十字相乘法分解因式的步骤

数学因式分解方法：双十字相乘法与拆法添项法5、双十字相乘法在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的差不多方法，关于比较复杂的多项式，专门是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也能够运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：(1)用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图(2)把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项例5分解因式①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解①原式=(2x-3y+1)(2x+y-3)2x-3y12xy-3②原式=(x-5y+2)(x+2y-1)x-5y2x2y-1③原式=(b+1)(a+b-2)0ab1ab-2④原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)2x-3yz3x-y-2z说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，因此此题也可用分组分解法。

如(ab+a)+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可：6、拆法、添项法关于一些多项式，假如不能直截了当因式分解时，能够将其中的某项拆成二项之差或之和。

再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯独，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。

例6分解因式：x3+3x2-4解析法一：可将-4拆成-1，-3即(x3-1)+(3x2-3)法二：添x4,再减x4,.即(x4+3x2-4)+(x3-x4)法三：添4x,再减4x即，(x3+3x2-4x)+(4x-4)法四：把3x2拆成4x2-x2,即(x3-x2)+(4x2-4)法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。

因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。

交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。

从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。

2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。

右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。

数学篇学思导引所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax 2+bx +c 分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项对于二次三项式x 2+bx +c ，当二次项系数为1时，采用十字相乘法分解因式通常是“拆常数项，凑一次项”.即将常数项c 拆分成两个因数c 1和c 2,使这两个因数c 1和c 2的乘积结果刚好是常数项c ,同时c 1和c 2的和刚好是一次项系数b .如图1所示:只要能满足c =c 1c 2,b =c 1+c 2,则x 2+bx +c =x 2+(c 1+c 2)x +c 1c 2=(x +c 1)(x +c 2).图1例1分解因式y 2-8y +15.分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×图2解：y 2-8y +15=(y -3)(y -5).例2分解因式x 2-2x -15.分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1×15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；图4验核结果为1×（-5）+1×3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.图3图4解：x 2-2x -15=（x +3）（x -5）.评注：从以上的解题过程可以发现:当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间如何利用十字相乘法分解因式盐城市初级中学陈爱荣数学篇学思导引“拆两头，凑中间”，即分别把二次项系数a 和常数项c 各自拆分成两个因数a 1和a 2、c 1和c 2,使a 1和a 2的乘积结果等于二次项系数a ，c 1和c 2的乘积结果等于常数项c ,并使a 1c 2+a 2c 1正好等于一次项系数b ，如图5所示，则ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2),a x1c 1a x 2c 2a x 1a 22c 1c 2(a +1c a c x 221)图5例3分解因式5x 2+7x -6.分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.图6-1图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7图6-8表1十字相乘法数据核验表序号12345678图示6-16-26-36-46-56-66-76-8数据验核1×6+5×（-1）=11×（-6）+5×1=-11×1+5×（-6）=-291×（-1）+5×6=291×3+5×（-2）=-71×（-3）+5×2=71×2+5×（-3）=-131×（-2）+5×3=13取舍情况舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×解：5x 2+7x -6=(5x -3)(x +2).例4分解因式9+5x -4x 2.分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）.然后求解出4x 2-5x -9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.图7-1图7-2图7-3图7-4图7-5图7-6图7-7图7-8图7-9表2十字相乘法数据核验表（转化后）序号123456789图示7-17-27-37-47-57-67-77-87-9数据验核1×9+4×（-1）=51×（-9）+4×1=-51×1+4×（-9）=-351×（-1）+4×9=351×3+4×（-3）=-91×（-3）+4×3=92×9+2×（-1）=162×（-9）+2×1=-162×（-3）+2×3=0取舍情况舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×解：9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）=-（x +1）（4x -9）.评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.27。

十字相乘法分解因式因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．（1）多项式ax2+bx +c ，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：x2- 2x - 3 和x2+ 5x + 6 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式x2- 6xy +8 y2中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式2a2b2- 7ab + 3 中，把看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式(x +y)2+ 7(x +y) +12 ，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．(1)对于二次项系数为1 的二次三项式x2+ (a +b)x +ab = (x +a)(x +b)方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．例 1、因式分解。

分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）= a a x 2+ (a c + a c )x + c c = (a x + c )(a x + c ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 12 2 例 2、 因式分解。

分析：因为-2x+（-8x ）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）(2) 对 于 二 次 项 系 数 不 是 1 的 二 次 三 项 式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一 次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例 3、 因式分解 。

三次方程因式分解十字相乘法
三次方程因式分解十字相乘法是一种有效的求解三次方程的方法，它可以将复杂的三次方程分解成十字乘法中的因式，从而简化三次方程的求解过程。

因式分解十字相乘法可以用于求解一般形式的三次方程，如ax3+bx2+cx+d=0。

使用因式分解十字相乘法来求解三次方程，首先要将三次方程写成三角形的形式，即ax3+bx2+cx+d=0可以写成：
a x3
b x2
c x d
然后使用因式分解十字相乘法来求解该三角形，具体步骤如下：
（1）确定三次方程的根：
在三角形中，从左上角往右上角开始，找出一个“因坐标”，即a x3=0，然后将该系数记为x3，即根为x3=0。

（2）确定因式分解十字相乘法的系数：
在三角形中，从右上角往左下开始找出一个“因坐标”，即c x=d，然后将该系数记为cx-d，即因式分解十字相乘法的系数为(cx-d)。

（3）使用因式分解十字相乘法求解三次方程：
在三角形中，从左下角开始沿着右斜线往上找出一个“因坐标”，即b x2=cx-d，然后将该系数记为bx2-cx+d，即因式分解十字相乘法的三次方程为：
ax3+bx2-cx+d=0
由此可以得到三次方程的根为x3=0，因式分解十字相乘法的系数为(cx-d)，而因式分解十字相乘法的三次方程为ax3+bx2-cx+d=0。

因式分解十字相乘法可以有效地求解一般形式的三次方程，它能够将复杂的三次方程分解成十字乘法中的因式，从而简化三次方程的求解过程。

因式分解之“十字相乘法”【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。

掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项ax 2+bx+c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax 2+bx+c 即()a a x a c a c x c c 122122112+++ 可以分解为()()a x c a x c 1122++。

这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

【思考】10~20以内的平方数心算办法。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x 2－11x +24>0，求x 的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

例1解： ∵x 2－11x +24>0 ∴(x －3)(x －8)>0 分解为⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-08030803x x x x 或 ∴ x >8 或 x <3例2. 如果x 4－x 3+mx 2－2mx －2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。

分析：应当把x 4分成x 2·x 2，而对于常数项－2，可能分解成(－1)×2，或者分解成(－2)×1，由此分为两种情况进行讨论。

例2解：（1）待定系数法，设原式分解为(x 2+ax －1)(x 2+bx +2)，其中a 、b 为整数，去括号，得： x 4+(a +b )x 3+x 2+(2a －b )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： a +b =－1, m =1, 2a －b =－2m解得：a =－1，b =0，m =1 此时，原式=(x 2+2)(x 2－x －1)（2）设原式分解为(x 2+cx －2)(x 2+dx +1)，其中c 、d 为整数，去括号，得：x 4+(c +d )x 3－x 2+(c －2d )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： c +d =－1, m =－1, c －2d =－2m解得：c =0, d =－1, m =－1 此时，原式=(x 2－2)(x 2－x +1)2. 在几何学中的应用例3. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x －y －x 2+2xy －y 2+2=0，求长方形的面积。

十字相乘法是一种用于分解因式的方法，它的解题格式如下：
首先，将二次项系数拆分成两个数，使它们的和等于一次项系数，然后将这两个数分别写在交叉线的左上角和左下角。

再找出常数项，也按照同样的方法进行拆分，写在交叉线的右上角和右下角。

最后，将左上角和右下角的数相乘，与左下角和右上角的数相乘，将两个结果相加，得到原多项式的因式分解结果。

下面是一个具体的例子：
例：分解因式2x^2 + 5x - 3
首先，将二次项系数2 拆分成两个数，使它们的和等于一次项系数5，可以得到2 和3。

将这两个数分别写在交叉线的左上角和左下角：
2 3
再找出常数项-3，也按照同样的方法进行拆分，可以得到-1 和-3。

将这两个数分别写在交叉线的右上角和右下角：
2 3
-1 -3
然后，将左上角和右下角的数相乘，与左下角和右上角的数相乘，得到两个结果：
2 ×(-3) +
3 ×(-1) = -6 - 3 = -9
最后，将得到的因式分解结果与原多项式进行对比，可以确认分解正确：
原多项式：2x^2 + 5x - 3
分解后：(-2x - 1)(x - 3)
因此，使用十字相乘法可以将多项式2x^2 + 5x - 3 分解为因式(-2x - 1)(x - 3)。

因式分解技巧——⼗字相乘法通常是⽼师编题，学⽣解题。

其实学⽣也可以编题。

既会编，⼜会解，那可真是“知⼰知彼，百战不殆”了。

如果你⼿头有x+2和x+3，把两者相乘可得x^2+5x+6。

这时候⼀道因式分解题就新鲜出炉了：请分解因式x^2+5x+6。

现在问题来了，你怎么分解出x+2和x+3呢？数学⾥经常出现这种情况，正着做⼀件事很简单，但反过来做就奇难。

数论中的⼤数分解就是最突出的例⼦。

最朴素的想法，原题是⼆次，那分解之后只能是两个⼀次的，即形如x+a。

我们这题⽬不妨设分解为(x+a)(x+b)，展开之后与原式⽐较，即能知道a, b具体是多少：(x+a)(x+b)=x^2+5x+6 \Longrightarrow a+b=5, ab=6.这⾥⽐较好处理的是ab=6，实验⼀下即能知道a=2, b=3满⾜题意。

“⼗字相乘”中的“⼗字”是什么意思呢？它就是把上⾯的“待定系数”的过程图⽰出来：对于x^2-7x+6，我们有如下的分解：要掌握⼗字相乘，⾸先要熟悉整数的因式分解。

再进⼀步前⾯讨论的是⾸项系数为1的⼆次三项式，其实⼀般的⼆次三项式也能⽤⼗字相乘法。

分解6x^2-7x+2. 这时候需要分解的除了常数2, 还有⾸项系数6:⼆次齐次式形如ax^2+bxy+cy^2这样的式⼦就是x和y的⼆次齐次式。

分解因式6x^2-7xy+2y^2. 这个分解其实和之前的⼀模⼀样：⼗字相乘虽然简单，但是要做得快，还得依靠实践。

这个问题是可以意会，难于⾔传的。

系数和为0如果代数式ax^2+bx+c满⾜a+b+c=0，那么ax^2+bx+c=(x-1)(ax-c).这个⼩技巧在⼆次函数那⾥可能会⽤到：给出⼆次函数的图象，然后问你a+b+c的符号是什么。

这时候你只需要观察(1, f(1))的位置即可。

另外，这个结论其实是因式定理的⼀个推论。

Processing math: 0%。

因式分解双十字交乘十字相乘法是利用))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++这个公式，写成两排形式，把二次项系数的约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。

运用双十字乘法对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型的多项式分解因式的步骤： 1、用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D 。

一、用双十字相乘法分解多项式我们先看一下两个多项式相乘的计算过程：计算)13)(532(-++-y x y x 。

∴5813376)13)(532(22-++--=-++-y x y xy x y x y x 从计算过程可以发现，乘积中的二次项22376y xy x --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项y x 813+，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。

根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式581337622-++--y x y xy x 的分解因式的方法是：1、先用十字相乘法分解22376y xy x --。

2、再将常数项－5的两个因数写在第二个十字的右边。

3、由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8y 。

再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等于13x ，那么原式就可以分解成)13)(532(-++-y x y x 。

综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案。

例1、分解因式1433181892022-+--+y x y xy x 。