2020-2021备战中考数学综合题专练∶圆的综合附详细答案
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2020-2021备战中考数学综合题专练∶圆的综合附详细答案
一、圆的综合
1．如图1，已知扇形MON的半径为2，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.
（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.
【答案】 (1)证明见解析;(2) 2xyx.(02x);(3) 1422x.
【解析】
分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进而判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；
（2）先判断出BD=DM，进而得出DMMEBDAE，进而得出AE=122x（），再判断出2OAOCDMOEODOD，即可得出结论；
（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．
详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．
∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．
∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，
∴AC=AM．
（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．
∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．
∵DE∥AB，∴DMMEBDAE，∴AE=EM．∵OM=2，∴AE=122x（）．
∵DE∥AB，∴2OAOCDMOEODOD，
∴22DMOAxyODOEx，．（02x＜） （3）（i） 当OA=OC时．∵111222DMBMOCx．在Rt△ODM中，222124ODOMDMx．
∵2121224xDMxyODxx，．解得1422x，或1422x（舍）．
（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．
（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．
即：当△OAC为等腰三角形时，x的值为1422．
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．
2．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．
（1）求证：AC∥OD；
（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）2π．
【解析】
试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；
（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度． 试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；
（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180=2π．
点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧»BE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）43
【解析】
分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；
（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.
详解：（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．
∵AB＝AC，∴BD＝CD，
又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF
即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；
（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，
∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，
∴＝·4π＝π．
点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．
4．如图，AB为Oe的直径，弦//CDAB，E是AB延长线上一点，CDBADE．
1DE是Oe的切线吗？请说明理由；
2求证：2ACCDBE．
【答案】（1）结论：DE是Oe的切线，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，只要证明ODDE即可；
（2）只要证明：ACBD，CDBDBEVV∽即可解决问题.
【详解】
1解：结论：DE是Oe的切线．
理由：连接OD．
CDBADEQ，
ADCEDB，
//CDABQ，
CDADAB，
OAODQ，
OADODA，
ADOEDB，
ABQ是直径， 90ADBo，
90ADBODEo，
DEOD，
DE是Oe的切线．
2//CDABQ，
ADCDAB，CDBDBE，
ACBDnn，
ACBD，
DCBDABQ，EDBDAB，
EDBDCB，
CDBV∽DBEV，
CDDBBDBE，
2BDCDBE，
2ACCDBE．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E
(1) 求证：BE是⊙O的切线
(2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA
【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA35
【解析】
分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即∠EBF=90°，可得出结论.
（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.
详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD
∵BD＝BA，OA＝OD ∴BF为线段AD的垂直平分线
∵AC为⊙O的直径
∴∠ADC＝90°
∵BE⊥DC
∴四边形BEDF为矩形
∴∠EBF＝90°
∴BE是⊙O的切线
(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点
∴OF＝12CD＝32
∵BF＝DE＝1＋3＝4
∴OB＝OD＝35422
∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝332552OFOD
点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.
6．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．
（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若sin∠ABE=33，CD=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O的半径为32．
【解析】 分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；
（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．
详解：（1）直线BE与⊙O相切．理由如下：
连接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE．
又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED，
∵矩形ABDC，∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠OED+∠AEB=90°，∴∠BEO=90°，∴直线BE与⊙O相切；
（2）连接EF，方法1：
∵四边形ABCD是矩形，CD=2，∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2．
∵∠ABE=∠DBC，∴sin∠CBD=33sinABE，
∴23DCBDsinCBD，
在Rt△AEB中，∵CD=2，∴22BC．
∵tan∠CBD=tan∠ABE，∴22222DCAEAEAEBCAB，，，
由勾股定理求得6BE．
在Rt△BEO中，∠BEO=90°，EO2+EB2=OB2．
设⊙O的半径为r，则222623rr（）（），∴r=32，
方法2：∵DF是⊙O的直径，∴∠DEF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2．
∵∠ABE=∠DBC，∴sin∠CBD=33sinABE．
设3DCxBDx，，则2BCx．
∵CD=2，∴22BC．
∵tan∠CBD=tan∠ABE，∴22222DCAEAEAEBCAB，，，
∴E为AD中点．
∵DF为直径，∠FED=90°，∴EF∥AB，∴132DFBD，∴⊙O的半径为32．
