高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(第4课时)自我小测 新人教A版必修4
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2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 4
自我小测
1．设a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则( )
A．a与b共线且方向相反 B．a与b共线且方向相同
C．a与b不共线 D．a与b是相反向量
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，x)，若(3a＋b)∥(3a－b)，则实数x的值为( )
A．－2 B．－3 C．－4 D．－1
3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4)
4．已知向量a＝(3，1)，b＝(cos α，－sin α)，且α∈,2，若a∥b，则α＝( )
A. 6 B. 23 C. 43 D. 56
5．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是( )
A．m≠－2 B．m≠12 C．m≠1 D．m≠－1
6．已知A(2,3)，B(6，－3)，P是线段AB上靠近A的一个三等分点，则点P的坐标是__________．
7．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
8．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝________.
9．已知A，B，C，D四点的坐标分别为A(0，－1)，B(3,2)，C(1,3)，D(－1,1)，证明四边形ABCD是梯形．
10．已知向量AB＝(4,3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足点P，B，D三点共线，求y的值．
参考答案
1. 解析：法一：∵－2×(－2)－4×1＝0，
∴a与b共线．
又∵a与b对应坐标异号，
∴a与b共线反向．
法二：由已知易得a＝－2b，∴a与b共线反向．
答案：A
2. 解析：3a＋b＝(1,6＋x)，3a－b＝(5,6－x)，
由已知可知，1×(6－x)－5×(6＋x)＝0.
解得x＝－4.
答案：C
3. 解析：由a∥b得m＋2×2＝0，∴m＝－4.
∴b＝(－2，－4)．
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案：B
4. 解析：由a∥b得－3sin α－cos α＝0，∴3sin α＝－cos α，
∴tan α＝－33.
∵α∈,2，∴α＝56.
答案：D
5. 解析：若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，即AB，AC不共线，又AB＝(1,2)，AC＝(m，m＋1)，∴m＋1－2m≠0，∴m≠1.
答案：C
6. 解析：设P(x，y)，由题意得AP＝13AB，
即(x－2，y－3)＝13 (4，－6)，
解方程组42332xy－＝，－＝－，得1031.xy＝，＝
答案：10,13
7. 解析：设点B的坐标为(x，y)，则b＝AB＝(x－1，y－2)．
∵a∥b，∴－2(y－2)－3(x－1)＝0，
即3x＋2y－7＝0.
又∵点B在坐标轴上，∴当x＝0时，y＝72；
当y＝0时，x＝73.
∴点B坐标为70,2或7,03.
答案：70,2或7,03
8. 解析：∵a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
∴ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)．
∵ma＋nb与a－2b共线，
∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，
即－14m－7n＝0，∴mn＝－12.
答案：－12
9. 证明：∵AB＝(3,3)，CD＝(－2，－2)，
∴AB＝－32CD，∴AB∥CD，AB∥CD.
又AD＝(－1,2)，BC＝(－2,1)，
且－1×1－2×(－2)＝3≠0，
∴AD与BC不平行，即AD与BC不平行．
∴四边形ABCD是梯形．
10. 解：(1)设B(x1，y1)，∵AB＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
∴111423xy＋＝，＋＝，∴1131xy＝，＝，
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝342＝－12，y2＝132＝－1.
∴M1,12.
(2)由PB＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
BD＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
∵P，B，D三点共线，∴PB∥BD.
∴－4＋7(1－y)＝0.∴y＝37.
