高三理科数学总复习跟踪强化训练21

2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二理一、选择题1．(xx·沈阳质检)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D.故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)已知a ＝2，b ＝3，c ＝25，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝2＝4，b ＝3，c ＝25＝5. ∵y ＝x 在第一象限内为增函数， 又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .3．(xx·陕西质检)已知a ＝2，b ＝(2)，c ＝14⎠⎛0πsin xdx ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a解析：选C 依题意得，a ＝2，b ＝3，c ＝－14cos x |π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，则a 6>b 6>c 6，即a >b >c ，故选C. 4．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，∴f (0)·f (1)<0，故函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，故选C.5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司xx 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年D ．2023年解析：选B 设xx 年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，f ′(x )＝2＋1x，由x >0知f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4<0，f (e)＝2e －5>0，f (1)·f (e )<0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．故函数f (x )的零点个数是2.7．(xx·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：选C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C. 8．(xx·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.9．(xx 届高三·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4C.52D.92解析：选D 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2n m ·m n ＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.10．(xx·长春质检)已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x－1|的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－∞，1)解析：选A 令F (x )＝f (x )＋2x ，由对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，可得f (x 1)＋2x 1<f (x 2)＋2x 2，即F (x 1)<F (x 2)，所以F (x )在定义域内单调递增，由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)＋2＝3，f (log 2|3x－1|)<3－log 2|3x－1|等价于f (log 2|3x－1|)＋2log 2|3x－1|<3，令t ＝log 2|3x－1|，则f (t )＋2t <3，即F (t )<3，所以t <1，即log 2|3x－1|<1，从而0<|3x－1|<2，解得x <1，且x ≠0.故选A.11．(xx·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln 1＋x ＋x 2，x ≥0，－x ln 1－x ＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：选D 若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D.12．(xx·合肥质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2＋e ，x ≤2，xln x＋a ＋10，x >2，(e 是自然对数的底数)，若f (2)是函数f (x )的最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－1,6]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,6]解析：选D 当x >2时，f (x )＝x ln x ＋a ＋10，f ′(x )＝ln x －1ln x 2，令f ′(x )>0，解得x >e ，令f ′(x )<0，解得x <e ，所以f (x )在(2，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，即函数f (x )在x >2时的最小值为f (e)；当x ≤2时，f (x )＝(x －a )2＋e 是对称轴方程为x ＝a 的二次函数，欲使f (2)是函数的最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，f 2≤f e ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，2－a 2＋e≤e＋a ＋10，解得2≤a ≤6，故选D.二、填空题13．(xx·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤0，1－log 2x ，x >0，若|f (a )|≥2，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，1－a ≥1，所以21－a≥2，即|f (a )|≥2恒成立；当a >0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得a ≥8或0<a ≤12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞)．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[8，＋∞) 14．(xx·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0， 且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根得，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝－x 与函数y ＝f (x )的大致图象(图略)，平移直线y ＝－x ，当平移到该直线在y 轴上的截距大于1时，相应直线与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，即此时关于x 的方程有且只有一个实数根，因此a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)15．(xx 届高三·广西三市联考)已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0<x <1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)·f (log 3x ＋1)≤5的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫log 144x －1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧0<log 3x ＋1<1，log 2x ＋2log 144x －1≤5，解得1≤x ≤4或13<x <1，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤13，4.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤13，416．(xx·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m＝9.答案：9B 组——能力小题保分练1．(xx·长沙模拟)对于满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 总有两个不同的零点，则a ＋b －ca的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，74 B ．(1,2] C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意，对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有Δ＝b 2－4ac >0，于是c <b 24a，从而a ＋b －c a >a ＋b －b 24a a ＝1＋b a －14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，对满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b 恒成立．令t ＝ba ，因为0<b ≤3a ，所以0<t ≤3.因此1＋b a －14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝－14t 2＋t ＋1＝－14(t －2)2＋2∈(1,2]，故a ＋b －ca>2.故选D. 2．(xx·云南检测)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )·(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.3．(xx·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，若函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26 D.⎝⎛⎭⎪⎫ln 2－16，1－ln 28 解析：选A 函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx 的图象有7个交点．当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－xx<0，此时f (x )单调递减，且f (1)＝0，f (2)＝ln 2－1.由f (2－x )＝f (x )知函数图象关于x ＝1对称，而f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，故f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的函数．易知m ≠0，当－m <0时，作出函数y ＝f (x )与y ＝－mx 的图象，如图所示．则要使函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx的图象有7个交点，需有⎩⎪⎨⎪⎧－8m <f8，－6m >f 6，即⎩⎪⎨⎪⎧－8m <ln 2－1，－6m >ln 2－1，解得1－ln 28<m <1－ln 26.同理，当－m >0时，可得ln 2－16<m <ln 2－18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≥0，log 3－x ，x <0，函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＋t ，t ∈R ，则下列判断不正确的是( )A ．若t ＝14，则g (x )有一个零点B ．若－2<t <14，则g (x )有两个零点C ．若t <－2，则g (x )有四个零点D ．若t ＝－2，则g (x )有三个零点解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示，当t ＝14时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0得f (x )＝－12，结合图象知g (x )有一个零点，故A 正确；当－2<t <14时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0知f (x )的一个值小于－12，另一个值大于－12小于1，结合图象知g (x )有两个零点，故B 正确；当t <－2时，由[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0知f (x )的一个值小于－2，另一个值大于1，结合图象知g (x )有三个零点，故C 不正确；当t ＝－2时，f (x )＝1或－2，结合图象知，g (x )有三个零点，故D 正确．5．(xx 届高三·广东五校联考)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．(1，e]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋1e ，e D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e 解析：选C 令f (x 1)＝a －x 1，则f (x 1)＝a －x 1在x 1∈[0,1]上单调递减，且f (0)＝a ，f (1)＝a －1.令g (x 2)＝x 22e x 2，则g ′(x 2)＝2x 2e x 2＋x 22e x 2＝x 2e x 2(x 2＋2)，且g (0)＝0，g (－1)＝1e，g (1)＝e.若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，即f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)＝a －x 1的最大值不能大于g (x 2)的最大值，即f (0)＝a ≤e，因为g (x 2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g (x 2)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e 时，存在两个x 2使得f (x 1)＝g (x 2)．若只有唯一的x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)的最小值要比1e 大，所以f (1)＝a －1>1e ，即a >1＋1e ，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋1e ，e ，故选C. 6．(xx·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11)解析：选D 首先作出函数f (x )的图象(如图)，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1－a ＋b <0，4－2a ＋b >0，画出可行域(图略)，计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值范围为(3,11)，故选D.。

跟踪强化训练(三)一、选择题1．(2017·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析]解法一：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.解法二：取a ＝0, f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D.[答案]C2．(2017·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析]因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.[答案]B3．(2017·太原模拟)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用1名大学生的情况有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种[解析]每家企业至少录用一名大学生的情况有两类：一类是每家企业都录用一名，有C 34A 33＝24(种)；一类是其中一家企业录用了2名，有C 24A 33＝36(种)，所以一共有24＋36＝60(种)，故选D.[答案]D4．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则该双曲线的离心率为( )A ．2或3B ．2或233 C.233D ．2[解析]当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π3＝3，故双曲线的离心率e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝1＋3＝2；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±a b x ，所以a b ＝tan π3＝3，则b a ＝33，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝233.故选B. [答案]B5．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析]∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b>1可化为a log a b>a1，即b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a －1)>0，(b－1)(b－a)>0.当0<a<1，即a－1<0时，不等式log a b>1可化为a log a b<a1，即0<b<a<1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.综上可知，选D.[答案]D6．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB1D1平行的直线有()A．18条B．20条C．21条D．22条[解析]设各边的中点如图所示，其中与直线D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与直线CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与直线CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与直线CO平行的有GH1，FE1，共2条；与直线D1P平行的有H1L，NF，共2条；与直线B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21条．[答案]C二、填空题7．(2017·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析]圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0.综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0.[答案]x ＝3或3x －4y ＋7＝08．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析]当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.综上所述，所求体积为43或833.[答案]43或8339．(2017·深圳模拟)若函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x 存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是________．[解析]f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x， 即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0， 故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故0<m <18.综上所述，m <18，故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18. [答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18 三、解答题10．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．[解](1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2. 令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故－π<A －B <π，所以，B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.12．(2017·唐山模拟)已知函数f (x )＝a x ＋ln x －2，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．[解](1)∵f (x )＝a x ＋ln x －2(x >0)，∴f ′(x )＝－a x 2＋1x (x >0)，又曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，∴f ′(2)＝－14a ＋12＝－32⇒a ＝8.∴f ′(x )＝－8x 2＋1x ＝x －8x 2(x >0)，令f ′(x )>0，得x >8，f (x )在(8，＋∞)上单调递增；令f ′(x )<0，得0<x <8, f (x )在(0,8)上单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(8，＋∞)，单调递减区间为(0,8)．(2)由(1)知f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a x 2(x >0)．(ⅰ)当a ≤0时， f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(0，e 2]上单调递增，无最小值，不满足题意．(ⅱ)当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，所以当f ′(x )>0时，x >a ，当f ′(x )<0时，0<x <a ，此时函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (e 2)＝a e 2＋lne 2－2＝a e 2，由a e 2＝2，得a ＝2e 2，满足a >e 2，符合题意；若a ≤e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (a )＝a a ＋ln a －2＝ln a －1，由ln a －1＝2，得a ＝e 3，不满足a ≤e 2，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a ＝2e 2，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2.。

追踪加强训练 (一)一、1．(2017 · 川模 )已知非零向量m ，n 足 4|m |＝3|n |，cos 〈m ，〉＝ 1，若 n ⊥(t m ＋n )， 数 t 的 () n 39 9A ．4B ．－ 4 C.4 D ．－ 4[ 分析 ] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴ n ·(t m ＋n )＝0，即 t m ·n ＋|n |2＝0，∴ t|m ||n |cos 〈m ，n 〉＋ |n |2＝0.32 1 2 ＝0，又 4|m |＝3|n |，∴ t ×| |×＋|n |4n3解得 t ＝－ 4.故 B.[答案] B2．(2017 ·沈阳模 )等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，已知 a 1＝13，S 3＝S 11，当 S n 最大 ， n 的 是 ()A ．5B ．6C ．7D ．8[ 分析 ] 解法一：由 S 3＝S 11，得 a 4＋a 5＋⋯＋a 11＝0，依据等差数列的性 ，可得 a 7＋a 8＝0，依据首 a 1＝ 13 可推知数列 { a n } 减，进而获得 a 7>0，a 8<0，故 n ＝7 ， S n 最大．故 C.解法二： { a n } 的公差 d ，由 S 3＝ S 11，可得 3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把 a 1＝13 代入，得 d ＝－ 2，故 S n ＝13n －n(n －1)＝－ n 2＋14n ，依据二次函数的性 ，知当 n ＝7 ， S n 最大．故 C.解法三：依据 a 1＝13，S 3＝S 11，知 个数列的公差不等于零，且 个数列的和先是 增而后 减， 依据公差不 零的等差数列的前 n 和是对于 n 的二次函数，以及二次函数 象的 称性， 得只有当 n＝3＋11＝7 时， S n获得最大值．应选 C.2[答案 ]C3．(2017·武汉市武昌区高三调研考试 )已知函数 f(x)＝2ax－a＋3，若? x0∈(－1,1)，使得 f(x0)＝0，则实数 a 的取值范围是 ()A ．(－∞，－ 3)∪(1，＋∞)B．(－∞，－ 3)C．(－3,1)D．(1，＋∞)[分析 ]依题意可得 f(－1) ·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得 a<－3 或 a>1，应选 A.[答案 ]A4．(2017 ·济南一模 )方程 m＋1－x＝x 有解，则 m 的最大值为()A ．1 B．0 C．－ 1 D．－ 2[分析 ]由原式得 m＝x－ 1－x，设 1－x＝t(t≥0)，则 m＝1－t2－t＝54－ t＋122，∵ m＝54－ t＋122在 [0，＋∞)上是减函数．∴ t＝0 时， m 的最大值为 1，应选 A.[答案]A5．(2017 ·辽宁省沈阳市高三教课质量监测)已知定义域为 { x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为 f ′(x)，对随意正实数x 知足xf′(x)>－2f(x)，若 g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集是()A ．(－∞，1)B．(－∞，0)∪(0,1)C．(－1,1)D．(－1,0)∪(0,1)[ 分析 ] 由于 g(x)＝ x2f(x)，因此 g′(x)＝ x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)] ，由题意知，当 x>0 时， xf′(x)＋2f(x)>0，因此 g′(x)>0，因此g(x)在(0，＋∞)上单一递加，又 f(x)为偶函数，则 g(x)也是偶函数，所|x|<1， 以 g(x)＝g(|x|)，由 g(x)<g(1)得 g(|x|)<g(1)，因此则 x ∈(－1,0)x ≠0，∪ (0,1)．应选 D.[答案]D6．(2017 ·杭州质检 )设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线y 2＝2px(p>0)上随意一点，M 是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF |，则直线OM的斜率的最大值为 ()A.3 32 B.3C.22D ．1[分析 ]如下图，设P(x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，y 20即 x 0＝2p .→→设 M(x ′，y ′)，由 PM ＝2MF ，p得x ′－x 0＝22－x ′，y ′－y 0＝－y ，p ＋x 0x ′＝ 3 ，化简可得y 0y ′＝ 3 .y 0∴直线 OM 的斜率为 k ＝ 3 ＝ y 0 2 ＝ 2p2p 2＝ 2(当 p ＋x 2≤2y 02p 2 2p0 p ＋3 2p y 0 ＋y 0且仅当 y 0＝ 2p 时取等号 )．[答案 ]C二、填空题． ·厦门一中月考 )设曲线 ＝x ＋1在点 (3,2)处的切线与直线 7 (2017 y x －1ax ＋y ＋3＝0 垂直，则 a 等于 ________．－ － ＋ －2 [分析 ] y ′＝ x x ＝2，将 x ＝3 代入，得 x － 2 x －曲线 y ＝x ＋1在点 (3,2)处的切线斜率 k ＝－ 1，故与切线垂直的直线的x －12斜率为 2，即－ a ＝2，得 a ＝－ 2.[答案 ]－2E ：x228．(2017 ·南昌模拟 )已知双曲线2 －y2＝1(a>0，b>0)，矩形a bABCD 的四个极点在 E 上，AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|＝ 3|BC|，则 E 的离心率是 ________．[ 分析 ] 利用双曲线的性质成立对于 a ，b ，c 的等式求解．2b2如图，由题意知 |AB|＝a， |BC|＝2c.又 2|AB|＝3|BC|，2b2∴ 2×a＝3×2c，即 2b2＝3ac，∴ 2(c2－a2＝，两边同除以2并整理，得 2e2－3e－2＝0，解)3ac a得 e＝2(负值舍去 )．[答案] 29．(2017 ·衡水中学检测 )已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为 ________．[ 分析 ] 如下图，设正四棱锥的底面边长为a，高为 h.12322232则该正四棱锥的体积V＝3a h＝3，故 a h＝32，即 a ＝h .则其侧棱长为 l＝2a 2＋h2＝16＋h2.2h16令 f(h)＝h＋h2，则 f′(h)＝－16＝2h3－16，＋h2h h令 f′(h)＝0，解得 h＝2.明显当h∈(0,2)时，f′(h)<0，f(h)单一递减；当h∈(2，＋∞)时， f′(h)>0，f(h)单一递加．因此当 h＝2 时， f(h)获得最小值 f(2)＝162＋22＝12，故其侧棱长的最小值l＝12＝2 3.[答案] 2 3三、解答题10．(2017 ·湖南湘中联考 )设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝2bsinA.(1)求 B 的大小；(2)求 cosA＋sinC 的取值范围．[ 解](1)∵a＝ 2bsinA，依据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，∵ sinA≠0，1∴ sinB＝2，π又△ ABC 为锐角三角形，∴ B＝6.π(2)∵B＝6，π∴ cosA＋sinC＝cosA＋sin π－6－Aπ＝ cosA＋sin 6＋ A＝ cosA＋1＋3＝A＋π2cosA2 sinA3sin 3 .π由△ ABC 为锐角三角形知， A＋B>2，π π2ππ 5π∴3<A<2，∴3 <A＋3< 6，1π3∴2<sin A＋3 <2，3 π 3∴ 2 < 3sin A ＋3 <2，∴ cosA ＋sinC 的取 范3 32 ， 2 .11．(2017 ·合肥模 ) 等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，已知 a 1＝ 9，a 2 整数，且 S n ≤S 5.(1)求{ a n }的通 公式；(2) 数列14 a n a n ＋1的前 n 和 T n ，求 ： T n ≤ .9[ 解](1)由 a 1＝9，a 2 整数可知，等差数列 { a n } 的公差 d 整数．又 S n ≤S 5，∴ a 5≥0，a 6≤0，于是 9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，9 9解得－ 4≤d ≤－5.∵ d 整数，∴ d ＝－ 2.故 { a n } 的通 公式 a n ＝11－2n.1 ＝1－2n－2n(2) 明：由 (1)，得a n a n ＋11 1 1＝ 2 9－2n －11－2n ，1 1 1 1 1111 11∴ T n＝27－9 ＋5－7＋⋯＋9－2n－11－2n＝2 9－2n－9.令 b n ＝1 ，由函数 f(x)＝ 1 的 象对于点 (4.5,0) 称及其9－2n9－2x性，知 0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<⋯<0，∴ b n ≤b 4＝1.11 4∴ T n ≤2×1－9 ＝9.12．(2017 · 沙模 )已知 E 的中心在原点， 焦点 F 1，F 2 在 y2 2轴上，离心率等于3 ，P 是椭圆 E 上的点．以线段PF 1 为直径的圆→ →经过 F 2，且 9PF 1·PF 2＝1.(1)求椭圆 E 的方程；(2)作直线 l 与椭圆 E 交于两个不一样的点 M ，N.假如线段 MN 被直线 2x ＋1＝0 均分，求直线 l 的倾斜角的取值范围．[ 解](1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2 x 2a 2＋b 2＝1(a>b>0)，半焦距为 c.2 2∵椭圆 E 的离心率等于 3 ，2 2a 2∴ c ＝ 3 a ，b 2＝a 2－c 2＝ 9 .∵以线段 PF 1 为直径的圆经过 F 2，∴ PF 2⊥F 1F 2.b 2∴ |PF 2|＝ a .2 9b 4∵ 9PF 1·PF 2＝1，∴ 9|PF 2| ＝ a 2 ＝1.→→→2b 2＝a，2＝9，9a由9b 4得 2 ＝ ，a 2 ＝1b 12∴椭圆 E 的方程为y9 ＋x2＝1.(2)∵直线 2x ＋1＝0 与 x 轴垂直，且由已知得直线 l 与直线 x ＝－12订交，∴直线 l 不行能与 x 轴垂直，∴设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋m.y ＝kx ＋ m ，由 9x 2＋y 2＝9， 得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0.∵直线 l 与椭圆 E 交于两个不一样的点 M ，N ，∴ ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即 m 2－k 2－9<0.－2km设 M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝ k 2＋9 .∵线段 MN 被直线 2x ＋ 1＝0 均分，x 1＋x 2－2km∴2× 2＋1＝0，即 k 2＋9 ＋1＝ 0.m 2－k 2－9<0，得k 2＋92－(k 2＋ 9)<0.即 －2kmk 2＋9 ＋1＝0，2k∵ k 2＋9>0，∴k2＋9，2 －4k1<0∴ k 2，解得k> 3 或 －>3k<3.∴直线 l 的倾斜角的取值范围为π π π 2π3，2 ∪ 2，3.。

课时跟踪检测(二十一）1．计算：tan 15°＋错误!＝（）A.错误!B．2C．4 D．2错误!答案:C解析：tan 15°＋错误!＝错误!＋错误!＝sin215°＋cos215°sin 15°cos 15°＝错误!＝4.2．已知tan α＝－错误!，则sin 2α＝( ）A.错误!B．－错误!C．－错误!D．错误!答案:B解析：sin 2α＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!.3．已知sin错误!＝错误!，－错误!〈α〈0，则cos错误!的值是( ）A。

错误!B．错误!C．－错误!D．1答案：C解析：由已知得cos α＝错误!,sin α＝－错误!，cos错误!＝错误!cos α＋错误!sin α＝－错误!.4．tan 错误!－错误!＝（）A．4 B．－4C．2 3 D．－23答案：D解析：∵tan 错误!＝tan错误!＝错误!＝错误!＝2－错误!，∴tan 错误!－错误!＝2－错误!－错误!＝－2错误!。

5．已知cos错误!＝错误!，则sin错误!的值是（)A.错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!答案：A 解析:sin错误!＝sin错误!＝cos错误!错误!－θ错误!＝错误!。

6．在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C,且tan B·tan C ＝1－错误!，则角A的值为（）A。

错误!B．错误!C．π2D．错误!答案：A解析：由题意知，sin A＝－错误!cos B·cos C＝sin(B＋C）＝sin B·cos C＋cos B·sin C，等式－错误!cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C，得tan B＋tan C＝－错误!，又tan （B＋C)＝错误!＝－1＝－tan A，即tan A＝1，所以A＝错误!。

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．(6，＋∞) B ．(－3,6) C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)解析：要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x ＞0，解得－3≤x ＜6. 答案：D2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A ．－74 B ．74 C.43D ．－43解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.答案：B3．(2017届黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1.故选A.答案：A4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2B ．2C ．－2或2D ． 2解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2；当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2，故选B. 答案：B5．(2017届长沙四校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C. 答案：C6．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1.解得0<x ≤1.∴原函数的定义域为(0,1]． 答案：B7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f (3x )x －1的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1 B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,3]D ．[0,1)∪(1,9]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0可得0≤x ＜1，所以所求函数的定义域是[0,1)，故选B.答案：B8．(2017届河南濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.答案：D9．(2017届四川成都检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f (－x )，x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f (x ＋5)，x ＜－2，若f (2 016)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：由于f (2 016)＝f (－2 016)＝f (－403×5－1)＝f (－1)＝－a ＋1＝0，故a ＝1.答案：C10．(2017届山西太原一模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( ) A.12 B ．e C.1eD ．－1解析：解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e＝e ，即f (2)＝e.答案：B11．(2017届山东潍坊二模)函数f (x )＝1ln (5－2x )＋e x －1的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[0,2]D ．[0,2)解析：要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧ln (5－2x )＞0，e x －1≥0，解得0≤x ＜2，故定义域为[0,2)，选D.答案：D12．(2017届江苏泰州检测)已知函数f (x )＝3－2x ＋1的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________.解析：由题意，知A ＝R ，B ＝(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)13．(2018届唐山市五校联考)函数y ＝110x－2的定义域为________． 解析：由10x －2>0得，10x >2， ∴x >lg 2.答案：(lg 2，＋∞)14．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)， 由f (x －2)＝f (－x －2)得，x ＝－b2a ＝－2， ∴4a －b ＝0，①∵f (x )在y 轴上截距为1，∴c ＝1. 又∵f (x )在x 轴截得的线段长为2 2. 即|x 1－x 2|＝22， ∴b 2－4ac |a |＝22，即b 2－4a ＝8a 2.②解①②可得a ＝12，b ＝2，c ＝1， ∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.[能 力 提 升]1．(2018届河南新乡调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ，x ≤10，－lg (x ＋2)，x ＞10，若f (8－m 2)＜f (2m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,2)B ．(－4,1)C ．(－2,4)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：由函数f (x )的图象可知函数f (x )在R 上单调递减，因此由f (8－m 2)＜f (2m )可得8－m 2＞2m ，解得－4＜m ＜2.故选A.答案：A2．(2017届广西名校摸底考试)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12恒成立，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈(－2,0)时，f (x )＝( )A ．2＋|x ＋1|B ．3－|x ＋1|C ．|x －2|D ．|x ＋4|解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )的周期为2，当x ∈(0,1)时，有x ＋2∈(2,3)，故f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2.同理，当x ∈[－2，－1]时，有f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4，又知f (x )是偶函数，故x ∈(－1，0)时，有－x ∈(0,1)，故f (x )＝f (－x )＝2－x ，则x ∈(－2,0)时，f (x )＝3－|x ＋1|.答案：B3．(2017届浙江余姚一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，3≤x ≤15，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则x 3＋x 4x 1x 2的值等于( )A ．18πB ．18C ．9πD ．9解析：如图是函数f (x )的图象，由已知，得13＜x 1＜1＜x 2＜3＜x 3＜6＜12＜x 4＜15，且log 3x 2＝－log 3x 1，所以x 1x 2＝1.x 3＋x 4＝9×2，即x 3＋x 4＝18，因此x 3＋x 4x 1x2＝18，故选B.答案：B4．(2017届山东潍坊检测)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则实数a 的值为________．解析：由函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，易知当x ＝12时，1－a 2x ＝0，即1－a2＝0，所以a ＝ 2.答案： 2。

跟踪强化训练(二)一、选择题1．(2017·沈阳质检)方程sinπx ＝x4的解的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8[解析] 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象，如右图：观察图象可知y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx ＝x4有7个解，故选C.[答案] C2．(2017·郑州模拟)若实数x ，y 满足等式x 2＋y 2＝1，那么y x －2的最大值为( )A.12B.33C.32 D. 3[解析] 设k ＝yx －2，如图所示，k PB ＝tan ∠OPB ＝122－12＝33，k P A ＝－tan ∠OP A ＝－33，且k P A ≤k ≤k PB ，∴k max ＝33，故选B. [答案] B3．(2017·宝鸡质检)若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝±2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)[解析] 令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)． 作出图象如图：而y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1，故选D.[答案] D4．(2016·广州检测)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[解析] 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.[答案] B5．(2017·西安二模)若方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞[解析] 由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一个根大于1.设f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ，则⎩⎨⎧f (0)>0，f (1)<0，即⎩⎨⎧1＋a ＋b >0，2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图中阴影部分所示．ba 可以看作可行域内的点(a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率，由⎩⎨⎧2a ＋b ＋3＝0，a ＋b ＋1＝0可解得A (－2,1)，过点A 、O 作l 1，过点O 作平行于直线2a ＋b ＋3＝0的直线l 2，易知kl 2<b a <kl 1，又kl 1＝－12，kl 2＝－2，∴－2<b a <－12.故选C.[答案] C6．(2017·南宁一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1][解析] 设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →| ＝(x －1)2＋(y ＋3)2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离(如图)，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2017·青岛二模)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．[解析] 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．[答案] (－1,0)∪(0,1)8．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈⎝⎛⎭⎪⎫34，1.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，19．(2017·山西四校模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．[解析]由题意可得⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎨⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，截距最大，此时a 4取最大值4.[答案] 4 三、解答题10．(2017·海口模拟)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.(1)求实数a 的取值范围；(2)求α＋β的值．[解] (1)原方程可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－a2，作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3.当－2<a <－3，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1时，直线y ＝－a2与三角函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3， 综上所述，α＋β＝π3或7π3.11．(2017·福州质检)已知圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，求PE →·PF →的最小值．[解] 由题意，可知圆心M 的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，由此可知圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，如图，经分析可知，只有当P 在线段MC 上时，才能够使PE →·PF →最小，此时PC ＝4，又Rt △PEC 中，EC ＝2，则PE ＝23，∠EPC ＝30°，∴PF ＝PE ＝23，∠EPF ＝2∠EPC ＝2×30°＝60°，故(PE →·PF →)min ＝(23)2×cos60°＝6.12.右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)； (2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.[证明] (1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n 2，第n ＋1个正方形的边长为22a n ，其内切圆半径为24a n ，所以S n ＝a 2n －π⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 22＝a 2n ⎝⎛⎭⎪⎫1－π4(n ∈N *)，S n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a n 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎫24a n 2＝a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－π8＝12S n(n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S 1＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4＝4－π，S 2＝2－π2，…，S n ＝(4－π)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝(8－2π)⎝⎛⎭⎪⎫1－12n <8－2π.。

2021年高考数学一轮总复习能力提升练解析几何理苏教版一、填空题1．(xx·山东省实验中学诊断)已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于________．解析因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以－(a＋2)≠0，所以3x－(a＋2)y＋1＝0的斜截式方程为y＝3a＋2x＋1a＋2，由两直线平行，得3a＋2＝a且1a＋2≠－2，解得a＝1或a＝－3.答案1或－32．(xx·洛阳模拟)椭圆x216＋y29＝1的焦距为________．解析由题意知a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2－b2＝16－9＝7，所以c＝7，即焦距为2c＝27.答案273．(xx·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于________．解析圆心到直线的距离d＝|－5|32＋42＝1，弦AB的长l＝2r2－d2＝24－1＝2 3.答案2 34．(xx·武汉一模)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是________________．解析设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|＝|BC|，即a－52＋22＝a＋12＋42，解得a＝1，所以半径r＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20.答案 (x －1)2＋y 2＝205．(xx·湖州模拟)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析 因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c ＝5，又a 2＋9＝c 2＝25，所以a 2＝16，a ＝4，所以离心率为e ＝c a ＝54.答案546．(xx·济南一模)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点在直线x －2y －2＝0上，则该抛物线的准线方程为________．解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，代入直线x －2y －2＝0方程，得p2－2＝0，即p ＝4，所以抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－42＝－2.答案 x ＝－27．(xx·郑州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是______________．解析 双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，即2x －2y ＝0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r ＝|32|22＋22＝326＝33＝ 3.所以圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3.答案 (x －3)2＋y 2＝38．(xx·汕头一模)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由p2＝2，得p ＝4.答案 49．(xx·杭州模拟)已知两点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“R 型直线”．给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x＋1，其中为“R 型直线”的是________．解析 由题意可知，点P 的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a ＝6，a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝16.所以双曲线方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)．显然当直线y ＝x ＋1与y ＝2和双曲线的右支有交点，所以为“R 型直线”的是①②. 答案 ①②10．(xx·湖州一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1.答案2＋111．(xx·兰州一模)已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是________．解析 由抛物线定义知，y P ＋1＝5，即y P ＝4，所以有x 2P ＝16，解得x P ＝±4. 答案 ±412．(xx·上海卷)设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．解析 设D 在AB 上，且CD ⊥AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°，所以有CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，所以有C (1，1)，把C (1,1)代入椭圆的标准方程得1a 2＋1b2＝1，a 2＝b 2＋c 2且2a＝4，解得，b 2＝43，c 2＝83，则2c ＝43 6.答案436 13．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则M 到x 轴的距离为________．解析 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |＝2，m 2＋n 2＝12，可得mn ＝4.由△MF 1F 2的面积可得M 到x 轴的距离为423＝233.答案23314．(xx·淄博二模)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________． 解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，由题意知b2－－cc －b2＝53，c ＝2b ，所以c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，即4a 2＝3c 2，所以2a ＝3c ，所以e ＝c a＝23＝233. 答案233二、解答题15．(xx·广东卷改编)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程． 解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ， 则|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ， 即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.16．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1) 设圆P 的半径为r ，则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ，∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)由(1)知2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的倾斜角为90°，方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②当l 的倾斜角不为90°， 设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k 2＝1，|2k ＋b |1＋k 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝24，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24，b ＝－ 2.∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝24x ＋2，化简得7x 2＋8x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187. 17．(xx·东北三校联考)如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解 (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4. (2)设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2， ∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(xx·重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程． 解 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则－c2a2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22，得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP ′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2－y 21＝0. 由椭圆方程及x 1＝2x 0， 得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0， 解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263. 从而|QP |2＝8－x 20＝163. 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2632＋y 2＝163.]122203 56BB 嚻34259 85D3 藓28454 6F26 漦+Y &\K.24882 6132 愲\=。

跟踪强化训练(六)1．[直接法]对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.[解析] 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425.[答案] －24252．[直接法]已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．[解析] 因为(1－2x )5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax )4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14a ＝4a ，所以(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3.[答案] 33．[特例法]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________． [解析] 令a n ＝n ，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.[答案]13 164．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC 两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．[解析]要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝35，S2＝210，S3＝13，故S3<S2<S1.[答案]S3<S2<S15．[图解法]设方程1x＋1＝|lg x|的两个根为x1，x2，则x1·x2的取值范围________．[解析]分别作出函数y＝1x＋1和y＝|lg x|的图象如图，不妨设0<x 1<1<x 2，则|lg x 1|>|lg x 2|，∴－lg x 1>lg x 2，即lg x 1＋lg x 2<0，∴0<x 1x 2<1.[答案] (0,1)6．[图解法]不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________．[解析] 由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f (x )＝4－x 2，g (x )＝kx －1，其中－2≤x ≤2.如图，作出函数f (x )，g (x )的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点．由图可知k AC ＝0－(－1)－2－0＝－12，k BC ＝0－(－1)2－0＝12. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 7．[构造法]如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.[答案] 6π8．[构造法]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，则{a n }的通项公式为________．[解析] 由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1，故a n ＝3n －12.[答案] a n ＝3n －129．[归纳推理法](2017·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为________．[解析] 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．[答案] (4,9)10．[归纳推理法]若直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为该棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是M ________N ．(填>，<或＝)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2△ABC ＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC ，S △ABC ·PO ＝12·P A ·PB ·PC ，所以M ＝1PO 2＝S 2△ABC S 2△ABC PO 2＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC 14P A 2·PB 2·PC 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2＝N .即M ＝N . [答案] ＝11．[正反互推法]给出以下命题：①双曲线y 22－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；②命题p ：“∀x ∈R ＋，sin x ＋1sin x ≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝0.2，则p (－1<ξ<0)＝0.6.则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．[解析] ①由y 22－x 2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，正确．②命题不能保证sin x ，1sin x 为正，故错误；③根据线性回归方程的含义正确；④P (ξ>1)＝0.2，可得P (ξ<－1)＝0.2，所以P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝0.3，故错误．综上①③正确．[答案] ①③12．[正反互推法]已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0,1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列命题：①f (2016)＋f (－2017)的值为0；②函数f (x )在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y ＝x 与函数f (x )的图象有1个交点；④函数f (x )的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．[解析] 根据题意，可在同一坐标系中画出直线y ＝x 和函数f (x )的图象如下：根据图象可知①f(2016)＋f(－2017)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确定只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1,1)，正确．[答案]①③④。

跟踪强化训练(三十)一、选择题1．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －＝( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i[解析]先转化为z ＝11＋7i2－i 进行整理化简，再利用共轭复数的概念求出z －.由题意知z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i 5＝3＋5i ，故z －＝3－5i.选B.[答案] B2．若复数(1＋m i)(3＋i)(i 是虚数单位，m 是实数)是纯虚数，则复数m ＋2i1－i的模等于( )A ．2B ．3 C.132D.262[解析]解法一：因为(1＋m i)(3＋i)＝3－m ＋(3m ＋1)i 是纯虚数，所以3－m ＝0且3m ＋1≠0，得m ＝3，复数m ＋2i 1－i ＝3＋2i1－i＝(3＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋5i2，所以它的模为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋5i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝262，故选D.解法二：因为(1＋m i)(3＋i)＝3－m ＋(3m ＋1)i 是纯虚数，所以3－m ＝0且3m ＋1≠0，得m ＝3，故复数m ＋2i1－i 的模为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋2i 1－i ＝|3＋2i||1－i|＝32＋2212＋(－1)2＝262，故选D. [答案] D3．(2017·大连模拟)下列推理是演绎推理的是( )A ．由于f (x )＝c cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 都成立，推断f (x )＝c cos x 为奇函数B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列{a n }的前n 项和的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的面积S ＝πabD ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质[解析]由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 和D 为类比推理，故选A.[答案] A4．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，如果初始值取3.1<π<3.2，即3110<π<165，则在此基础上使用三次“调日法”，得出的π的更为精确的近似分数值为( )A.227B.4715C.6320D.6922[解析]第一次为31＋1610＋5＝4715，则该值为π的一个不足近似分数值，即4715<π<165；第二次为47＋1615＋5＝6320，该值为π的一个过剩近似分数值，即4715<π<6320；第三次为47＋6315＋20＝227，该值为π的一个更为精确的过剩近似分数值．[答案] A5．(2017·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53D.85[解析]开始k ＝0，s ＝1，k <3，第1次循环，k ＝1，s ＝2，k <3，第2次循环，k ＝2，s ＝32，k <3，第3次循环，k ＝3，s ＝53.∵3<3不成立，∴输出s ＝53.故选C.[答案] C6．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i[解析]设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，即x 2－y 2＋2xy i ＝－3＋4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝－3，2xy ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以复数－3＋4i 的平方根是1＋2i 或－1－2i.[答案] B7．(2017·河南洛阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的y 等于( )A．－1 B．0C．1021 D．2045[解析]依据程序框图，y，x的值依次为：y＝－2，x＝2；y＝3，x＝4；y＝0，x＝8；y＝9，x＝16；y＝13，x＝32；y＝29，x＝64；…；y＝509，x＝1024；y＝1021，x＝2048；因此输出y＝1021.[答案] C8．(2017·四川内江模拟)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9 B．18C．20 D．35[解析]执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2＋0＝18，i＝－1<0，结束循环，输出v＝18.故选B.[答案] B9．(2017·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．[答案] B10．(2017·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为()A．i>6? B．i>5?C．i≥3? D．i≥4?[解析]依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S＝3×(3－2)＋1＝4，i ＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4，因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i≥4？”，选D.[答案] D11．(2017·丹东一模)在如图所示的程序框图中，输入N＝40，按程序框图运行后输出的结果是()A ．100B ．210C ．265D ．320[解析]由于程序框图中根据K 的不同取值，产生的T 值也不同，故可将程序框图中的K 值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8)，…，当K 为偶数时，T ＝K2，当K ＋12为偶数，即K ＝4n ＋3，n ∈Z 时，T ＝K ＋14，否则，即K ＝4n ＋1，n ∈Z 时，T ＝－K ＋34，故可知每组的4个数中，偶数值乘以12累加至S ，但两个奇数对应的T 值相互抵消，即S ＝12(2＋4＋…＋40)＝12×(2＋40)×202＝210，故选B.[答案] B12．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④[解析]设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h2，则截面圆的面积为π(R －h 2)2；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.[答案] D 二、填空题13．(2017·贵阳一中适应性测试)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝a －3i 1－i在复平面上对应的点在y 轴上，则a ＝________.[解析]z ＝a －3i 1－i ＝(a －3i )(1＋i )2＝a ＋3＋(a －3)i2，由a ＋3＝0，得a ＝－3.[答案] －314．(2017·湖南岳阳检测)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为________(n ∈N *)．[解析]观察给出的式子可得出如下规律： 1>12，1＋12＋13＝1＋12＋122－1>1＝22，1＋12＋13＋…＋17＝1＋12＋13＋…＋123－1>32，1＋12＋13＋…＋115＝1＋12＋13＋…＋124－1>2＝42，1＋12＋13＋…＋131＝1＋12＋13＋…＋125－1>52，…猜想：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2.[答案] 1＋12＋13＋…＋12n －1>n215．(2017·河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为________．[解析]如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6.[答案] 616．如图，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r 2.所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r 2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy 中，若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．[解析]平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r 的圆为底面，以圆心为O 、半径为d 的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .[答案] 2π2r 2d三、解答题17．(2018·合肥高三调研性检测)已知函数f (x )＝e x －1x .(1)判断函数f (x )的单调性；(2)求证：e x ln(x ＋1)≥x 2＋ln(x ＋1)．[解] (1)由已知得f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝e x ·x －(e x －1)x 2＝(x －1)e x ＋1x 2， 设g (x )＝(x －1)e x ＋1，则g ′(x )＝x e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝0， ∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数， ∴g (x )≥g (0)＝0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．(2)证明：设h (x )＝x －ln(x ＋1)，x >－1，则h ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1，令h ′(x )＝0，得x ＝0， ∴h (x )在(－1,0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴h(x)≥h(0)＝0，即x≥ln(x＋1)．①当x>0时，x≥ln(x＋1)>0，∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)≥f[ln(x＋1)]，即e x－1x≥xln(x＋1)，∴(e x－1)ln(x＋1)≥x2.②当－1<x<0时，0>x≥ln(x＋1)，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴f(x)≥f[ln(x＋1)]，即e x－1x≥xln(x＋1)，∴(e x－1)ln(x＋1)≥x2.③当x＝0时，(e x－1)ln(x＋1)＝x2＝0.由①②③可知，对一切x>－1，均有(e x－1)ln(x＋1)≥x2，即e x ln(x＋1)≥x2＋ln(x＋1)．。

课时跟踪检测(二十一)1．计算：tan 15°＋1tan 15°＝( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案：C解析：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝112sin 30°＝4. 2．已知tan α＝－35，则sin 2α＝( )A.1517B ．－1517C ．－817D ．817答案：B解析：sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＋1＝－1517.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( ) A.12 B ．23 C ．－12D ．1答案：C解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．tan π12－1tanπ12＝( )A ．4B ．－4C ．2 3D ．－2 3答案：D解析：∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan π12－1tanπ12＝2－3－12－3＝－2 3. 5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( )A.13 B ．223C ．－13D ．－223答案：A 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝ cos (π12－θ )＝13. 6．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B ．π3C ．π2D ．3π4答案：A解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________．答案：58解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22＝116＋916＝58. 8．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 答案：－142解析：解法一：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝144， ∴cos 2α＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·cos ( α－π4 )＝－2×24×144＝－74，∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7424＝－142.解法二：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋34＝72，∴cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝α＋sin αα－sin α22α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 9. 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin 2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)解：由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－－A －A＋1－－B－B＝2sin A ＋2sin B. 连接BD (图略)．在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 2AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－42＋＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 2AB ·BC ＋AD ·CD ＝62＋32－52－42＋＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103.10.已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知，函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825.1．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A.23 B ．43 C ．34 D ．32答案：D解析：由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.2．已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358B ．1＋538C ．1－358D ．1－538答案：A解析：由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin 2α)， 即4sin 2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358， 故选A.3．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 答案：－53解析：∵sin α＋cos α＝33， 两边平方，得1＋sin 2α＝13，∴sin 2α＝－23，∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝53，∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝153， ∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝－153×33＝－53. 4．化简下列各式： (1)1－sin 20°sin 10°－221＋cos 20°；(2)1＋sin θ1－sin θ－1－sin θ1＋sin θ；(3)1＋cos α＋cos 2α＋cos 3αcos 2α－sin2α2.解：(1)原式＝－2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2＝4sin θ2cosθ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2θ2－cos 2θ2＝2sin θ|cos θ|. (3)原式＝＋cos 2α＋α－α＋α＋αcos 2α－1－cosα2＝2cos 2α＋2cos 2αcos α2cos 2α＋cos α－12 ＝2cos αα＋cos 2α2cos 2α＋cos α－12＝2cos αα＋2cos 2α－2cos 2α＋cos α－12＝4cos α.。