备战中考数学复习《圆的综合》专项综合练习附答案解析

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；

（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）

【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－247，247）；（3）M（－2，2）

【解析】

分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；

（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=34x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6得出关于a的方程，求出即可．

（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO求得r=2，据此可得答案．

详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：

设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，

∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，

∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．

又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；

（2）如图2，连接ME，MF，

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴806kbb，解得：k=34，b=6，即直线AB的函数关系式是y=34x+6．

∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6，得：﹣a=34a+6，得：a=﹣247，∴点M的坐标为（﹣242477，）．

（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，

∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设ME=MF=MG=r，则S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO．

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB=22AOBO=10，∴12r•8+12r•6+12r•10=12×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．

点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O相切．

2．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF．

(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；

(2)若AC＝24，AF＝15，求sinB．

【答案】(1) AF与⊙O相切 理由见解析；（2）35

【解析】

试题分析：（1）连接OC，先证∠OCF=90°，再证明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可； （2）先求出AE、EF，再证明△OAE∽△AFE，得出比例式OAAEAFEF，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论．

试题解析：解：（1）AF与⊙O相切．理由如下：

连接OC．如图所示．∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCF=90°．∵OF∥BC，∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF．∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AOF=∠COF．在△OAF和△OCF中，∵OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，∴AF与⊙O相切；

（2）∵△OAF≌△OCF，∴∠OAE=∠COE，∴OE⊥AC，AE=12AC=12，∴EF=2215129．∵∠OAF=90°，∴△OAE∽△AFE，∴OAAEAFEF，即12159OA，∴OA=20，∴AB=40，sinB=243405ACAB．

点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．

3．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．

（1）求证：DP∥AB；

（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由∠ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB． （2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AB10AD5222；由△ACE为等腰直角三角形，得到AC6AECE3222，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=42，则CD=72，易证得∴△PDA∽△PCD，得到PDPAAD52PCPDCD72，所以PA=57PD，PC=75PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．

【详解】

解：（1）证明：如图，连接OD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45°．

∴∠DAB=∠ABD=45°．∴△DAB为等腰直角三角形．

∴DO⊥AB．

∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD．

∴DP∥AB．

（2）在Rt△ACB中，，

∵△DAB为等腰直角三角形，∴．

∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形．∴．

在Rt△AED中，，

∴．

∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°．∴∠PAD=∠PCD．

又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD．∴．

∴PA=75PD，PC=57PD．

又∵PC=PA+AC，∴75PD+6=57PD，解得PD=．

4．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．

（1）如图1，求证：CE=CD；

（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC=

5311，EG=2，求AE的长．

【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.

【解析】

试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.

(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=53m，可得AN=11m，利用直角AGM, AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.

试题解析：

（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.

∴∠B+∠D=180°，

∵∠B=∠AEC， ∴∠AEC+∠D=180°，

∵∠AEC+∠CED=180°，

∴∠D=∠CED，

∴CE=CD．

（2）解：作CH⊥DE于H．

设∠ECH=α，由（1）CE=CD，

∴∠ECD=2α，

∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，

∴∠CAE+∠AEC=120°，

∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，

∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，

∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，

∵∠ACD=2∠BAC，

∴∠BAC=30°+α，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．

（3）解：连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，

∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，

∴∠AEG=∠AGE，

∴AE=AG，

∴EM=MG=12EG=1，

∴∠EAG=∠ECD=2α，

∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，

∵tan∠BAC=5311， ∴设NG=53m，可得AN=11m，AG=22AGAM=14m，

∵∠ACG=60°，

∴CN=5m，AM=83m，MG=22AGAM=2m=1，

∴m=12，

∴CE=CD=CG﹣EG=10m﹣2=3，

∴AE=22AMEM=221+43（）=7．

5．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+23 =0的两根（k为常数）．

（1）求证：PA•BD=PB•AE；

（2）求证：⊙O的直径长为常数k；

（3）求tan∠FPA的值．

【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan∠FPA=2﹣3 .

【解析】

试题分析：

（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；

（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；

（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．

试题解析：

（1）证明：如图，

∵PB切⊙O于点B，

∴∠PBD=∠A，

∵PF平分∠APB，

∴∠APE=∠BPD，

∴△PBD∽△PAE，

∴PB：PA=BD：AE，

∴PA•BD=PB•AE；