大理想m,记T=R-m,有ET是ST-正则内射RT-模.证明设E是S-正则内射R-模,A是RT的ST-正则理想.则I是R的S-正则理想,且A=IT.由于R是S-Nother环,故R/I是有限表现R-模.考虑下面的2行是正合列的交换图由于I是有限生成投射模,从而是有限表现模.故由文献[13]中定理3.4.8知θ同构.故由5项引理θ1是同构.故有因此ET是ST-正则内射模.反之,设对R的任何S-正则极大理想m,ET是ST-正则内射模.设I是R的S-正则理想,仍由上面的交换图知注意当m是R的极大理想但不是S-正则极大理想时,有S⊆T,因此,IT=RT,从而也有于是有即E是S-正则内射模.定理 5.13 设R是交换环,则以下各条等价:1) R是S-Dedekind环;2) R是S-遗传环;3) 每个S-可除模是S-正则内射模.证明 1)⟺3) 设E是S-可除模.对R的任何S-正则极大理想m,令T=R-m.易见ET是ST-可除RT-模,由定理5.11,RT是ST-主理想环.由定理5.8,ET是ST正则内射RT 模.由定理5.12,E是S-正则内射模.3)⟺2) 设C是内射模的商模.自然地,C是S-可除模.由条件,C是S-正则内射模.由定理5.2知R是S-遗传环.2)⟺1) 设I是R的S-正则理想.由条件,I是投射模.由引理5.3,I是可逆的.故R是S-Dedekind环.【相关文献】[1] SHARPE D W, VAMOS P. Injective Modules[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1972.[2] LEE S B. Weak-injective modules[J]. Commun Algebra,2006,34(1):361-370.[3] FUCHS L, LEE S B. Weak-injectivity and almost perfect domains[J]. JAlgebra,2009,321(1):18-27.[4] FUCHS L, SALCE L. Modules over Valuation Domains[C]//New York:Lecture Notes in Pure and Applied Math,1985:97.[5] LEE S B. h-Divisible modules over intergral domains[J]. J Algebra,2011,330(1):76-85.[6] ENOCHS E E, JENDA O M G. h-Divisible and cotorsion modules over one-dimensional Gorenstein rings[J]. J Algebra,1993,161(2):444-454.[7] FACCHINI A, BIEN M H. Injective modules and divisible modules over hereditary rings[J]. Unione Mat Ital,2015,7(4):299-308.[8] HÜGEL L A, HERBERA D, TRLIFAJ J. Divisible modules and localization[J]. J Algebra,2005,294(2):519-551.[9] LEE S B. h-Divisible modules[J]. Commun Algebra,2003,31(1):513-525.[10] MATLIS E. Divisible modules[J]. Proc Am Math Soc,1960,11(3): 385-391.[11] FUCHS L, SALCE L. S-divisible modules over domains[J]. Forum Mathematicum,1992,4(4):383-394.[12] MAO L X, DING N Q. On divisible and torsionfree modules[J]. CommunAlgebra,2008,36(2):708-731.[13] 王芳贵. 交换环与星型算子理论[M]. 北京:科学出版社,2006.[14] ROTMAN J J. An Introduction to Homological Algebra[M]. London:AcademicPress,1979.[15] 王芳贵,廖家丽. S-内射模及S-内射包络[J]. 数学学报,2011,54(2):271-284.[16] 王芳贵,汪明义,杨立英. 交换环上的极大性内射模[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2006,33(1):1-9.2010 MSC：16D50; 16E10; 16E30。
