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小题专练09解析几何(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ). A .若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C .若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是αD .当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程是( ). A .3x+2y-1=0 B .3x+2y+7=0 C .2x-3y+5=0 D .2x-3y+8=03.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为53,则该双曲线的渐近线方程为( ). A .y=±45x B .y=±54xC .y=±43xD .y=±34x5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上,则该双曲线的方程为( ). A .x 221-y 228=1 B .x 228-y 221=1 C .x 23-y 24=1 D .x 24-y 23=16.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),以点P (b ,0)为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MPN=90°,则双曲线C 的离心率为( ). A .√2B .√3C .√52 D .√727.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F 是抛物线x 2=6y 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ).A .3B .92C .4D .328.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x 236+y 29=1的一条弦被点A (4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).A .x-2y=0B .x+2y=4C .2x+3y=14D .x+2y=8二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ). A .当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y 2-y 1=x -x 1x2-x 1B .点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)C .直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2D .经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=010.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O 的方程为x 2+y 2-4x-1=0,则圆O ( ). A .关于点(2,0)对称 B .关于直线y=0对称 C .关于直线x+3y-2=0对称 D .关于直线x-y+2=0对称11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E :x 24-y 212=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是( ). A .|PF 1|-|PF 2|=4B .双曲线E 的离心率是√3C .|PF 1|的最小值是6D .点P 到两渐近线的距离的乘积是312.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ). A .p=4B .DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ C .|BD|=2|BF| D .|BF|=4三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 . 14.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a ,b 为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a )2+(y-b )2=4所得的弦长为2√2,则ab 的最大值为 .15.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C :x 24-y 2b 2=1(b>0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在双曲线C 上,且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,则该双曲线C 的焦距为 .16.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l :y=4x+b 截抛物线C 所得的弦长为17,设点A 为抛物线C 上的动点,点B (2,6),过点A 作抛物线C 的准线l 1的垂线,垂足为D ,则p 的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .答案解析：1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ). A .若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C .若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是αD .当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A 错误,D 正确;当α=π2时,斜率不存在,故B 错误;只有当α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的倾斜角才是α,故C 错误.故选D . 【答案】D2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程是( ). A .3x+2y-1=0 B .3x+2y+7=0 C .2x-3y+5=0 D .2x-3y+8=0【解析】因为直线2x-3y+4=0的斜率为23,所以直线l 的斜率为-32,所以直线l 的方程为y-2=-32(x+1),即3x+2y-1=0. 【答案】A3.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【解析】因为方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆,所以{m +1>0,7-m >0,m +1≠7-m ,解得-1<m<3或3<m<7.故“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆”的充分不必要条件. 【答案】A4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为53,则该双曲线的渐近线方程为( ). A .y=±45x B .y=±54x C .y=±43x D .y=±34x【解析】因为双曲线的离心率为53,即e=c a =53, 所以c=53a ,又c 2=a 2+b 2,所以b=43a ,所以b a =43,所以该双曲线的渐近线方程为y=±43x. 【答案】C5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上,则该双曲线的方程为( ). A .x 221-y 228=1 B .x 228-y 221=1C .x 23-y 24=1D .x 24-y 23=1【解析】由题意可得√3=2ba . ①因为抛物线y 2=4√7x 的准线是x=-√7,所以c=√7,即a 2+b 2=c 2=7. ② 联立①②,解得{a =2,b =√3,所以双曲线的方程为x 24-y 23=1. 【答案】D6.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),以点P (b ,0)为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MPN=90°,则双曲线C 的离心率为( ).A .√2B .√3C .√52 D .√72【解析】设双曲线C 的一条渐近线为bx-ay=0,且与圆P 交于M ,N 两点,因为∠MPN=90°,所以圆心P 到直线bx-ay=0的距离为2√a 2+b2=b 2c =√22a ,即2c 2-2a 2=√2ac ,因为e=ca >1,解得e=√2.【答案】A7.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F 是抛物线x 2=6y 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ). A .3 B .92 C .4 D .32【解析】由题意可得F (0,32),抛物线的准线方程为y=-32.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y 1+y 2+3=9,解得y 1+y 2=6,∴线段AB 中点的纵坐标为3,即线段AB 的中点到x 轴的距离为3. 【答案】A8.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x 236+y 29=1的一条弦被点A (4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).A .x-2y=0B .x+2y=4C .2x+3y=14D .x+2y=8【解析】设过点A 的直线与椭圆相交于E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)两点,则有x 1236+y 129=1,x 2236+y 229=1,两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)36+(y 1-y 2)(y 1+y 2)9=0.又∵A 为弦EF 的中点,且A (4,2),∴x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,∴836(x 1-x 2)+49(y 1-y 2)=0, ∴k EF =y 1-y 2x 1-x 2=-12,∴过点A 且被该点平分的弦所在直线的方程是y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0.【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ). A .当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y 2-y 1=x -x 1x2-x 1B .点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)C .直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2D .经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 【解析】对于A,当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y2-y 1=x -x 1x2-x 1,故A 正确;对于B项,点(0,2)与(1,1)的中点坐标为(12,32),满足直线方程y=x+1,并且两点连线的斜率为-1,所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1),所以B正确;对于C项,直线x-y-2=0在两坐标轴上的截距分别为2,-2,故直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是12×2×2=2,所以C正确;对于D项,经过点(1,1),且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,所以D不正确.【答案】ABC10.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O的方程为x2+y2-4x-1=0,则圆O().A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称【解析】x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,所以圆心O的坐标为(2,0).对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,所以A选项正确;对于B项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B选项正确;对于C项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,所以C选项正确;对于D项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,所以D选项不正确.【答案】ABC11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E:x24-y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是().A.|PF1|-|PF2|=4B.双曲线E的离心率是√3C.|PF1|的最小值是6D.点P到两渐近线的距离的乘积是3【解析】由双曲线E:x 24-y212=1,得a2=4,b2=12,c2=a2+b2=16,解得a=2,b=2√3,c=4,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以A正确;离心率e=ca =42=2,所以B错误;当点P在右顶点时,|PF1|取得最小值,即|PF1|min=a+c=6,所以C正确;因为双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√3x,设点P(x0,y0),则x024-y0212=1,即3x02-y02=12,则点P 到直线y=√3x 和y=-√3x 的距离的乘积为|√3x 0-y 0|2×|√3x 0+y 0|2=|3x 02-y 02|4=124=3,所以D 正确.【答案】ACD12.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ). A .p=4B .DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ C .|BD|=2|BF| D .|BF|=4 【解析】如图所示,分别过点A ,B 作抛物线C 的准线m 的垂线,垂足分别为点E ,M.抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ,则|PF|=p ,由于直线l 的斜率为√3,其倾斜角为60°,又∵AE ∥x 轴,∴∠EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF 为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,∴|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A 选项正确;∵|AE|=|EF|=2|PF|,又PF ∥AE ,∴F 为AD 的中点,则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 选项正确; ∵∠DAE=60°,∴∠ADE=30°,∴|BD|=2|BM|=2|BF|,故C 选项正确; ∵|BD|=2|BF|,∴|BF|=13|DF|=13|AF|=83,故D 选项错误.【答案】ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 . 【解析】抛物线的准线方程为x=-p2,准线与圆相切,则3+p2=4,解得p=2.【答案】214.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a ,b 为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a )2+(y-b )2=4所得的弦长为2√2,则ab 的最大值为 .【解析】由题意可得圆心(a ,b )到直线x+y+1=0的距离d=√22-(2√22)2=√2,故√2=√2.又a ,b 为正实数,故a+b=1,所以ab ≤(a+b 2)2=14,当且仅当a=b=12时取等号.【答案】1415.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C :x 24-y 2b2=1(b>0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在双曲线C 上,且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,则该双曲线C 的焦距为 . 【解析】由双曲线方程可知A (-2,0),B (2,0), 设P (x 0,y 0),则k PA ·k PB =y 0x+2·y 0x-2=y 02x 02-4=1,即x 02-y 02=4. 又x 024-y 02b 2=1,∴b 2=4,∴c 2=a 2+b 2=8,∴双曲线C 的焦距2c=4√2. 【答案】4√216.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l :y=4x+b 截抛物线C 所得的弦长为17,设点A 为抛物线C 上的动点,点B (2,6),过点A 作抛物线C 的准线l 1的垂线,垂足为D ,则p 的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .【解析】抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为(p2,0),直线l 过焦点,故b=-2p ,即直线l :y=4x-2p.设直线l 与抛物线C 交点的横坐标分别为x 1,x 2,联立{y 2=2px ,y =4x -2p ,得8x 2-9px+2p 2=0,所以x 1+x 2=98p ,故x 1+x 2+p=178p=17,解得p=8,所以y 2=16x.易知点B (2,6)在抛物线外,所以|AB|+|AD|=|AB|+|AF|≥|BF|=2√10,当B ,A ,F 三点共线时等号成立. 【答案】8 2√10。

2021年高考理科数学小题狂练3（非新高考地区）解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注：满分80份，选择题12小题，填空题4小题，每小题5分。

限时：40分钟 一、单选题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．已知全集U =R ，104x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则UA（ ）A ．{}14x x -<< B ．{1x x ≤-或}4x ≥C ．{}14x x -≤≤D ．{}14x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A ，利用补集的定义可求得集合UA .【详解】U R =，{1014x A xx x x ⎧⎫+=≥=≤-⎨⎬-⎩⎭或}4x >，{}14U A x x ∴=-<≤． 故选：D ． 【点睛】本题考查补集的计算，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．i 是虚数单位，则231i i i +++=（ ） A ．1 B ．i C ．1-i D ．0【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，2311+i-1-i=0i i i +++=,故可知答案为0，选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了虚数单位的运算，属于基础题3．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种【答案】B【解析】方法数有1134C C 12=种.故选B.4．函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()22x xf x -=-B ．2()x e ef x x-= C ．31()f x x x =- D ．1()ln ||f x x x=-【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义域、奇偶性、单调性及函数图像的特点一一进行判断可得答案. 【详解】解：A 选项，由函数图像可得在0x =处没有定义，故排除A ； C 选项，由函数图像可得函数不为奇函数，故排除C ；D 选项，由函数图像可得当x →+∞时，函数变化趋势不符，1()ln ||f x x x=-越来越平（增加越来越慢），而不会向上扬起（增加越来越快）, 故排除D ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别及函数的定义域、单调性、奇偶性等基本性质，属于基础题型.5．设0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5b =，ln5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，利用换底公式和不等式的基本性质可得出b 、c 的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系. 【详解】指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，则0.2110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即01a <<； 对数函数13log y x =在()0,∞+上为减函数，则113311log log 153b =>=； 对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，则ln5ln 1c e =>=.1331ln 5log log 5ln 55ln 3b c ∴===<=. 因此，c b a >>. 故选：B. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.6．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸 B ．六尺五寸 C ．五尺五寸 D ．四尺五寸【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式以及求和公式列出方程组，求出首项和公差，由此可求得立夏日影长. 【详解】从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，设十二节气第()N n n *∈个节气的日影长为n a ，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，前n 项和为n S，则567817114223276772173.52a a a a a dS a d a d+++=+=⎧⎪⎨⨯=+=+=⎪⎩，解得12721ad⎧=⎪⎨⎪=-⎩，1012799922a a d∴=+=-=，因此，立夏日影长为四尺五寸.故选：D.【点睛】本题考查新文化中的等差数列问题，考查等差数列与前n项和中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．我们打印用的A4纸的长与宽的比约为2，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为（）A．6πB．4πC．3πD．23π【答案】C【解析】【分析】设CD的中点为O，过E作EF⊥底面⊙O，连接OE，OF，证明OD⊥OE，计算tan∠EDO即可得出答案．【详解】∵AB//CD，∴∠EDC（或补角）为异面直线DE与AB所成的角，设CD的中点为O，过E作EF⊥底面⊙O，连接OE，OF，∵E是AB的中点，∴F是CD的中点，∴CD⊥OF，又EF⊥平面⊙O，∴EF⊥CD，EF OF F=∴CD ⊥平面OEF ，∴OD ⊥OE ． 设AD ＝1，则CD 2=，故OF 2=，EF ＝1， 于是OE 22261()22=+=， ∴tan ∠EDO 6232OEOD ===， ∴∠EDO 3π=．故选：C ． 【点睛】本题考查了异面直线所成的角，解题的关键是找出与异面直线所成角相等的相交直线所成的角，此题要求有一定的计算能力，属于中档题.8．已知向量(),12OA k =，()4,5OB =，(),10OC k =-，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是（ ） A ．23-B ．43C ．12D ．13【答案】A 【解析】 【分析】首先求向量AB 和AC ，再将三点共线转化成向量共线求参数的取值. 【详解】()4,7AB OB OA k =-=--，()2,2AC OC OA k =-=--.因为A ，B ，C 三点共线，所以,AB AC 共线， 所以()()2472k k -⨯-=-⨯-，解得23k =-.故选：A【点睛】本题考查根据三点共线求参数的取值范围，重点考查向量共线的公式，属于基础题型.9．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲【答案】D【解析】【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.10．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sin x(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为316，则a的值为( ) A．712πB．23πC．34πD．56π【答案】B【解析】依题意，阴影部分的面积为sinaxdx⎰＝(－cosx)|a＝－cosa＋cos0＝1－cosa，由几何概型知识得，1cos8aaa-⋅＝316，即cosa＝－12，而a∈(0，π)，故a＝23π．11．设1F和2F为双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的两个焦点，若1F，2F，()0,2P b是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A．2 B．32C．52D．3【答案】A【解析】试题分析：如图，()2222211tan6034343PO POb c c a cFO FO=∴==∴-=222442c a e e ∴=∴=∴=考点：双曲线方程及性质 12．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，知当7π3x ω=时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期. 【详解】解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=时，π5π62x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ2662x x ωω+++=⨯， 即122π3x x ω+=. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+++=⨯，即238π3x x ω+=， ∴12310π5π233x x x ω++==，2ω=， 所以最小正周期为：2ππ2T ==. 故选：C . 【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13．已知α为锐角，且1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=_______． 322+【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可得22sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由α为锐角，且1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以222sin 1cos 663ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1322132232+==322+【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题． 14．如图的几何体，是在用密度等于38/g cm 的钢材铸成的底面直径和高都等于()221cm 的圆维内部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，另四个顶点在圆锥底面上)，这个几何体的质量等于_____g (对小数部分四舍五入进行取整).【答案】172【解析】【分析】设被挖去的正方体的棱长为x cm，由（半）轴截面中的直角三角形相似，即PBF△相似于HBC，利用PF PBHC HB=，代入数据计算求得2x=.再利用体积公式求得最后结果.【详解】如图，设被挖去的正方体的棱长为x cm，由（半）轴截面中的直角三角形相似，即PBF△相似于HBC，由21HC=+，()221HB=+，2,2xHG PF HP x===，则PF PBHC HB=，得(()2221221221x x+-=++，解得：2x=.则该模型的体积()()2313.1421221221.453V≈⨯⨯+⨯+-≈，所以制作该模型所需材料质量约为21.458172m Vρ=≈⨯≈.故答案为：172.【点睛】本题考查立体几何的体积的求法，结合相似的知识点，考查运算求解能力，属于中档题. 15．设()f x是定义在R上的函数，其导函数为()'f x，若()()'1f x f x+>，()02020f=，则不等式()2019x xe f x e>+(其中e为自然对数的底数)的解集为__________.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11【答案】()0,∞+【解析】【分析】构造函数()()2019x x g x e f x e =--，由题意，只需解()0>g x 即可，利用导数研究()g x 的单调性即可得到答案.【详解】设()()2019x x g x e f x e =--，不等式()2019x xe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解， 因为''()(()()1)0x g x e f x f x =+->，所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=，所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+故答案为：()0,∞+【点睛】本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题. 16．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上第一象限内的点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q .当PFQ △的周长为12时，PFQ △的面积为______. 【答案】43【解析】【分析】设||PQ a =，用a 表示出P ，Q 的坐标，根据PFQ △的周长为12，求得a ，判断PFQ ∆的形状，进而求PFQ △的面积.【详解】由24y x =得焦点(1,0)F ，准线:1l x =-.如图所示，试卷第12页，总12页设||||PQ PF a ==，由抛物线性质知||||1=PF OF ，即1a >， ∴(1,1)--P a a ，(1,1)--Q a . ∴2||4(21)2=+-=QF a a ∵PFQ △的周长为12，∴2212+=a a ，解得4a =.∴||4QF =，∴PFQ △是边长为4的等边三角形.∴PFQ △的面积为234434=故答案为：3【点睛】本题主要考查抛物线的方程及性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

小题狂练2
1、若i 为虚数单位，则复数
11i i +-的值为（ ） A 、1- B 、1
C 、i -
D 、i 2、在等差数列{}n a 中，已知1232,13a a a =+=，则公差d 等于（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
3、某校有50岁以上的老教师40人，35~50的中年教师200人，35岁以下的青年教师80人，为了调查教师对教代会制定的一项规章制度的满意度，准备抽出80人进行问卷调查，则中年教师应抽取的人数为（ ）
A 、50
B 、40
C 、30
D 、20
4、若双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线方程为2
y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）
A 、2
B 、2
C 、2
D 、5
5、在ABC ∆中，“sin 22
A =”是“30A = ”的（ ） A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
6、某实心机械零件的三视图如右图所示，则该机械零件的体积为（ ）
A 、362π+
B 、365π+
C 、368π+
D 、3620π+
7、执行如图所示程序框图，则输出的s =（ ）
A 、2013-
B 、2013
C 、2012-
D 、2012。

[2020·内蒙古赤峰二中诊断]如图所示，通有恒定电流的导线MN 与闭合金属框共面，第一次将金属框由Ⅰ平移到Ⅱ，第二次将金属框绕cd边翻转到Ⅱ，设先后两次通过金属框的磁通量变化量大小分别为ΔΦ1和ΔΦ2则()A．ΔΦ1>ΔΦ2B．ΔΦ1＝ΔΦ2C．ΔΦ1<ΔΦ2D．不能判断答案：C解析：设在位置Ⅰ时磁通量大小为ΦⅠ，在位置Ⅱ时磁通量大小为ΦⅡ，第一次将金属框由Ⅰ平移到Ⅱ，穿过金属框的磁感线方向没有改变，磁通量变化量大小ΔΦ1＝ΦⅠ－ΦⅡ；第二次将金属框绕cd边翻转到Ⅱ，穿过金属框的磁感线的方向发生改变，磁通量变化量大小ΔΦ2＝ΦⅠ＋ΦⅡ，所以ΔΦ1<ΔΦ2，选项C正确．4．[2020·云南省玉溪一中考试]如图所示，a、b是两根垂直纸面的通有等值电流的直导线，两导线外有一点P，P点到a、b距离相等，要使P点的磁场方向向右，则a、b中电流的方向为() A．都垂直纸面向外B．都垂直纸面向里C．a中电流方向垂直纸面向外，b中垂直纸面向里D．a中电流方向垂直纸面向里，b中垂直纸面向外答案：C解析：若a、b中电流方向均垂直纸面向外，根据安培定则判断可知：a在P处产生的磁场的方向垂直于aP连线向上，b在P处产生的磁场的方向垂直于bP连线向上，根据平行四边形定则进行合成，P 点的磁感应强度方向竖直向上，故A错误；若a、b中电流方向均垂直纸面向里，同理可知，P点的磁感应强度方向竖直向下，故B错误；若a中电流方向垂直纸面向外，b中垂直纸面向里，同理可知，P点的磁感应强度方向水平向右，故C正确；若a中电流方向垂直纸面向里，b中垂直纸面向外，同理可知，P点的磁感应强度方向水平向左，故D错误．5.[2020·河北省五个一联盟模拟](多选)已知通电长直导线周围空26．[2020·河北省承德二中检测](多选)如图所示，在磁感应强度答案：BD解析：因a点处的磁感应强度为2B，而外界匀强磁场的磁感应力大小为F＝BIL＝2B0IL，故C错误；若使P中的电流反向、其他条件不变，如图2所示，则P、Q在[2020·黑龙江省哈尔滨三中测试]如图所示，由均匀的电阻丝组成8.[2020·北京昌平模拟]把一根柔软的螺旋形弹簧竖直悬挂起来，使A．甲、乙两种情况导线受到的安培力大小不变，方向一直变化向右运动，则下列说法正确的是()A．若仅将B变为原来的2倍，则金属棒在0～T内的位移将变倍，由Q热＝I2rt可知，金属棒上产生的焦耳热将变为原来的4倍，由于前半个周期安培力做正功，后半个周期安培力做负功，故一个周期内安培力做的总功为零，B错误；若在t＝T4时释放金属棒，则在一个周期内由金属棒的受力情况可知，金属棒将做往复运动，C正确；无论金属棒在何时释放，在一个周期末金属棒的速度均为零，由动能定理可知，安培力做的功的代数和均为零，D错误．12．[2020·全国卷Ⅰ](多选)如图，三根相互平行的固定长直导线L1、L2和L3两两等距，均通有电流I，L1中电流方向与L2中的相同，与L3中的相反．下列说法正确的是()A．L1所受磁场作用力的方向与L2、L3所在平面垂直B．L3所受磁场作用力的方向与L1、L2所在平面垂直C．L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为1：1：3D．L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为3：3：1答案：BC解析：由安培定则可判断出L2在L1处产生的磁场(B21)方向垂直L1和L2的连线竖直向上，L3在L1处产生的磁场(B31)方向垂直L1和L3的连线指向右下方，根据磁场叠加原理，L3和L2在L1处产生的合磁场(B合1)方向如图1所示，根据左手定则可判断出L1所受磁场作用力的方向与L2和L3的连线平行，选项A错误；同理，如图2所示，可判断出L3所受磁场(B合3)作用力的方向(竖直向上)与L1、L2所在的平面垂直，选项B正确；同理，如图3所示，设一根长直导线在另一根导线处产生的磁场的磁感应强度大小为B，根据几何知识可知，B 合1＝B，B合2＝B，B合3＝3B，由安培力公式可知，L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小与该处的磁感应强度大小成正比，所以L1、L2、L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为1：1：3，选项C正确，D错误．13．[2020·全国卷Ⅱ](多选)某同学自制的简易电动机示意图如图所示．矩形线圈由一根漆包线绕制而成，漆包线的两端分别从线圈的一组对边的中间位置引出，并作为线圈的转轴．将线圈架在两个金属支架之间，线圈平面位于竖直面内，永磁铁置于线圈下方．为了使电池与两金属支架连接后线圈能连续转动起来，该同学应将()A．左、右转轴下侧的绝缘漆都刮掉B．左、右转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉C．左转轴上侧的绝缘漆刮掉，右转轴下侧的绝缘漆刮掉D．左转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉，右转轴下侧的绝缘漆刮掉答案：AD解析：如果将左、右转轴下侧的绝缘漆都刮掉，则线圈在安培力作用下转动起来，每转一周安培力驱动一次，可保证线圈不断地转动，A项正确；如果左、右转轴上下侧的绝缘漆均刮掉，不能保证线圈持续转动下去，B项错误；如果仅左转轴的上侧绝缘漆刮掉，右转轴的下侧绝缘漆刮掉，则线圈中不可能有电流，因此线圈不可能转动，C 项错误；如果左转轴上下侧的绝缘漆均刮掉，右转轴仅下侧的绝缘漆刮掉效果与A项相同，因此D项正确．14．法拉第电动机原理如图所示，条形磁铁竖直固定在圆形水银槽中心，N极向上．一根金属杆斜插在水银中，杆的上端与固定在水银槽圆心正上方的铰链相连．电源负极与金属杆上端相连，与电源正极连接的导线插入水银中．从上往下看，金属杆()A．向左摆动B．向右摆动C．顺时针转动D．逆时针转动答案：D解析：有斜向上的电流通过金属杆，金属杆受到安培力作用，根据左手定则判断可知，安培力方向与金属杆垂直，且向里，使金属杆以磁铁棒为轴逆时针转动，A、B、C错误，D正确．15.(多选)根据磁场对电流产生作用力的原理，人们研制出一种发射sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.下列正确的说法是()A．金属棒在摆动到最高点的过程中，机械能守恒此，测得通电螺线管中的磁感应强度B为()A．2.0×10－3T方向水平向右()A.2B B．22B所示，则()A．同一通电导线放在a处受到的磁场力一定比放在b处受到的4.[2020·广东肇庆检测](多选)如图所示，在竖直向上的匀强磁场中，故C、D正确．5．[2020·浙江名校协作体联考]如图所示为航母上电磁弹射装置向垂直于纸面向外)作用下加速．则下列说法正确的是()A．电源给电容器充电后，M板带正电错误；在电容器放电过程中，电容器电容保持不变，选项D错误．6．[2020·江西第三次联考]两根平行放置的长度均为L的长直导7．[2020·黑龙江七台河检测](多选)某闭合三棱柱如图所示，处于磁感应强度为1 T、方向沿x一条形磁铁放在光滑的斜面上，并用一质量不计的弹簧连接在顶解析：由于条形磁铁外部的磁感线是从N极出发到S极，所以可画出9.如图所示，质量m＝0.5 kg的通电导体棒在安培力作用下静止在10.如图所示，两平行导轨ab、cd竖直放置在匀强磁场中，匀强磁可能正确的是()答案：B度为g，某时刻后两灯泡保持正常发光．求磁感应强度的大小．mg(sinθ－μcosθ)R定值电阻R2＝2 Ω，闭合开关S，稳定后弹簧伸长Δx＝4 cm，求：(1)稳定后滑杆ab所受安培力的大小F；。

小题狂练(五)(限时40分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}，且AB＝R，那么m的值可以是( )． A．－1 B．0 C．1 D．2 2．已知＝2＋i，则复数z的共轭复数为( )． A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 3．已知直线l平面α，直线m平面β，有下面四个命题： α∥β?l⊥m；α⊥β?l∥m； l∥m?α⊥β；l⊥m?α∥β. 其中正确的命题( )． A． B． C． D． 4．设p：log2x1，则p是q的( )． A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别为 ( )．A．2,0 B．2， C．2，－ D．2， 6．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a的值等于( )． A．2 B．3 C．4 D．5 7．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．正弦曲线与x＝0和直线x＝及x轴所围成的平面图形的面积是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 9．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )． A. B．4 C．2 D. 10．执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则M处的条件为( )． A．k≥16 B．k<8 C．k0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为( )． A. B．1± C．1＋ D．无法确定 12．对任意的实数a，b，记max{a，b}＝若F(x)＝max{f(x)，g(x)}(xR)，其中奇函数y＝f(x)在x＝1时有极小值－2，y＝g(x)是正比例函数，函数y＝f(x)(x≥0)与函数y＝g(x)的图象如图所示，则下列关于函数y＝F(x)的说法中，正确的是( )． A．y＝F(x)为奇函数 B．y＝F(x)有极大值F(1)且有极小值F(－1) C．y＝F(x)的最小值为－2且最大值为2 D．y＝F(x)在(－3,0)上不是单调函数 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．已知向量a＝(3，－2)，b＝(3m－1,4－m)，若ab，则m的值为________． 14．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，其中F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为________． 15．在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为________． 16．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________． 【小题狂练(五)】 1．D　[因为AB＝R，所以m>1，故选D.] 2．A　[z＝(1－i)(2＋i)＝3－i，复数z的共轭复数为3＋i，故选A.] 3．C　[对于，由lα，αβ?l⊥β，又因为直线m平面β，所以lm，故正确；同理可得正确，与不正确，故选C.] 4．B　[依题意得，p：log2x<00<x1x<1，所以pq，但q/p，所以p是q的充分不必要条件，故选B.] 5．D　[由图象知T＝－， 得T＝π，故ω＝2， 此时f(x)＝sin(2x＋φ)． 又f＝sin＝1， 且|φ|1得e＝1＋，故选C.] 12．D　[因为F(x)＝g(x)＝x，由f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故可知D正确．] 13．解析　a⊥b，a·b＝3(3m－1)＋(－2)(4－m)＝0，m＝1. 答案　1 14．解析　不妨设|PF1|＝2m(m>0)，则|PF2|＝m，2a＝|PF1|－|PF2|＝m，由题意可知，线段F1F2为圆的直径，故PF1F2为直角三角形，故2c＝m，e＝＝. 答案 15．解析　画出平面区域可知图形为三角形，面积为··＝9，解得a＝1，a＝－5(舍去)． 答案　1 16．解析　当00，即0<－a0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是. 答案。

x y 2 0,
先
准
确
的
画出直不等式组y
2
0,
表示的区域,圆的切线的几何意义,求
x y 3 0
sin 2
1 OM
1 t
,将问题转化为求
OM
的最大值的问题.解答时先求出两直线的交点坐标
M (4,2) , 借 助 图 形 的 直 观 , 求 出 tmax OM 2 5 , 从 而 求 出
大时,
2
最小,结合图形可知当
tmax
OM
2
5 时, cos 1 2sin 2 1 1 9 .故 2 10 10
应填答案 9 . 10
考点：线性规划的知识、余弦二倍角公式、圆的几何性质等知识的综合运用．
x-y+2=0
y
x+y+3=0
x O
y=-2
M(-4,-2)
M(x,y)
【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时
点睛：本题考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程，四种命题的改
写、几何概型及其概率的计算、以及正态分布的应用等知识点的考查，其中熟记各个知识点
的基本概念，合理判断是解答的关键。
4．B
【解析】运行此程序框图可知，表示
前 项的和，
所以运行此程序框图可知，所以输出的
答案第 0 页，总 6 页
，解得
或
，
所以是错误的；
（2）中命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”，所以是错误的；
（3）中，在
中，
. 是斜边 上的点，
.以 为
起点任作一条射线 交 于 点，则 点落在线段 上的概率是 ，所以示错误的；

满分练3姓名：______________班级：______________选择题（请用2B 铅笔填涂）12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A][B][C][D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] 填空题（请在各试题的答题区内作答）13题、14题、 15题、 16题、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．已知集合，则（ ） A. B. C. D.2．给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”； ②“若，则”的否命题是“若，则”； ③若“”或“”是真命题，则命题，一真一假；④“函数12-+=m y x 有零点”是“函数x m y log =在上为减函数”的充要条件.其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43．已知复数Z 满足()R a iai z ∈+=+122，则Z 的虚部为-3，则Z 的实部为（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. 54．在ABC ∆中，角，，对应边分别为c b a ,,已知三个向量，，共线，则形状为（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 5．已知数列{}n a 满足12a =，*11()1n n na a n N a ++=∈-，则1232017a a a a =L L ••（ ） A ．-6 B ．6 C. -2 D ．26．将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 向右平移个单位后得到()x g y =的图像，若函数()x g y =在区间[]()a b b a >,上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21，则a b - 的最小值 和最大值 分别为（ ）A. B.C. D. 7．如图，已知平面平面，是平面与平面的交线上的两个定点，，且，在平面上有一个动点，使，则四棱锥体积的最大值是（ ）A. B. 16 C. 144 D. 488．在平面直角坐标系中，不等式组()为常数r r y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≤+22200表示的平面区域的面积为，若y x ,满足上述约束条件，则31+++=x y x z 的最小值为 （ ）A. -1B. C. D.9．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（ ）A ．14B ．12C ．13D ．3410．已知函数()2ln x x x f -=与()()m x x x g ----=42122的图像上存在关于对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A. B. C. D.11．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是12，则正视图中的x 的值是（ ）A. 3B. 4C. 9D. 612．如图，焦点在轴上的椭圆()013222>=+a y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线P F 2与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边P F 1上的切点为Q ，若41=Q F ,则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-+=413log4xxxxxxfxx若()x f的两个零点分别为21,x x，则=-||21xx__________．14．阅读下面的流程图,如果输出的函数()x f的值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2141，内,那么输入的实数x 的取值范围是__________．15．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米．”则该圆柱形容器能装米__________斛．（古制1丈尺，1斛立方尺，圆周率）16．设曲线1*()ny x x N+=∈在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为n x，则20161201622016320162015log log log logx x x x++++L的值为___________．【试题解析】1．D【解析】,所以,选D.2．A【解析】由题意得，根据全程命题与存在性命题的否定关系，可知①是正确的；②中，命题的否命题为“若，则”，所以是错误的；③中，若“”或“”是真命题，则命题都是假命题；④中，由函数有零点，则，而函数为减函数，则，所以是错误的，故选A。

小题狂练（三）1.下列各项中，加点的成语使用恰当的一项是（）A.饮水机行业在过快的发展中因监管乏力造成了饮水机市场鱼．目混珠．．．的局面，一些伪劣产品严重危害着人们的身体健康。

B.上个世纪八九十年代，是中国文学的一个快速发展时期，名家名作大量涌现。

当时，贾平凹写了很多部畅销小说，是中国家喻户晓的扫眉才子。

C.他时刻念念不忘自己不幸的遭遇和痛苦的经历，无法振作精神，投入到正常工作中去。

幸运的是，他遇到了她，最终走出了人生的阴霾。

D.今年高票当选的罗市长在工作中高度重视科学发展观的落实，对我市经济工作进行科学规划，大力调整产业结构，在经济发展的大舞台上长袖善舞，取得了令人瞩目的成就。

2.下列各句中，没有语病的一句是（）A.中国印章已有两千多年的历史，它由实用逐渐发展成为一种具有独特审美的艺术门类，受到文人、书画家和收藏家的推崇。

B.我国大部分磷化工骨干企业集中在磷资源比较丰富的云、贵、川、鄂和靠近外贸出口市场而技术力量又相对较强的上海、天津、江苏、渐江等地区。

C.《全宋文》的出版，对于完善宋代的学术文献、填补宋代文化研究的空白、推动传统文化研究的意义特别重大。

D.改革开放搞活了经济，农贸市场的贷物琳琅满目，除各种应时的新鲜蔬菜外，还有肉类、水产品、鱼、虾、甲鱼、牛蛙及各种调味品。

3.将下面的几个句子按照合理的顺序排列，组成一段边贯的话。

语序恰当的一项是（）莲花其实就是荷花，在还没有开花前叫“荷”，开花结果后就叫“莲”。

①想起多年来我对莲花的无知，只喜欢在远远的高处看莲、想莲②莲花则是庄严的，仿佛是即将生产的少妇③莲花带了一点生活的辛酸，是种莲人生活的依靠④却从来没有走进真正的莲花世界，看莲田背后生活的悲欢，不禁感到愧疚⑤我总觉得两种名称有不同的意义：荷花的感觉是天真纯情，好像一个洁净无瑕的少女⑥荷花是宜于观赏的，是诗人和艺术家的朋友A.⑤②⑥③①④B.③⑤④⑥②①C.①③②⑤⑥④D.⑥④⑤③①②4.阅读下面这首词，回答问题。

（一）1、设UR ，{|0}Ax x，{|1}Bx x，则B C AU （）。

A ．{|01}x x B ．{|01}x x C ．{|0}x xD．{|1}x x 2、设z 的共轭复数是z ，或z+z =4,z ·z ＝8，则zz 等于( )。

A.1B ．-iC ．±1D ．±i3、已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量ab （）。

A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线4、函数πsin 23yx在区间ππ2，的简图是（）。

5、记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ，则该数列的公差d（）。

A 、2B 、3C 、6D 、7（二）6、若函数f(x)=x 3(x ∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是（）。

A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单凋递增的偶函数 D ．单涮递增的奇函数7、一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )。

A.223B. 423C. 2323D. 23438、已知0,0a b ，则112ab ab的最小值是（）。

A ．2B ．22C ．4D ．59、已知圆1C ：2(1)x +2(1)y =1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y 对称，则圆2C 的方程为（）。

A ．2(2)x +2(2)y =1 B ．2(2)x +2(2)y=1C ．2(2)x +2(2)y=1D ．2(2)x +2(2)y =110、广州20XX 年亚运会火炬传递在A 、B 、C 、D 、E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表.若以A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）。

A.20.6B.21C.22D.232 2侧(左)视图22 2 正(主)视图俯视图（三）1、设U R ，{|0}Ax x，{|1}Bx x，则U A Be （）。

小题狂练14功和功率小题狂练⑭小题是基础练小题提分快1．[2019·宁夏银川一中摸底](多选)如图所示，水平路面上有一质量为M的汽车，车厢中有一质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是()A．人对车的推力F做的功为FLB．人对车做的功为maLC．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)LD．车对人的作用力大小为ma答案：AC解析：人对车的推力为F，在力F的方向上车行驶了L，则推力F做的功为FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的力向左，大小为ma，则人对车水平方向上的作用力大小为ma，方向向右，车向左运动了L，故人对车做的功为－maL，故B错误；竖直方向车对人的作用力大小为mg，则车对人的作用力F0＝(mg2)＋(ma)2，故D错误；人在水平方向受到F的反作用力和车对人向左的摩擦力，则f－F′＝ma，F′＝F，得f＝ma＋F，则车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L，故C正确．2．[2019·河南省郑州一中模拟](多选)如图，长为L的轻杆A一端固定小球B，另一端固定在水平转轴O上，轻杆A绕转轴O在竖直平面内匀速转动，在轻杆A与水平方向的夹角θ从0°增加到90°的过程中()A．小球B受到轻杆A的作用力的方向始终平行于轻杆B．小球B受到轻杆A的作用力逐渐减小C．小球B受到轻杆A的作用力对小球B不做功D．小球B受到轻杆A的作用力的瞬时功率减小答案：BD解析：小球做匀速圆周运动，则合力提供向心力，知合力方向一定沿着轻杆A指向O，而小球受重力和杆对小球的作用力，则可知杆对小球作用力的方向与轻杆不平行，A错误；设轻杆对小球的作用力为F，因为小球做匀速圆周运动，则F与mg的合力大小恒定不变，如图，由图可以看出小球受到轻杆A的作用力逐渐减小，B正确；根据动能定理，可知动能的变化量为零，重力做负功，则轻杆对小球的作用力做正功，C 错误；P ＝F ′v ，F ′为轻杆A 对小球的作用力在小球速度方向上的分力，由分析可知，F ′一直减小，故P 一直减小，D 正确．3．[2019·浙江省温州模拟] 某质量为m 的电动玩具小车在平直的水泥路上由静止沿直线加速行驶，经过时间t 前进的距离为x ，且速度达到最大值v m ，设这一过程中电动机的功率恒为P ，小车受到的阻力恒为F ，则t 时间内( )A ．小车做匀加速运动B ．小车受到的牵引力逐渐增大C ．合外力对小车所做的功为PtD ．牵引力对小车所做的功为Fx ＋12m v 2m答案：D解析：电动机功率恒定，P ＝F 牵v ，结合牛顿第二定律F 牵－F ＝ma 可知，当速度增大时，牵引力减小，加速度减小，故小车做加速度减小的变加速运动，故A 、B 错误；整个过程中，牵引力做正功，阻力做负功，故合外力做的功为W ＝12m v 2m ，Pt 为牵引力所做的功，故C 错误；整个过程中，根据动能定理可知Pt －Fx ＝12m v 2m ，解得Pt＝Fx ＋12m v 2m ，故D 正确．4．[2019·四川省成都外国语学校模拟](多选)太阳能汽车是靠太阳能来驱动的汽车．当太阳光照射到汽车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动汽车前进．设汽车在平直的公路上由静止开始匀加速行驶，经过时间t ，速度为v 时功率达到额定功率，并保持不变．之后汽车又继续前进了距离s ，达到最大速度v max .设汽车质量为m ，运动过程中所受阻力恒为f ，则下列说法正确的是( )A ．汽车的额定功率为f v maxB ．汽车匀加速运动过程中，牵引力做的功为12f v t ＋12m v 2C ．汽车从静止开始到速度达到最大值的过程中，克服阻力做的功为f v t ＋fsD ．汽车速度为v ＋v max 2时的加速度大小为f (v max －v )m (v max ＋v )答案：ABD解析：当汽车达到最大速度时牵引力与阻力平衡，功率为额定功率，汽车的额定功率为f v max ，故A 正确；汽车匀加速运动过程中通过的位移x ＝12v t ，克服阻力做的功为W ＝12f v t ，由动能定理知：W F －W f ＝12m v 2，得W F ＝W f ＋12m v 2＝12f v t ＋12m v 2，故B 正确；汽车匀加速运动过程中克服阻力做的功为W ＝12f v t ，后来汽车又运动了距离s ，则这段过程克服阻力做的功为W ′＝fs ，整个过程中克服阻力做的功为W 总＝W ＋W ′＝12f v t ＋fs ，故C 错误；汽车的功率P ＝F v ，由牛顿第二定律知：F －f ＝ma ，当汽车速度为v ＋v max 2时的加速度a ＝f (v max －v )m (v max ＋v )，故D 正确． 5．[2019·河北省名校联盟一测]质量为2 kg 的物体，放在与物体间的动摩擦因数为μ＝0.1的水平面上，在水平拉力F 的作用下，由静止开始运动，拉力做的功W 和物体发生的位移x 之间的关系如图所示，g ＝10 m/s 2，下列说法正确的是( )A ．此物体在OA 段做匀加速直线运动，且此过程中拉力的最大功率为6 WB ．此物体在OA 段做匀速直线运动，且此过程中拉力的最大功率为6 WC ．此物体在AB 段做匀加速直线运动，且此过程中拉力的最大功率为6 WD ．此物体在AB 段做匀速直线运动，且此过程中拉力的功率恒为6 W答案：D解析：对物体受力分析，物体受到的摩擦力为F f ＝μmg ＝2 N ，由题图可知，斜率表示物体所受拉力的大小，OA 段的拉力为5 N ，AB 段的拉力为2 N ，所以物体在OA 段做匀加速直线运动，在AB 段做匀速直线运动，选项B 、C 错误；在OA 段物体所受的拉力为5 N ，物体做匀加速直线运动，当速度最大时，拉力的功率最大，v ＝at ，x＝12at 2，a ＝F －F f m ，代入数据得v ＝3 m/s ，此时拉力的最大功率P m ＝F v ＝15 W ，选项A 错误；在AB 段，物体以3 m/s 的速度做匀速运动，此过程中拉力的功率恒为P ＝F ′v ＝6 W ，选项D 正确．6．[2019·福建省福州市闽侯一中检测](多选)如图所示，斜面顶端A 与另一点B 在同一水平线上，甲、乙两小球质量相等，小球甲沿光滑斜面以初速度v 0从顶端A 滑到底端，乙球以同样的初速度v 0从B 点抛出，不计空气阻力，则( )A ．两球落地时速率相同B ．两球落地时，重力的瞬时功率相同C ．从开始运动至落地过程中，重力对它们做的功相同D ．从开始运动至落地过程中，重力的平均功率相同答案：AC解析：根据动能定理知，mgh ＝12m v 2－12m v 20，由于甲、乙两球下降的高度相同，则重力做的功相等，初动能相等，则末动能相等，可知两球落地的速率相同，故A 、C 正确；乙球仅受重力作用，做匀变速曲线运动，落地时速度方向与甲球落地时速度方向不同，根据P ＝mg v cos θ知，其中θ为落地时速度方向与竖直方向的夹角，则可知重力的瞬时功率不同，故B 错误；由于两球在整个过程中重力做的功相等，但是运动的时间不同，则重力的平均功率不同，故D 错误．7．[2019·南宁模拟]关于功的概念，下列说法正确的是( )A ．物体受力越大，位移越大，力对物体做功越多B ．合力的功等于各分力功的矢量和C ．摩擦力可以对物体做正功D ．功有正负，但正负不表示方向，而表示大小答案：C解析：因功的决定因素为力、位移及二者的夹角，若力大、位移大，但两者夹角为90°，则做功为0，故A 错误；功是物体之间能量转化的量度，它是标量，功也有正负之分，但功的正负不是表示方向，是表示力对物体的做功效果，所以B 、D 错误；摩擦力可以做正功，也可做负功，这要看摩擦力与位移的方向关系，故C 正确．8．[2017·全国卷Ⅱ]如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环．小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )A ．一直不做功B ．一直做正功C．始终指向大圆环圆心D．始终背离大圆环圆心答案：A解析：由于大圆环是光滑的，因此小环下滑的过程中，大圆环对小环的作用力方向始终与速度方向垂直，因此作用力不做功，A项正确，B项错误；小环刚下滑时，大圆环对小环的作用力背离大圆环的圆心，滑到大圆环圆心以下的位置时，大圆环对小环的作用力指向大圆环的圆心，C、D项错误．9．[2019·天津模拟]一个高中生骑电动车以20 km/h的速度匀速行驶，电动车所受阻力是人和车总重力的110.已知人和车的总质量约为80 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，则此时电动车电机的输出功率约为()A．50 W B．100 WC．450 W D．800 W答案：C解析：车在匀速行驶时，人和车受力平衡，人和车受到的阻力大小为f＝110mg＝110×800 N＝80 N，此时的功率P＝F v＝f v＝444 W，所以C正确．10．[2019·贵阳监测](多选)如图所示，位于水平面上的同一物体在恒力F1的作用下，做速度为v1的匀速直线运动；在恒力F2的作用下，做速度为v2的匀速直线运动，已知F1与F2的功率相同．则可能有()A．F1＝F2，v1＜v2B．F1＝F2，v1＞v2C．F1＜F2，v1＜v2D．F1＞F2，v1＞v2答案：BD解析：设F1与水平面间的夹角为α，根据题述，F1与F2的功率相同，则有F1v1cosα＝F2v2.若F1＝F2，则有v1cosα＝v2，即v1＞v2；若F1＞F2且v1＞v2，F1v1cosα＝F2v2可能成立，选项B、D正确，A 错误．若F1＜F2且v1＜v2，则F1v1cosα＝F2v2肯定无法成立，选项C 错误．11．[2019·安徽四校摸底](多选)如图所示，两根轻质细线的一端拴在O点、另一端分别固定在楼道内的倾斜天花板上的a点和b点，一质量为m的重物P通过长度为L的轻质细线固定在O点，系统静止，Oa水平、Ob与竖直方向成一定夹角．现在对重物施加一个水平向右的拉力F，使重物以较小速率绕O点做匀速圆周运动，至O、P 间细线转动60°，此过程中拉力F做功为W，则下列判断正确的是()A．Oa上的拉力F1不断增大，Ob上的拉力F2一定不变B．Oa上的拉力F1可能不变，Ob上的拉力F2可能增大C．W＝12mgL，拉力F做功的瞬时功率一直增大D．W＝32FL，拉力F做功的瞬时功率先增大后减小答案：AC解析：对结点O与P整体受力分析，竖直方向受P的重力与细线Ob拉力F2的竖直分力并处于平衡状态，则F2不变，对重物应用图解法可知水平拉力F不断增大，又F2不变，由结点O和重物水平方向受力平衡可知，细线Oa的拉力F1不断增大，故A项正确，B 项错误；重物绕O点做匀速圆周运动，则拉力F、重力二者沿垂直半径(OP)方向的分力等大，拉力F做功功率P＝(mg sinθ)×v不断增大，θ为OP 与竖直方向的夹角，根据拉力F 做的功等于重物减少的重力势能可知W ＝mgL (1－cos60°)，选项C 正确，D 错误．12．[2019·昆明适应性检测](多选)一物体置于升降机中，t ＝0时刻升降机由静止开始运动，规定竖直向上为运动的正方向，其加速度a 随时间t 变化的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．在2～6 s 内升降机对物体不做功B ．在6～8 s 内升降机对物体做正功C ．在6～8 s 内物体处于失重状态D ．在0～8 s 内物体的平均速度大小为4 m/s答案：BC解析：由题图可知，在2～6 s 内，物体竖直向上做匀速运动，升降机对物体的作用力方向竖直向上，与物体的运动方向相同，故升降机对物体做正功，故A 错误，在6～8 s 内，升降机做减速运动，由牛顿第二定律可知，升降机对物体的作用力仍向上，则升降机对物体做正功，B 正确；在6～8 s 内，物体的加速度方向向下，故物体处于失重状态，故C 正确；根据运动学公式可知，前2 s 内物体的位移x 1＝12at 21＝12×2×4 m ＝4 m,2 s 末物体的速度v ＝at 1＝2×2 m/s ＝4 m/s ；在2～6 s 内，物体的位移x 2＝v t 2＝4×4 m ＝16 m ，物体减速过程的加速度大小与加速过程相同，时间相同，则其位移x 3＝x 1＝4 m ，则物体的平均速度v ＝x 1＋x 2＋x 38 s ＝4＋16＋48m/s ＝3 m/s ，故D 错误．13．[2019·开封模拟](多选)如图所示，一质量为m的小球固定在长为2L的轻杆上端，轻杆下端用光滑铰链连接于地面上的A点，杆可绕A点在竖直平面内自由转动，杆的中点系一细绳，电机与自动装置控制绳子，使得杆可以从虚线位置绕A点逆时针倒向地面，且整个倒下去的过程中，杆做匀速转动．那么在此过程中() A．小球重力做功为2mgLB．绳子拉力做功大于2mgLC．重力做功功率逐渐增大D．绳子拉力做功功率先增大后减小答案：AC解析：小球在该过程中下降高度为2L，所以小球重力做功为2mgL，A项正确；杆做匀速转动，小球速率不变，此过程中外力对系统做功为零，又只有重力和拉力对系统做功，所以绳子拉力做功与重力做功大小相等，B项错误；重力做功的功率等于重力与小球沿竖直方向分速度的乘积，小球做匀速圆周运动，该过程中小球竖直方向分速度不断增大，所以重力做功的功率不断增大，C项正确；由动能定理可得，拉力做功功率与重力做功功率始终大小相等，故拉力做功功率不断增大，D项错误．14．一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度释放小球．如图所示，小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中，小球重力的瞬时功率的变化情况是() A．一直增大B．一直减小C．先增大，后减小D．先减小，后增大答案：C解析：小球在初位置重力做功的功率为零，在最低点，由于重力的方向与速度方向垂直，则重力做功的功率为零，因为初末位置重力做功的功率都为零，则小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中重力做功的功率先增大后减小，C正确．15．如图，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动的过程中，下列关于A对地面的滑动摩擦力做功和B对A 的静摩擦力做功的说法正确的是()A．静摩擦力做正功，滑动摩擦力做负功B．静摩擦力不做功，滑动摩擦力做负功C．静摩擦力做正功，滑动摩擦力不做功D．静摩擦力做负功，滑动摩擦力做正功答案：C解析：把物块A、B看成一个整体，一起沿水平地面做匀速直线运动，所以f A－地＝f地－A＝F，其中f地－A的方向与运动方向相反，故地面对A的滑动摩擦力做负功，因为地面没有位移，所以A对地面的滑动摩擦力不做功；选择A作为研究对象，A做匀速运动，所以f B－A ＝F，f A－B＝f B－A，其中B对A的静摩擦力的方向与运动方向相同，故B对A的静摩擦力做正功．综上可知，B对A 的静摩擦力做正功，A对地面的滑动摩擦力不做功，C正确．16．如图所示，通过一动滑轮提升质量m＝1 kg的物体，竖直向上拉绳子，使物体由静止开始以5 m/s2的加速度上升，不计动滑轮及绳子的质量和一切摩擦，则拉力F在1 s末的瞬时功率为(取g＝10 m/s2)()A．75 W B．25 WC．12.5 W D．37.5 W答案：A解析：由牛顿第二定律得2F－mg＝ma，得F＝7.5 N,1 s末物体的速度为v1＝at＝5 m/s，力F作用点的速度v2＝2v1＝10 m/s，则拉力F在1 s末的瞬时功率为P＝F v2＝75 W，故A正确．课时测评⑭综合提能力课时练赢高分一、选择题1.[2019·江苏南通模拟](多选)如图所示，有三个相同的小球A、B、C，其中小球A沿高为h、倾角为θ的光滑斜面以初速度v0从顶端滑到底端，小球B以同样大小的初速度从同等高度处竖直上抛，小球C 在同等高度处以初速度v0水平抛出，则()A．小球A到达地面时的速度最大B．从开始至落地，重力对它们做功相同C．从开始运动至落地过程中，重力对它们做功的平均功率一定相同D．三个小球到达地面时，小球B重力的瞬时功率最大答案：BD解析：三个小球在运动的过程中都是只有重力做功，机械能守恒，所以根据机械能守恒定律可知三个小球落地时动能相等，速度的大小相等．故A错误；重力做功只与初、末位置有关，三个小球的起点和终点的高度差一样，所以重力做的功相同，故B正确；由题可知，B与C在空中运动的时间显然不同，平均功率等于做功的大小与所用时间的比值，小球重力做的功相同，但是时间不同，所以重力做功的平均功率不同，故C错误；小球落地时的速度的大小相等而方向不同，由于A、C两球都有水平方向的分速度，而B球没有水平方向的分速度，所以B球竖直方向的速度最大，由瞬时功率的公式可以知道，B球的重力的瞬时功率最大，故D正确．2．如图所示，一架自动扶梯以恒定的速度v1运送乘客上同一楼层，某乘客第一次站在扶梯上不动，第二次以相对扶梯v2的速度匀速往上走．扶梯两次运送乘客所做的功分别为W1、W2，牵引力的功率分别为P1、P2，则()A．W1<W2，P1<P2B．W1<W2，P1＝P2C．W1＝W2，P1<P2D．W1>W2，P1＝P2答案：D解析：功等于力和在力的方向上通过的距离的乘积，由于都是匀速运动，两种情况力的大小相等；由于第二次人沿扶梯向上走了一段距离，所以第一次扶梯运动的距离要比第二次扶梯运动的距离长，故两次扶梯运客所做的功不同，有W1>W2；功率等于力与沿力方向的速度的乘积，由于都是匀速，两种情况力的大小相等，扶梯移动的速度也相同，电机驱动扶梯做功的功率相同，即P1＝P2，故选D.3．[2019·河北五个一名校联盟模拟](多选)放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度随时间变化的图象和该拉力的功率随时间变化的图象分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是()A ．0～6 s 内物体的位移大小为30 mB ．2～6 s 内拉力做的功为40 JC ．合外力在0～6 s 内做的功与0～2 s 内做的功相等D ．滑动摩擦力的大小为5 N答案：ABC解析：0～6 s 内物体的位移大小x ＝4＋62×6 m ＝30 m ，故A 正确；2～6 s 内拉力做的功W ＝Pt ＝10×4 J ＝40 J ，故B 正确；在2～6 s 内，物体做匀速直线运动，合外力为零，合外力做的功为零，则合外力在0～6 s 内做的功与0～2 s 内做的功相等，故C 正确；在2～6 s 内，v ＝6 m/s ，P ＝10 W ，物体做匀速直线运动，摩擦力f ＝F ，得到f ＝F ＝P v ＝53 N ，故D 错误． 4．[2019·湖南师大附中模拟]一摩托车在竖直的圆轨道内侧做匀速圆周运动，人和车的总质量为m ，轨道半径为R ，车经最高点时发动机功率为P 0、车对轨道的压力为mg .设轨道对摩托车的阻力与车对轨道的压力成正比，则( )A ．车经最低点时对轨道的压力为mgB ．车运动过程中发动机的功率一直不变C ．车经最低点时发动机功率为3P 0D ．车从最高点到最低点的过程中，人和车重力做功的功率不变 答案：C解析：在最高点，向心力大小为F n ＝N 1＋mg ＝2mg ，摩托车做匀速圆周运动，向心力大小不变，则在最低点N 2－mg ＝F n ，得N 2＝3mg ，根据牛顿第三定律得车经最低点时对轨道的压力为3mg ，故A 错误；在最高点，发动机功率P 0＝F 1v ＝μN 1v ＝μmg v ，在最低点发动机功率为P ＝F 2v ＝μN 2v ＝3μmg v ，则有P ＝3P 0，故B 错误，C 正确；摩托车做匀速圆周运动，速度大小不变，重力大小不变，车从最高点到最低点的过程中，重力方向和速度方向的夹角先变小再变大，重力功率先变大再变小，故D 错误．5．[2019·安徽安庆二中月考](多选)一质量为m 的木块静止在光滑的水平面上．从t ＝0开始，将一个大小为F 的水平恒力作用在该木块上，下列说法正确的是( )A ．木块在经历时间t 1的过程中，水平恒力F 做的功为F 2t 212mB ．木块在经历时间t 1的过程中，在t 1时刻力F 的瞬时功率为F 2t 12mC ．木块在经历时间t 1的过程中，在t 1时刻力F 的瞬时功率为F 2t 1mD ．木块在经历时间t 1的过程中，水平恒力F 做功的平均功率为F 2t 21m答案：AC解析：由牛顿第二定律可以得到，F ＝ma ，所以a ＝F m ，t 1时刻的速度为v ＝at 1＝F m t 1，t 1时间内通过的位移为x ＝12at 21＝Ft 212m ，做的功为W ＝Fx ＝F 2t 212m ，故A 正确；所以t 1时刻F 的瞬时功率为P ＝F v ＝F ·F m t 1＝F 2t 1m ，故B 错误，C 正确；平均功率为P ＝W t ＝F 2t 12m ，故D 错误．6.[2019·四川资阳检测](多选)一质量为800 kg 的电动汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为18 m/s ，利用传感器测得此过程中不同时刻电动汽车的牵引力F 与对应的速度v ，并描绘出F －1v 图象，图中AB 、BC 均为直线．若电动汽车行驶过程中所受的阻力恒定，由图象可知下列说法正确的是( )A ．电动汽车由静止开始一直做变加速直线运动B ．电动汽车的额定功率为10.8 kWC ．电动汽车由静止开始经过2 s ，速度达到6 m/sD ．电动汽车行驶中所受的阻力为600 N答案：BD解析：AB 段牵引力不变，根据牛顿第二定律知，电动汽车的加速度不变，做匀加速直线运动，故A 错误；额定功率P ＝F min v max ＝600×18 W ＝10.8 kW ，故B 正确；匀加速运动的加速度a ＝3 000－600800m/s 2＝3 m/s 2，到达B 点对应状态时的速度v ＝P F ＝10 8003 000 m/s ＝3.6m/s ，所以匀加速的时间t ＝v a ＝1.2 s ，若电动汽车在2 s 内由静止开始一直做匀加速运动，则经过2 s 时的速度v ＝at ＝6 m/s ，所以电动汽车由静止开始经过2 s ，速度小于6 m/s ，故C 错误；当最大速度v max ＝18 m/s 时，牵引力为F min ＝600 N ，故恒定阻力f ＝F min ＝600 N ，故D 正确．7．如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P ，小船的质量为m ，小船受到的阻力大小恒为f ，经过A 点时缆绳与水平方向的夹角为θ，小船的速度大小为v 0，则此时小船加速度大小a 和缆绳对船的拉力F 为(缆绳质量忽略不计)( )A ．a ＝1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫P v 0cos θ－f ，F ＝P v 0cos θ B ．a ＝1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫P v 0－f ，F ＝P v 0cos θ C ．a ＝1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫P v 0cos θ－f ，F ＝P v 0D ．a ＝1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫P v 0－f ，F ＝P v 0答案：B 解析：根据P ＝F v 0cos θ得F ＝P v 0cos θ，根据牛顿第二定律F cos θ－f ＝ma 得a ＝1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫P v 0－f ，所以选项B 正确． 8．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( )A ．(3－1)dB ．(2－1)dC.5－12dD.22d答案：B解析：在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与位移成正比，可求出力对位移的平均值，将变力转化为恒力来处理．根据题意可得，第一次做功W ＝F 1d ＝kd 2d ；第二次做功W ＝F 2d ′＝kd ＋k (d ＋d ′)2d ′，且d ′＞0，联立解得d ′＝(2－1)d ，B 正确．9．质量为m 的汽车在平直的路面上启动，启动过程的速度－时间图象如图所示，其中OA 段为直线，AB 段为曲线，B 点后为平行于横轴的直线．已知从t 1时刻开始汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力的大小恒为F f ，以下说法正确的是( )A ．0～t 1时间内，汽车牵引力为m v 1t 1B ．t 1～t 2时间内，汽车的功率等于⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 1t 1＋F f v 2C ．t 1～t 2时间内，汽车的平均速度小于v 1＋v 22D ．汽车运动的最大速率为⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 1F f t 1＋1v 1 答案：D解析：由题图可以知道，0～t 1阶段，汽车做匀加速直线运动，a ＝v 1t 1，F 1－F f ＝ma ，联立得，F 1＝m v 1t 1＋F f ，A 错误；在t 1时刻汽车达到额定功率P ＝F 1v 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 1t 1＋F f v 1，t 1～t 2时间内，汽车保持额定功率不变，B 错误；由v －t 图线与横轴所围面积表示位移的大小可以知道，t 1～t 2时间内，汽车的平均速度大于v 1＋v 22，C 错误；t 2时刻，速度达到最大值v 2，此时刻F 2＝F f ，P ＝F 2v 2，得v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 1F f t 1＋1v 1，所以D 正确．10．(多选)在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量分别为m 1、m 2，弹簧劲度系数为k ，C 为一固定挡板，系统处于静止状态．现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，当物块B 刚要离开C 时，物块A 运动的距离为d ，速度为v ，重力加速度大小为g ，则此时( )A ．m 2g sin θ＝kdB ．物块A 的加速度大小为F －kd m 1C ．重力对物块A 做功的功率为(kd －m 2g sin θ)vD ．弹簧的弹力对物块A 做功的功率为(kd －m 2g sin θ)v答案：BC解析：开始系统处于静止状态，弹簧弹力等于A 的重力沿斜面向下的分力，当B 刚离开C 时，弹簧的弹力等于B 的重力沿斜面向下的分力，故m 2g sin θ＝kx 2，但由于开始时弹簧是压缩的，故d ＞x 2，故m 2g sin θ＜kd ，故A 错误；物块A 的加速度a ＝F －kx 2－m 1g sin θm 1， 开始弹簧处于压缩状态，压缩量x 1＝m 1g sin θk ，又x 1＋x 2＝d ，解得a ＝F －kd m 1，故B 正确；由于速度v 与重力夹角不为零，故重力的瞬时功率等于m 1g v sin θ，则由m 1g sin θ＝kx 1、m 2g sin θ＝kx 2及x 1＋x 2＝d 得，m 1g sin θ＋m 2g sin θ＝kd ，所以重力做功的功率P ＝(kd －m 2g sin θ)v ，故C 正确；当物块B 刚要离开C 时，弹簧的弹力为m 2g sin θ，则弹力对物块A 做功的功率为m 2g sin θ·v ，故D 错误．二、非选择题11．汽车发动机的额定功率为60 kW ，汽车质量为5 t ．汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍．(g 取10 m/s 2)(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到5 m/s 时，其加速度是多少？(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s 2启动，则这一过程能维持多长时间？答案：(1)12 m/s 1.4 m/s 2 (2)16 s解析：(1)汽车前进的过程中阻力不变F 阻＝0.1mg ＝0.1×5×103×10 N ＝5×103 N牵引力等于阻力时，汽车达到最大速度：v m ＝P 0F 阻＝6×1045×103m/s ＝12 m/s当v ＝5 m/s 时，F 牵＝P 0v ＝6×1045 N ＝1.2×104 N所以此刻加速度a ＝F 牵－F 阻m ＝1.2×104－5×1035×103 m/s 2＝1.4 m/s 2. (2)当汽车以恒定加速度a ′＝0.5 m/s 2启动时所需恒定的牵引力 F ′牵＝ma ＋F 阻＝5×103×0.5 N ＋5×103 N ＝7.5×103 N当功率达到汽车额定功率时v ′＝P 0F ′牵＝6×1047.5×103m/s ＝8 m/s 匀加速运动持续时间t ′＝v ′a ′＝80.5 s ＝16 s. 12.如图是一架小型四旋翼无人机，它是一种能够垂直起降的遥控飞行器，具有体积小、使用灵活、飞行高度低、机动性强等优点．现进行试验：无人机从地面由静止开始以额定功率竖直向上起飞，经t ＝20 s 上升到h ＝47 m ，速度达到v ＝6 m/s 之后，不断调整功率继续上。

小题专练01函数、导数与不等式(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:函数的定义域,★)函数f (x )=√3-x+lg (2x +3)的定义域是( ).A .(-32,3)B .(-∞,3)C .(-32,+∞)D .(-3,-32)2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f (x )=12x 2+ax+b 在点(4,f (4))处的切线方程是2x-y+1=0,则( ). A . a=10,b=1B . a=-2,b=-9C . a=-2,b=9D . a=2,b=-93.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f (3x-1)<f (8)的x 的取值范围是( ). A .(-3,73)B .(-∞,-73)∪(3,+∞)C .(-73,3)D .(-∞,-3)∪(73,+∞)4.(考点:函数的图象,★★)函数f (x )=x 32x -4的图象大致为( ).5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f (x )={2x +6,x ≤0,x 2-2x +4,x >0.若函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为( ). A .(3,4)B .(-4,-3)C .[3,4]D .(3,6)6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a 与3b 的等比中项,则4a +1b的最小值为( ). A .4B .2C .34D .947.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f (x )=kx-sin x 在区间(-π6,π3)上单调递增,则实数k 的取值范围是( ). A .[1,+∞)B .[-12,+∞)C .(1,+∞)D .(12,+∞)8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f (x )的导函数为f'(x ),当x>0时,f'(x )+2f (x )x>0.若a=1e2f(-1e),b=14f(-12),c=f(-1),则a,b,c的大小关系为().A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. a<c<b二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p:1x-1>1,则p成立的一个必要不充分条件可以是().A.1<x<2B.-2<x<3C.-2<x<4D.-3<x<210.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是().A.f(x)=ln(√1+4x2-2x)B.f(x)=e x+e-xC.f(x)=x2+5D.f(x)=cos x11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则1x +1y可能的值为().A.3B.6C.7D.912.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是().A.-6B.-4C.4D.6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo g12(-x2-2x+3)的单调递增区间是,值域是. 14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围是.15.(考点:均值不等式,★★)函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m, n均大于0,则1m +1n的最小值为.16.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=13x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b= .答案解析：函数、导数与不等式(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:函数的定义域,★)函数f (x )=√3-x+lg (2x +3)的定义域是( ).A .(-32,3)B .(-∞,3)C .(-32,+∞)D .(-3,-32)【解析】要使函数有意义,则{3-x >0,2x +3>0,即{x <3,x >-32,即-32<x<3, 所以函数的定义域为(-32,3).故选A . 【答案】A2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f (x )=12x 2+ax+b 在点(4,f (4))处的切线方程是2x-y+1=0,则( ). A . a=10,b=1B . a=-2,b=-9C . a=-2,b=9D . a=2,b=-9【解析】因为f (x )=12x 2+ax+b ,所以f'(x )=x+a ,由题可知f'(4)=2,所以a=-2. 又切点坐标(4,f (4))满足切线方程2x-y+1=0,f (4)=b ,所以8-b+1=0,解得b=9. 故选C . 【答案】C3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f (3x-1)<f (8)的x 的取值范围是( ). A .(-3,73)B .(-∞,-73)∪(3,+∞)C .(-73,3)D .(-∞,-3)∪(73,+∞)【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数, 所以f (3x-1)<f (8)等价于f (|3x-1|)<f (8). 又因为f (x )在[0,+∞)上单调递减, 所以|3x-1|>8, 所以3x-1<-8或3x-1>8, 解得x<-73或x>3,故x 的取值范围为(-∞,-73)∪(3,+∞).故选B . 【答案】B4.(考点:函数的图象,★★)函数f (x )=x 32x -4的图象大致为( ).【解析】由题意,函数f (x )=x 32x -4的定义域为{x|x ∈R,x ≠2},排除A;又f (1)<0,排除C;f (-1)>0,排除D.故选B .【答案】B5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f (x )={2x +6,x ≤0,x 2-2x +4,x >0.若函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为( ). A .(3,4)B .(-4,-3)C .[3,4]D .(3,6)【解析】函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点等价于函数y=f (x )与y=m 的图象有三个不同的交点,作出函数f (x )的图象如图所示.函数y=m 的图象为水平的直线,由图象可知,当m ∈(3,4)时,两函数的图象有三个不同的交点,即函数g (x )有三个不同的零点.故选A . 【答案】A6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a 与3b 的等比中项,则4a +1b 的最小值为( ). A .4B .2C .34D .94【解析】因为9是3a 与3b 的等比中项, 所以3a ·3b =3a+b =92,即a+b=4, 所以4a +1b =14(a+b )(4a +1b )=54+144b a +ab≥54+14×4=94, 当且仅当4b a =ab ,即a=83,b=43时,等号成立,所以4a +1b的最小值为94.故选D . 【答案】D7.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f (x )=kx-sin x 在区间(-π6,π3)上单调递增,则实数k 的取值范围是( ). A .[1,+∞)B .[-12,+∞)C .(1,+∞)D .(12,+∞)【解析】由题意可得f'(x )=k-cos x ,因为f (x )在(-π6,π3)上单调递增,所以f'(x )≥0在(-π6,π3)上恒成立,即f'(x )min =k-1≥0,所以k ≥1.故选A . 【答案】A8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f (x )的导函数为f'(x ),当x>0时,f'(x )+2f (x )x>0.若a=1e 2f (-1e ),b=14f (-12),c=f (-1),则a ,b ,c 的大小关系为( ). A . a<b<cB . c<b<aC . c<a<bD . a<c<b【解析】令g (x )=x 2f (x ),则g'(x )=2xf (x )+x 2f'(x ).由题意可知当x>0时,2xf (x )+x 2f'(x )>0,即当x>0时,g'(x )>0,所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递增.又函数f (x )为奇函数,所以g (-x )=(-x )2·f (-x )=-x 2·f (x )=-g (x ),所以函数g (x )为奇函数,所以当x<0时,函数g (x )单调递增.因为-1e >-12>-1,所以g (-1e )>g -12>g (-1),所以a>b>c. 【答案】B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p :1x -1>1,则p 成立的一个必要不充分条件可以是( ). A .1<x<2 B .-2<x<3 C .-2<x<4D .-3<x<2【解析】由1x -1>1⇔x -2x -1<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2,所以选项A 为p 成立的充要条件,选项B 、C 、D 为p 成立的必要不充分条件. 【答案】BCD10.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( ). A .f (x )=ln(√1+4x 2-2x )B .f (x )=e x +e -xC .f (x )=x 2+5D .f (x )=cos x【解析】由题意,易知A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R,对于选项A,f(-x)+f(x)=ln(√1+4x2+2x)+ln(√1+4x2-2x)=0,则f(x)=ln(√1+4x2-2x)为奇函数,故选项A不符合题意;对于选项B,f(-x)=e-x+e x=f(x),即f(x)=e x+e-x为偶函数,当x∈(0,+∞)时,设t=e x(t>1),则y=t+1t,由对勾函数的性质可得,y=t+1t在t∈(1,+∞)时是增函数,又t=e x单调递增,所以f(x)=e x+e-x在(0,+∞)上单调递增,故选项B符合题意;对于选项C,f(-x)=(-x)2+5=x2+5=f(x),即f(x)=x2+5为偶函数,由二次函数的性质可知f(x)=x2+5在(0,+∞)上单调递增,故选项C符合题意;对于选项D,由余弦函数的性质可知y=cos x是偶函数,但不在(0,+∞)上单调递增,故选项D不符合题意.综上,BC正确.【答案】BC11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则1x +1y可能的值为().A.3B.6C.7D.9【解析】因为x,y都为正实数,所以1x +1y=x+2yx+x+2yy=3+2yx+xy≥3+2√2yx·xy=3+2√2(当且仅当2yx=xy,即x=√2y时取等号),显然6>3+2√2,7>3+2√2,9>3+2√2,故选项B,C,D符合题意.【答案】BCD12.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是().A.-6B.-4C.4D.6【解析】∵f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=-h(x),故h(x)=f(x)·g(x)为定义在R上的奇函数.∵当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,即当x<0时,h'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,∴h(x)=f(x)·g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,∴奇函数h(x)在区间(0,+∞)上也单调递减,如图,∵g(-5)=0,∴g(5)=0,∴h(-5)=h(5)=0,∴当x∈(-5,0)∪(5,+∞)时,h(x)=f(x)·g(x)<0.故选BD.【答案】BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo g12(-x2-2x+3)的单调递增区间是,值域是. 【解析】令t=-x2-2x+3,则由-x2-2x+3>0,可得-3<x<1.又因为y=lo g12t为减函数,而函数t=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.故f(x)=lo g12(-x2-2x+3)在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增.易知t=-x2-2x+3在区间(-3,1)上的值域为(0,4],故f(x)=lo g12t的值域为[-2,+∞).【答案】(-1,1)[-2,+∞)14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围是.【解析】由题意可得,f(x)图象的对称轴为直线x=-2(a+2),且满足-2(a+2)<4,解得a>-4.故实数a的取值范围为(-4,+∞).【答案】(-4,+∞)15.(考点:均值不等式,★★)函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m, n均大于0,则1m +1n的最小值为.【解析】由题意可得点A(4,2),代入mx+ny-2=0得4m+2n-2=0,即2m+n=1.所以1m +1n=(1m+1n)(2m+n)=3+nm+2mn≥3+2√nm·2mn=3+2√2,当且仅当nm=2mn,即m=1-√22,n=√2-1时等号成立.【答案】3+2√216.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=13x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b= .【解析】∵f(x)=13x3+2x2-5x+2,∴f'(x)=x2+4x-5.令f'(x)=0,解得x=-5或x=1.列表如下:∴a=f (-5)=1063,b=f (1)=-23,∴a+b=1063-23=1043.【答案】1043。

小题狂练21电场能的性质小题狂练○21小题是基础练小题提分快1．[2018·全国卷Ⅰ](多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V．一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV.下列说法正确的是()A．平面c上的电势为零B．该电子可能到达不了平面fC．该电子经过平面d时，其电势能为4 eVD．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍答案：AB解析：A对：因等势面间距相等，由U＝Ed得相邻虚线之间电势差相等，由a至d，eU ad＝6 eV，故U ad＝6 V；各虚线电势如图所示，因电场力做负功，故电场方向向右，沿电场线方向电势降低，φc＝0.B对：因电子的速度方向未知，若不垂直于等势面，如图中实线所示，电子可能到达不了平面f.C错：经过d时，电势能E p＝eφd＝2 eV.D错：由a到b，W ab＝E k b－E k a＝－2 eV，所以E k b＝8 eV；由a到d，W ad＝E k d－E k a＝－6 eV，所以E k d＝4 eV；则E k b＝2E k d，根据E k＝12mv2知v0＝2v d.2．[2019·广东省肇庆市鼎湖中学模拟]在电场中，下列说法正确的是()A．某点的电场强度大，该点的电势一定高B．某点的电势高，试探电荷在该点的电势能一定大C．某点的场强为零，试探电荷在该点的电势能一定为零D．某点的电势为零，试探电荷在该点的电势能一定为零答案：D解析：电势是人为规定的，其值与电场强度无关，电势能与零势能面的选取有关，与电场强度无关，A、C项错误；负电荷在高电势处比在低电势处电势能小，B项错误；根据E p＝qφ可知，电势为零，电势能为零，D项正确．3．[2019·江西省南昌模拟]在雷雨天气中，大树就相当于一带电荷量较大的点电荷，1和2是以树为圆心的同心圆．有甲、乙、丙、丁四头相同的牛按如图所示位置和方向分别站在地面上．由此可判断()A．牛丙所处位置的电场强度为零B．牛乙和牛丙两处电场强度相同C．牛丁处的电势一定高于牛乙处的电势D．牛甲前后脚电势差最大，处于最危险的状态答案：D解析：根据题述，由点电荷电场模型，及点电荷电场强度的特点，知题图中1、2两个同心圆可视为等势线．根据点电荷电场强度公式可知牛丙所处位置的电场强度不为零，选项A错误．根据点电荷电场强度公式可知，牛乙和牛丙所处位置的电场强度的方向不同，选项B 错误．题中没有说明大树带何种电荷，若大树带正电荷，根据正电荷电势分布特点，则牛丁处的电势高于牛乙处的电势，若大树带负电荷，则牛丁处的电势低于牛乙处的电势，选项C错误．应用点电荷电场特点分析可知，题图中牛丁虽然距离场源大树较近，所在位置的电场强度较大，但是牛丁前后脚都在同一等势线上，电势差为零，同理分析可知题图中牛乙前后脚间电势差为零，而牛甲和牛丙前后脚不在等势线上，且牛甲距离场源大树较近，所在位置的电场强度较大，前后脚之间的电场强度平均值大于牛丙前后脚之间的电场强度平均值，根据U＝Ed定性分析可知，牛甲前后脚电势差最大，根据欧姆定律I ＝U/R可知，牛甲身体中通过的电流最大，所以处于最危险的状态，选项D正确．4．[2019·东北三省四市模拟]如图所示，在直角坐标系xOy平面内存在一正点电荷，带电荷量为Q，坐标轴上有A、B、C三点，已知OA＝OB＝BC＝a，其中A点和B点的电势相等，O点和C点的电势相等，静电力常量为k ，则( )A ．点电荷位于O 点处B ．O 点电势比A 点电势高C ．C 点处的电场强度大小为kQ 2a 2D ．将正的试探电荷从A 点沿直线移动到C 点，电势能一直减小 答案：C解析：A 点和B 点的电势相等，根据点电荷电场的特点可知，点电荷位于A 点和B 点连线的垂直平分线上，O 点和C 点的电势相等，根据点电荷电场的特点可知，点电荷位于O 点和C 点连线的垂直平分线上，即正点电荷处于坐标(a ，a)处，选项A 错误；与O 点相比，A 点距离场源电荷较近，所以A 点电势比O 点电势高，选项B 错误；C 点到场源电荷的距离为r ＝2a ，根据点电荷电场强度公式，C 点处电场强度大小为E C ＝k Q r 2＝kQ 2a 2，选项C 正确；将正的试探电荷从A点沿直线移动到C 点电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，选项D 错误．5.[2019·江苏省扬州市高邮中学检测](多选)两个不规则带电导体间的电场线分布如图所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a 、b 、c 、d 为电场中几个点，并且a 、d 为紧靠导体表面的两点，选无穷远处为电势零点，则( )A ．场强大小关系有E c >E bB ．电势大小关系有φb >φdC ．将一负电荷放在d 点时其电势能为负值D ．将一正电荷由a 点移到d 点的过程中电场力做正功答案：ABD解析：从题图中可以看出c 点电场线较密，则场强大小关系有E c >E b ，A 正确；因为沿着电场线的方向电势降低，d 点紧靠带负电导体表面，电势大小关系有φb >φd ，B 正确；以无穷远处为电势零点，负电荷放在d 点时其电势能为正值，故C 错误；从题图中可以看出，a 点的电势高于b 点的电势，而b 点的电势又高于d 点的电势，所以a 点的电势高于d 点的电势，正电荷在电势高处电势能大，在电势低处电势能小，故正电荷从a 点移到d 点的过程中，电势能减小，则电场力做正功，故D 正确．6.[2019·浙江省五校联考]如图所示，电场中的一簇电场线关于y 轴对称分布，O 点是坐标原点，M 、N 、P 、Q 是以O 为圆心的一个圆周上的四个点，其中M 、N 在y 轴上，Q 点在x 轴上，则( )A ．M 点电势比P 点电势高B ．O 、M 间的电势差等于N 、O 间的电势差C ．一正电荷在O 点的电势能小于在Q 点的电势能D ．将一负电荷从M 点移到P 点，电场力做正功答案：D解析：根据电场线与等势线垂直的特点，在M 点所在电场线上M 点下方找到P 点的等势点，根据沿电场线电势降低可知，P 点的电势比M 点的电势高，故A 项错误；根据电场分布可知，O 、M 间的平均电场强度比N 、O 之间的平均电场强度小，故由U ＝Ed 定性分析可知，O 、M 间的电势差小于N 、O 间的电势差，故B 项错误；由以上分析，可知O 点电势高于Q 点，根据E p ＝qφ可知，正电荷在O 点时的电势能大于在Q 点时的电势能，故C 项错误；M 点的电势比P 点的电势低，负电荷从低电势处移动到高电势处电场力做正功，故D 项正确．7.[2019·河北省承德二中测试](多选)某静电场中，与x 轴重合的电场线的电势φ在x 轴上的分布如图所示．下列说法正确的是( )A ．在x 轴上，x 3处的电场强度最大B ．x 1处的电场强度大于x 4处的电场强度C ．负电荷从x 2处移到x 4处，电势能减小D ．电荷量为q 的正点电荷从x 3处移到x 4处，电场力做的功为q(φ2－φ1)答案：BD解析：φ－x 图象的斜率k ＝ΔφΔx ＝E ，即φ－x 图象的斜率的绝对值表示电场强度大小，在x 轴上，x 3处图象的斜率为零，表示电场强度为零；x 1处斜率的绝对值大于x 4处斜率的绝对值，所以x 1处的电场强度大于x 4处的电场强度，故A 错误，B 正确．由x 2处与x 4处的电势相等，可知负电荷从x 2处移到x 4处，电势能不变，故C 错误．x 3处的电势为φ2，x 4处的电势为φ1，则x 3到x 4的电势差U ＝φ2－φ1，根据电场力做功计算公式可得电荷量为q 的正点电荷从x 3移到x 4，电场力做的功为W ＝qU ＝q(φ2－φ1)，故D 正确．8．[2019·河南省南阳一中模拟](多选)如图所示为沿x 轴方向的电场强度E 随位置x 变化的关系图象，在x 轴负方向上的图象是直线，x 轴正方向为电场强度的方向，电子的电荷量为e(e>0)．则下列说法正确的是( )A ．原点O 处的电势最高，－x 1处的电势最低B ．电子在－x 2处和x 1处的电势能相等C ．将电子沿x 轴从坐标原点O 移到x 1处，电子的电势能增加D ．将电子沿x 轴从坐标原点O 移到－x 1处，电场力做的功为12eE 0x 1答案：CD解析：电场线沿x 轴正方向，由沿着电场线方向电势降低知，A 错误；在E －x 图象中，图象与x 轴所围成的面积表示电势差，由图象可以得出－x 2处与x 1处之间存在电势差，所以电子在－x 2处和x 1处具有的电势能不相等，B 错误；将电子沿x 轴从坐标原点O 移到x 1处，电子克服电场力做功，电子的电势能增加，C 正确；坐标原点O 与－x 1处之间的电势差为12E 0x 1，所以将电子沿x 轴从坐标原点O移到－x 1处，电场力做的功为12eE 0x 1，D 正确．9．[2019·河南省豫北六校联考]如图所示，半径为R 的均匀带正电薄球壳，壳内的电场强度处处为零，其球心位于坐标原点O ，一带正电的试探电荷靠近球壳表面处由静止释放沿坐标轴向右运动．下列关于坐标轴上某点电势φ、试探电荷在该点的动能E k 与离球心距离x 的关系图线，可能正确的是( )答案：A 解析：当x ≤R 时，电势是定值，当x>R 时，电势为φ＝k Q x ，所以A 项正确，B 项错误；试探电荷受到的库仑力F ＝k Qq x 2，而F ＝ΔE k Δx越来越小，所以C 、D 项错误．10．[2019·山东省实验中学检测]如图所示，质量可忽略的绝缘细杆做成正方体框架，边长为a ，框架的每个顶点固定着一个带电荷量为＋q 、质量为m 的小球，将这个框架静止放在足够粗糙的水平面上，水平面上方有水平向右的匀强电场(未画出)，场强为E ，下列说法正确的是( )A ．正方体中心位置处电场强度为零B ．上方四个小球受到的电场力的合力均相同C ．若以右下底边为轴把这个正方体向右侧翻转90°，系统电势能减少了6qEaD ．若以右下底边为轴把这个正方体向右侧翻转90°，系统电势能减少了8qEa答案：D解析：正方体中心位置处电场强度为E ，A 项错误；上方四个小球受到的电场力的合力方向不同，B 项错误；电场力做的功为系统电势能的减少量，且电场力做的功与路径无关，则有W ＝4qE·2a ，C 项错误，D 项正确．11.[2019·山东师大附中模拟](多选)如图所示，水平向右的匀强电场中，一带电粒子从A 点以竖直向上的初速度开始运动，经最高点B 后回到与A 在同一水平线上的C 点，粒子从A 到B 过程中克服重力做的功为2.0 J ，电场力做的功为3.0 J ，则( )A ．粒子在A 点的电势能比在C 点多12.0 JB ．粒子在A 点的动能比在B 点多1.0 JC ．粒子在A 点的机械能比在C 点少12.0 JD ．粒子在C 点的动能为12.0 J答案：AC解析：将粒子的运动沿水平和竖直方向正交分解，水平分运动为初速度为零的匀加速直线运动，竖直分运动为匀变速直线运动，对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的前两段时间间隔内位移之比为13，粒子从A 到B 过程中，电场力做的功为3.0 J ，粒子从B 到C 过程中，电场力做的功为9.0 J ，故粒子从A 到C 过程中，电场力做的功为12 J ，粒子机械能增加，粒子在A 点的机械能比在C 点少12.0 J ，粒子从A 到C 过程中，电势能减少12.0 J ，粒子在A 点的电势能比在C 点多12.0 J ，故A 、C 项正确；粒子从A 到B 过程中克服重力做的功为2.0 J ，电场力做的功为3.0 J ，合外力做的功为1.0 J ，粒子在A 点的动能比在B 点小1.0 J ，故B 项错误；粒子从A 到C 过程中，电场力做的功为12 J ，重力势能不变，粒子在C 点的动能大于12.0 J ，故D 项错误．12．[2019·湖北省武汉调研](多选)如图所示，空间分布着匀强电场，场中有与电场方向平行的四边形ABCD ，其中M 为AD 的中点，N 为BC 的中点．将电荷量为＋q 的粒子，从A 点移动到B 点，电势能减小E 1；将该粒子从D 点移动到C 点，电势能减小E 2.下列说法正确的是( )A ．D 点的电势一定比A 点的电势高B ．匀强电场的电场强度方向必沿DC 方向C ．若A 、B 之间的距离为d ，则该电场的电场强度的最小值为E 1qdD ．若将该粒子从M 点移动到N 点，电场力做的功为E 1＋E 22答案：CD解析：根据题述，将电荷量为＋q 的粒子从A 点移动到B 点，电势能减小E 1，可知电场力做的功W 1＝E 1，A 点电势高于B 点电势，且A 、B 两点间电势差为U 1＝E 1q ，将电荷量为＋q 的粒子从D 点移动到C 点，电势能减小E 2，可知电场力做的功W 2＝E 2，D 点电势高于C 点电势，且D 、C 两点间电势差为U 2＝E 2q ，不能判断出D 点的电势一定比A 点的电势高，也不能判断出匀强电场的方向必沿DC 方向，选项AB 错误；若A 、B 之间的距离为d ，电场方向沿AB 方向，则该电场的电场强度最小，由E ＝U d 可知电场强度最小值为E min ＝U 1d ＝E 1dq ，选项C 正确；根据在匀强电场中沿两平行线等长距离电势差相等，可知M 、N 两点之间的电势差为U ＝12(U 1＋U 2)＝12q (E 1＋E 2)，若将电荷量为＋q 的粒子从M 点移动到N 点，电场力做的功为W ＝qU＝12(E 1＋E 2)，选项D 正确．13．[2019·广东省肇庆模拟](多选)如图a 所示，光滑绝缘水平面上有甲、乙两个点电荷．t ＝0时，甲静止，乙以大小为6 m /s 的初速度向甲运动．此后，它们仅在静电力的作用下沿同一直线运动(整个运动过程中没有接触)，它们运动的v －t 图象如图b 所示．则由图线可知( )A ．两电荷的电性一定相反B ．t 1时刻两电荷的电势能最大C ．0～t 2时间内，两电荷间的静电力先增大后减小D ．0～t 3时间内，甲的动能一直增大，乙的动能一直减小答案：BC解析：由题图b 可知，开始时乙做减速运动，甲做初速度为0的加速运动，则两个电荷的电性一定相同，A 选项错误；在t 1时刻，两个电荷共速，两个电荷间的距离最小，故在间距减小的过程中，电荷始终克服电场力做功，以后两电荷的距离逐渐增大，电场力做正功，故间距最小时两电荷的电势能最大，B 选项正确；在0～t 2时间内，两电荷间的距离先减小后增大，故它们之间的静电力先增大后减小，C 选项正确；0～t 3时间内，甲的速度一直增大，故它的动能一直增大，而乙的速度先减小后反向增大，故它的动能也是先减小后增大，D 选项错误．14．[2019·重庆市巴蜀中学检测](多选)如图所示，竖直平面内有一个圆，BD是其竖直直径，AC是其另一条直径，该圆处于匀强电场中，场强方向平行于圆周所在平面．带等量负电荷的相同小球从圆心O以相同的初动能沿不同方向射出，小球会经过圆周上不同的点，其中通过圆周上A点的小球动能最小，忽略空气阻力，下列说法中正确的是()A．电场方向沿OA方向B．小球经过圆周上的不同点时，过B点的小球的动能和电势能之和最小C．小球经过圆周上的不同点时，过C点的小球的电势能和重力势能之和最小D．小球经过圆周上的不同点时，机械能最小的小球应经过劣弧CD上的某一点答案：BC解析：在这个电场中，小球受到两个力：重力和电场力，在A 点动能最小，那说明速度最小，说明OA方向发射的小球克服合力做的功最大，也就是说在这个复合场中，合力方向指向OC方向，对O 点小球受力分析，重力竖直向下，合力方向指向OC，电场力方向指向OB与OC之间，即电场方向应该是由O指向劣弧AD方向，故A 项错误；由于只有重力和电场力做功，故任何点的小球动能、重力势能和电势能的和是定值，故B点重力势能最大，过B点的小球的动能和电势能之和最小，故B项正确；从O到C合力做的功最多，故过C点的小球动能最大，所以过C点的小球电势能和重力势能之和最小，故C项正确；机械能最小则电势能最大，负电荷沿着电场线方向，电场力做负功，电势能增大，所以应该在劣弧AD之间，D项错误．15.[2019·江苏省扬州中学考试](多选)如图所示，一半径为R的均匀带正电圆环水平放置，环心为O，在O正上方h高的A点与A′点关于O 对称．质量为m 的带正电的小球从A 点静止释放，并穿过带电圆环．则小球从A 点到A ′点过程中加速度a 、重力势能E p G 、机械能E 、电势能E p 电随位置变化的图象可能正确的是(取O 点为坐标原点且重力势能为零，向下为正方向，无限远处电势为零)( )答案：ABC解析：在O 点所受电场力为零，加速度为g ，在O 点下方，电场力方向向下，沿OA ′方向可能先增大后减小，在O 点上方，电场力方向向上，沿OA 方向可能先增大后减小，根据牛顿第二定律有a＝mg ＋F m ，可知A 选项正确；因为重力势能为E p G ＝－mgh ，所以B 选项正确；小球从A 到圆环中心的过程中，电场力做负功，机械能减小，穿过圆环后，电场力做正功，机械能增大，所以C 选项正确；由于电场力大小是变化的，所以电势能不可能随h 线性变化，所以D 选项错误．16. 如图所示，在水平地面上竖直固定一绝缘弹簧，弹簧中心直线的正上方固定一个带电小球Q ，现将与Q 带同种电荷的小球P 从直线上的N 点由静止释放，在小球P 与弹簧接触到速度变为零的过程中，下列说法中正确的是( )A ．小球P 的电势能先减小后增加B ．小球P 与弹簧组成的系统机械能一定增加C ．小球动能的减少量等于电场力和重力做功的代数和D ．小球P 速度最大时所受弹簧弹力和电场力的合力为零答案：B解析：在小球P 与弹簧接触到速度变为零的过程中，电场力对小球P 一直做正功，小球P 的电势能一直减小，小球P 与弹簧组成的系统机械能一定增加，B 正确，A 错误；小球动能的减少量等于弹簧弹力、电场力和重力做功的代数和，C 错误；小球P 速度最大时所受重力、弹簧弹力和电场力的合力为零，D 错误．课时测评○21 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题1．[2017·全国卷Ⅰ](多选)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r 的关系如图所示．电场中四个点a 、b 、c 和d 的电场强度大小分别为E a 、E b 、E c 和E d .点a 到点电荷的距离r a 与点a 的电势φa 已在图中用坐标(r a ，φa )标出，其余类推．现将一带正电的试探电荷由a 点依次经b 、c 点移动到d 点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为W ab 、W bc 和W cd .下列选项正确的是( )A ．E a ：E b ＝4：1B ．E c ：E d ＝2：1C ．W ab ：W bc ＝3：1D ．W bc ：W cd ＝1：3答案：AC解析：设点电荷的电荷量为Q ，根据点电荷电场强度公式E ＝k Q r 2，r a ：r b ＝1：2，r c ：r d ＝3：6，可知，E a ：E b ＝4：1，E c ：E d ＝4：1，选项A 正确，B 错误；将一带正电的试探电荷由a 点移动到b 点做的功W ab ＝q(φa －φb )＝3q(J )，试探电荷由b 点移动到c 点做的功W bc ＝q(φb －φc )＝q(J )，试探电荷由c 点移动到d 点做功W cd ＝q(φc －φd )＝q(J )，由此可知，W ab ：W bc ＝3：1，W bc ：W cd ＝1：1，选项C 正确，D 错误．2．[2017·全国卷Ⅲ](多选)一匀强电场的方向平行于xOy 平面，平面内a 、b 、c 三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V 、17 V 、26 V ．下列说法正确的是( )A ．电场强度的大小为2.5 V /cmB ．坐标原点处的电势为1 VC ．电子在a 点的电势能比在b 点的低7 eVD．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV答案：ABD解析：ac垂直于bc，沿ca和cd两方向的场强分量大小分别为E1＝U caac＝2 V/cm、E2＝U cdbc＝1.5 V/cm，根据矢量合成可知E＝2.5 V/cm，A项正确；根据在匀强电场中平行线上等距同向的两点间的电势差相等，有φ0－φa＝φb－φc，得φ0＝1 V，B项正确；a、b两点的电势差为－7 eV，故电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，C项错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝eU bc＝(－17 eV)－(－26 eV)＝9 eV，D正确．3.如图所示，a、b、c、d为正四面体的四个顶点，O点为d点在底面上的投影，在a、b两点分别放置等量的负点电荷，则() A．c点电势大于d点电势B．c、d两点的电场强度相同C．从O点沿Od移动负电荷，负电荷的电势能不断增大D．从c点沿cd移动正电荷，正电荷受到的电场力先做正功，后做负功答案：D解析：根据等量同种电荷电场线和等势面的性质可知，c、d两点的电势相等，故A错误；根据对称性，c、d两点的电场强度大小相等，但方向不同，故场强不同，故B错误；从O点沿Od移动负电荷，电场力做正功，负电荷的电势能不断减小，故C错误；沿cd移动正电荷，正电荷离a、b连线中点的距离先减小后增大，而正电荷所受的电场力始终指向a、b连线的中点，则电场力先做正功，后做负功，故D正确．4．(多选)某电场在直角坐标系中的电场线分布情况如图所示，O、M、N为电场中的三个点，则由图可得()A ．M 点的场强小于N 点的场强B ．M 点的电势低于N 点的电势C ．将一负电荷由O 点移到M 点电势能增加D ．将一正电荷从O 点分别移到M 点和N 点，电场力做功相同 答案：BC解析：根据电场线的疏密程度表示场强的大小可知M 点的场强大于N 点的场强，所以A 错误；根据沿着电场线的方向电势降低可知M 点的电势低于N 点的电势，所以B 正确；将一负电荷由O 点移到M 点，电场力做负功，电势能增加，所以C 正确；因为M 点的电势低于N 点的电势，所以将一正电荷从O 点分别移到M 点和N 点，电场力做功不相同，所以D 错误．5．[2019·广东惠州三调](多选)如图所示，在竖直平面内有一匀强电场，一带电荷量为＋q 、质量为m 的小球在力F(大小可以变化)的作用下沿图中虚线由A 至B 做竖直向上的匀速运动．已知力F 和A 、B 连线的夹角为θ，A 、B 间距离为d ，重力加速度为g.则( )A ．力F 大小的取值范围只能在0～mg cos θB ．电场强度E 的最小值为mg sin θqC ．小球从A 运动到B 电场力可能不做功D ．若电场强度E ＝mg tan θq 时，小球从A 运动到B 电势能变化量大小可能为2mgd sin 2θ答案：BCD解析：对小球进行受力分析，小球受到重力、拉力、电场力，因为小球做匀速直线运动，故小球受力平衡，合外力为0，则拉力与电场力的合力与重力大小相等、方向相反，受力分析图如图所示．当电场力垂直于F 斜向上时，电场强度最小，E min q ＝mg sin θ，E min ＝mg sin θq ，B正确；当电场强度竖直向上，且Eq ＝mg 时，F ＝0，当电场强度斜向下，方向越趋向于F 的反方向，力F 越大，F 没有最大值，A 错误；电场力的方向可能水平向右，此时tan θ＝Eq mg ，E ＝mg tan θq ，这种情况下，小球从A 运动到B 电场力不做功，C 正确；若电场强度为E ＝mg tan θq 时，qE ＝mg tan θ，则电场力可能为图中1或者图中2处，若电场力位于图中2处位置时，电场力做功W ＝qE sin 2θ·d ＝q·mg tan θqsin 2θ·d ＝2mgd sin 2θ，电场力做功大小等于电势能的变化量大小，D 正确．6.[2019·上海松江区模拟]静电场在x 轴上的场强E 随x 的变化关系如图所示，x 轴正方向为场强正方向，带正电的点电荷沿x 轴运动，则点电荷( )A ．在x 2和x 4处电势能相等B ．由x 1运动到x 3的过程中电势能增加C ．由x 1运动到x 4的过程中电势能先减少后增加D ．由x 1运动到x 4的过程中电场力先减小后增大答案：B解析：x 1～x 4场强方向沿x 轴负方向，则正电荷从x 2到x 4处逆着电场线方向，电势升高，则正点电荷在x 4处电场能较大，故A 错误；x1～x3处场强方向沿x轴负方向，则正电荷从x1到x3处逆着电场线方向移动，电势升高，电势能增加，故B正确；由x1运动到x4的过程中，逆着电场线方向，电势升高，正点电荷的电势能增加，故C错误；由x1运动到x4的过程中，场强的大小先增大后减小，故由F ＝qE知，电场力先增大后减小，故D错误．7．(多选)一带正电的粒子仅在电场力作用下从A点经B、C点运动到D 点，其v－t图象如图所示，则下列说法中正确的是() A．A点的电场强度一定大于B点的电场强度B．粒子在A点的电势能一定大于在B点的电势能C．C、D间各点电场强度和电势都为零D．A、B两点间的电势差大于C、B两点间的电势差答案：AB解析：由图线可看出，过A点的切线的斜率大于B点，即粒子在A点的加速度大于B点，故A点的电场强度一定大于B点的电场强度，选项A正确；粒子在B点的速度大于A点，故从A到B动能增加，电势能减小，即粒子在A点的电势能一定大于在B点的电势能，选项B正确；从C到D粒子做匀速运动，故C、D间各点电场强度为零，但是电势相等且不一定为零，选项C错误；从A到B和从C到B粒子动能的变化量相同，故电场力做功相同，即A、B两点间的电势差等于C、B两点间的电势差，选项D错误．8．[2019·湖南衡阳模拟]两个等量同种点电荷固定于光滑绝缘水平面上，其连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示，一个电荷量为2 C、质量为1 kg的带正电的小物块从C点静止释放，其运动的v－t图象如图乙所示，其中B点处为整条图线切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)．则下列说法正确的是()A．B点为中垂线上电场强度最大的点，场强E＝0.2 N/CB．由C到A的过程中物块的电势能先减小后增大C．A、B两点间的电势差U AB＝5 V。