高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示23课后习题 新人教A版必修4
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1 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
课后篇巩固探究
1.已知=(2,3),则点N位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.不确定
解析因为点M的位置不确定,所以点N的位置也不确定.
答案D
2.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当=a+2b时,点B的坐标为( )
A.(2,7) B.(0,-7)
C.(3,-6) D.(-4,5)
解析∵a=(-1,0),b=(1,-1),
∴a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).
设点B的坐标为(x,y),
则=(x+1,y+5),
∴由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),
∴
∴点B的坐标为(0,-7).
答案B
3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于( )
A.(-2,6) B.(-4,0)
C.(7,6) D.(-2,0)
解析∵a-3b+2c=0,
∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),
即 2 ∴
即c=(-2,0).故选D.
答案D
4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为( )
A. B.
C.(3,2) D.(1,3)
解析设顶点D的坐标为(x,y),
因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,
所以所以所以选A.
答案A
5.导学号68254077已知,且向量=(tan α,1),=(2tan α,-3),则=( )
A.(3,-2) B.(-3,-2)
C.(1,-4) D.(-1,4)
解析由,可得2sin α=sin α+cos α,于是tan α=1,
因此=(3tan α,-2)=(3,-2).
答案A
6.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
解析设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).
答案D 3 7.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“,向量ab=(a1,b1)(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 ( )
A.-1 B.-2
C.2 D.
解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x),
则=m+n=.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin.所以函数y=f(x)的最小值为-2.
答案B
8.已知A(3,-5),B(-1,3),点C在线段AB上,且=3,则点C的坐标是 .
解析设C(x,y),则=(x-3,y+5),
3=3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y).
∵=3,∴
解得x=0,y=1,即点C的坐标是(0,1).
答案(0,1)
9.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2= .
解析∵A(2,-1),B(4,2),C(1,5),
∴=(2,3),=(-3,3).
∴+2=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).
答案(-4,9)
10.已知向量a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),若c=ka+lb,则k,l的值分别为 .
解析∵a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),
∴(11,7)=k(1,2)+l(3,1),
即解得k=2,l=3. 4 答案2,3
11.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量= .
解析设=(m,n),则=(-n,m),
所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9),即因此.
答案
12.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使||=|,则点E的坐标为 .
解析设C(x1,y1),
依题意有(x1-2,y1+1)=(x1-1,y1-4),
解得即C(3,-6).
又依题意可得,
设E(x0,y0),所以(x0-3,y0+6)=(x0-4,y0+3),
解得故点E坐标为.
答案
13.导学号68254078若α,β是一组基底,γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为
.
解析因为向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),所以有a=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4),
设a=x(-1,1)+y(1,2),
则有
答案(0,2) 5 14.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标.
解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).
∵=-,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),
即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).
∴
∴
∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).
故=(-2,-4).
15.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.
解(1)设点A(x,y),B(x0,y0),
∵|a|=2,且∠AOx=45°,
∴x=2cos 45°=,且y=2sin 45°=.
又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,
∴x0=3cos 120°=-,y0=3sin 120°=.
故a==(),b=.
(2)如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.
∵||=1,∠AOB=150°, 6 ∴B(-cos 30°,sin 30°),
∴B.
∵||=3,∴C(-3sin 30°,-3cos 30°),
即C.
又A(2,0),
∴-(2,0)=,
.
16.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及的坐标.
解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵a=mb+nc,
∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).
∴
∴
(3)设M(x1,y1),由=3c,
得(x1+3,y1+4)=3(1,8),
∴
∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).
同理,设N(x2,y2),由=-2b,
得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3). 7 ∴
解得
∴N(9,2).∴=(9,-18).
