椭圆的基本性质(基础教学)

教书教育1 1 课题：12.4椭圆的基本性质（二课时）

教学目标：

1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质.

2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形．

3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等.

4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心.

教学重点：椭圆的几何性质及初步运用

教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题

教学过程：

一．课前准备：

1、 知识回忆

（1） 椭圆和圆的概念

（2） 椭圆的标准方程

2、课前练习

1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。

椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。

2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x轴上____________（ ）

2。焦点在y轴上____________（ ）

若1251622yx，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________

二．教学过程设计

一、引入课题

“曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论.

二、讲授新课

（一） 对称性

问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？

x代x后方程不变，说明椭圆关于y轴对称；

y代y后方程不变，说明椭圆曲线关于x轴对称；

x、y代x，y后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；

问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？

以把x换成－x为例，如图在曲线的方程中，把x换

教书教育1 2 成－x方程不变，相当于点P（x，y）在曲线上，点P点关于y轴的对称点Q（－x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．其它同理.

相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

（二） 顶点

问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？

在椭圆的标准方程中，令0x，得by，0y，得ax

顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.

顶点坐标；)0,(),0,(21aAaA，),0(),,0(21bBbB.

相关概念：线段2121,BBAA分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于ba2,2，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.

在椭圆的定义中，c2表示焦距，这样，椭圆方程中的cba，,就有了明显的几何意义.

问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令222bca能使方程简单整齐，其几何意义是什么？

c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，联结顶点2B和焦点2F，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，2222222OBFBOF，即222bca.

（三） 范围

问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围．

12222byax变形为：axaaxaxaxby22222201，

这就得到了椭圆在标准方程下x的范围：axa

同理，我们也可以得到y的范围：byb

问题2：思考是否还有其他方法？

方法一：可以把12222byax看成1cossin22，利用三角函数的有界性来考虑byax,的范围；

方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以122ax，同理可以得到y的范围

教书教育1 3 由椭圆方程中yx,的范围得到椭圆位于直线ax和by所围成的矩形里.

三、例题解析

例1 已知椭圆的方程为364922yx.

（1） 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;

（2） 写出与椭圆364922yx有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程.

解：解答见书本P48

[说明] 这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用.

例2（1）求以原点为中心，一个焦点为),1,0(且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程;

（2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程.

解：（1）由题意可知：bac2,1，由222cba，有1222bb，1b，2a;

椭圆的标准方程为：1222yx.

（2）1422yx或141622xy.

[说明] 此题利用椭圆标准方程中cba,,的关系来解题，要注意焦点在x轴上或y轴上的椭圆标准方程.

例3已知直线03ykx与椭圆141622yx，当k在何范围取值时，

（1） 直线与椭圆有两个公共点；

（2） 直线与椭圆有一个公共点；

（3） 直线与椭圆无公共点.

解：由1416322yxkxy可得02024)14(22kxxk )516(162k；

（1）当45450)516(162kkk或即时，直线03ykx与椭圆141622yx有两个公共点；

（2）当45450)516(162kkk或即时，直线03ykx与椭圆

教书教育1 4 141622yx有一个公共点；

（3）当45450)516(162kk即时，直线03ykx与椭圆141622yx无公共点.

[说明] 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0（2）直线与椭圆相切0（3）直线与椭圆相离0，所以判定直线与椭圆的位置关系，运用方程及其判别式是最基本的方法.

例4若直线)(1Rkkxy与椭圆1522myx恒有公共点，求实数m的取值范围.

解法一：

由15122myxkxy可得05510)5(22mkxxmk，0152km即1152km

51mm且.

解法二：直线恒过一定点)1,0(

当5m时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长mb，要使直线与椭圆恒有交点则1m即51m

当5m时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长5a可保证直线与椭圆恒有交点即5m

综述：51mm且

解法三：直线恒过一定点)1,0(

要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022m即1m

51mm且

教书教育1 5 [说明]法一转化为k的恒成立问题；法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点),(ooyxM在椭圆内部或在椭圆上则12222byaxoo.

例5 椭圆中心在原点，长轴长为103，一个焦点1F的坐标)5,0(，求经过此椭圆内的一点)21,21(M，且被点M平分的弦所在的直线方程.

解：由已知，5,35ca，且焦点在y轴上，50222cab，椭圆方程为1507522xy.设过点M的直线交椭圆于点),(21yxA、),(22yxB.M是弦AB的中点，则1,12121yyxx，将BA,两点的坐标代入椭圆方程，150751507522222121xyxy，两式相减整理得：232321212121yyxxxxyy，即23k.

所求的直线方程为)21(2321xy，即0546yx.

[说明]此题因为涉及椭圆的弦中点问题，除通法外，可以优先考虑“点差法”.但需注意两点：1）斜率是否存在？2）应检验直线和椭圆是否相交？即联立直线和椭圆方程，得到关于x或y的一元二次方程，检验其根的判别式是否大于0？

例6求椭圆1422yx中斜率为1的平行弦的中点的轨迹.

解：见书本P50

[说明] 此题因为涉及椭圆的弦中点问题，本题也可使用“点差法”.

例7 已知椭圆11222yx的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积

解法一：由题可知：直线ABl方程为022yx

由1122222yxxy,可得04492yy，

91044)(2122121yyyyyy,

教书教育1 6 12121410.29SFFyy

解法二：2F到直线AB的距离554h,

由1122222yxxy可得061692xx，又92101212xxkAB,

910421hABS.

[说明] 在利用弦长公式212212111yykxxkAB（k为直线斜率）应结合韦达定理解决问题.

例8 已知直线1xy交椭圆12222byax于QP,两点，210PQ，OQOP，求椭圆方程.

解：为简便运算，设椭圆为122nymx，),0,0(nmnm

1122xynymx，1)12(22xxnmx，整理得：

012)(2nnxxnm （1）

nmnxx221，nmnxx121，设),(11yxP、),(22yxQ，

OQOP，02121yyxx，即0)1)(1(2121xxxx，有2nm.

方程（1）变形为：01222nnxx.21,2121nxxnxx.

210PQ，2521xx，有03842nn，得：2123mn，2321mn

椭圆的方程为123222yx或123222xy.

[说明] 应注意QP,两点设而不求，善于使用韦达定理.