中考数学复习《圆的综合》专项综合练习附详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．

（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；

（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；

（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．

【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)638.

【解析】（1）解：连接AM、BM，

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点

∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，

∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，

∵AM＝BM

∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5

∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5

则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，

当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，

HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x

由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3 2

∴点Q的坐标为（32 ，9）

（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）

当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）

∴M1M2＝ 92 －3＝ 32 ， Q1Q2＝6－4＝2

线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1

其面积为：12×(32 ＋2)×4.5＝638.

【解析】

【分析】

根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题.

【详解】

（1）解：连接AM、BM，

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点

∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，

∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，

∵AM＝BM

∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5

∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5

则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，

当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，

HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x

由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3

∴点Q的坐标为（3 ，9）

（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）

当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）

∴M1M2＝ －3＝ ， Q1Q2＝6－4＝2

线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1

其面积为：×( ＋2)×4.5＝.

【点睛】

本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考验学生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键.

2．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．

（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．

（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．

（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG的长（不写过程），若变化自画图说明理由．

【答案】（1）r=5 E（4，5） （2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于52

【解析】

分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．

（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．

（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有BG=ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．

详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．

∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．

∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．

∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．

∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．

设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．

在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．

解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．

（2）BF+CF=AC．理由如下：

过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．

∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴AD=BCBD，=AC，∴BD=AC．

∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．

在△EPO1和△CQO1中，111111EOPCOQEPOCQOOEOC，

∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．

∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．

∵CO1=DO1，∴O1Q=12BD，∴FQ=12BD．

∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．

（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．

∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴BG=ED，∴BG=DE．

∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，

∴弦BG的长度不变，等于52．

点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．

3．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

【答案】10cm

【解析】

分析：先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．

详解：解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，

∵OC⊥AB

∴BD=12AB=12×16=8cm

由题意可知，CD=4cm

∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm

在Rt△BOD中，

由勾股定理得：OD2+BD2=OB2

（x﹣4）2+82=x2

解得：x=10．

答：这个圆形截面的半径为10cm．

点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．

4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足若13CFDF,连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3.

（1）求证：△ADF∽△AED；

（2）求FG的长；

（3）求tan∠E的值．

【答案】(1)证明见解析;(2)FG =2;(3)54.

【解析】

分析：（1）由AB是 O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；（2）由13CFFD ,CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；（3）由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=54 .

本题解析：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴DG=CG，∴ADAC，∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；

②∵13CFFD，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，∴FG=CG-CF=2；

③∵AF=3，FG=2，∴AG=225AFFG，

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思想.

5．问题发现．

(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为______．

(2)如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．

(3)如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

【答案】(1) 125CD;(2) CMMN的最小值为9625.(3) 152

【解析】

试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C关于BD的对称点C，过C作BC的垂线，垂足为N，求CN的长即可;(3) 连接AC，则ADCACGAGCDSSS四，321GBEBABAE，则点G的轨迹为以E为圆心，1为半径的一段弧．过E作AC的垂线，与⊙E交于点G，垂足为M，由AEMACB∽求得GM的值，再由ACDACGAGCDSSS四边形 求解即可.

试题解析：

（1）从C到AB距离最小即为过C作AB的垂线，垂足为D，

22ABCCDABACBCS，

∴341255ACBCCDAB，