高中数学 第二章 平面向量 第三节 平面向量的基本定理及坐标表示(第二课时)示范教案 新人教A版必修4

第二章第三节平面向量的基本定理及坐标表示第二课时

整体设计

教学分析

1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．

2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．

3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．

三维目标

1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．

2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．

3．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．

重点难点

教学重点：平面向量的坐标运算．

教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联．那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系．关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？

思路2.对于平面内的任意向量a，过定点O作向量OA→＝a，则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定．如果以定点O为原点建立平面直角坐标系，那么点A的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用坐标来表示，这样我们就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？

推进新课

新知探究

提出问题

①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a＝x1，y1，b＝x2，y2，你能得出a＋b，a－b，λa的坐标表示吗？

②如图1，已知Ax1，y1，Bx2，y2，怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为x2－x1，y2－y1的P点吗？标出点P后，你能总结出什么结论？

活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生

到黑板去板书步骤．可得：

图1

a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．

同理a－b＝(x1－x2，y1－y2)．

又λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j.∴λa＝(λx1，λy1)．

教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：

两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量AB→平移，使得点A与坐标原点O重合，则平移后的B点位置就是P点．向量AB→的坐标与以原点为始点，点P为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．

学生通过平移也可以发现：向量AB→的模与向量OP→的模是相等的．

由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：

|AB→|＝|OP→|＝x1－x22＋y1－y22.

教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．

讨论结果：①能．

②AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．

结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．

提出问题

①如何用坐标表示两个共线向量？

②若a＝x1，y1，b＝x2，y2，那么11xy＝22xy是向量a、b共线的什么条件？

活动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.我们知道，a、b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，

即 x1＝λx2，y1＝λy2.消去λ后得x1y2－x2y1＝0.

这就是说，当且仅当x1y2－x2y1＝0时向量a、b(b≠0)共线．

又我们知道x1y2－x2y1＝0与x1y2＝x2y1是等价的，但这与y1x1＝y2x2是不等价的．因为当x1＝x2＝0时，x1y2－x2y1＝0成立，但y1x1与y2x2均无意义．因此y1x1＝y2x2是向量a、b共线的充分不必要条件．由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．

讨论结果：①x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线．

②充分不必要条件．

提出问题

a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a＝λb，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

活动：教师引导推证：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠a，

由a＝λb，(x1，y1)＝λ(x2，y2)⇒ x1＝λx2，y1＝λy2，消去λ，得x1y2－x2y1＝0.

讨论结果：a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0.

教师应向学生特别提醒感悟：

(1)消去λ时不能两式相除，∵y1、y2有可能为0，而b≠0，

∴x2、y2中至少有一个不为0.

(2)充要条件不能写成y1x1＝y2x2(∵x1、x2有可能为0)．

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b(b≠0)⇔ a＝λb，x1y2－x2y1＝0.

应用示例

思路1

例1已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标．

活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．

解：a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)；

a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)；

3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．

点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.

变式训练

已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b等于( )

A．(－2，－1) B．(－2,1)

C．(－1,0) D．(－1,2)

答案：D

例2如图2，已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标．

图2

活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种方法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD→的坐标，进而得到点D的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标．

解：方法一：如图2，设顶点D的坐标为(x，y)．

∵AB→＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC→＝(3－x,4－y)．

由AB→＝DC→，得(1,2)＝(3－x,4－y)．

∴ 1＝3－x，2＝4－y.

∴ x＝2，y＝2.

∴顶点D的坐标为(2,2)．

方法二：如图2，由向量加法的平行四边形法则，可知

BD→＝BA→＋AD→＝BA→＋BC→＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，

而OD→＝OB→＋BD→＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，

∴顶点D的坐标为(2,2)．

点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.

变式训练

如图3，已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形四个顶点．

图3

解：当平行四边形为ABCD1时，仿例2得：D1＝(2,2)；

当平行四边形为ACD2B时，仿例2得：D2＝(4,6)；

当平行四边形为D3ACB时，仿例2得：D3＝(－6,0).

例3已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系．

活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．

解：在平面直角坐标系中作出A、B、C三点，观察图形，我们猜想A、B、C三点共线．下面给出证明．

∵AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，AC→＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，

又2×6－3×4＝0，

∴AB→∥AC→，且直线AB、直线AC有公共点A，

∴A、B、C三点共线．

点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.

变式训练

已知a＝(4,2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y.

解：∵a∥b，

∴4y－2×6＝0.

∴y＝3.

思路2

例1设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．

(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．

活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当P1PPP2＝λ时，点P的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有的学生可能提出如下推理方法：

设P(x，y)，由P1P→＝λPP2→，

知(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，