高中数学 必修四 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示习题课习题 新人教A版必修4
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1 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示习题课
一、选择题
1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为( )
A．3e1－2e2 B．－3e1－3e2
C．3e1＋2e2 D．2e1＋3e2
解析：a＋b＋c＝3e1＋2e2.
答案：C
2．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8) B．(8,4)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
解析：∵a∥b，a＝(1，－2)，∴存在实数λ，使b＝λa，结合选项可知，b可以是(－4,8)．
答案：D
3．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“⊕”为a⊕b＝(ms，nt)．若向量p＝(1,2)，p⊕q＝(－3，－4)，则向量q等于( )
A．(－3,2) B．(3，－2)
C．(－3，－2) D．(－2，－3)
解析：设向量q＝(x，y)，p⊕q＝(x,2y)＝(－3，－4)，∴x＝－3，y＝－2，故向量q＝(－3，－2)．
答案：C
4．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( )
A.π6 B.2π3
C.π2 D.π3
解析：∵p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)且p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即c2＝a2＋b2，
∴角C的大小为π2.
答案：C
二、填空题
5．已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，若MP→＝12MN→，则点P的坐标是________． 2 解析：令P(x，y)，则MP→＝(x－3，y＋2)，
MN→＝(－8,1)．
∵MP→＝12MN→，即(x－3，y＋2)＝12(－8,1)，
∴ x－3＝－4y＋2＝12，即 x＝－1，y＝－32.∴P－1，－32.
答案：－1，－32
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且AB→与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
解析：由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB→＝(4,6)．又AB→与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，得λ＝32.
答案：32
7．若OP→1＝a，OP2→＝b，P1P→＝λPP2→(λ≠－1)，则用a，b表示OP→为________．
解析：∵OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋λPP2→
＝OP1→＋λ(OP2→－OP→)＝OP1→＋λOP2→－λOP→，
∴(1＋λ)OP→＝OP→1＋λOP2→，
∴OP→＝11＋λOP1→＋λ1＋λOP2→＝11＋λa＋λ1＋λb.
答案：11＋λa＋λ1＋λb
三、解答题
8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，求m＋n的值．
解：设AB→＝a，AC→＝b，则AO→＝12(AB→＋AC→)＝12a＋12b，
又AO→＝AM→＋MO→＝AM→＋λMN→＝AM→＋λ(AN→－AM→)＝(1－λ)AM→＋λAN→＝－λma＋λnb. 3 根据平面向量基本定理 1－λm＝12λn＝12消去λ整理得m＋n＝2.
9.已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ＝CM，求证：P、A、Q三点共线．
证明：设AB→＝a、AC→＝b.由题意可知，AP→＝AB→＋BP→＝a＋2 BN→
＝a＋2(AN→－AB→)
＝a＋212AC→－a＝a＋b－2a＝b－a；
AQ→＝AC→＋CQ→＝b＋2CM→＝b＋2(AM→－AC→)
＝b＋212AB→－b＝b＋a－2b＝a－b.
显然，AP→＝－AQ→，所以AP→，AQ→共线．
又因为AP→，AQ→有公共起点A.
故P、A、Q三点共线．
10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP→＝OA→＋tAB→(t∈R)，求：
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解：(1)OP→＝OA→＋tAB→＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－23；
若点P在二、四象限角平分线上，则
1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－12；
若点P在第二象限，则需 1＋3t＜0，2＋3t＞0⇒－23＜t＜－13.
(2)OA→＝(1,2)，PB→＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→.
3－3t＝1，3－3t＝2无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．
