2.1 正数和负数,以及有理数的分类

考点01有理数的分类知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正数和负数有理数及相关概念基础知识点有理数分类小数（分数）分类补充常用数学概念含义数集问题重难点题型规律探索 基础知识点：知识点1.1 正数和负数负数：规定一种意义的量为正数，与之意义相反的量规定为负数。

(1)用正负号表示相反意义量，一般用（+）表示增多等情况，用（-）表示减少量。

(2)注意：○1相反意义的量是成对出现的；○2相反意义的量必须是同类量；○3用正负表示时，一定要说明数量和单位；(3)在实际生活生产中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为“0”作为基准数，比基准（零）大的为正，比基准（零）小的为负。

(1) 正数：大于零的数，如3，21，π等，其中（+）可以省略 (2) 负数：小于零的数，如-1，-43，﹣30%等，其中（﹣）不可以省略(3) 0：正数和负数的分界线，既不是正数，也不是负数。

（0并非表示没有） 注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义⎪⎩⎪⎨⎧=><=-0a 000a ，负数，正数，a a例1．我国古代《九章算术）中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作-5步，那么向南走7步记作（ ） A ．+7步B ．﹣7步C ．+12步D ．﹣2步【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．例2．举出一个数字“0”表示正负之间分界点的实际例子，如__________．【答案】0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）【分析】根据数学中0表示数的意义解答即可．【解析】在实际中，数字“0”表示正负之间分界点，如：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．故答案为：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．【点睛】此题考查了正数和负数的意义，熟练掌握既不是正数，也不是负数的0的意义是解本题的关键．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．例3.下列说法中，正确的有哪些：①0是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0可以表示海平面的高度；④正数比0大，负数比0小，0是正数和负数的分界线；⑤0只表示什么都没有；⑥0是非正数；○70℃表示没有温度；○80是偶数，也是自然数；○9不带负号的数都是正数；【答案】①②③④⑥○8【解析】①正确，0是自然数；②正确，数分为正数、负数和0，其中0既不是正数也不是负数③正确，通常以0作为正负数的分界线，0可表示海平面高度；④正确，正负数的定义就是与0作比较⑤错误，如0℃并非表示没有温度；⑥正确，非正数包括负数和0；○7错误，0℃表示温度为水结冰的临界点温度，并非没有温度；○8正确，0是自然数，也是偶数；○9错误，判断正负，不能仅仅根据符号判定，而需要与0比较大小.0.03表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的例4.如图，是图纸上一个零件的标注，φ30±0.02直径最大可以是30.03mm，最小可以是（）A．30mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm【答案】D【分析】根据标注可知，零件直径标准30mm，最大多0.03mm，最小少0.02mm，则最小为30﹣0.02＝29.98mm．0.03可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30﹣0.02mm，【解析】由零件标注φ30±0.02∴30﹣0.02＝29.98（mm）；故选：D．【点睛】本题考查正数与负数；理解题意，找准零件直径的变化范围是解题的关键．例5．下列说法：①带正号的数是正数，带负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上负号就是一个负数；③0是最小的正数；④大于0的数是正数；⑤0只表示没有．其中正确的是（）A．①②B．②④C．①②④D．③⑤【答案】B【分析】根据正负数的意义可判断①②④，根据0的意义可判断③⑤，进而可得答案．【解析】解：带正号的数不一定是正数，带负号的数也不一定是负数，所以①错误；任意一个正数，前面加上负号就是一个负数，所以②正确；0既不是正数，也不是负数，所以③错误；大于0的数是正数，所以④正确；0可以表示没有，也可以表示某种量的基准，所以⑤错误．故选：B．【点睛】本题考查了正数和负数，明确正数大于0、负数小于0，0既不是正数又不是负数是关键．知识点1.2 有理数及相关概念正整数：像1， 2， 3， 4等这样的数叫作正整数； 负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；正分数：像43，0.24， 1.64等这样的数叫作正分数； 负分数：像－43，－3.56，－ 0.78等这样的数叫作负分数；整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 有理数：整数和分数统称为有理数。

正数和负数(2)教学内容：冀教版七年级教科书上册，2.1正数和负数教学目的和要求：1．理解有理数的意义。

2．会根据要求把给出的有理数分类。

3．了解“0”在有理数分类中的作用。

4．培养学生分类讨论的数学思想及对立统一的辩证唯物主义的观点。

教学重点和难点：重点：了解有理数包括哪些数。

难点：要明确有理数分类的标准，分类标准不同，分类结果也不同，分类结果应是不重不漏，即每一个数必须属于某一类，又不能同时属于不同的两类。

教学工具和方法：工具：应用投影仪，投影片。

方法：分层次教学，讲授、练习相结合。

教学过程：一、复习引入：1．填空：①正常水位为0m，水位高于正常水位0.2m 记作，低于正常水位0.3m记作。

②乒乓球比标准重量重0.039g记作，比标准重量轻0.019g记作，标准重量记作。

2．一个物体沿东西两个相反的方向运动时可以用正负数表示它们的运动，如果向东运动4m记作4m，向西运动8m记作；如果―7m表示物体向西运动7m，那么6m表明物体怎样运动？答案：1．+0.2；–0.3；+0.039；–0.019；2．–8m ；向东运动6m 。

二、讲授新课：1．数的扩充：数1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数32，41，854，+5.6，…叫做正分数；―97，―76，―3.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

2．思考并回答下列问题： ①“0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？②“―2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？③自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？要求学生区分“正”与“整”；小数可化为分数。

3．有理数的分类不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类：①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：{负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎩⎨⎧⎩⎨⎧②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：{{负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0⎩⎨⎧注：①“0”也是自然数。

内容：2.1正数与负数课型：新授学习目标：1．欣赏课本中的图片，感受负数的产生是表述实际生活中一些数据的需要．2．了解正数和负数的概念，尝试判别正数、负数，认识它们的表示方法．3．牢记“0既不是正数，也不是负数”．学习重点：探索负数概念的形成过程，使学生建立正数与负数的数感；学习过程：一、知识梳理1．正数：(1)像3、1.5、12、584等_______0的数叫做_______．归纳：比0_______的数叫做正数．(2)正数3、1.5、12、584前面都有省略不写的“_______”号．2．负数(1)像－3、－1.5、－12、－584等_______0的数叫做_______．归纳：比0_______的数叫做负数．(2)负数－3、－1.5、－12、－584前面的“－”号读作_______，这些数分别读作：_______、________、________、________．3．0既不是_______，也不是_______，它是_______和________的分界点．二、例题评析例l 把下列各数填入相应的集合中：－18，227，3.1416，0，2005，－35，－0.142 857；95%提示：本题主要考查同学们能否对正、负数进行正确分类．练习：把下列各数添在相应的集合内－7，3.5，－3.14，227，13，0，1713，－314，10，－708．正数集合：｛，…｝负数集合：｛，…｝整数集合：｛，…｝分数集合：｛，…｝归纳：整数与分数、、统称为整数．、统称为分数．例2．1．填空：(1)篮球比赛,如果胜5场记作＋5场,那么－2场表示_______________.（2）如果－50元表示支出50元，那么＋40元表示___________；(3)如果向北走100米记作+100米,那么向南走200米记作____________.(4)检查商店出售的味精,每袋按规定是250g,一袋味精248g就记作－2g,如果一袋味精253g应记作____________,如果某袋味精记作0g,说明__________________.（5）太平洋最深处的马里亚纳海沟低于海平面11 034m，它的海拔高度可表示为___________ _．2.如果买入200kg大米记为＋200kg，那么卖出120kg大米可记作-120kg.用上面的方法表示下列问题中的数：（1）从同一港口出发，甲船向东航行142 km，乙船向西航行142km；（2）拖拉机加油50L，用去油30L．3．明明在超市买一食品，外包装上印有“总净含量(200±3)g”的字洋，请问“±3g”表示什么意义？明明拿去称了一下，发现只有198g，问食品生产厂家有没有欺诈行为？三、课堂练习1．小静在银行工作，她把存入8万元记做＋8万元，那么支取4万元应记作_______．2.如果水位升高1.2米,记为+1.2米,那么水位下降0.8米,记为 .3.某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈应记作_________.4．在图纸上零件的加工尺寸为20±0.003(mm)，甲工人加工出来的零件尺寸为20.002mm，乙工人加工出来的零件尺寸为19.995mm，_______工人加工出来的零件合格，加工出来的零件允许的最小尺寸是_______mm．5．在－2，0，1，3这四个数中，比0小的数是( )A．－2 B．0 C．1 D．36．在－3，87，－3.2，＋3100，7.6中，负数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列说法中，正确的是( )A．0，13，1，2.5是正数B．－1，0，1.2，3是自然数C．0，－3，－1，－12，－13是负数D．0，－12，－5，－4.1不是正数8．将下列各数分别填入相应的集合中：－11，4，7.1，－35，17，＋10，－8.5，0正数集合：{ …}；负数集合：{ …}．四、课后练习1．写出一个比零小的数：__________．2．已知下列各数：－12，2011，π，＋3005，3.2324，0，－239，36，－15，234，则正数有_____ ；负数有_______ ．3.如果把115分记作+15分,那么96分的成绩记作分,如此记分法,甲生的成绩记作-9分,那么他的实际成绩是分4．下面四个数中，负数是( )A．－3 B．0 C．0.2 D．3 5．在－1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是( ) A．－1 B．0 C．1 D．26．如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作( ) A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%7．四组数：①－0.3，109，14；②－2011，0，212；③113，0.3，9.2 ④12，15，2．其中三个数都不是负数的一组是( )A．①②B．②④C．③④D．②③④8.A地海拔高度是20m，B地海拔高度是50m，C地海拔高度是－5m，D地海拔高度是－20m。

（一）有理数的基本概念1、正数和负数（1）、大于0的数叫做正数。

（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。

（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

2、有理数(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。

π不是有理数；(2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数； a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数； a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数.3、数轴【重点】（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。

数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。

注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。

（4）、一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

4、相反数（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

整数和负数4一、教学目标：1。

使学生体会具有相反意义的量，并能用有理数表示.2.能在数轴上表示有理数，并借助数轴理解相反数和绝对值的意义.3.会求有理数的相反数和绝对值（绝对值符号内不含字母)。

4。

会比较有理数的大小。

5。

了解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除法和乘方的运算法则，能进行有理数的加、减、乘、除法、乘方运算和简单的混合运算。

6。

会用计算器进行有理数的简单运算。

7.理解有理数的运算律，并能用运算律简化运算.8.能运用有理数的运算解决简单的问题。

9.了解近似数和有效数字的有关概念,能对较大的数字信息作合理的解释和推断.二、教材的特点：1。

本章教材注意突出学生的自主探索,通过一些熟悉的、具体的事物，让学生在观察、思考、探索中体会有理数的意义，探索数量关系，掌握有理数的运算。

教学中要注重让学生通过自己的活动来获取、理解和掌握这些知识。

2.本章教材注重使学生理解运算的意义,掌握必要的基本的运算技能。

同时引进了计算器来完成一些有理数的运算.教学中要注意正确地把握.3。

数轴是理解有理数的概念与运算的重要工具,教学中要善于利用好这个工具,尤其要使学生善于借助数轴学习、理解。

4.本章的导图是天气预报图,是引入负数的实际情景。

应该结合教材内容，充分利用导图与导入语,使学生对相反意义的量，对负数有直观的认识。

三、课时安排:本章的教学时间大约需要23课时，建议分配如下：§2。

1正数和负数———-—-—-—--——--2课时§2。

2数轴--—————-——--—-———----——--2课时§2。

3相反数—-——---—-——--——-—-——————1课时§2.4绝对值-------————---—-———-——1课时§2.5有理数的大小比较—-—-——---—1课时§2。

6有理数的加法——--——---—--——2课时§2。

7有理数的减法--—-——————--—-—-1课时§2.8 有理数的加减法混合运算----——-—2课时§2.9 有理数的乘法————-—-----———--2课时§2。

第2章有理数本章导读第2章 有理数2.1 正数与负数预习书本P12-P13，完成下面问题：1、正数都是比 大的数，负数都是比 小的数， 既不是正数，也不是负数. 2.___________、___________、_______统称为整数；_________、_________统称为分数。

3、你能举出一些具有相反意义量的例子吗？如何来表示这些具有相反意义的量呢？ 1． 指出下列各数中的正数、负数： +7；－9；－13；－4.5；998；910；0.2． 填一填（1）小明在某路口，规定向东为正，向西为负.如果他向东走了100米，则可表示为_______米，如果他向西走了150米，则可表示为_______米，如果他走了-50米，则表示他向_______走了_____米，如果他走了+200米，则表示他向______走了_____米. （2）运进了-72 吨货物的意思是________________.3． 把下列各数分别填入相应的集合中：-3，65，-7.3，3，0，-54， -2, 9.3 正整数集合{ …}负整数集合{ …} 正分数集合{ …} 负分数集合{ …}拓展提升1.在小学我们学习了偶数0 , 2 , 4 , 6 , 8，……，以及奇数1 , 3 ，5 , 7 , 9，……，现在我们学过了负数后，我们同时也知道了负偶数与负奇数，如负偶数－2，－4，－6，－8，……，负奇数－1，－3，－5，－7，……，下面我们将这此负偶数与负奇数排列如下：在上述的这些数中，观察它们的规律，回答数－101将在哪一列？达标测试1．（2011南通）如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）A．－20m B．－40m C．20m D．40m2．（2010连云港）下面四个数中比－2小的数是（）A．1 B．0 C．－1 D．－33．（2011宿迁）下列各数中，比0小的数是（）A．－1 B．1 C．12D．π4．数学测验班级平均分82分，小明85分，高出平均分3分记作+3，小强78分，记作___________．5．中午12时气温为5℃，傍晚6时气温比中午12时降低了4℃，此时气温是_______℃；凌晨4时比中午12时气温降低了7℃，这时气温是______℃.6．同学聚会，约定在中午12点到会，早到的时间记为正，迟到的时间记为负，结果最早到的同学记为＋3小时，最迟到的同学记为－1.5小时，你知道他们分别是什么时候到的吗？最早到的同学比最迟到的同学早到多少小时？2.2 有理数与无理数学习目标问题导学预习书本P15-P16，完成下面问题：1、把能够写成________________________________的数叫做有理数. 2. ________________________________叫做无理数. 3．下列各数722，0.3333…，-6,9.3，π，0.1， 010010001.0-，其中无理数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4.有理数分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 或者⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 典例训练1．把下列各数分别填入相应的集合中：-3，65，-7.3，3，0，-54，π，2.12112…, -2, 9.3，..0.12正整数集合{ …} 负整数集合{ …} 正分数集合{ …} 负分数集合{ …} 非负数集合{ …} 有理数集合{ …}学习目标了解 理解 掌握 应用 1.掌握有理数和无理数的概念 √ 2.会对有理数进行分类 √ 3.了解分类思想√1. 如图，将两个边长为1的小正方形，沿图中斜线剪开，重新拼成一个大正方形，它的面积为2，如果设大正方形边长为a ，请问，a 是有理数吗？1.判断题：(1)整数就是正整数和负整数 ( ) (2)零是整数但不是正数 ( )(3)正数、负数统称为有理数 ( ) (4)非负有理数是指正有理数和0 ( )2.（2010温州）在下列各数中，0，π，12-，0.3中，最小的是 （ ） A ．0 B ．π C ．12-D ．0.3 3.下列说法正确的是 （ ）A 、一个有理数不是整数就是分数B 、正整数和负整数统称为整数C 、正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D 、0不是有理数 4.将下列各数分别填入相应的集合中：9417,9,,,,31.25, 2.626626662, 3.5,1,010272π---+--正数集合：｛ … ｝ 负数集合：｛ … ｝ 整数集合：｛ … ｝111111无理数集合{ … }2.3 数轴(第一课时)学习目标问题导学1.下列说法正确的是（）A、一个有理数不是整数就是分数B、正整数和负整数统称为整数C、正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D、0不是有理数2.将下列各数分别填入相应的集合中：211,2004,5.3,25.31,274,301,109,9,7-+---正数集合：｛…｝负数集合：｛…｝整数集合：｛…｝分数集合：｛…｝3、规定了、和的直线叫做数轴。

第一章有理数1.1 正数与负数1.正数和负数的概念①正数：大于0的数叫正数。

（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。

与正数具有相反意义。

③0既不是正数也不是负数。

0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。

注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

如：（3） 0表示一个确切的量。

如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。

注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

3，整数也能化成分数，也是有理数注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。