椭圆的定义与性质

1 椭圆的定义及几何性质专项练习

一、复习目标：

二、基础知识回顾

三、例题分析：

题型1．椭圆的定义

例题1．已知1F、2F为椭圆192522yx的两个焦点，A、B为过1F的直线与椭圆的两个交点，则2ABF的周长是____________

练习1．P为椭圆14522yx上的点，1F、2F是两焦点，若3021PFF，则21PFF的面积是（ ）

A． 3316 B． )32(4 C． )32(16 D． 16

练习2．已知椭圆221169xy的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上，若P、1F、2F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）

A．95 B．3 C．977 D．94

练习3．椭圆14922yx的焦点为1F、2F，点P为其上的动点，当21PFF为钝角时,点P横坐标的取值范围是 __________.

题型2．椭圆的标准方程

例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）离心率为22，准线方程为8x；

（2）长轴与短轴之和为20，焦距为54

练习2：已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程．

2 题型3．椭圆的焦距

例3．椭圆63222yx的焦距是（ ）

A．1 B．)23(2 C．52 D．)23(2

练习3：椭圆1422ymx的焦距为2，则m的值是（ ）

A．5 B．3 C．1或3 D．不存在

题型4．求椭圆的的离心率

例4. 已知1F为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当11PFFA，//POAB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.

练习4 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

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1 椭圆的第一定义与基本性质的练习题

1.椭圆2x2+3y2=6的焦距是

A.2 B.2(3－2) C.25 D.2(3+2)

2.方程4x2+Ry2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则R的取值范围是

A.R>0 B.0

3.方程x2sinα+y2cosα=1（0

A、（0，4） B、]4,0( C、（,42） D、[,42]

4．已知椭圆125222yax)5(a的两个焦点为1F、2F，且8||21FF，弦AB过点1F，则△2ABF的周长为（ ）（A）10 （B）20 （C）241（D） 414

5.椭圆131222yx的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是：

A、43 B、23 C、22 D、43

6.已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠PF1F2=90°,∠PF2F1=30°,则椭圆的离心率是__________.

7.已知P是以1F、2F为焦点的椭圆)0(12222babyax上一点，若021PFPF 21tan21FPF，则椭圆的离心率为 （ ）

（A）21 （B）32 （C）31 （D）35

8.椭圆1522myx的离心率为510，则实数m的值为 。

9.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点A，上顶点B，左焦点F1到直线AB的距离为77|OB|，求椭圆的离心率。

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“亚黄金椭圆”的新定义及性质

作者：刘娟娟 罗文军

来源：《理科考试研究·高中》2019年第02期

摘要：本文在《“亚黄金椭圆”的若干性质》一文的基础上又总结得出了亚黄金椭圆的新定义及3个性质，3个性质为本文中的性质6到性质8.

关键词：亚黄金椭圆;性质;新定义

引言

笔者在《“亚黄金椭圆”的若干性质》一文中给出了亚黄金椭圆的5个性质[1]，为本文的性质1到性质5;在《“亚黄金双曲线”及其性质》一文中给出了亚黄金双曲线的定义和6个性质[2];在《“亚黄金双曲线”的若干性质》一文中又给出了亚黄金双曲线的8个性质[3].

笔者在教学之余又得出了亚黄金椭圆的新定义及3个性质，3个性质为本文中的性质6到8.现介绍如下以供参考.

为了探讨亚黄金椭圆性质的需要，这里需对一些概念作些说明.

黄金矩形的定义：设矩形的长为m，宽为n，其比满足”=，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形..

为了以下性质探究的方便，在不影响亚黄金椭圆性质的条件下，做两点假设;①以椭圆的中心为原点，两焦点所在直线为x轴建立直角坐标系;②由于离心率相等的椭圆都相似，所以不妨设亚黄金椭圆的标准方程为一工+-=1（a>b>0），半焦距为c，用e表示其离心率，其中e=Y2

2亚黄金椭圆的新定义

根据文[4]中亚黄金椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）具有性质c2=ab，则e2=_ab_b_2b_√5-1

亚黄金椭圆的新定义：短轴长与长轴长的比为15-的椭圆，叫做亚黄金椭圆.

3亚黄金椭圆性质的探究

参考文献：

[1]罗文军.“亚黄金椭圆”的若干性质[J].中学教研（数学），2011，（10）：35-36. 龙源期刊网

椭 圆

【教学目标】（1）掌握椭圆的定义

（2）掌握椭圆的几何性质

（3）掌握求椭圆的标准方程

【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题

（2）椭圆焦点三角形面积的求法

【教学过程】

一、知识点梳理

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形。

知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

注意：

1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；

3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质

（1）对称性

对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

讲练结合：

（2）范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），

A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。