贵州省遵义市南白中学2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含解析
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遵义市南白中学2017-2018-1高三第一次联考
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由不等式解得A=(−2,1)，B=(−1,3)，∴A∪B=(−2,3).
本题选择B选项.
2. 复数等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题选择C选项.
3. 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
本题选择C选项.
4. 命题，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】命题，是特称命题，其否定应为全称命题，其否定为：，. 本题选择A选项.
5. 设等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】等差数列中，
本题选择D选项.
6. 20世纪30年代为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中为被测地震的最大振幅，是标准地震振幅，5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？( )
A. 10倍 B. 20倍 C. 50倍 D. 100倍
【答案】D
【解析】设7级地震的最大震级为A1，5级地震的最大振幅为A2，则：
所以.
本题选择D选项.
7. 一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的最大值为( )
A. B. 1 C. D. 0
【答案】B
【解析】由程序框图知：当x⩽2时，则得xmax=1；
当x>2时，，
本题选择B选项. 8. 如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形的顶点被阴影遮住，请找出点的位置，计算的值为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】B
【解析】以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
据此可得：,
结合平面向量的平行四边形法则有：，
则：。
本题选择B选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
9. 点集，，在点集中任取一个元素，则的概率为( )
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】如图所示，阴影部分为满足题意的部分，其面积为，
概率空间为正方形的面积，，
利用几何概型计算公式可得满足题意的概型为.
本题选择B选项.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此即可求得概率.
10. 某实心几何体是用棱长为的正方体无缝粘合而成，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】结合三视图可得：该几何体是由三个几何体组成的组合体，从上到下依次为： 长宽高为的长方体，长宽高为的长方体，棱长为1的正方体，
据此可得其表面积为：
.
本题选择D选项.
点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
11. 函数()是奇函数，且图象经过点，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数为奇函数，则：，①
函数过点，则：，②
结合①②可得：，
则，结合函数的单调性可得函数 单调递增，
且当时，
结合奇函数的性质可得函数的值域为.
本题选择A选项.
12. 椭圆的左顶点为，右焦点为，过点且垂直于轴的直线交于两点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不妨设P位于第一象限，由结合椭圆方程可得：，
则：， 则：，
结合图形的对称性结合二倍角公式可得：
，
结合整理可得：，
据此得到关于离心率的方程：，
分解因式有：，
结合椭圆离心率的取值范围可得椭圆的离心率.
本题选择A选项.
点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，则__________．
【答案】
【解析】由题意可得，即，填-3.
14. 实数满足条件，则的最大值为__________．
【答案】4
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标还是在点处取得最大值.
点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
15. 展开式中的系数为，则展开式中的系数和为__________．
【答案】0
【解析】的展开式的通项是，令9-2r=3,解得r=3，
∵展开式中的系数为， ，
令x=1，得展开式的系数和为0.
16. 已知函数，曲线在点处的切线与轴的交点的纵坐标为，则数列的前项和为__________．
【答案】
【解析】对函数求导可得：，
则，
且：，
曲线在处的切线方程为， 令可得：，
即，
错位相减可得其前n项和为.
点睛：在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，内角的对边成公差为2的等差数列，.
(1)求；
(2)求边上的高的长.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：
(1)由等差数列的性质可得，，结合余弦定理可得关于实数a的
方程，解得.
(2)利用面积相等的关系可得边上的高的长是．
试题解析：
(1)由题意得，，
由余弦定理得，
即，∴或(舍去)，∴.
(2)解法1由(1)知，，，由三角形的面积公式得：
，∴，
即边上的高.
解法2：由(1)知，，，
由正弦定理得，即，
在中，，即边上的高. 18. 某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名学生进行问卷计分调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图：
(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男女生打分的分散程度；
(2)从打分在80分以上的同学随机抽3人，求被抽到的女生人数的分布列和数学期望.
【答案】(1)69, 女生打分比较集中，男生打分比较分散(2)分布列见解析，
【解析】试题分析：
(1)结合茎叶图计算可得男生打的平均分为，观察茎叶图可知女生打分比较集中，男生打分比较分散；
(2)由题意可得的可能取值为1，2，3，结合超几何概型的概率公式即可求得分布列，然后计算可得数学期望为.
试题解析：
(1)男生打的平均分为：
，
由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散；
(2)因为打分在80分以上的有3女2男，
∴的可能取值为1，2，3，
，，，
∴的分布列为：
1
2 3
.
点睛：(1)求解本题的关键在于：①从茎叶图中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几何分布． (2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
19. 如图，是圆柱的上、下底面圆的直径，是边长为2的正方形，是底面圆周上不同于两点的一点，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：
(1)由题意结合几何关系可证得，，结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的余弦值是．
试题解析：
(1)由圆柱性质知：平面，
又平面，∴，
又是底面圆的直径，是底面圆周上不同于两点的一点，∴，
又，平面，
∴平面.
(2)解法1：过作，垂足为，由圆柱性质知平面平面，
