备战中考数学复习《圆的综合》专项综合练习及详细答案
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一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．
【详解】
（1）如图所示，连接OD．
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BDCD，∴OD⊥BC．
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．
又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．
（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DFDBDBDA，即DB2=DF•DA．
∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．
【点睛】 本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接EF，当∠D= °时，四边形FOBE是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）30.
【解析】
【分析】
（1）由等角的转换证明出OCAOCE≌，根据圆的位置关系证得AC是⊙O的切线.
（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证OBE为等边三角形，而得出60BOE，根据三角形内角和即可求出答案.
【详解】
（1）证明：∵CD与⊙O相切于点E，
∴OECD，
∴90CEO，
又∵OCBE，
∴COEOEB，∠OBE=∠COA
∵OE=OB，
∴OEBOBE，
∴COECOA，
又∵OC=OC，OA=OE，
∴OCAOCESAS≌（），
∴90CAOCEO，
又∵AB为⊙O的直径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：∵四边形FOBE是菱形，
∴OF=OB=BF=EF，
∴OE=OB=BE， ∴OBE为等边三角形，
∴60BOE，
而OECD，
∴30D．
故答案为30．
【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
3．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切（2）4
【解析】
试题分析：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴EADOAD＝，∵OAOD＝，∴ODAOAD＝，∴ODAEAD＝，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切
（2）
如图1，作DF⊥AB，垂足为F，∴DFADEA90＝＝，∵EADFAD＝，ADAD＝，∴△EAD≌△FAD，∴AFAE8＝＝，DFDE＝，∵OAOD5＝＝，∴OF3＝，在Rt△DOF中，22DF4ODOF＝＝，∴AFAE8＝＝
考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系
点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．
4．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求CE的长；
（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．
【答案】（1）证明见解析（2）8-43（3）4π
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；
（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=12BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；
（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.
【详解】
（1）如图1，连接AD，OD；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）如图2，连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF∥DE， ∵CD=BD，
∴DE=12BF，CE=EF，
∵∠A=30°，AB=16，
∴BF=8，
∴DE=4，
∵DE为⊙O的切线，
∴ED2=EF•AE，
∴42=CE•（16﹣CE），
∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）；
（3）如图3，连接OG，连接AD，
∵BG∥DF，
∴∠CBG=∠CDF=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠OBG=75°﹣30°=45°，
∵OG=OB，
∴∠OGB=∠OBG=45°，
∴∠BOG=90°，
∴BG的长度=908180=4π．
【点睛】
本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
5．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD=2∠BDC；
（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；
（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92DE.
【解析】
【分析】
（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；
（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB=22ADBD=26，由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，
则∠CAB=∠BDC=α，
∵点C为弧ABD中点，∴AC=CD，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC；
（2）∵CH⊥AB，∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，
∵∠CAB=∠CDB，∴∠ACE=∠ADC，
∵∠CAE=∠ADC，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE；
（3）如图2，连接OC，∴∠COB=2∠CAB，
∵∠ABD=2∠BDC，∠BDC=∠CAB，∴∠COB=∠ABD，
∵∠OHC=∠ADB=90°，∴△OCH∽△ABD，∴12OHOCBDAB，
∵OH=5，∴BD=10，∴AB=22ADBD=26，∴AO=13，∴AH=18，
∵△AHE∽△ADB，∴AHAEADAB，即1824=26AE，∴AE=392，∴DE=92．
【点睛】
本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，AEOC∠∠，OE交BC于点F.
（1）求证：OE∥BD；
（2）当⊙O的半径为5，2sin5DBA时，求EF的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为212
【解析】
试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明；
（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.
试题解析：（1）连接OB， ∵CD为⊙O的直径 ， 90CBDCBOOBD.
∵AE是⊙O的切线， 90ABOABDOBD. ABDCBO.
∵OB、OC是⊙O的半径，OB=OC. ∴CCBO. ∴CABD.
∵EC，∴EABD. ∴ OE∥BD.
（2）由（1）可得sin∠C= ∠DBA= 25，在Rt△OBE中, sin∠C =25BDCD,OC=5，
4BD∴90CBDEBO
∵EC，△CBD∽△EBO.
∴BDCDBOEO
