浅议反比例函数的图像和性质
一、本课数学内容的本质、地位、作用分析
本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在。
反比例函数是最基本的初等函数之一，是继一次函数学习之后，对函数学习的一般规律和方法的再次强化。是学习后续各类函数的基础。反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体。其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是转化思想的具体应用。再次，将函数中变量、之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势，借助平面直角坐标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想。
因此，学好本节课内容将为今后的函数学习奠定坚实的基础。
二、教学目标分析
1、准确画出反比例函数的图象，是探究反比例函数性质的前提。虽然学生已经学过用描点法画函数图象，但是由于反比例函数图象的特殊性，会画反比例函数的图象，仍是学习中的目标之一。通过列表、描点、画出反比例函数的图象，进而观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，可以进一步加深对函数三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）的理解；
2、数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非能复制与灌输。在探究反比例函数性质时，让学生领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图象，探究、归纳、概括反比例函数的性质。
3、通过对反比例函数性质探究，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生思维能力。
反比例函数的图像与性质
一、反比例函数的概念：
形如(0)kykx的函数，叫做反比例函数.其中x是自变量,y是函数 ,k叫做比例系数.
【注】1、自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数.
2、在反比例函数kyx(k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如1yx,312yx等都是反比例函数,但21yx就不是关于x的反比例函数.
3、反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式.
4、反比例函数中,两个变量成反比例关系.
二、反比例函数的图形与性质
1、反比例的函数是一条双曲线。它分为两支。
k越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．k越小，图象的弯曲度越大．
2、图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当0k＞时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当0k＜时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
3、对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则,ab在双曲线的另一支上．
图象也关于直线yx对称.
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线kyx上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是k（△PAO和△PBO的面积都是12k）． 即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.所以已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数.
【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.
【练】1、下列函数中，哪些是反比例函数？
（1）31yx；（2）22yx；（3）1yx；（4）23xy；（5）3yx；
反比例函数知识点汇总
1.定义与图像特征：
反比例函数的定义为y=k/x，在此函数中，x不等于0，k为常数。反比例函数的图像特点是：经过第一、二象限两点，以y轴和x轴为渐进线，图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现，图像呈现出一种双曲线的形状。
2.反比例函数的基本性质：
(a)定义域：x≠0，即x不能为0。
(b)值域：排除0，即y不能为0。当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。
(c)对称中心：该函数关于原点(0,0)对称。
(d)渐进线：图像与x轴和y轴都有渐进线，即当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当y趋近于无穷大时，x趋近于0。
(e)单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的。
(f)异号性：当x与y异号时，k为负数；当x与y同号时，k为正数。
(g)零点：当x与y相等时，即x=y≠0。
3.确定反比例函数的常数k：
y1=k/x1和y2=k/x2
通过消去k，可以得到：
y1*y2=k 因此，可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。
4.反比例函数的应用：
(a)正比例与反比例的混合问题：当一个问题与正比例和反比例函数有关时，可以通过组合两种函数来解决问题。例如，当一个物体的质量与加速度成反比例关系，而力与加速度成正比例关系时，可以通过设置两个函数来解决问题。
(b)流速与管道宽度：根据波的传播速度，流速与管道宽度成反比例关系。当管道宽度较小时，流速较大；当管道宽度较大时，流速较小。
(c)投资与收益率：投资的利润与投资金额成反比例关系。当投资金额较小时，相对的利润率较大；当投资金额较大时，相对的利润率较小。
(d)电阻与电流：电阻与电流成反比例关系，即当电阻较大时，电流较小；当电阻较小时，电流较大。
总结起来，反比例函数是一种特殊的函数关系，其图像呈现出一种双曲线的形状。反比例函数具有一些基本性质，如定义域、值域、对称中心和渐进线等。确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。反比例函数在实际生活中有很多应用，特别是与强度、速度和功率等相关的问题。通过了解反比例函数的知识点，我们能够更好地理解和应用反比例函数在解决实际问题中的作用。
17.1.2反比例函数的图象和性质
新课标人教版八年级下册第十七章《反比例函数》第一节第二课时。
教学任务分析
教
材
分
析 反比例函数的图象和性质是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。本节课是全章的核心，学习的主要内容是画反比例函数的图象，让学生结合实例，通过列表、描点、连线等手段经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，初步认识反比例函数的图象的特征，逐步明确反比例函数的直观形象，为学生探索反比例函数的图象的性质提供思维活动的空间。
反比例函数是初中阶段研究的第二种函数，它的图象与一次函数的图象不同，研究方法更具有一般性和代表性，可为以后二次函数以及其他函数的学习奠定坚实的基础。
教
学
目
标 知识
技能 1、会用描点法画反比例函数的图象。
2、结合图象分析、并掌握反比例函数的图象的性质。
数学
思考 1、经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法。
2、通过观察反比例函数的图象，分析、探究反比例函数的图象的性质，培养学生的探究、归纳及概括能力。
情感态度
与价值观 1、让学生体会事物是有规律的变化着的观点。
2、由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学生的学习兴趣。
教学重点 正确地进行描点，画出图象，理解并掌握反比例函数的图象和性质。
教学难点 图象的对称性选点，归纳反比例函数的图象的性质。
教学
方法 引导探索法”。由浅到深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索、合作交流。
教学过程说明
问题与情境 师生行为 设计意图 一、创设情境，启发探究
问题1：若长方形的一边长为6，面积y与另一边长x之间有什么关系？若抛开实际含义，它的图象是什么样子？你能画出来吗？
问题2：若长方形的面积为6，一边长y与另一边长x之间有什么关系？若抛开实际含义，它的图象是什么样子，你能画出来吗？ 学生思考后，回答：
