2020届高三数学小题狂练十含答案

2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！班级 学号 姓名 得分 1．sin600︒ = ( ) (A) –23 (B)–21. (C)23. (D) 21.2．设A = { x| x ≥ 2}, B = { x | |x – 1|< 3}, 则A ∩B= ( )(A)[2，4] (B)（–∞，–2] (C)[–2，4] (D)[–2，+∞）3．若|a |=2sin150，|b |=4cos150，a 与b 的夹角为300，则a ·b 的值为 ( )(A)23. (B)3. (C)32. (D)21. 4．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C+c cos A 的值为 ( )(A)b. (B)2cb +. (C)2cosB. (D)2sinB. 5．当x ∈ R 时，令f (x )为sinx 与cosx 中的较大或相等者，设a ≤ f ( x ) ≤ b, 则a + b 等于 ( )(A)0 (B) 1 +22. (C)1–22. (D)22–1.6、函数1232)(3+-=x x x f 在区间[0,1]上是（ ）（A ）单调递增的函数. （B ）单调递减的函数. （C ）先减后增的函数 . （D ）先增后减的函数. 7．对于x ∈[0，1]的一切值，a +2b > 0是使ax + b > 0恒成立的（ ）(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件8．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）(A)90个 . (B)120个. (C)180个. (D)200个.9．已知函数y = f ( x )（x ∈R ）满足f (x +1) = f ( x – 1)，且x ∈[–1，1]时，f (x) = x 2，则y = f ( x ) 与y = log 5x 的图象的交点个数为 ( )(A)1. (B)2 . (C)3 . (D)4.10．给出下列命题：(1) 若0< x <2π, 则sinx < x < tanx . (2) 若–2π < x< 0,则sin x < x < tanx.(3) 设A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若A > B > C, 则sinA > sinB > sinC.(4) 设A ，B 是钝角△ABC 的两个锐角，若sinA > sinB > sinC 则A > B > C..其中，正确命题的个数是（ ）(A) 4. （B ）3. （C ）2. （D ）1.11. 某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过100km ，票价是0.5元/km ， 如果超过100km ， 超过100km 部分按0.4元/km 定价，则客运票价y 元与行程公里数x km 之间的函数关系式是 .12. 设P 是曲线y = x 2 – 1上的动点，O 为坐标原点，当|→--OP |2取得最小值时，点P 的坐标为 .11、 . 12.高三数学小题专项训练（1）11.⎩⎨⎧>+≤≤100104.010005.0x x x x. 12. (–22, –21）或 (22，–21）1.如果向量 =(k ，1)，与 = (4，k )共线且方向相反，则k =A ．±2B ．-2C ．2D ．0 2．函数f (x)=( )x (1<x≤2)的反函数f -1(x )等于21A.log x (1<x ≤2)B. log x (2<x ≤4)C.-log2x (≤x ＜ ﹞ D. -log2x ( ≤x ＜1〕3.已知P=｛x ︱x ≤0｝,Q=｛x ︱x ＜ ｝,则Q ∩C R P 等于A.｛x ︱x ≤0｝B.｛x ︱0≤x ＜ }C. {x |0<x < }D. {x |x >0}4．已知α、β都是第二象限角，且cos >cosβ，则A ． <β B．sin >sinβ C．tan >tanβ D．cot <cotβ5．已知奇函数f (x )的定义域为：{x ｜x +2-a ｜＜a ，a >0}，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 6．方程Ax +By +C =0表示倾斜角为锐角的直线，则必有：A. A ﹒B>0 B ．A ﹒B<0 C ．A>0且B<0 D ．A>0或B<07．已知f (x )=a x (a >0且a ≠1),f -1(2)<0，则f -1(x +1)的图象是2121214121414141ααααα8．如果方程 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是A. B.C. D.9．把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为10.已知函数f(x )=2sin(ωx + )图象与直线y =1的交点中，距离最近两点间的距离为 ， 么此函数的周期是 A . B ． C ．2πD ．4π11．点p 到点A ( ，0)，B(a ，2)及到直线x =- 的距离都相等，122=+-qy P x 1222=++qy p q x 1222-=++py p q x 1222=++qy q p x 1222-=++py q p x ϕ3π3ππ2121如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A. B. C. 或 D.- 或12.设 P (x ,y )是曲线 上的点，F 1(-4,0),F 2(4,0),则A.｜F 1P ︳+ ︱F 2P ︳<10 B ．｜F 1P ｜+｜F 2P ｜>10C.｜F 1P ︳+｜F 2P ︳≤10 D．｜F 1P ｜+｜F 2P ｜≥1013．若函数 y =2x 2+4x +3的图象按向量 平移后，得到函数y=2x 2的图象，则： =.14．已知(x ，y )在映射f 下的象是(x +Y ，-x )，则(1，2)在f 下原象是 .15．圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx -y +4=0对称，则k = .16.在△ABC 中，B （-2，0），C （2，0），A （x,y ）,给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来：212321232121192522=+y x（错一条连线得0分）高三数学小题专项训练（4）一、1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C二、13．(1，-1) 14．(-2，3) 15．2 16. (①→○c②→○a③→○b)。

2020届高三数学小题狂练二十姓名 得分1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = .2．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角大小为 .3．设a 为常数，若函数1()2ax f x x +=+在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 .5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 .6．若1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 个.8．设P ，Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14+AC u u ur ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +，312121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 .12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时，()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________.DCQ BAP答案1．(0,1) 2．60︒ 3．),21(+∞4．),3[]1,(+∞--∞Y 5．(3,1)-- 6．)23,2[- 7．5（||[0,2]x ∈） 8．459．610．16（8xy x y =++，8xy ≥+16xy ≥）11．242（EF DE ⊥，EF ∥AC ，∴AC DE ⊥．又AC BD ⊥，∴AC ⊥平面ABD ．∵1BC =，∴2AB AC AD ===，3162V =24=）12．0.5（2T =，(0.5)(0.5)(1.5)0.5f f f =-==）。

2020届高三数学小题狂练十二姓名 得分1．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z = .2．A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 .3．底面边长为2的正四棱锥的体积为 .4．若点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为 .5．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 .6．数列{}n a 中，12a =，21a =，11112-++=n n n a a a （2n ≥，n ∈N ），则其通项公式为n a = .7．已知双曲线C 与椭圆221925y x +=有相同的焦点，它们离心率之和为145，则C 的标准方程是 .8．已知二次函数f x ()满足f x f x ()()11+=-，且f f ()()0011==，，若f x ()在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，则m n +的值等于 .9．已知函数()cos f x x ω=（0ω>）在区间π[0]4, 上是单调函数，且3π()08f =，则ω= .10．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 cm2.11．设椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率等于 .12．在ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r = .答案1．1i-2．803．4 345．1 96．2 n7．221 412y x-=8．1（1n≤）9．43或410．26π（补形）1112．7 2 -。

2020届高三数学小题狂练十三姓名 得分1．函数2()12sin f x x =-的最小正周期为 .2．若函数()log (01)a f x x a =<<在闭区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = .3．函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为21,1[-]，则a b -的最大值和最小值之和为 .4．函数32()267f x x x =-+的单调减区间是 .5．若2(3),6,()log ,6,f x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则(1)f -的值为 .6．设等差数列{}n a 的公差0d ≠，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = .7．在直角坐标系xOy 中，i r ，j r 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角ABC ∆中，AB i j =+u u u r r r ，2AC i m j =+u u u r r r ，则实数m = .8．若函数2()x f x x a=+（0a >）在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为 . 9．若不等式1,0ax x a >-⎧⎨+>⎩的解集是空集，则实数a 的取值范围是 . 10．已知两圆1C ：22210240x y x y +-+-=，2C ：222280x y x y +++-=，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且2BC FB =u u u r u u u r ，12AF =，则p 的值为 .12．从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点1F ，2F 的视角为直角，1AF 的延长线交椭圆于B ，且2AF AB =，则椭圆的离心率为__________.答案1．π2．43．2π4．[0,2] 5．36．47．0或2-81-讨论a9．(,1]-∞-10．5)1()2(22=-++y x （圆心在公共弦上，3λ=-）11．6：作AH Ox ⊥，30AFH ∠=︒，12sin 30622A p p x =+︒=+，12cos 30A y =︒=12269-不扣分）：2AF m =，2BF =，24m a +=，故(4m a =-，12AF a m =-，22212(2)AF AF c +=。

2020届高三数学小题狂练十九姓名 得分1．设a 是实数，且211i i a +++是纯虚数，则=a . 2．已知0a >，0b <，),(a b m ∈且0≠m ，则m 1的取值范围是 . 3．直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=与直线(3)250m x y -+-=垂直的充要条件是 .4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（气球保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 .5．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是R ，则m 的取值范围是 .6．已知α，β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α的值等于 .7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=（n =1，2，3，…），则410log S = .8．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 .9．设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为E ，左准线与两渐近线的交点分别为A ，B 两点，若60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率e 等于 .10．函数)sin()(θ+=x x f （||2πθ<）满足对任意x ∈R 都有)6()6(x f x f --=+ππ，则θ= .11．在△ABC 中，AB =2BC =，CA =BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，AB c =u u u r r ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r .12．过抛物线214y x =准线上任一点作该抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点__________.答案1．1-2．),1()1,(+∞⋃-∞ab3．3m =或2m =- 4．22a π5．[0,4]6．17．98．09．210．6π-11．6- 12．(0,1)（解法1：(,1)a -，2240i i x ax --=，122x x a +=，2222121212()248x x x x x x a +=+-=+，于是MN 中点为22(,)2a a +，21122122MN y y x x a k x x -+===-，直线MN ：12a y x =+，过定点(0,1)． 解法2：(,1)a -，1111()2y y x x x -=-，1111122y x a y --=-，11220ax y -+=．同理可得22220ax y -+=．故直线MN 方程为220ax y -+=，过(0,1)）。

备战2020高考全真模拟卷10数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第I 卷（选择题)一、 单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数5iz i=+上的虚部为（ ） A ．526B ．526iC ．526-D ．526i -【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到152626z i =+计算虚部得到答案. 【详解】()515262626i i z i -==+，所以5i z i =+的虚部为526. 故选：A 【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.2．设集合{}2|9A x x =>，()(){}|2140B x x x =+-<，则()R A B =U ð（ ）A ．{}|34x x -<<B ．1|32x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}|34x x -<„D ．1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】先计算得到{}|33A x x =-≤≤R ð，1|42B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，再计算()R A B ðU 得到答案. 【详解】{}|33A x x =-≤≤R ð，1|42B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，所以(){}|34A B x x =-≤<R U ð.故选：C 【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题. 3．“2a b c +>”的一个充分条件是（ ） A ．a c >或b c > B ．a c >且b c <C ．a c >且 b c >D ．a c >或b c <【答案】C 【解析】对于,A a c >或b c >，不能保证2a b c +>成立，故A 不对；对于,B a c >或b c <，不能保证2a b c +>成立，故B 不对；对于,C a c >且b c >，由同向不等式相加的性质知，可以推出2a b c +>，故C 正确；对于,D a c >或b c <，不能保证2a b c +>成立，故D 不对，故选C.4．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( ) A ．1150 B ．1380C ．1610D ．1860【答案】C 【解析】 【分析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数. 【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ．本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致.5．已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35t (an )a a +的值为（ ）.A B ．C D ．【答案】A 【解析】试题分析：1472a a a π++=，所以443543524432,,2,tan()tan 333a a a a a a a ππππ==+==+==考点：1、等差数列；2、三角函数求值.6．已知向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，2a b a b +=-r r r r ，则a r 与b r夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B 【解析】 【分析】根据|2a b +rr|=2a b -rr|，两边平方，根据|a r|，|b r|，得出向量的数量积，再根据夹角公式求解． 【详解】由已知，（2a b +rr）2＝3（2a b -rr）2，即4a r2+4a r •b b rr+2＝3（4a r2﹣4a r •b b rr+2）． 因为|a r|＝1，|b r|＝2，则a r21b =r，2＝4， 所以8+4a r •b =r 3（8﹣4a r •b r）， 即a r •1b =r．设向量a r与b r的夹角为θ， 则|a r|•|b r|cosθ1=， 即cosθ12=， 故θ＝60°．【点睛】本题考查了向量夹角的求法，考查了数量积的运算法则及模的求解方法，属于基础题 7．已知4cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=-，则tan tan αβ⋅=（ ） A ．17B ．75- C ．110 D ．-7【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式求出sin sin αβ、cos cos αβ，从而求出tan tan αβ⋅． 【详解】解：∵4cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=-， ∵4cos cos sin sin 53cos cos sin sin 5αβαβαβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，∵1cos cos 107sin sin 10αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∵tan tan αβ⋅=sin sin cos cos αβαβ=7-，故选：D ． 【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式，考查同角的三角函数关系，属于基础题． 8．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ． 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：∵由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；∵由函数的单调性，判断图象的变化趋势；∵由函数的奇偶性，判断图象的对称性；∵由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 9．如图是一程序框图,则输出的S 值为( )A ．20222023B ．10112013C ．10102021D ．20202021【答案】C 【解析】 【分析】由程序框图可得111133520192021S =+++⨯⨯⨯L ,根据数列的裂项求和,即可得出答案. 【详解】 由程序框图可知:111133520192021S =+++⨯⨯⨯L 1111111233520192021⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11120201010122021220212021⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭ 故选:C. 【点睛】本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.10．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I 为12PF F ∆的内心，且1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，若椭圆的离心率为e ，则λ=（ ） A ．1eB ．2eC ．eD ．2e【答案】A 【解析】 【分析】设12PF F ∆内切圆的半径为r ，根据题意化简得到1212F F PF PF λ=+，代入数据计算得到答案. 【详解】设12PF F ∆内切圆的半径为r 则1112IPF S r PF ∆=⋅，2212IPF S r PF ∆=⋅，121212IF F S r F F ∆=⋅· ∵1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，∵112211222r PF r F F r PF λ⋅=⋅-⋅整理得1212F F PF PF λ=+.∵P 为椭圆上的点，∵22c a λ⋅=，解得1eλ=. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到1212F F PF PF λ=+是解得的关键.11．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点均在球面上，PB ⊥平面ABC ．PB =，ABC V 为直角三角形，AB BC ⊥，且1AB =，2BC =．则球的表面积为（ ）A ．5πB ．10πC ．17πD ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将球的内接三棱锥P -ABC 补成长方体，可求出球的半径，从而球的表面积可求. 【详解】根据题意：，PB ⊥平面ABC ．AB BC ⊥， 则三棱锥P -ABC 可补成长方体，如图，三棱锥P -ABC 的外接球即是对应长方体的外接球， 所以长方体的对角线PD 为其外接球的直径,由1AB =，2BC =，PB =,PD 2. 所以球的表面积为：21744174r πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键,属于中档题.12．已知函数()14216x x f x +-+=，()()20g x ax a =->.若[]120,log 3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，则a 的取值范围是（ ）A ．21,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】先计算()f x 的值域为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再计算()g x 在[]1,2上的值域为[]2,22a a --，根据题意得到[]20,2,223a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，计算得到答案. 【详解】()()2216x f x -=，0212x ≤-≤，所以()f x 的值域为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为0a >，所以()g x 在[]1,2上的值域为[]2,22a a -- 依题意得[]20,2,223a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，则202223a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩解得423a ≤≤.故选：C 【点睛】本题考查了根据函数值域求参数范围，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高三理科数学小题狂练20：新定义类创新题（附解析）一、选择题1．若∈x A ，则1∈A x ，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．312．如图所示的Venn 图中，,A B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若x y ∈R ，，{}22A x y x x ==-，3{|,}0x B y y x ==>，则A B ⊗为（ ）A ．{}2|0x x <<B ．{}2|1x x <≤C ．{1|0x x ≤≤或2}x ≥D ．{1|0x x ≤≤或2}x >3．对于复数,,,a b c d ，若集合{}=S a b c d ,,,具有性质“对任意x y S ∈，，必有∈xy S ”，则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b c d ++=（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．i4．已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)x f x e x =>；②ln ()xf x x=；③()f x =M 中的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =⋅⋅⋅．令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）A ．(,,)z w x S ∈，(,,)x y w S ∉B ．(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈C ．(,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∈D ．(,,)y z w S ∉，(,,)z w x S ∉6．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集． 下列命题：①集合{|(,S a bi a b =+为整数，i 为虚数单位)}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集． 上面命题中真命题共有哪些？（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②④7．非空数集A 如果满足：①0A ∈；②若对x A ∀∈，有1A x∈，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①2{|10}x x ax ∈++=R ；②2{|410}x x x -+<；③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e=∈； ④22,[0,1)5{|}1,[1,2]x x y y x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩．其中“互倒集”的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．18．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①2015[3]∈； ②2[2]-∈；③[0][1][2][3][4]=Z ；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．用()n A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()n A n B n A n B A B n B n A n A n B -≥⎧*=⎨-<⎩，若2{|140,}A x x ax a =--=∈R ，2{||2014|2013,}B x x bx b =++=∈R ，设{|1}S b A B =*=，则()n S等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L-距离”定义为121212||||||PP x x y y =-+-．则平面内与x 轴上两个不同的定点1F ，2F 的“L-距离”之和等于定值（大于12||F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．11．形如(0,0)by c b x c=>>-的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数21()0,(1)xx f x a a a ++=>≠有最小值，则当1,1c b ==时的“囧函数”与函数log a y x =的图象交点个数为（ ）个． A ．1 B ．2 C ．4 D ．612．定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<使得1()()()f b f a f x b a -'=-，2()()()f b f a f x b a-'=-则称()f x 为区间[,]a b 上的“双中值函数”．已知函数321()32m g x x x =-是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．48[,]33 B ．(,)-∞+∞ C ．4(,)3+∞ D ．48(,)3313．对于集合M ，定义函数1,()1,MM x Mf x x -∈⎧=⎨∉⎩．对于两个集合,A B ，定义集合{}()()1A B A B x f x f x ∆=⋅=-．已知{}2,4,6,8,10A =，{}1,2,4,8,12B =，则用列举法写出集合A B ∆的结果为 ．14．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=(,n d ∈*N 为常数)，则称数列{}n a 为“调和数列”．已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12990b b b +++=，则46b b ⋅的最大值是 ．15．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x =满足下列两个条件，则称()y f x =在定义域D 上是闭函数．①()y f x =在D 上是单调函数；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上值域为[],a b ．如果函数()f x k =为闭函数，则k 的取值范围是 ．16．对于函数)(x f y =的定义域为D ，如果存在区间D n m ⊆],[同时满足下列条件:①)(x f 在[,]m n 是单调的；②当定义域为[,]m n 时，)(x f 的值域也是[,]m n ，则称区间[,]m n 是该函数的“H区间”．若函数ln (0)()(0)a x x x f x a x ->⎧⎪=≤存在“H 区间”，则正数a 的取值范围是 ．解析1．若∈x A ，则1∈A x ，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．31 【答案】B【解析】由已知条件得，1-可以单独存在于伙伴关系中，2和12同时存在于伙伴关系中，所以具有伙伴关系的元素组是1-，2，12， 所以具有伙伴关系的集合有3个：{1}-，1{2,}2，1{1,2,}2-．2．如图所示的Venn 图中，,A B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若x y ∈R ，，{}22A x y x x ==-，3{|,}0x B y y x ==>，则A B ⊗为（ ）A ．{}2|0x x <<B ．{}2|1x x <≤C ．{1|0x x ≤≤或2}x ≥D ．{1|0x x ≤≤或2}x > 【答案】D【解析】因为{}|02A x x =≤≤，{|1}B y y =>，{|0}A B x x =≥，{|12}A B x x =<≤，所以(1{0)|AUB A B AB x x ⊗==≤≤ð或2}x >．3．对于复数,,,a b c d ，若集合{}=S a b c d ,,,具有性质“对任意x y S ∈，，必有∈xy S ”，则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b c d ++=（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．i 【答案】B【解析】∵,{},,S a b c d =，由集合中元素的互异性可知当1a =时，1b =-，21c =-， ∴c i =±，由“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”知i S ±∈， ∴c i d i ==-，或c i d i =-=，，∴(1)01b c d ++=-+=-．4．已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)x f x e x =>；②ln ()xf x x=；③()f x =M 中的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】B【解析】由题对于函数()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-， 即1212()()1f x f x x x -<-， 即对于()f x ，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时， 若()f x 为增函数，则0()1f x '<<；若()f x 为减函数，则()1f x '<-． 对于①()(0)x f x e x =>，()x f x e '=， ∵0x >，∴()1f x '>，不合题意； 对于②ln ()(0)x f x x x =>，21ln ()xf x x-'=，取特殊值验证，不合题意；对于③()f x =()0f x '=>，函数()f x 在(0,)+∞单调递增，在定义域内存在两个变量1x ，2x ，且12x x <时，在()f x 单调增区间时有0()1f x '<<，此时只需1x >可得0()1f x '<<，满足题意．5．设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =⋅⋅⋅．令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）A ．(,,)z w x S ∈，(,,)x y w S ∉B ．(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈C ．(,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∈D ．(,,)y z w S ∉，(,,)z w x S ∉ 【答案】B【解析】∵(,,)x y z S ∈，(,,)z w x S ∈，∴x y z <<①，y z x <<②，z x y <<③三个式子中恰有一个成立；z w x <<④，w x z <<⑤，x z w <<⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈； 第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈； 第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈； 第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈． 综合上述四种情况，可得(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈．6．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集． 下列命题：①集合{|(,S a bi a b =+为整数，i 为虚数单位)}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集． 上面命题中真命题共有哪些？（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②④ 【答案】B【解析】①成立，因为集合S 里的元素，不管是相加，还是相减，还是相乘，都是复数， 并且实部，虚部都是整数；②当x y =时，0x y S -=∈所以成立；③不成立，举例：{0}就是封闭集，但是有限集；④举例，{0}S =，{0,1}T =，集合T 就不是封闭集，所以不成立．7．非空数集A 如果满足：①0A ∈；②若对x A ∀∈，有1A x∈，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①2{|10}x x ax ∈++=R ；②2{|410}x x x -+<；③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e=∈； ④22,[0,1)5{|}1,[1,2]x x y y x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩．其中“互倒集”的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】C【解析】集合①当22a -<<时为空集，所以集合①不是“互倒集”； 集合②，2{|410}x x x -+<{|22x x =<<+，即122x<< 所以集合②是“互倒集”；集合③当1[,1)x e ∈时，[,0)y e ∈-，当1(1,]x e ∈时，1(0,]y e∈，所以集合③不是“互倒集”；集合④212525[,)[2,][,]55252y ∈=，125[,]52y ∈，所以集合④是“互倒集”．8．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①2015[3]∈； ②2[2]-∈；③[0][1][2][3][4]=Z ；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】①∵20155403÷=，∴2015[0]∈，故①错误； ②∵25(1)3-=⨯-+，∴2[2]-∉，故②错误；③因为整数集中的数是被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]=Z ，故③正确；④∵整数a ，b 属于同一“类”，所以整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”，故④正确，正确结论的个数是2．9．用()n A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()n A n B n A n B A B n B n A n A n B -≥⎧*=⎨-<⎩，若2{|140,}A x x ax a =--=∈R ，2{||2014|2013,}B x x bx b =++=∈R ，设{|1}S b A B =*=，则()n S等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】A【解析】2140x ax --=中2560Δa =+>，有两个根， ∵{|1}S b A B =*=，∴B 中有1个或3个根．2|2014|2013x bx ++=化为210x bx ++=，240270x bx ++=，当B 中有1个元素时，2b =±；当B 时中有3个元素时，2440270Δb =-⨯=，b =±，{|1}{2,S b A B =*==±±，∴()4n S =．10．在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L-距离”定121212||||||PP x x y y =-+-．则平面内与x 轴上两个不同的定点1F ，2F 的“L-距离”之和等于定值（大于12||F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】以线段12F F 的中点为坐标原点，12F F 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．不妨设12(,0),(,0),(,)F c F c P x y -，则0c >．由题意||||||||2x c y x c y a +++-+=（2a 为定值），整理得||||2||2x c x c y a ++-+=．当x c ≤-时，方程化为22||2x y a -+=，即||y x a =+，即,0,0y x a y y x a y =+≥⎧⎨=--<⎩． 当x c ≥时，方程化为22||2x y a +=，即||y x a =-+，即,0,0y x a y y x a y =-+≥⎧⎨=-<⎩． 当c x c -<<时，方程化为22||2c y a +=，即||y c a =-+．所以A 图象符合题意．11．形如(0,0)b y c b x c=>>-的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数21()0,(1)x x f x a a a ++=>≠有最小值，则当1,1c b ==时的“囧函数”与函数log a y x =的图象交点个数为（ ）个．A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】由题意(0,0)b y c b x c=>>-，此函数是偶函数， 当1c b ==时，则11y x =-，画出这个函数的图象， ∵21()0,(1)x x f x a a a ++=>≠有最小值，∴1a >，再画出函数log a y x =的图象， 当1c =，1b =的“囧函数”与函数log a y x =的图象交点个数为4个．12．定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<使得1()()()f b f a f x b a -'=-，2()()()f b f a f x b a-'=-则称()f x 为区间[,]a b 上的“双中值函数”．已知函数321()32m g x x x =-是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．48[,]33 B ．(,)-∞+∞ C ．4(,)3+∞ D ．48(,)33【答案】D【解析】∵函数321()32m g x x x =-，∴2()g x x mx '=-， ∵函数321()32m g x x x =-是区间[0,2]上的双中值函数， ∴区间[0,2]上存在1212,(02)x x x x <<<，满足12(2)(0)4()()203g g g x g x m -''===--，∴22112243x mx x mx m -=-=-， ∴243x mx m -=-，即方程2403x mx m -+-=在区间(0,2)有两个解， 令24()3f x x mx m =-+-，∴24(0)038(2)0344()03202f m f m Δm m m ⎧=->⎪⎪⎪=->⎪⎨⎪=-->⎪⎪⎪>>⎩，解得4833m <<． ∴实数m 的取值范围是48(,)33，故选D ． 13．对于集合M ，定义函数1,()1,M M x M f x x -∈⎧=⎨∉⎩．对于两个集合,A B ，定义集合{}()()1A B A B x f x f x ∆=⋅=-．已知{}2,4,6,8,10A =，{}1,2,4,8,12B =，则用列举法写出集合A B ∆的结果为 ．【答案】{}1,6,10,12【解析】要使()()1A B f x f x ⋅=-，必有{|x x x A ∈∈且}{|x B x x B ∉∈且{}1,6,1012},x A =∉，所以{}1,6,10,12A B ∆=．14．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=(,n d ∈*N 为常数)，则称数列{}n a 为“调和数列”．已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12990b b b +++=，则46b b ⋅的最大值是 ．【答案】100【解析】由已知得{}n b 为等差数列，且129469()902b b b b b +++=+=， ∴4620b b +=，又0n b >，∴24646()1002b b b b +⋅≤=，当且仅当46b b =时等号成立． 15．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x =满足下列两个条件，则称()y f x =在定义域D 上是闭函数．①()y f x =在D 上是单调函数；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上值域为[],a b ．如果函数()f x k =为闭函数，则k 的取值范围是 ．【答案】1(1,]2--【解析】若函数()f x k =为闭函数，则存在区间[],a b ，在区间[],a b 上，函数()f x 的值域为[],a b ， 即 a k b k⎧⎪⎨=⎪⎩=，∴a ，b 是方程x k =的两个实数根， 即a ，b 是方程()2212210,2x k x k x x k ⎛⎫-++-=≥-≥ ⎪⎝⎭的两个不相等的实数根， 当12k ≤-时，()()()22222410111221024222122Δk k f k k k ⎡⎤=-+-->⎣⎦⎛⎫-=+++-≥ ⎪⎝⎭+>-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得112k -<≤-； 当12k >-时，()()()()2222224102210222Δk k f k k k k k k k ⎡⎤=-+-->⎣⎦=-⎧+⋅+-⎪>+⎨<⎪⎪⎪⎩，解得k 无解．综上，可得112k -<≤-． 16．对于函数)(x f y =的定义域为D ，如果存在区间D n m ⊆],[同时满足下列条件: ①)(x f 在[,]m n 是单调的；②当定义域为[,]m n 时，)(x f 的值域也是[,]m n ，则称区间[,]m n 是该函数的“H区间”．若函数ln (0)()(0)a x x x f x a x ->⎧⎪=≤存在“H 区间”，则正数a 的取值范围是 ． 【答案】23(,1](2,]4e e 【解析】当0x >时，()lnf x a x x =-，()1a a x f x x x-'=-=， ()0f x '≥，得0a x x-≥，得0x a <≤，此时函数()f x 为单调递增， 当x n =时，取得最大值；当x m =时，取得最小值，即ln ln a n n n a m m m-=⎧⎨-=⎩，即方程ln a x x x -=有两解，即方程2ln x a x =有两解， 作出2ln x y x=的图象，由图象及函数的导数可知， 当1x >时，2ln x y x =在x e =时取得最小值2e ，在x a =时，2ln a y a =， 故方程2ln x a x =有两解，2ln a a a≤，即2a e ≤， 故a 的取值范围为2(2,]e e ；当x a >时，函数()f x 为单调递减，则当x m =时，取得最大值，当x n =时，取得最小值，即ln ln a m m n a n n m-=⎧⎨-=⎩，两式相减得，ln ln 0a m a n -=，即m n =，不符合；当0x ≤时，函数()f x 为单调递减，则当x m =时，取得最大值，当x n =时，取得最小值，即a n a m==1=，回代到方程组的第一个式子得到1a n =，整理得到1n a =， 由图象可知，方程有两个解，则3(,1]4a ∈． 综上所述，正数a 的取值范围是23(,1](2,]4e e ．。

冲刺2020年高考数学小题狂刷卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]-【答案】A 【解析】 由题意2{|20}{|2A x x x x x =--≥=≥或1}x ≤-，所以{|12}R C A x x =-<<，故选A ．2．双曲线222=2x y -的焦点坐标为（ ）A ．(1,0)±B．(0) C ．(0,1)± D．(0,【答案】B 【解析】由2222x y -=可得22a 2,1b ==，焦点在x 轴上，所以222a 3c b =+=，因此c =所以焦点坐标为()；故选B ． 3．设实数x ，y 满足约束条件330200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由实数x ，y 满足约束条件330200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩画出可行域如图阴影部分所示，可知当目标函数z x y =+经过点()3,0A 时取得最大值，则max 30 3.z =+= 故选D. 4．已知,,a b R ∈则“221a b +≤”是“1a b +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】22221||1a b a b +≤⇔+≤，其表示的是如图阴影圆弧AB 部分，1a b +≤其表示的是如图阴影OAB ∆部分，所以 “221a b +≤”是“1a b +≤”的必要不充分条件.故答案选B.5．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．20【答案】C 【解析】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，且其底面为一个矩形，底面积6212S =⨯=，高为4，故该几何体的体积111241633V Sh ==⨯⨯=，故选C. 6．函数()()22ln x x f x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+= ()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .故选B ．7．设66016(1),x a a x a x +=+++L 则246a a a ++=（ ）A ．31-B ．32-C ．31D ．32【答案】C 【解析】二项式展开式的通项公式为6r r C x ，故2462466661515131a a a C C C ++=++=++=,故选C ．8．如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的一点，且满足OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则•PM PN u u u u v u u u v的最大值为（ ）A ．2BC ．1 D【答案】C【解析】•PM PN u u u u v u u u v 2()()PO OM PO ON PO OM PO OM ON =+⋅+=+⋅+⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v0011cos150cos12010()0()122OM OM ON =++⋅≤+⨯-+⨯-=u u u u v u u u u v u u u v ，选C ．9．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D ．10．已知数列{}n a 满足()*11112n n n na a n a a +++=+∈N ，则（ ） A ．当()*01n a n <<∈N 时，则1n n a a +> B ．当()*1n a n >∈N 时，则1n n a a +<C ．当112a =时，则111n n a a +++> D ．当12a =时，则111n n a a +++>【答案】C 【解析】111111112n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=+∴-+-=即111()(1)n n n n na a a a a ++--=． 当01n a <<时，1110n n a a +-<，故1n n a a +<，A 错误．当1n a >时，1110n n a a +->，故1n n a a +>，B 错误．对于D 选项，当1n =时，12a =，212111922a a a a +=+=<D 错误．用数学归纳法证明选项C.易知0n a >恒成立,当1n =时，21211123a a a a +=+=> 假设当n k =时成立，111k k a a +++>2121122k k a k a +++>+,当1n k =+时,222222111122211111112443426k k k k k k k k k a a a a a k a a a a +++++++++⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即221k k a a +++> 成立,故111n n a a +++>恒成立，得证,故答案选C ． 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2020届高三数学（文）“小题速练”113. 14. 15. 16.1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,22. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+3. 已知12,e e 均为单位向量，若12-=e e ，则1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．256. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．949. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为 ．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为 ．2020届高三数学（文）“小题速练”1（答案解析）1.已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =I A ．∅ B ．{}2,1 C ．(){}2,1 D ．(){}1,2【答案】D ．【解析】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2．2.已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z = A ．34i ± B ．34i ±+ C ．43i ± D ．43i ±+【答案】A ．【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），依题意得，2226,25a a b =+=，解得3,4a b ==±，所以z =34i ±．3.已知12,e e均为单位向量，若12-=e e 1e 与2e 的夹角为 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】C ．【解析】依题意，121==e e ，2123-=e e ，所以12223-⋅=e e ，即1212⋅=-e e ，所以1212121cos ,2⋅==-e e e e e e ，所以12,120=︒e e ． 4.函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为 A ．()0,1 B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B ．【解析】依题意，()f x 为增函数，()13150,f =+-＜()2323250,f =+-＞32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2758-=1308-＞，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．5.班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．25【答案】C ．【解析】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,丁,戊}，共10种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件A ，则A 包含基本事件{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共3个，故()310P A =． 6.若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 【答案】D ． 【解析】由题设得，sin 2sin cos ααα=-，所以sin 0α=，或1cos 2α=-． 所以cos2α=1-22sin 1α=，或21cos22cos 12αα=-=-．7.已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C ．【解析】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥．故选C ．8.已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．94【答案】B ．【解析】依题意，点()0,1为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得 AB =122y y ++=917244+=．9.某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描 C ．乙丁可能两门课都相同 D ．这四个人里恰有2个人选素描【答案】C ．【解析】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确．10.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-【答案】B ．【解析】依题意，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4．又22log 53＜＜，所以212log 50--＜＜，所以()2log 20f =()22log 5f +=()()22log 522log 5f f -=--=()22log 521---=415⎛⎫--= ⎪⎝⎭15．11.已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】A ．【解析】()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max g x ()min g x =．因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()12g x g x =-=，或()()12g x g x =-=12ππ,2x x k k -=+∈N ，所以12min π||2x x -=． 12.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A ．【解析】依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则()()2,0,2,0A b B b -，设()00,M x y ，则22002214x y b b-=，所以22022********2000014122444x b b y y y k k x b x b x b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅===+---，因为1[1,2]k ∈，所以1211,8414k k ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为 ． 【答案】4．【解析】作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4． 14.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ． 【答案】12． 【解析】由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以()sin A B +=2sin a C ．又πA B C ++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 15.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积1S =()222343262a a a π-3π⨯-⨯=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积2S =()()232a π-3=()292a π-3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率12S P S ==19．16.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为 ． 【答案】12π．【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的外心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则1152O A BC ==，所以2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =在1Rt OO D △中，OD =，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π．ABC1OO EDP2020届高三数学（文）“小题速练”2题号123456789101112答案13. 14. 15. 16.一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x2=-x}，N={x|lg x=0}，则M∪N=（）A. {−1,0}B. {−1,0，1}C. {0,1}D. {−1,1}2.已知i为虚数单位，若复数z=(1+i)21−i，则|z|=（）A. 2B. 1C. √2D. √33.已知曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为3x+y=0，则曲线的离心率为（）A. 2B. 2√3C. 3D. √104.下列函数中是偶函数，且在区间（0，+∞）上为单调增函数的是（）A. y=lnx2B. y=e x−e−xC. y=cosxD. y=x3+x5.已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是（）A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差6.已知向量a⃗=(1，2)，b⃗ =(1，x)，若|a⃗−b⃗ |=a⃗⋅b⃗ ，则x=（）A. −3B. 13C. 3 D. 13或−37.从0，1，4，7这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，这个两位数是奇数的概率为（）A. 49B. 12C. 59D. 138.如图，小正方形方格边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 2π3B. 3π2C. π2D. 2π9.执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A. 36B. −36C. 45D. −4510.已知函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，ω＞0，A＜0）的部分图象如图所示，则A=（）A. −2B. −3C. −2√2D. −√6)，11.定义域为R的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（-x），且在区间[0，1]上单调递减．设a=f(152 b=f（2+√2），c=f（8），则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. c>b>aC. b>c>aD. c>a>b12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=3，M，N分别是BC，AB的中点，点P在棱CC1上，且CP=2PC1．设平面AMP与平面BNC1的交线为l，则直线C1N与l的位置关系是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=x2+ln x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14.已知实数x，y满足{x+y≤3x−y≤0x−1≥0，则z=yx−1的最小值是______．15.已知抛物线y2=2px（p＞0），直线y=x-2与抛物线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点P（2，-2），则p=______．16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2=√3ab+c2，AB=1，则AC+√3BC的最大值是______．2020届高三数学（文）“小题速练”2（答案解析）1.【答案】B【解析】∵集合M={x|x2=-x}={0，-1}，N={x|lgx=0}={1}，∴M∪N={-1，0，1}．2.【答案】C【解析】解：复数z====i-1，则|z|==．3.【答案】D【解析】∵曲线的一条渐近线方程为3x+y=0，∴b=3a，∴c==a，∴e==．故选：D．4.【答案】A【解析】A．函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=ln（-x）2=lnx2=f（x），则f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=2lnx为增函数，满足条件．B．f（-x）=e-x-e x=-（e x-e-x）=-f（x），则函数为奇函数，不满足条件．C．y=cosx在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．D．f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），函数为奇函数，不满足条件．5.【答案】D【解析】在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，在A中，甲的成绩的平均数为：=（5+6×2+7×2+8×2+9×2+10）=7.5，乙的成绩的平均数为：=（6+7×3+8×2+9×3+10×1）=8，∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A正确；在B中，甲的成绩的中位数为：，乙的成绩的中位数为：=8.5，∴甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B正确；在C中，由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对分散，∴甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故B正确．在D中，甲的成绩的极差为：10-5=5，乙的成绩的极差为：10-6=4，∴甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D不正确．6.【答案】B【解析】向量，若，可得：，（x）．，解得x=-3（舍去）或x=．故选：B．7.【答案】A【解析】从0，1，4，7这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n=3×3=9，这个两位数是奇数包含的基本事件个数m=2×2=4，∴这个两位数是奇数的概率为p=．8.【答案】D【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱截去圆柱的一半，如图：V=π•12×4=2π，故选：D．由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱截去圆柱的一半，即可求出几何体的体积．9.【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=-1，n=2满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=3，n=3满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-6，n=4满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=10，n=5满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-15，n=6满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=21，n=7满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=-28，n=8满足条件4n2≥2n，执行循环体，S=36，n=9此时，不满足条件4n2≥2n，退出循环，输出S的值为36．10.【答案】C【解析】由图象可得T=-==•，解得ω=3．可得：f（x）=Acos（3x+φ），由于点（，0）在函数图象上，可得Acos（3×+φ）=0，解得：3×+φ=kπ+，即：φ=kπ-，k∈Z，又由于点（，-2）在函数图象上，可得Acos（3×+kπ-）=-2，k∈Z，可得：Acos（+kπ）=-2，k∈Z，解得：A=-2，或2（舍去）．11.【答案】D【解析】∵偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（-x），∴f（x+1）=-f（-x）=-f（x），即f（x+2）=-f（x+1）=f（x），则f（x）为周期为2的周期函数，则c=f（8）=f（0），b=f（2+）=f（）=f（-）=f（2-），=f（8-）=f（-）=f（），∵0＜＜2-，且f（x）在区间[0，1]上单调递减．∴f（0）＞f（）＞f（2-），即c＞a＞b12.【答案】B【解析】∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=3，M，N分别是BC，AB的中点，点P在棱CC1上，且CP=2PC1．设平面AMP与平面BNC1的交线为l，设AM∩CN=O，连结OP，∴C1N∥OP，∵OP⊂平面AMP，C1N⊄平面AMP，∴C1N∥平面APM，∵平面AMP与平面BNC1的交线为l，∴直线C1N与l的位置是平行．故选：B．13.【答案】3x-y-2=0【解析】f′（x）=2x+；故f′（1）=2+1=3；故函数f（x）=x2+lnx的图象在点A （1，1）处的切线方程为：y-1=3（x-1）；即3x-y-2=0；14.【答案】3【解析】作出实数x，y满足对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得（，），则AD的斜率k==3，即的最小值为：3，故答案为：3．15.【答案】1【解析】y2=2px（p＞0）和直线y=x-2联立，可得x2-（4+2p）x+4=0，△=（4+2p）2-16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=4+2p，x1x2=4，线段AB为直径的圆过点P（2，-2），可得AP⊥BP，即有•=-1，即为=-1，可得x1x2=-[x1x2+4-2（x1+x2）]，化为-4=8-2（4+2p），解得p=1．检验判别式大于0成立．16.【答案】2√7【解析】由a2+b2=ab+c2可得=，得cosC=，又0＜C＜π，∴C=，根据正弦定理可得==，∴AC=2sinB，BC=2sinA，∴AC+BC=2sinB+2sinA=2sin（-A）+2sinA=cosA+3sinA=2sin （A+φ）≤=2．2020届高三数学（文）“小题速练”313. 14. 15. 16. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

小题专练10解析几何(B)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:两条直线的位置关系,★)已知直线l :x+m 2y=0与直线n :x+y+m=0,则“l ∥n ”是“m=1”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线x 24-y 2m=1(m>0)的离心率为2,则双曲线x 2m-y 2=1的焦距是( ).A .2√3B .√13C .4√3D .2√133.(考点:椭圆性质的应用,★★)已知椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则实数m 的值为( ). A .14 B .12 C .2 D .44.(考点:直线与圆的位置关系,★★)过圆C :(x-2)2+(y-1)2=25上一点P (-1,-3)作切线l ,直线m :3x+ay=0与切线l平行,则实数a 的值为( ). A .35B .2C .125D .45.(考点:求双曲线的渐近线方程,★★)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,若点P (0,2b ),F 1,F 2是等腰直角三角形的三个顶点,则该双曲线的渐近线方程是( ). A .y=±√3x B .y=±√217x C .y=±√33xD .y=±√213x 6.(考点:求双曲线的离心率,★★)若双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线x 2+y 2-4x+2=0所截得的弦长为2,则该双曲线C 的离心率为( ). A .√3B .2√33C .√5D .2√557.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A (4√55,2√55),则双曲线C 的方程为( ).A .x 2-y24=1 B .x 24-y 2=1C .x 26-y 22=1D .x 22-y 26=18.(考点:直线与抛物线的位置关系,★★)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=4x 的准线与x 轴交于点A ,点M 在抛物线C 上,则当|MA ||MF |取得最大值时,直线MA 的方程为( ). A .y=x+1或y=-x-1 B .y=12x+12或y=-12x-12 C .y=2x+2或y=-2x-2 D .y=-2x+2二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:点到直线的距离,★★)下列说法正确的是( ). A .“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件 B .直线x sin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为[0,π4]∪[3π4,π)C .直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x 2+y 2=5相切D .离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x10.(考点:抛物线性质的应用,★★)过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,则下列说法正确的是( ). A .以线段AB 为直径的圆与直线x=-32相离 B .以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C .当AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时,|AB|=92D .|AB|的最小值为411.(考点:椭圆性质的应用,★★)设椭圆C :x 22+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆C 上的动点,则下列结论正确的是( ). A .|PF 1|+|PF 2|=2√2 B .离心率e=12C .△PF 1F 2面积的最大值为√2D .以线段F 1F 2为直径的圆与直线x+y-√2=0相切12.(考点:双曲线的性质综合,★★★)已知点P 是双曲线E :x 216-y 29=1右支上的一点,F 1,F 2为双曲线E 的左、右焦点,△PF 1F 2的面积为20,则下列说法正确的是( ). A .点P 的横坐标为203B.△PF1F2的周长为803C.∠F1PF2小于π3D.△PF1F2的内切圆半径为34三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C1与双曲线C2:x22-y26=1的渐近线相同,且双曲线C1的焦距为8,则双曲线C1的方程为.14.(考点:椭圆定义的应用,★★)已知P为椭圆x2100+y291=1上的一个动点,M,N分别为圆C:(x-3)2+y2=1与圆D:(x+3)2+y2=r2(0<r<3)上的动点,若|PM|+|PN|的最小值为17,则r= .15.(考点:直线与双曲线的位置关系,★★)已知直线l与双曲线y2-2x2=1交于A,B两点,当A,B两点的对称中心的坐标为(1,1)时,直线l的方程为.16.(考点:双曲线的几何性质的应用,★★★)已知A,B分别是双曲线C:x2-y22=1的左、右顶点,P为C上一点,且点P在第一象限.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当2k1+k2取得最小值时,k1的值为,△PAB的重心坐标为.答案解析：1.(考点:两条直线的位置关系,★)已知直线l:x+m2y=0与直线n:x+y+m=0,则“l∥n”是“m=1”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若l∥n,则1×1=m2×1,故m=1或m=-1.故“l∥n”是“m=1”的必要不充分条件.【答案】B2.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线x24-y2m=1(m>0)的离心率为2,则双曲线x2m-y2=1的焦距是().A.2√3B.√13C.4√3D.2√13【解析】由题意可得√4+m2=2,解得m=12,则双曲线x 2m-y 2=1的焦距为2√m +1=2√12+1=2√13. 【答案】D3.(考点:椭圆性质的应用,★★)已知椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则实数m 的值为( ). A .14 B .12 C .2 D .4【解析】将椭圆方程化为标准方程得x 2+y 21m=1,由题意可得1m>1,且1m=4,解得m=14.故选A .【答案】A4.(考点:直线与圆的位置关系,★★)过圆C :(x-2)2+(y-1)2=25上一点P (-1,-3)作切线l ,直线m :3x+ay=0与切线l平行,则实数a 的值为( ). A .35 B .2 C .125 D .4【解析】由题意得k PC =1-(-3)2-(-1)=43, 所以切线的斜率为-34. 所以-3a =-34,解得a=4. 【答案】D5.(考点:求双曲线的渐近线方程,★★)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,若点P (0,2b ),F 1,F 2是等腰直角三角形的三个顶点,则该双曲线的渐近线方程是( ). A .y=±√3x B .y=±√217x C .y=±√33xD .y=±√213x 【解析】设F 1(-c ,0),F 2(c ,0).∵F 1,F 2,P 是等腰直角三角形的三个顶点,∴c=2b ,∴c 2=a 2+b 2=4b 2,即a 2=3b 2,∴b a =√33,∴该双曲线的渐近线方程为y=±√33x. 【答案】C6.(考点:求双曲线的离心率,★★)若双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线x 2+y 2-4x+2=0所截得的弦长为2,则该双曲线C 的离心率为( ). A .√3B .2√33C .√5D .2√55【解析】双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x , 依据对称性,不妨取y=ba x ,即bx-ay=0.又曲线方程x 2+y 2-4x+2=0可化为(x-2)2+y 2=2, 则其是圆心坐标为(2,0),半径为√2的圆. 由题意得,圆心到该渐近线的距离d=√(√2)2-12=1,又由点到直线的距离公式可得d=√b 2+a 2=1,解得b 2a =13,所以e=√c 2a =√a 2+b 2a =√1+b 2a =2√33. 【答案】B7.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A (4√55,2√55),则双曲线C 的方程为( ).A .x 2-y 24=1 B .x 24-y 2=1 C .x 26-y 22=1 D .x 22-y 26=1【解析】因为双曲线的渐近线方程为y=±bax ,所以由点到直线的距离公式可得出右焦点F 到渐近线的距离为b. 由题意可得|OA|2=c 2-b 2=a 2=4,且b a =12, 所以b 2=1,即双曲线C 的方程为x 24-y 2=1.【答案】B8.(考点:直线与抛物线的位置关系,★★)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=4x 的准线与x 轴交于点A ,点M 在抛物线C 上,则当|MA ||MF |取得最大值时,直线MA 的方程为( ).A .y=x+1或y=-x-1B .y=12x+12或y=-12x-12 C .y=2x+2或y=-2x-2 D .y=-2x+2【解析】过点M 作MP 与准线垂直,垂足为P ,则|MA ||MF |=|MA ||MP |=1cos∠AMP =1cos∠MAF ,则当|MA ||MF |取得最大值时,∠MAF 最大,此时AM 与抛物线C 相切, 易知此时直线AM 的斜率存在,设切线方程为y=k (x+1),联立{y =k (x +1),y 2=4x ,得k 2x 2+(2k 2-4)x+k 2=0,由Δ=16-16k 2=0,解得k=±1,则直线AM 的方程为y=±(x+1). 【答案】A二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:点到直线的距离,★★)下列说法正确的是( ). A .“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件 B .直线x sin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为[0,π4]∪[3π4,π) C .直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x 2+y 2=5相切 D .离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x【解析】对于选项A,由点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3,可得|6+4+c |5=3,解得c=5或-25,所以“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充分不必要条件,故选项A 错误;对于选项B,直线x sin α-y+1=0的斜率k=sin α∈[-1,1],设直线的倾斜角为θ,则0≤tan θ<1或-1≤tan θ<0,所以θ∈[0,π4]∪[3π4,π),故选项B 正确;对于选项C,直线y=-2x+5可化为2x+y-5=0,其与直线2x+y+1=0平行,圆x 2+y 2=5的圆心O (0,0)到直线2x+y-5=0的距离d=√1+4=√5,则直线2x+y-5=0与圆x 2+y 2=5相切,故选项C 正确;对于选项D,离心率e=ca =√3,则ba=√2,若焦点在x 轴,则双曲线的渐近线方程为y=±√2x ,若焦点在y 轴,则双曲线的渐近线方程为y=±√22x ,故选项D错误. 【答案】BC10.(考点:抛物线性质的应用,★★)过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,则下列说法正确的是( ). A .以线段AB 为直径的圆与直线x=-32相离B .以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C .当AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时,|AB|=92D .|AB|的最小值为4【解析】对于选项A,点M 到准线x=-1的距离为12(|AF|+|BF|)=12|AB|,于是以线段AB 为直径的圆与直线x=-1一定相切,与直线x=-32一定相离,故A 正确.对于选项B,显然线段BM 中点的横坐标与12|BM|不一定相等,故B 错误.对于选项C,D,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 方程为x=my+1,联立直线与抛物线方程可得y 2-4my-4=0,y 1y 2=-4,x 1x 2=1,若设A (4a 2,4a ),则B (14a 2,-1a ),于是|AB|=x 1+x 2+p=4a 2+14a2+2,所以|AB|的最小值为4,故D 正确;由AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-2y 2,即4a=-2(-1a),所以a 2=12,|AB|=92,故C 正确. 【答案】ACD11.(考点:椭圆性质的应用,★★)设椭圆C :x 22+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆C 上的动点,则下列结论正确的是( ). A .|PF 1|+|PF 2|=2√2 B .离心率e=12C .△PF 1F 2面积的最大值为√2D .以线段F 1F 2为直径的圆与直线x+y-√2=0相切【解析】对于A 选项,由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a=2√2,所以A 选项正确; 对于B 选项,依题意a=√2,b=1,c=1,所以e=ca =2=√22,所以B 选项错误;对于C 选项,|F 1F 2|=2c=2,当P 为椭圆短轴端点时,△PF 1F 2的面积取得最大值,最大值为12·2c ·b=c ·b=1,所以C 选项错误;对于D 选项,以线段F 1F 2为直径的圆,其圆心为(0,0),半径c=1,圆心到直线x+y-√2=0的距离为√2√2=1,即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F 1F 2为直径的圆与直线x+y-√2=0相切,所以D 选项正确. 【答案】AD12.(考点:双曲线的性质综合,★★★)已知点P 是双曲线E :x 216-y 29=1右支上的一点,F 1,F 2为双曲线E 的左、右焦点,△PF 1F 2的面积为20,则下列说法正确的是( ). A .点P 的横坐标为203B .△PF 1F 2的周长为803C .∠F 1PF 2小于π3D .△PF 1F 2的内切圆半径为34【解析】双曲线E :x 216-y 29=1中的a=4,b=3,c=5,不妨设P (m ,n )(m>0,n>0),由△PF 1F 2的面积为20,可得12|F 1F 2|n=cn=5n=20,即n=4, 由m 216-169=1,可得m=203,故A 正确;由P (203,4),且F 1(-5,0),F 2(5,0),可得k PF 1=1235,k PF 2=125,则tan ∠F 1PF 2=125-12351+125×1235=360319∈(0,√3),则∠F 1PF 2<π3,故C 正确;由|PF 1|+|PF 2|=√16+(353)2+√16+(53)2=373+133=503,则△PF 1F 2的周长为503+10=803,故B 正确;设△PF 1F 2的内切圆半径为r ,可得12r (|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|)=20,解得r=32,故D 错误. 【答案】ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C 1与双曲线C 2:x 22-y 26=1的渐近线相同,且双曲线C 1的焦距为8,则双曲线C 1的方程为 .【解析】设双曲线C 1的方程为x 22-y 26=λ(λ≠0),故x 22λ-y 26λ=1(λ≠0), 则2λ+6λ=16或-2λ-6λ=16,解得λ=2或λ=-2, 故双曲线C 1的方程为x 24-y 212=1或y 212-x 24=1.【答案】x 24-y 212=1或y 212-x 24=114.(考点:椭圆定义的应用,★★)已知P 为椭圆x 2100+y 291=1上的一个动点,M ,N 分别为圆C :(x-3)2+y 2=1与圆D :(x+3)2+y 2=r 2(0<r<3)上的动点,若|PM|+|PN|的最小值为17,则r= .【解析】由题意可得,C (3,0),D (-3,0)恰好为椭圆的两个焦点,且|PM|≥|PC|-1,|PN|≥|PD|-r , 所以|PM|+|PN|≥|PC|+|PD|-1-r=2a-1-r. 因为a 2=100,解得a=10,所以20-1-r=17,解得r=2. 【答案】215.(考点:直线与双曲线的位置关系,★★)已知直线l 与双曲线y 2-2x 2=1交于A ,B 两点,当A ,B 两点的对称中心的坐标为(1,1)时,直线l 的方程为 . 【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 的斜率为k ,则{y 12-2x 12=1,y 22-2x 22=1,两式相减得到(y 1+y 2)(y 1-y 2)-2(x 1+x 2)(x 1-x 2)=0,将x 1+x 2=2,y 1+y 2=2代入上式,化简得k=2. 故直线l 的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0. 【答案】2x-y-1=016.(考点:双曲线的几何性质的应用,★★★)已知A ,B 分别是双曲线C :x 2-y 22=1的左、右顶点,P 为C 上一点,且点P 在第一象限.记直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,当2k 1+k 2取得最小值时,k 1的值为 ,△PAB 的重心坐标为 .【解析】由题意知A (-1,0),B (1,0),设P (x ,y ),则k 1=yx+1,k 2=yx -1,∴k 1k 2=y 2x 2-1=2,2k 1+k 2≥2√2k 1k 2=4,当且仅当2k 1=k 2时取等号,此时k 1=1,直线PA 的方程为y=x+1;k 2=2,直线PB 的方程为y=2(x-1). 联立{y =x +1,y =2(x -1),解得{x =3,y =4,∴P (3,4),∴△PAB 的重心坐标为(-1+1+33,0+0+43),即(1,43).【答案】1 (1,43)。