人教A版高中数学选修2-1习题：第二章2.3-2.3.2第1课时双曲线的简单几何性质

2.3.2 双曲线的简单几何性质双基达标(限时20分钟)1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为 ( )． A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A.答案 A2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是 ( )． A ．y ＝±3x B ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x解析 令x 2－y 23＝0，则y ＝±3x .答案 C3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1，3)，离心率为2的双曲线的标准方程为 ( )． A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 解析 由离心率为2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2，即a ＝b ，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，又点P (1，3) 在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 28＝1.故选D.答案 D4．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．解析 依题意设双曲线的方程x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1.答案 x 23－y 212＝15．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析 双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又∵e ∈(1，2)，则1<4－k2<2，解得－12<k <0. 答案 (－12，0)6．求双曲线x 2－y 24＝1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程．解 把方程化为标准方程为x 212－y 222＝1，由此可知实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2，顶点坐标是(－1，0)，(1，0)，c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)，渐近线方程为x 1±y2＝0，即y ＝±2x .综合提高（限时25分钟）7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上， 一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为 ( )． A. 5 B.52C. 3 D ．2 解析 由题意知，这条渐近线的斜率为12，即a b ＝12，而e ＝ca ＝1＋（ba）2＝1＋22＝5，故选A.答案 A8．若0<k <a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有 ( )．A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点 解析 a 2－k >0，b 2＋k >0，所以a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2＝c 2. 所以两双曲线有相同的焦点． 答案 D9．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________．解析 由已知设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由e ＝135，得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝16925.∴b 2a 2＝14425，则b a ＝125， ∴渐近线方程为y ＝±a b x ＝±512x .答案 y ＝±512x10．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，点F 1是另一个焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率等于________．解析 设F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F 1PF 2中，|PF 1| ＝22c ，|PF 2|＝2c ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故有e ＝2＋1. 答案2＋111．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过A (33，－3)的双曲线的方程．解 设与x 242－y 232＝1共渐近线且过A (33，－3)的双曲线的方程为x 242－y 232＝λ，则（33）242－（－3）232＝λ，从而有λ＝1116，所求双曲线的方程为x 211－16y 299＝1.12．(创新拓展)已知点N (1，2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A 、B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)． (1)求直线AB 的方程；(2)若过点N 的直线交双曲线于C 、D 两点，且CD →²AB →＝0，那么A 、B 、C 、D 四点是否 共圆？为什么？解 (1)由题意知直线AB 的斜率存在． 设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程(*)的两根， ∴2－k 2≠0.且x 1＋x 2＝2k （2－k ）2－k 2.∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点， ∴x 1＋x 22＝1，∴k (2－k )＝－k 2＋2，k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. (2)共圆．将k ＝1代入方程(*)得 x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， ∴A (－1，0)，B (3，4)． ∵CD →²AB →＝0，∴CD 垂直AB ， ∴CD 所在直线方程为 y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0， 令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0) 则x 3＋x 4＝－6，x 3²x 4＝－11， ∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6，即M (－3，6)． |CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4 ＝410，|MC |＝|MD |＝12|CD |＝210，|MA |＝|MB |＝210，即A 、B 、C 、D 到M 的距离相等， ∴A 、B 、C 、D 四点共圆．。

第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双 曲 线 2.3.1.双曲线及其标准方程知识点：双曲线的定义1.动点P 到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P 的轨迹是( ) A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线2.双曲线1322=-y x 的右焦点坐标为( ) A.(2,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(1,0)3．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上5．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22 D .2－126．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆7．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限8．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 99.P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（ ）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交10．证明：椭圆的焦点相同。

第二章 2.3 2.3.2 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．(2017·山东烟台高二期末测试)若焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x ，则该双曲线的离心率是导学号 21324573( A )A ．52B ．5C ．72D ．7[解析] 由题意得a b ＝2，∴a 2b 2＝4，∴a 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)＝4c 2－4a 2， ∴5a 2＝4c 2，∴(c a )2＝54，∴离心率e ＝c a ＝52.2．(2017·安徽黄山市高二期末)“m >0”是“x 2m －y 2m －1＝1表示的曲线是双曲线”的导学号 21324574( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由题意得m (m －1)<0， ∴0<m <1，∴“m >0”是“0<m <1”的充分不必要条件．故选A ．3．(2015·安徽理，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是导学号 21324575( C )A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1[解析] 由题意，选项A 、B 的焦点在x 轴，故排除A 、B ；C 项的渐近线方程为y 24－x2＝0，即y ＝±2x ，故选C ．4．(2016·天津理，6)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为导学号 21324576( D )A ．x 24－3y 24＝1B ．x 24－4y 23＝1C ．x 24－y 24＝1D ．x 24－y 212＝1[解析] 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D ．5．(2017·安徽蚌埠市高二期末)已知双曲线以△ABC 的顶点B ，C 为焦点，且经过点A ，若△ABC 内角的对边分别为a ，b ，c .且a ＝4，b ＝5, c ＝21，则此双曲线的离心率为导学号 21324577( C )A ．5－21B ．21＋52 C ．5＋21 D ．5－212[解析] 由题意，2c ′＝4,2a ′＝5－21，∴e ＝45－21＝5＋21.故选C ．6．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为导学号 21324578( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析]e 21＝c 21a2＝a 2－b 2a2，e 22＝c 22a2＝a 2＋b 2a2，∴e 21·e 22＝a 4－b 4a4＝1－(b a)4＝34，∴b a＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .二、填空题7．(2015·全国卷Ⅱ文，15)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__x 24－y 2＝1__.导学号 21324579[解析] 根据双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程x 24－y 2＝m ，把(4，3)代入x 24－y 2＝m 得m ＝1.所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.8．(2015·浙江理，9)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是，渐近线方程是__y ＝±2x __.导学号 21324580[解析] 由题意得：a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2＋1＝3， ∴焦距为2c ＝23，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .三、解答题9．双曲线与圆x 2＋y 2＝17有公共点A (4，－1)，圆在A 点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.导学号 21324581[解析] ∵点A 与圆心O 连线的斜率为－14，∴过A 的切线的斜率为4. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±4x . 设双曲线方程为x 2－y 216＝λ.∵点A (4，－1)在双曲线上，∴16－116＝λ，λ＝25516.∴双曲线的标准方程为x 225516－y 2255＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率.导学号 21324582 [解析] 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c 得，ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入平方后整理得， 16(a 2c 2)2－16·a 2c2＋3＝0. 解关于a 2c 2的一元二次方程得a 2c 2＝34或14.∵e ＝c a ，∴e ＝233或e ＝2.因0<a <b ，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2>2， 所以应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝导学号 21324583( C )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[解析] 由渐近线方程为y ＝x 知，b2＝1，∴b ＝2， ∵点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 0＝±1， y 0＝1时，P (3，1)，F 1(－2,0)、F 2(2,0)， ∴PF 1→·PF 2→＝0，y 0＝－1时，P (3，－1)，PF 1→·PF 2→＝0，故选C ．2．(2017·甘肃金昌市永昌一中高二期末)如图F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是导学号 21324584( D )A ．2B ．3C ．32D ．62[解析] 设|AF 1|＝x ，|AF 2|＝y ，∵点A 为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1上的点，∴2a ＝4，b ＝1，c ＝3；∴|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，即x ＋y ＝4；① 又四边形AF 1BF 2为矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即x 2＋y 2＝(2c )2＝(23)2＝12，②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x 2＋y 2＝12，解得x ＝2－2，y ＝2＋2，设双曲线C 2的实轴长为2m ，焦距为2n ，则2m ＝|AF 2|－|AF 1|＝y －x ＝22，2n ＝2c ＝23， ∴双曲线C 2的离心率e ＝n m ＝32＝62.故选D ．3．(2015·四川理，5)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝导学号 21324585( D )A ．433B ．23C ．6D ．4 3[解析] 双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0得：y 2＝12，y ＝±2 3 ，∴|AB |＝4 3.选D ． 4．(2016·全国卷Ⅱ理，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为导学号 21324586( A )A ．2B ．32C ．3D ．2[解析] 设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A ． 二、填空题5．(2017·广州华美实验中学高二月考)如果双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)，那么双曲线其方程是 y 24－x 25＝1 .导学号 21324587[解析] 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为(0，±3)，∵双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，∴双曲线的焦点坐标为(0，±3) ∵双曲线经过点(15，4)， ∴2a ＝|15＋1－15＋49|＝4， ∴a ＝2，∴b 2＝9－4＝5. ∴双曲线的方程是y 24－x 25＝1.6．从双曲线x 29－y 216＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |＝_1__.导学号 21324588[解析] 设F 2为椭圆右焦点，则|OM |＝12|PF 2|，|PF |－|PF 2|＝6.∵FT 是⊙O 的切线，∴|FT |＝4， ∴|MT |＝|MF |－|FT |＝12|PF |－4，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－12|PF |＋4＝4－12(|PF |－|PF 2|)＝1.三、解答题7．若F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小.导学号 21324589[解析] 由双曲线的方程，知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5. 由双曲线的定义得， ||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6. 上式两边平方得，|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝100， 由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°.8．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)导学号 21324590 (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．[解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca ＝2，c ＝2，∴a ＝1，则b ＝3，∴所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)∵直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)， ∴l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)． 令x ＝0得M (0,2k )，∵|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ， ∴MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →， 当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，23k ， ∵Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，∴169－4k 227＝1，∴k ＝±212， 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，∴k ＝±325，则所求的直线l 的方程为： y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)． C 级 能力拔高双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点在双曲线上，且x 1≠x 2.导学号 21324591(1)若线段AB 的垂直平分线经过点Q (4,0)，且线段AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，试求x 0的值．(2)双曲线上是否存在这样的点A ，B ，使得OA ⊥OB?[解析] (1)由e ＝2知a ＝b ，由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 21＝a 2 ①，x 22－y 22＝a 2 ②，①－②得：(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，③ 因为x 1≠x 2，所以AB 所在直线的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2，③式两边同除以x 1－x 2，得x 0－ky 0＝0，而AB 的中垂线的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，即y －y 0＝－y 0x 0(x －x 0)，将点(4,0)代入，得－y 0＝－y 0x 0(4－x 0)，解得x 0＝2.(2)解法一：由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 若A ，B 在双曲线同一支上，则OA ，OB 夹角小于π2；若A ，B 在双曲线不同支上，则OA ，OB 夹角大于π2.综上可知，双曲线上不存在点A ，B ，使得OA ⊥OB . 解法二：假设存在满足条件的点A ，B . 设直线OA 的方程为y ＝kx ，则|k |<1， 因为OA ⊥OB ，所以直线OB 的方程为y ＝－1k x ，且|－1k|>1，所以直线OB 与双曲线无交点，故点B 不可能在双曲线上， 所以假设不成立，即双曲线上不存在点A ，B ，使得OA ⊥OB .。

2.3.2双曲线的简单几何性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴长实轴长＝____，虚轴长＝____离心率渐近线一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1 B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1 D.x24－y210＝12．双曲线x225－y24＝1的渐近线方程是()A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43B 53C . 2 D .73二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________． 三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．设双曲线x 2－y 22＝1上两点A 、B ，AB 中点M(1,2)，求直线AB 的方程．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A .2B . 3C .3＋12D .5＋1213．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1 (a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P(x ，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且ba＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b 2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y2b2＝λ (λ≠0)． 2.3.2 双曲线的简单几何性质知识梳理 1. 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a )，(0，a ) 轴长实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝ca(e >1)渐近线 y ＝±b a x y ＝±abx作业设计1．B [∵e ＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B.]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.故选C.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y＝±22x .]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y 216＝1(x >3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而|AB |－|AC |＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0， 当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1x 22－y 222＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 12.D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc)＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.]13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得－2<a <2且a ≠±1. 又∵a >0，∴0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∴0<a <2，且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a >0，∴a ＝1713.。

[课时作业 ][A 组基础稳固 ]x 2 y 21．设双曲线 a 2－b 2＝1(a>0， b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为 ( )A ． y ＝± 2xB ．y ＝±2x21C ． y ＝± 2xD ．y ＝± 2xb分析：由题意得 b ＝ 1， c ＝ 3.∴a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝ ± a x ，2 即 y ＝±2 x.答案： C．双曲线 2x 2－ y 2＝8 的实轴长是 ( )2A ． 2B ．2 2C ．4D ．4 222 x 2 y 22分析：将双曲线 2x － y ＝8 化成标准方程 4 －8 ＝ 1，则 a ＝ 4， 因此实轴长 2a ＝ 4.答案： C．双曲线 2＋ y 2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于 ()3 mx1 1 A ．－ 4B ．－ 4C ．4D. 4分析： ∵方程 mx 2＋ y 2＝1 表示双曲线，2∴ m<0.将方程化为标准方程为 y 2－ x＝ 1.－m 1则 a 2＝1，b2＝－ m 1.∵双曲线的虚轴长是实轴长的2 倍，∴可知 b ＝ 2a ，221 1∴ b ＝4a ，∴－ m ＝4，∴ m ＝－ 4.答案： A4．中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点在直线 3x － 4y ＋12＝ 0 上的等轴双曲线方程是 ()A ． x 2 －y 2 ＝8C ． y 2－x 2＝8B ．x 2－y 2＝ 4D ．y 2－x 2＝4分析：令 y ＝ 0，则 x ＝－ 4，即 c ＝4，又 c 2＝a 2＋ b 2，a ＝b ，∴ c 2＝ 2a 2， a 2＝8.答案： A5．已知 A ，B 为双曲线 E 的左、右极点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ( )A. 5 B ．2 C. 3D. 22 分析：不如取点 M 在第一象限，如下图，设双曲线方程为x2－ay 2b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)，则 |BM|＝|AB|＝ 2a ，∠ MBx ＝ 180°－120°＝60°，∴ M 点的坐标为 (2a ， 3a ).4a 2 3a 2∵ M 点在双曲线上，∴ a 2 － b 2 ＝ 1， a ＝ b ，c∴ c ＝ 2a ，e ＝a ＝ 2.应选 D.答案： D2x26．已知双曲线 a 2－ y ＝ 1(a ＞ 0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则 a ＝________.分析：双曲线x 2x3x ＋y ＝0，a 22＝1 的渐近线为 y ＝ ± ，已知一条渐近线为－ ya13即 y ＝－3x ，由于 a ＞ 0，因此 a ＝ 3，因此 a ＝ 3.3答案： 3x 2 y 27．过双曲线 a 2－b 2＝1(a>0， b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线订交于M ， N 两点，以 MN 为直径的圆恰巧过双曲线的右极点，则双曲线的离心率为________．2分析：由题意知， a ＋ c ＝ ba ，即 a 2＋ac ＝ c 2－a 2，∴ c 2 －ac －2a 2＝ 0，∴ e 2－e －2＝0，解得 e ＝ 2 或 e ＝－ 1(舍去 )． 答案： 2x2y 28．已知双曲线 C ： a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的离心率 e ＝ 2，且它的一个极点到较近焦点的距离为 1，则双曲线 C 的方程为 ________．c分析：双曲线中，极点与较近焦点距离为c －a ＝1，又 e ＝ a ＝2，两式联立得 a ＝1，c ＝2，∴ b 2 ＝c 2 －a 2＝ 4－ 1＝ 3，2∴方程为 x 2－y3 ＝ 1.2答案： x 2－y3 ＝1x 2y 2x 2y 29．已知椭圆 3m 2＋ 5n 2＝ 1 和双曲线 2m 2－3n 2＝1 有公共的焦点，求双曲线的渐近 线方程及离心率．分析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，因此椭圆的右焦点坐标为 ( 3m 2－ 5n 2， 0)，双曲线的右焦点坐标为 ( 2m 2＋3n 2，0)，因此 3m 2－ 5n 2＝ 2m 2＋3n 2，因此 m 2＝ 8n 2，即 |m|＝2 2|n|，因此双曲线的渐近线方程为 y ＝± 6|n| ， ＝ ± 3x.2|m|x y42m 2＋3n 21919离心率 e ＝2|m|＝ 4 ，e ＝ 4.x 2 y 210．设 A ， B 分别为双曲线 a 2 －b 2＝1(a>0，b>0)的左、右极点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；3(2)已知直线 y ＝ 3 x －2 与双曲线的右支交于M 、 N 两点，且在双曲线的右支上→ → →存在点 D ，使 OM ＋ON ＝ tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标．分析： (1)由题意知 a ＝2 3，b∴一条渐近线为 y ＝x ，|bc|即 bx －23y ＝ 0，∴2＝ 3，b ＋1222∴ b 2＝3，∴双曲线的方程为 12x －y3 ＝1.(2)设 M(x 1，y 1)，N(x 2， y 2)，D(x 0，y 0)，则 x 1＋x 2＝ tx 0，y 1＋ y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得 x 2－16 3x ＋ 84＝0，则 x 1＋x 2＝ 16 3，y 1＋y 2＝12，x 04 3 0＝3 ，0＝4 3，∴ 22∴x 0 y 00＝3，12－ 3 ＝1， y∴ t ＝4，点 D 的坐标为 (4 3，3)．[B 组能力提高 ]x 2y 21．(2016 ·高考全国Ⅰ卷 )已知方程 m 2＋ n － 3m 2－n ＝1 表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 ( )A ．(－1,3)B ．(－1， 3)C ． (0,3)D ． (0， 3)分析：依据双曲线的焦距，成立对于n 的不等式组求解．m 2＋ n>0，若双曲线的焦点在x轴上，则3m 2－n>0.又∵ (m 2 ＋n)＋(3m 2 －n)＝ 4，∴ m2＝1，∴1＋n>0，3－n>0，∴－ 1<n<3.若双曲线的焦点在 y 轴上，则双曲线的标准方程为y2x2n － 3m 2>0，n －3m 2－－m 2－ n ＝ 1，即－m 2－ n>0， 即 n>3m 2 且 n<－m 2，此时 n 不存在．应选 A. 答案： A222．已知 F 1，F 2 xy分别是双曲线 a 2－ b 2＝1(a>0， b>0) 的左、右焦点，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于 A 、B 两点，若△ ABF 2 为锐角三角形， 则双曲线的离心率的范围是 ()A ． (1,1＋ 2)B ．(1＋ 2，＋ ∞)C ．(1－ 2，1＋ 2)D ．( 2， 2＋1)分析：由△ ABF 2 为锐角三角形得，2baπ2 2 22c <tan 4＝ 1，即 b <2ac ，∴ c － a <2ac ，∴ e 2 －2e －1<0，解得 1－ 2<e<1＋ 2，又 e>1，∴ 1<e<1＋ 2.答案： A23．已知 F 是双曲线 C ：x 2－y8＝ 1 的右焦点， P 是 C 左支上一点， A (0， 6 6)，当△ APF 周长最小时，该三角形的面积为 ________．22y分析：由双曲线方程 x － 8 ＝1 可知， a ＝1，c ＝3，故 F(3,0)，F 1(－3,0)．当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－ |PF 1|＝2，因此 |PF|＝|PF 1 |＋2，进而△ APF 的周长＝ |AP|＋ |PF|＋ |AF|＝ |AP|＋ |PF 1 ＋ ＋ 由于 ＝ 2＋ 6 2＝15 为| 2 |AF|. |AF| 3定值，因此当 (|AP|＋|PF 1|)最小时，△ APF 的周长最小，由图象可知，此时点 P 在线段 AF 1 与双曲线的交点处 (如下图 )．由题意可知直线 AF 1 的方程为 y ＝2 6x ＋ 6 6，y ＝2 6x ＋66，由 22＋6 6y －96＝0，x 2－ y ＝1，得 y8解得 y ＝2 6或 y ＝－ 8 6(舍去 )，因此 S △ APF ＝S △AF 1F － S △ PF 1F11＝2×6×6 6－2×6×2 6＝12 6.答案： 12 6x 2 y 24．已知双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆 (x －2)2＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 ________．分析：由双曲线的渐近线b± ×2a3，＝b 2可知1＋ ac ＝2，b 与圆 －22 相切y ＝±(x 2) ＋y ＝3axa ＝1， 解得b ＝ 3.a 2＋b 2 ＝c 2，2y2故所求双曲线的方程为x － 3＝1.y 2 答案： x 2－ 3 ＝1x 2 y 2a 235．已知双曲线 C ：a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的离心率为 3，且 c ＝ 3 .(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知直线 x －y ＋m ＝ 0 与双曲线 C 交于不一样的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点在圆 x 2＋ y 2＝5 上，求 m 的值．a 23c＝3 ，a ＝1，分析： (1)由题意得解得c 3，c ＝ 3.a ＝因此 b 2＝ c 2－a 2＝2.2因此双曲线 C 的方程为 x 2－y2 ＝ 1.(2)设 A ， B 两点的坐标分别为 (x 1 ，y 1 )， (x 2， y 2 )，线段 AB 的中点为 M(x 0， y 0)．x －y ＋m ＝0，由x 2－y 2＝1， 2得 x 2－2mx － m 2－2＝0(鉴别式 >0)．x 1＋x2因此 x 0＝＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m.由于点 M(x 0，y 0)在圆 x 2＋y 2＝ 5 上，因此 m 2＋(2m)2＝5.故 m ＝±1.x 2 y 26．已知双曲线 C ：a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)的一个焦点是 F 2(2, 0)，离心率 e ＝ 2.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 订交于两个不一样的点 M ，N ，线段 MN 的垂直均分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线 l 的方程．分析： (1)由已知得 c ＝2，e ＝2， ∴ a ＝ 1， b ＝ 3.y2∴所求的双曲线方程为 x 2－ 3 ＝1.(2)设直线 l 的方程为 y ＝x ＋m ， 点 M(x 1， y 1 ) ， 2，y 2 的坐标知足方程组N(x) y ＝ x ＋ m ，① 2x 2－y＝ 1，②3将①式代入②式，整理得 2x 2－ 2mx －m 2－ 3＝ 0.(*) 设 MN 的中点为 (x 0 ，y 0)，x 1＋ x 2m则 x 0＝2 ＝ 2 ，0＝ x 0 ＋m ＝3m，因此线段 MN 垂直均分线的方程为 y －3m＝－ x －my222即 x ＋y － 2m ＝ 0，与坐标轴的交点分别为 (0,2m)，(2m,0)，1可得2|2m| ·|2m|＝ 4，得 m2＝ 2， m＝± 2此时 (*) 的鉴别式>0，故直线 l 的方程为 y＝ x± 2.。

2.3.2 双曲线的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1若等轴双曲线的一个焦点是F 1(-6,0),则其标准方程为( )A.x 29−y 29=1 B.y 29−x 29=1 C.y 218−x 218=1 D.x 218−y 218=1等轴双曲线的焦点在x 轴上,∴可设标准方程为x 2n−y 2n =1(n>0),∴2n=36,∴n=18.故选D .2若中心在坐标原点,离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方程为( ) A.y=±54x B.y=±45x C.y=±43xD.y=±34x 依题意可设y 2a2−x 2b2=1(a>0,b>0),得e=c a =53.设a=3k ,c=5k (k ∈R ,且k>0),则b 2=c 2-a 2=25k 2-9k 2=16k 2,则b=4k. 故其渐近线方程为y=±34x.3已知双曲线x 2a 2−y 25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()A.3√14B.3√2C.3D.4a 2+5=32⇒a=2⇒e=ca =32,选项C 正确.4若直线过点(√2,0)且与双曲线x 2-y 2=2仅有一个公共点,则这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条5设双曲线x 2a2−y 29=1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( )A.4B.3C.2D.16点A (x 0,y 0)在双曲线x 24−y 232=1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0= .(6,0),由题意,得{x 0≥2,(x 0-6)2+y 02=4x 02,x 024-y 0232=1,解得x 0=2. 7设椭圆C 1的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为 . y 29=1 8直线2x-y-10=0与双曲线x 220−y 25=1的交点坐标是 .或(143,-23) 9设F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b2=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°,且|AF 1|=3|AF 2|,求双曲线的离心率. AF 1⊥AF 2,所以|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2. ①因为|AF 1|=3|AF 2|,所以点A 在双曲线的右支上. 则|AF 1|-|AF 2|=2a , 所以|AF 2|=a ,|AF 1|=3a ,代入到①式得(3a )2+a 2=4c 2,c22=10. 所以e=c=√10.10求满足下列条件的双曲线方程: (1)以2x ±3y=0为渐近线,且经过点(1,2); (2)离心率为54,虚半轴长为2;(3)与椭圆x 2+5y 2=5共焦点且一条渐近线方程为y-√3x=0.设所求双曲线方程为4x 2-9y 2=λ(λ≠0),将点(1,2)代入方程可得λ=-32,则所求双曲线方程为4x 2-9y 2=-32, 即9y 232−x 28=1.(2)由题意,得b=2,e=c a=54. 令c=5k ,a=4k (k ∈R ,且k>0), 则由b 2=c 2-a 2=9k 2=4,得k 2=49. 则a 2=16k 2=649,故所求的双曲线方程为9x 264−y 24=1或9y 264−x 24=1.(3)由已知得椭圆x 2+5y 2=5的焦点为(±2,0), 又双曲线的一条渐近线方程为y-√3x=0, 则另一条渐近线方程为y+√3x=0. 设所求的双曲线方程为3x 2-y 2=λ(λ>0), 则a 2=λ3,b 2=λ.所以c 2=a 2+b 2=4λ3=4,所以λ=3. 故所求的双曲线方程为x 2-y 2=1.能力提升1若双曲线mx 2+y 2=1的焦距是实轴长的√5倍,则m 的值为( ) A.-14B.-4C.4D.14mx 2+y 2=1是双曲线,∴m<0,且其标准方程为y 2-x 21-m=1.∵焦距是实轴长的√5倍,∴虚轴长是实轴长的2倍. ∴-1m =4,即m=-14.2若双曲线x 26−y 23=1的渐近线与圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)相切,则r=( )A.√3B.2C.3D.6y=±√22x ,圆心坐标为(3,0),由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切,可得圆心到渐近线的距离等于r ,即r=√2|√2+4=√2√6=√3.3若0<k<a 2,则双曲线x 2a 2-k −y 2b 2+k=1与x 2a 2−y 2b2=1有( )A.相同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点0<k<a 2,且a 2-k+b 2+k=a 2+b 2,∴有相同的焦点.★4设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y29=1的左、右焦点.若P 在双曲线上,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A.2√5B.√5C.2√10D.√10,知双曲线两个焦点的坐标分别为F 1(-√10,0),F 2(√10,0).设点P (x ,y ),则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√10-x ,-y ),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√10-x ,-y ).∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴x 2+y 2-10=0,即x 2+y 2=10.∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√2(x 2+y 2)+20=2√10.5已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线上一点,且PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,则双曲线的离心率是 .PF 1⊥PF 2,所以由{|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,||PF 1|-|PF 2||=2a ,得4c 2-4a 2=8ab ,所以b=2a ,c 2=5a 2,所以e=√5. √5★6已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0).若双曲线上存在一点P ,使sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1=a c,则该双曲线的离心率的取值范围是 .|PF 1|=c a|PF 2|.由双曲线的定义,知|PF 1|-|PF 2|=2a ,则c a |PF 2|-|PF 2|=2a ,即|PF 2|=2a 2c -a .由双曲线的几何性质,知|PF 2|>c-a ,则2a 2c -a >c-a ,即c 2-2ac-a 2<0,故e 2-2e-1<0, 解得-√2+1<e<√2+1.又e ∈(1,+∞),故双曲线的离心率e ∈(1,√2+1).√2+1)7设双曲线x 29−y 216=1的右顶点为A ,右焦点为F ,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,求△AFB 的面积.双曲线方程为x 29−y 216=1,∴渐近线方程为y=±43x. ∵A (3,0),F (5,0),不妨令直线BF 的方程为y=43(x-5),代入双曲线方程,得x 2−1×16(x 2-10x+25)=1.解得x=175,∴y=-3215,∴B (175,-3215). ∴S △AFB =12(5-3)×3215=3215.8已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为√2,且过点(4,-√10). (1)求此双曲线的方程;(2)若点M (3,m )在此双曲线上,求证:F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.e=c=√2,所以a=b.设双曲线方程为x 2-y 2=n (n ≠0), 因为点(4,-√10)在双曲线上,所以n=42-(-√10)2=6. 所以双曲线方程为x 2-y 2=6.M (3,m )在双曲线上,所以m 2=3.又点F 1(-2√3,0),点F 2(2√3,0), 所以k MF 1·k MF 2=3+2√3·3-2√3=-m 23=-1.所以F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. ★9已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点是F (2,0),离心率e=2.(1)求双曲线C 的方程;(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ,N ,线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求实数k 的取值范围. 由已知,得c=2.又e=2,则a=1,b=√3. 故所求的双曲线方程为x 2-y23=1.(2)设直线l 的方程为y=kx+m (k ≠0), 点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)的坐标满足方程组{y =kx +m ,x 2-y 23=1,① ② 将①式代入②式,整理,得 (3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0.此方程有两个不等实根,于是3-k 2≠0, 且Δ=(-2km )2+4(3-k 2)(m 2+3)>0. 整理,得m 2+3-k 2>0.③由根与系数的关系,可知线段MN 的中点坐标(x 0,y 0)满足x 0=x 1+x 22=km 3-k2,y 0=kx 0+m=3m3-k2.从而线段MN 的垂直平分线方程为 y-3m 3-k2=-1k (x -km 3-k2).此直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为 (4km 3-k2,0),(0,4m 3-k2).由题设可得12|4km 3-k2|·|4m3-k2|=4.整理,得m 2=(3-k 2)22|k |(k ≠0).将上式代入③式,得(3-k2)2+3-k2>0,2|k|整理,得(k2-3)(k2-2|k|-3)>0(k≠0).解得0<|k|<√3或|k|>3.故k的取值范围是(-∞,-3)∪(-√3,0)∪(0,√3)∪(3,+∞).。