八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点

整式的乘除与因式分解基本知识点

一、整式的乘除：

1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

例如：_______3aa；________22aa；________8253baba

__________________210242333222xxyxyxxyxyyx

2、同底数幂的乘法法则：am·an=am+n(m，n是正整数).

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

例如：________3aa；________32aaa

3、幂的乘方法则：(am)n=amn(m，n是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.

例如：_________)(32a；_________)(25x；()334)()(aa

4、积的乘方的法则：(ab)m=ambm(m是正整数).

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例如：________)(3ab；________)2(32ba；________)5(223ba

5、同底数幂的除法法则：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n).

同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10a

例如：________3aa；________210aa；________55aa

6、单项式乘法法则

yx32 )5)(2(22xyyx )2()3(22xyxy 2232)()(baba

7、单项式除法法则

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

yxyx2324 xyyx6242 58103106

8、单项式与多项式相乘的乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

)(cbam )532(2yxx )25(32babaab

9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

)6)(2(xx )12)(32(yxyx ))((22bababa

10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，

再把所得的商相加.

xxxy56； aaba4482

bababa232454520 ccbca2121222

11、整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

例如：（4a－1）（4a+1）=___________； （3a－2b）（2b+3a）=___________；

11mnmn= ； )3)(3(xx ；

12、整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2. 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.

例如：____________522ba； _______________32yx

_____________22ab； ______________122m

二、因式分解：

1、提公因式法：

4yxy 32xx x2+12x3+4x )1()1(anam

2、公式法.：

（1）、平方差公式：))((22bababa

12x 2294ba 22)(16zyx 22)2()2(baba

（2）、完全平方公式：222)(2bababa 222)(2bababa

442mm 2269yxyx 924162xx 36)(12)(2baba

3、分组分解法：1abab ab－c＋b－ac a2－2ab＋b2－c2

4、“十字相乘法”：即式子x2+(p+q)x+pq的因式分解. x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

x2＋7x＋6 （2）、x2－5x－6 （3）、x2－5x＋6

整式的乘法

[同底数幂的乘法]am·an=am+n（m、n都是正整数）

[幂的乘方](am)n＝amn(m，n都是正整数)

[积的乘方](ab)n＝anbn(n是正整数)

[单项式乘以单项式]

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

[单项式乘以多项式]

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

[多项式乘以多项式]

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

平方差公式

[平方差公式] (a＋b)(a－b)＝a2－b2

1. 公式的结构特征：

⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.

⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2－异号项2）.

2. 公式的应用：

⑴公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.

⑵公式中的ab22是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.

⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.

如：(a+b)( a - b)= a2 － b2

↓↓ ↓↓ ↓ ↓ 计算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x2

完全平方公式

[完全平方公式]

(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍.

公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）．

公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a2 + b2 = (a+b)2-2ab

(a-b)2=(a+b)2-4ab a2 + b2 = (a-b)2+2ab

(a+b)2- (a-b)2=4ab

[公式的推广] (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

整式的除法

[同底数幂的除法]

am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．

a0=1(a≠0)任何非零数的零次幂是1.

[单项式除以单项式]

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

[多项式除以单项式]

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

因式分解

[因式分解]

把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.

[提公因式法]

ac＋bc=（a＋b）c

[公式法]

a2－b2 ＝(a＋b)(a－b) a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2

[十字相乘法] x2＋（p＋q）x＋pq=（x＋p）（x＋q）

巩固练习

一、训练平台

1.下列各式中，计算正确的是( )

×27=28 ×22=210

+26=27 +26=212

2.当x=23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( )

239 B.-18

D.239

3.已知x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于( )

A.425 B.25 25

4.设n为正整数，若a2n=5，则2a6n-4的值为( )

B.246 D.不能确定

5.(a+b)(a-2b)= .

6.(2a+2= . 7.(a+4b)(m+n)= .

8.计算.

(1)(2a-b2)(b2+2a)= ；(2)(5a-b)(-5a+b)= .

9.分解因式.

(1)1-4m+4m2； (2)7x3-7x.

10.先化简，再求值.

[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x，其中x=3，y=.

二、探究平台

1.分解因式(a-b)(a2-ab+b2)-ab(b-a)为( )

A.(a-b)(a2+b2) B.(a-b)2(a+b) C.(a-b)3 (a-b)3

2.下列计算正确的是( )

÷a2=a4(a≠0) ÷a4=a(a≠0)

÷a6=a3(a≠0) D.(a2b)3=a6b

3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是( )

=(-x+4)(-x-4)

+x3n=xn(2+x3) 41=41(1+2x)(1-2x)

4.分解因式：-a2+4ab-4b2= .

5.如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是 .

6.(3x3+3x)÷(x2+1)= .

.

8.计算.

(1)12345678921234567890123456789112345678902；(2)20032002200220002002220022323.

9.分解因式.

(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x4-81x2y2.

10.112xx+x(1+x1)，其中x=2-1.

三、交流平台

1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=时的面积.

2.已知多项式x3+kx+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积并将它分解.

3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.

4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.