帮你学好因式分解（七）——十字相乘法

(完整版)初中历史十字相乘法因式分解初中历史十字相乘法因式分解十字相乘法是初中数学中常用的一种因式分解方法。

通过这种方法，我们可以将一个多项式分解成两个或多个简化的因式。

什么是十字相乘法？十字相乘法是一种运用代数式的乘法原理来进行因式分解的方法。

它适用于二次方程的因式分解，也可以用于其他多项式的分解。

如何使用十字相乘法进行因式分解？首先，我们需要一个多项式，如$x^2 + 5x + 6$。

我们将该多项式按照标准形式排列（由高次幂到低次幂），得到$x^2 + 5x + 6$。

其次，我们需要寻找一个分解形式，它可以将前一步得到的多项式分解成两个因式的乘积。

在这个例子中，我们需要找到两个因式之间的关系。

我们要找到两个乘数，使得它们相乘得到6，同时相加得到5。

根据这个要求，我们可以尝试以下组合：- 1和6：1 + 6 = 7- 2和3：2 + 3 = 5我们发现，2和3的乘积等于6，同时它们的和等于5。

因此，我们可以将$x^2 + 5x + 6$分解成$(x + 2)(x + 3)$。

总结十字相乘法是一种有效的因式分解方法，适用于多项式的分解。

通过找到两个乘数，使得它们相乘等于常数项，并且相加等于项数系数，我们可以将多项式分解成两个或多个简化的因式。

同时要注意，十字相乘法只适用于特定类型的多项式，特别是二次方程。

在应用这种方法时，我们应该先将多项式按照标准形式排列，然后寻找乘数来进行分解。

希望这份文档对你有帮助，以理解和应用十字相乘法进行因式分解。

如果有任何疑问，请随时提问。

因式分解——十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。

于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例2、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例3、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
初中化学十字相乘法因式分解是化学学科中的一种常用的化学
式化简方法。

该方法适用于由多个化合物组成的复杂化合物的化学
式化简。

十字相乘法因式分解的基本原理是根据化学式中的原子元素的
数量和化合价，寻找可相乘的因子，从而达到分解化学式的目的。

下面将以化合物C6H12O6为例，详细介绍十字相乘法因式分
解的步骤：
1. 首先，找到化合物中各个原子元素的化合价。

在C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2。

2. 根据化合物元素的化合价，找到可相乘的因子。

在
C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2，可以得到因子4、1和2。

3. 将化合物中各个原子元素的数量进行配平，使得因子的乘积
等于化合物中各个原子元素的数量。

在C6H12O6中，碳的原子数
量为6，氢的原子数量为12，氧的原子数量为6。

可得到化合物的
化学式化简为(CH2O)6。

以上就是初中化学十字相乘法因式分解的基本步骤和操作方法。

通过这种方法，可以将复杂化合物的化学式简化为更为简洁和清晰
的形式，便于研究和理解。

十字相乘法分解因式一、学习目标 1、能记住十字相乘法2、会运用十字相乘法分解因式（重点） 二、知识复习1．二次三项式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于- 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 三、典型例题[例1] 把下列各式因式分解。

（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+解：（1）)12)(3(3722--=+-x x x x1231--7)1(1)3(2-=-⨯+-⨯（2）)53)(12(5762-+=--x x x x5312-713)5(2-=⨯+-⨯（3）)45)(2(86522y x y x y xy x -+=-+yy4521-y y y 6)2(5)4(1=⨯+-⨯ 四、当堂检测1、把下列各式分解因式：（1）22157x x ++ （2） 2384a a -+- （3） 2576x x +- （4）261110y y -- （5）1032+--x x （6）652--m m二、分解因式1. 2252310a b ab +- 2. 222231710a b abxy x y -+ 3. 22712x xy y -+ 4.42718x x +- 5.22483m mn n ++。

因式分解公式十字相乘法《因式分解公式之十字相乘法》嗨，同学们！今天咱们来好好唠唠因式分解里超级有趣的十字相乘法。

我记得有一次数学作业，有好多因式分解的题目，我看着那些式子就发愁。

这时候我同桌凑过来了，他眼睛亮晶晶的，说：“你知道十字相乘法不？学会了这个呀，这些题目就像小蚂蚁一样，轻轻松松就能解决。

”我就特别好奇，啥是十字相乘法呢？就比如说一个二次三项式ax² + bx + c（a≠0），咱们要把它分解因式。

这就好比是把一个复杂的小怪物给拆开，看看它到底是由哪些小零件组成的。

十字相乘法就像是一把神奇的钥匙。

咱们先把a拆成两个因数，假设是m和n，再把c拆成两个因数，假设是p和q。

然后呢，要让m×q + n×p等于中间的那个b。

这就像搭积木一样，得找到合适的块儿，组合起来才对。

我给你们举个例子哈。

就像x² + 5x + 6。

这里a = 1，那1就只能拆成1×1啦。

c = 6，可以拆成2×3。

这时候咱们就来凑一凑，看看能不能让十字相乘后的结果等于中间的5呢。

1×3+1×2 = 5，哈哈，正好！那这个式子就可以分解成(x + 2)(x + 3)啦。

是不是很神奇呢？就像把一个神秘的盒子打开，看到里面藏着的两个小宝贝。

我还遇到过更复杂一点的呢。

有一次考试，有个题目是2x² - 7x + 3。

a = 2，可以拆成2和1，c = 3，可以拆成-1和- 3或者1和3。

咱们得试试不同的组合呀。

要是用2×(-1)+1×(-3) = - 5，不对。

要是2×(-3)+1×(-1) = - 7，哈哈，找到了。

所以这个式子就可以分解成(2x - 1)(x - 3)。

我跟我后座的同学讨论这个方法的时候，他还不太明白。

他说：“这就像在迷宫里找路一样，我都晕头转向了。

”我就跟他说：“你看啊，这就跟你玩拼图似的。

数学篇学思导引所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax 2+bx +c 分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项对于二次三项式x 2+bx +c ，当二次项系数为1时，采用十字相乘法分解因式通常是“拆常数项，凑一次项”.即将常数项c 拆分成两个因数c 1和c 2,使这两个因数c 1和c 2的乘积结果刚好是常数项c ,同时c 1和c 2的和刚好是一次项系数b .如图1所示:只要能满足c =c 1c 2,b =c 1+c 2,则x 2+bx +c =x 2+(c 1+c 2)x +c 1c 2=(x +c 1)(x +c 2).图1例1分解因式y 2-8y +15.分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×图2解：y 2-8y +15=(y -3)(y -5).例2分解因式x 2-2x -15.分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1×15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；图4验核结果为1×（-5）+1×3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.图3图4解：x 2-2x -15=（x +3）（x -5）.评注：从以上的解题过程可以发现:当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间如何利用十字相乘法分解因式盐城市初级中学陈爱荣数学篇学思导引“拆两头，凑中间”，即分别把二次项系数a 和常数项c 各自拆分成两个因数a 1和a 2、c 1和c 2,使a 1和a 2的乘积结果等于二次项系数a ，c 1和c 2的乘积结果等于常数项c ,并使a 1c 2+a 2c 1正好等于一次项系数b ，如图5所示，则ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2),a x1c 1a x 2c 2a x 1a 22c 1c 2(a +1c a c x 221)图5例3分解因式5x 2+7x -6.分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.图6-1图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7图6-8表1十字相乘法数据核验表序号12345678图示6-16-26-36-46-56-66-76-8数据验核1×6+5×（-1）=11×（-6）+5×1=-11×1+5×（-6）=-291×（-1）+5×6=291×3+5×（-2）=-71×（-3）+5×2=71×2+5×（-3）=-131×（-2）+5×3=13取舍情况舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×解：5x 2+7x -6=(5x -3)(x +2).例4分解因式9+5x -4x 2.分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）.然后求解出4x 2-5x -9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.图7-1图7-2图7-3图7-4图7-5图7-6图7-7图7-8图7-9表2十字相乘法数据核验表（转化后）序号123456789图示7-17-27-37-47-57-67-77-87-9数据验核1×9+4×（-1）=51×（-9）+4×1=-51×1+4×（-9）=-351×（-1）+4×9=351×3+4×（-3）=-91×（-3）+4×3=92×9+2×（-1）=162×（-9）+2×1=-162×（-3）+2×3=0取舍情况舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×解：9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）=-（x +1）（4x -9）.评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.27。

因式分解中的十字相乘法《因式分解中的十字相乘法》嘿，你知道吗？在数学这个神奇的世界里，有一个特别有趣又超级有用的方法，那就是十字相乘法。

我呀，今天就想和你唠唠这个十字相乘法。

我先给你举个简单的例子吧。

就像有个二次三项式，比如说x²+5x + 6。

这时候十字相乘法就像一个超级侦探，来把它分解因式啦。

我们要把二次项系数和常数项分别拆成两个数相乘呢。

对于x²的系数1，那就是1×1啦。

对于常数项6呢，我们可以拆成2×3。

然后我们就像搭十字一样，把这些数字摆好。

1和2写在一边，1和3写在另一边，交叉相乘再相加，1×3 + 1×2刚好等于一次项系数5呢。

这样，这个式子就可以分解成(x + 2)(x+ 3)啦。

哇，是不是很神奇呢？我记得我刚开始学这个十字相乘法的时候，那可真是一头雾水啊。

我就想，这都是啥呀，为啥要这么拆数字呢？我就跑去问我的数学老师。

老师就笑着说：“你看啊，这就像是搭积木，每一块积木都有它合适的位置。

二次三项式就像一个待组装的大积木，你得找到合适的小积木块才能把它搭好呀。

”我当时似懂非懂的，不过老师这么一说，我就觉得好像这个方法也没那么难嘛。

有一次，我和我的同桌一起做数学作业。

碰到了一个比较难的二次三项式，好像是2x² - 7x + 3。

我就开始苦思冥想，按照十字相乘法的规则来拆数字。

我先把2x²拆成2x 和x，对于常数项3呢，我拆成- 1和- 3。

我试着搭十字，交叉相乘再相加，结果不对呢。

我就有点沮丧，哎呀，这可怎么办呀。

这时候我的同桌凑过来说：“你看，你把3拆成- 1和- 3不对呢。

你可以把2x²拆成2x和x不变，把3拆成- 1和- 3的话，那交叉相乘再相加就不是- 7x啦。

你应该把3拆成- 1和- 3，2x乘以- 1加上x乘以- 3就等于- 7x啦。

”我一听，眼睛一亮，原来是这样啊。

我就按照同桌说的方法做，果然就把这个式子分解成(2x - 1)(x - 3)啦。

十字相乘因式解法十字相乘因式解法随着数学课程的深入，大家都会遇到因式分解这个概念。

在因式分解的过程中，除了试除法、公因数法、分组分解法等常见方法，还有一种既简单又实用的解法，那就是十字相乘因式解法。

一、十字相乘因式解法的概念十字相乘因式解法，是指通过“相减法”来得到一个方程的两个根，进而求出该方程的因式。

顾名思义，这种解法需要先将方程的系数分解成两个十字相乘的形式，然后再将两个十字对应的积和差相加、相减，就能得到方程的两个根。

例如，对于方程x²+5x+6=0，我们可以使用十字相乘因式解法。

将其系数分解成(x+2)和(x+3)两个十字相乘的形式，即x²+5x+6=(x+2)(x+3)。

然后，将(x+2)和(x+3)两个十字对应的积和差相加、相减，即2+3=5、3-2=1，这两个数分别就是该方程的两个根。

二、十字相乘因式解法的步骤了解了十字相乘因式解法的概念后，接下来就是详细的解题步骤了。

1.将方程的系数分解成两个十字相乘的形式。

例如，对于方程x²+5x+6=0，其系数分解为(x+2)(x+3)。

2.将两个十字对应的积和差相加、相减。

在该例子中，(x+2)(x+3)的积为x²+5x+6，两个十字的和为2+3=5，两个十字的差为3-2=1。

则方程的两个根分别为-2和-3。

3.将方程的因式表示出来。

在该例子中，方程的因式为(x+2)(x+3)。

三、注意事项使用十字相乘因式解法时，需要注意以下几点：1.该解法只适用于一元二次方程的因式分解。

2.对于不易分解的方程，该解法可能不是最佳解决方法。

3.在分解系数时，要考虑到负号的影响，例如(x+2)(x-3)和(x-2)(x+3)是不同的。

4.在找出方程的两个根时，应使用相减法得到两个数的差，而不是使用相加法得到两个数的和。

总之，十字相乘因式解法是一种实用、简便的因式分解方法，能在解决一元二次方程问题时，帮助我们快速地找到答案。

因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。

在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。

1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。

公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。

它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。

例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。

它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。

例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。

它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。

例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。

这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。

3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。

该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。

例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。

初二因式分解解读之五：编制人：平生曜曜因式分解中的“十字相乘”1、把多项式乘法中的“经验性公式”：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x + ab，倒过来可得：x2+（a+b）x + ab = （x+a）（x+b）.以上就是，因式分解中的“十字相乘法”公式。

2、可见，十字相乘法可以帮助我们把某些（但并非所有）“二次三项式”分解成两个“一次因式”的乘积。

3、十字相乘法的运用，一般会有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程。

当然如果你领悟了其中的技巧，就可以大大缩减“尝试”的次数。

4、十字相乘法的口诀是：竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间5、在运用“十字相乘法”分解因式之前，最好把多项式先按“主元”作“降幂排列”。

6、下面通过举例，对“十字相乘法”作一些具体的解读。

（1）、例如，运用十字相乘法，分解因式：x2 + 4x + 3 …………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。

〈分析〉：原式由三部分组成，其中没有任何公因式可提取，又不能用平方差公式，也不能用完全平方公式，在这种情况下，我们可以考虑用十字相乘法。

〈强调〉：“十字相乘法”的运用步骤是：一排顺序，二试口诀。

一排顺序是指：先将原式按“二次项；一次项；常数项”的顺序来作“降幂排列”；二试口诀是指：按“竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间”的口诀来进行“试错、微调”。

分解因式：x 2 + 4x + 3经过一番尝试后，可确定原式可分解为：（x+1）（x+3）。

〈疑问〉：你觉得尝试的过程有技巧吗？（2）、又例如，分解因式：①、x 2 －4x + 3②、x 2 －2x － 3③、x 2 + 2x － 3…………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。