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特征值与特征向量、二次型

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第五章 特征值、特征向量及二次型

第五章 特征值、特征向量及二次型

第五章 特征值、特征向量及二次型一、填空题：1.设n 是λ阶可逆矩阵A 的一个特征值，则1-A 的一个特征值为 ；*A 的一个特征值为 ；mA 的一个特征值为 。

2.设3阶方阵A 的特征值为1321,2,1-==-=A 则λλλ特征值为 ；*A 的特征值为 ，2)(I A -的特征值为 。

3.n 阶零矩阵的全部特征向量为 。

4. 设32312123222132142244),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=λ正定，则λ的取值范围为 。

5.在4R 中与向量T )1,1,1,1(-，T )1,1,1,1(--，T )3,1,1,2(都正交的一个单位向量为 。

6.若A I A 则,2=的特征值为 。

二、选择题:1、方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2011相似于矩阵（ ）。

(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2001(B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211 (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001 (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011 2、实二次型AX X f T=正定的充要条件是（ ）。

(A) 0X 0X >≠AX T，有对于任意的(B)0>A (C) n 存在阶矩阵C C A C T=使得 (D) 负惯性指数为零 3、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 。

（A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要条件（C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分条件而非必要条件4、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10021411x A 且A 的特征值为0，1，2，则x =（ ）。

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45、对于n 阶矩阵A ，以下正确的结论是（ ）。

(A) 一定有n 个不同的特征值 (B) 存在可逆阵B ，使得AB B 1-为对角阵 (C) 它的特征值一定是正数 (D) 属于不同特征值的特征向量一定线性无关 三、将下列向量组正交化：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=931421111),,(321ααα （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=011101110111),,(321ααα四、求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------011101110五、设3阶方阵的特征值为1,0,1321-===λλλ，而且对应的特征向量分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=212,122,221321P P P ，求5,A A 。

考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一).doc

考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一).doc

考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一)(总分：52.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设A为n×m实矩阵，r(A)=n，则(A) AA T的行列式值不为零． (B) AA T必与单位矩阵相似．(C) A T A的行列式值不为零． (D) A T A必与单位矩阵相似．（分数：1.00）A.B.C.D.2.下列结论正确的是(A) 方阵A与其转置矩阵A T有相同的特征值，从而有相同的特征向量．(B) 任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵．(C) 对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的．(D) 设P T AP=B，若A为正定矩阵，|P|≠0，则B必为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.3.设n(n≥2)阶矩阵A的行列式|A|=a≠0，λ是A的一个特征值，A*为A的伴随矩阵，则A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是(A) λ-1a n-1． (B) λ-1a n-2． (C) λa n-2． (D) λa n-1．（分数：1.00）A.B.C.D.4.设A为m×n实矩阵，r(A)=n，则(A) A T A必合同于n阶单位矩阵． (B) AA T必等价于m阶单位矩阵．(C) A T A必相似于n阶单位矩阵． (D) AA T是m阶单位矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.5.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是(A) B-1Q T AQB． (B) (B-1)T Q T AQB-1．(C) B T Q T AQB． (D) BQ T AQ(B T)-1．（分数：1.00）A.B.C.D.6.设线性方程组(λE-A)x=0的两个不同解向量是ξ1，ξ2，则矩阵A的对应于特征值λ的特征向量必是(A) ξ1． (B) ξ2． (C) ξ1-ξ2． (D) ξ1+ξ2．（分数：1.00）A.B.C.D.7.设α，β是n维列向量，αTβ≠0，n阶方阵A=E+αβT(n≥3)，则在A的n个特征值中，必然(A) 有n个特征值等于1． (B) 有n-1个特征值等于1．(C) 有1个特征值等于1． (D) 没有1个特征值等于1．（分数：1.00）A.B.C.D.8.二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是1.00）A.B.C.D.9.设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是(A) A的n个特征向量两两正交．(B) A的n个特征向量组成单位正交向量组．(C) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=n-k．(D) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=k．（分数：1.00）A.B.C.D.10.设A为n阶矩阵，则在下列条件中，不是“A的特征值为-1”的充分条件的是(A) A2=E． (B) r(A+E)＜n．(C) A的各行元素之和均为-1． (D) A T=-A，且1是A的特征值．（分数：1.00）A.B.C.D.11.设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果(A) r(Ａ)=r(Ｂ)． (B) A，B为同型矩阵．(C) A，B的正惯性指数相等． (D) 上述三项同时成立．（分数：1.00）A.B.C.D.12. 1.00）A.B.C.D.13.设二次型f(x1，x2，…，x n)=x T Ax，其中A T=A，x=(x1，x2，…，x n)T，则f为正定二次型的充分必要条件是(A) f的负指数是0． (B) 存在正交矩阵Q，使Q T AQ=E．(C) f的秩为n． (D) 存在可逆矩阵C，使A=C T C．（分数：1.00）A.B.C.D.14.已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) A+B，A-B，AB是正定矩阵．(B) AB的特征值全大于零．(C) 若AB=BA，则AB是正定矩阵．(D) 对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.15.设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是(A) 矩阵A有n个不同的特征值．(B) 矩阵A与A T有相同的特征值和特征向量．(C) 矩阵A的特征向量α1，α2的线性组合c1α1+c2α2仍是A的特征向量．(D) 矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关．（分数：1.00）A.B.C.D.16.设A为n阶矩阵，则下列命题①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数②若A与单位矩阵合同，则|A|＞0⑧若|A|＞0，则A与单位矩阵合同④若A可逆，则A-1与A T合同中正确的个数是(A) 3个． (B) 2个． (C) 1个． (D) 0个．（分数：1.00）A.B.C.D.17.设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α2，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则(A) 当λ1=λ2时，α1与α2必成比例．(B) 当λ1=λ2时，α1与α2必不成比例．(C) 当λ1≠λ2时，α1与α2必成比例．(D) 当λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例．（分数：1.00）A.B.C.D.18.设A=(a ij)n×n为正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) a ij≥0(i=1，2，…，n)． (B) A-1为正定矩阵．(C) A*为正定矩阵． (D) 对任意正整数k，A k为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.19.设n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似，则下述结论中不正确的是(A) A-kE～Λ-kE(k为任意常数)． (B) A m～Λm(m为正整数)．(C) 若A可逆，则A-1～Λ-1． (D) 若A可逆，则A～E．（分数：1.00）A.B.C.D.20. 1.00）A.B.C.D.21.设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值A的特征向量，则下列结论中不正确的是(A) α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量．(B) α(C) α是矩阵A* 1.00）A.B.C.D.22.设A，B为n阶矩阵，则A与B相似的充分必要条件是(A) A，B都相似于对角矩阵． (B) |λE-A|=|λE-B|．(C) 存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=B． (D) 存在可逆矩阵P，使得AB T=P T B．（分数：1.00）A.B.C.D.23.1.00）A.B.C.D.24.正定实二次型的矩阵必是(A) 实对称矩阵且所有元素为正数． (B) 实对称矩阵且对角线上元素为正数．(C) 实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数． (D) 实反对称矩阵且行列式值为正数．（分数：1.00）A.B.C.D.25.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是(A) A有n个相异的特征值．(B) A T有n个相异的特征值．(C) A有n个相异的特征向量．(D) A的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同．（分数：1.00）A.B.C.D.26.设矩阵A与B相似，则必有(A) A，B同时可逆或不可逆． (B) A，B有相同的特征向量．(C) A，B均与同一个对角矩阵相似． (D) 矩阵λE-A与λE-B相等．（分数：1.00）A.B.C.D.27.A既相似又合同的是1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：18，分数：25.00)28. 1.00）填空项1:__________________29.若二次型f(x1，x2，x3 1.00）填空项1:__________________30.已知α=(1，3，2)T，β=(1，-1，2)T，B=αβT，苦矩阵A，B相似，则(2A+E)*的特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________31.设-1，5，λ 3.00）填空项1:__________________32.设n阶方阵A的各列元素之和都是1，则A的特征值是______．（分数：1.00）填空项1:__________________33.设AP=PB 2.00）填空项1:__________________34.设A是2阶实对称矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2是分别对应于λ1，λ2的单位特征向量，则矩阵B=A+ξ 1.00）填空项1:__________________35.设A为n阶可相似对角化的矩阵，且r(A-E)=r＜n，则A必有特征值λ=______，且其重数为______，其对应的线性无关的特征向量有______个．（分数：3.00）填空项1:__________________36.设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________37.设A为n阶方阵．A≠E，且r(A+3E)+r(A-E)=n，则A的一个特征值是 1，（分数：1.00）填空项1:__________________38. 2.00）填空项1:__________________39.若实对称矩阵A 1.00）填空项1:__________________40.若二次型1.00）填空项1:__________________41. 1.00）填空项1:__________________42. 2.00）填空项1:__________________43.设2阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，已知B=A2-3A+4E，则B=______．（分数：1.00）填空项1:__________________44.设A为n阶方阵，且A2-5A+6E=0，其中E为单位矩阵，则A的特征值只能是______．（分数：1.00）填空项1:__________________45. 1.00）填空项1:__________________。

考研数学三(矩阵的特征值与特征向量、二次型)-试卷1

考研数学三(矩阵的特征值与特征向量、二次型)-试卷1

考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、 填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设A 是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α 1 =(1，2，1) T与α 2 =(1，-1，1) T，则λ=2的特征向量是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T，t≠0．）解析：解析：设λ=2的特征向量是α=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交．故有所以λ=2的特征向量是t(-1，0，1) T，t≠0．2.已知x= 1，y= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0） 填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：由A ～B ，知，且-1是A3.已知矩阵a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1） 解析：解析：由A 的特征多项式 ｜λE-A ｜= =(λ+1) 3， 知矩阵A 的特征值是λ=-1(三重根)，因为A 只有2个线性无关的特征向量，故从而a=-1．4.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2+(x 2 -x 3 ) 2+(x 3 +x 1 ) 2的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2） 填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：解析：由于二次型的标准形是p=2．q=0．5.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x TAx=2x 2 2+2x 3 2+4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 的矩阵A= 1，规范形是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，6，-4；x 1 2+x 2 2-x 3 2）解析：解析：按定义，二次型矩阵A=．由特征多项式｜λE-A ｜λ-6)(λ-2)(λ+4)，知矩阵A 的特征值是：2，6，-4． 故正交变换下二次型的标准形是2y 21 +6y 22 -4y 23 ．所以规范形是x 21 +x 22 -x 23 ． 或，由配方法，有 f=2[x 2 2+2x 2 (x 1 +2x 3 )+(x 1 +2x 3 ) 2]+2x 3 2-4x 1 x 3 -2(x 1 +2x 3 ) 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2x 1 2-12x 1 x 3 -6x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 2+6x 1 x 3 +9x 32)+12x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 +3x 3 ) 2+12x 3 2， 亦知规范形是x 1 2+x 2 2-x 3 2．6.假设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x+ax 2 -2x 3 ) 2+(2x 2 +3x 3 ) 2+(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2正定，则a 的取值为 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：(x 1，x 2，x 3 )恒有平方和f(x 1，x 2，x 3)≥0，其中等号成立的充分必要条件是按正定定义，f正定=(x 1，x 2，3 ) T≠0，恒有f(x 1，x 2，x 3 )＞0．因此，本题中二次型f正定方程组(*)只有零解所以a的取值为a≠1．二、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

矩阵的特征值和特征向量二次型

矩阵的特征值和特征向量二次型

while 1
if isempty(e)
%若为空阵则为真
第17页，共58页。
return; end
d=e(1); f=sum(abs(e-d)<10*eps); %特征值d的代数重数 g=n-rank(A-d*eye(n)); %特征值d的几何重数 if f~=g y=0; return;
end
e(find(abs(e-d)<10*eps))=[ ]; end
(Trace)。 它 等 于 A的 主 对 角 元 素 的 和 。
第4页，共58页。
用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下：
d=eig(A) 仅计算A的特征值(以向量形式d存放)
[V,D]=eig(A)
其中：D为由特征值构成的对角阵，V
为由特征向量作为列向量构成的矩阵
。且使 AV=VD 成立
定 理 2： 实 对 称 矩 阵 A正 定 的 充 分 必 要 条 件 是 A的 特 征 值 都 大 于 零 。
第34页，共58页。
1. 顺序主子式判断法 ⑴ 求二次型 F=X’AX 的矩阵 A 的各阶顺序
y=0;
return;
end e(find(abs(e-d)<10*eps))=[ ]; end
第16页，共58页。
function y=trigle(A)
%可对角化返回1，否则返回0。
y=1;c=size(A);
if c(1)~=c(2)
y=0;
return
end
e=eig(A);n=length(A);
矩阵的特征值和特征 向量二次型
第1页，共58页。
实验目的
1、学会用MATLAB软件求矩阵的特征值

考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型.doc

考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型.doc

考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(总分：185.04，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设A=(a ij)n×n为正定矩阵，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.a ij≥0(i=1，2，…，n)．B.A-1为正定矩阵．C.A*为正定矩阵．D.对任意正整数k，A k为正定矩阵．2.设A，B为n阶矩阵，则A与B相似的充分必要条件是（分数：1.00）A.A，B都相似于对角矩阵．B.|λE-A|=|λE-B|．C.D.3.设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.矩阵A有n个不同的特征值．B.矩阵A与A T有相同的特征值和特征向量．C.矩阵A的特征向量α1，α2的线性组合c1α1+c2α2仍是A的特征向量．D.矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关．4. 1.00）A.B.C.D.5. 1.00）A.B.C.D.6.已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.A+B，A-B，AB是正定矩阵．B.AB的特征值全大于零．C.若AB=BA，则AB是正定矩阵．D.对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．7.下列结论正确的是（分数：1.00）A.方阵A与其转置矩阵A T有相同的特征值，从而有相同的特征向量．B.任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵．C.对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的．D.设P T AP=B，若A为正定矩阵，|P|≠0，则B必为正定矩阵．8.设线性方程组(λE-A)x=0的两个不同解向量是ξ1，ξ2，则矩阵A的对应于特征值λ的特征向量必是（分数：1.00）A.ξ1．B.ξ2．C.ξ1-ξ2．D.ξ1+ξ2．9.设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值A的特征向量，则下列结论中不正确的是1.00）A.α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量．B.αC.α是矩阵A*D.α是矩阵P-1A的属于特征值A的特征向量，其中P为n阶可逆矩阵．10.设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.A的n个特征向量两两正交．B.A的n个特征向量组成单位正交向量组．C.) A的kD.) A11.二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是1.00）12.设A为n阶矩阵，则在下列条件中，不是“A的特征值为-1”的充分条件的是（分数：1.00）A.A2=E．B.r(A+E)＜n．C.A的各行元素之和均为-1．D.A T=-A，且1是A的特征值．13.设α，β是n维列向量，αTβ≠0，n阶方阵A=E+αβT(n≥3)，则在A的n个特征值中，必然（分数：1.00）A.有n个特征值等于1．B.有n-1个特征值等于1．C.有1个特征值等于1．D.没有1个特征值等于1．14.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是（分数：1.00）A.A有n个相异的特征值．B.A T有n个相异的特征值．C.A有n个相异的特征向量．D.A的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同．15.设n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似，则下述结论中不正确的是（分数：1.00）A.A-kE～Λ-kE(k为任意常数)．B.A m～Λm(m为正整数)．C.若A可逆，则A-1～Λ-1．D.若A可逆，则A～E．16.设A为m×n实矩阵，r（分数：1.00）A.=n，则(A) A T A必合同于n阶单位矩阵．B.AA T必等价于m阶单位矩阵．C.A T A必相似于n阶单位矩阵．D.AA T是m阶单位矩阵．17.设A为n阶矩阵，则下列命题①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数②若A与单位矩阵合同，则|A|＞0⑧若|A|＞0，则A与单位矩阵合同④若A可逆，则A-1与A T合同中正确的个数是（分数：1.00）A.3个．B.2个．C.1个．D.0个．18.设A为n×m实矩阵，r（分数：1.00）A.=n，则(A) AA T的行列式值不为零．B.AA T必与单位矩阵相似．C.A T A的行列式值不为零．D.A T A必与单位矩阵相似．19.设n(n≥2)阶矩阵A的行列式|A|=a≠0，λ是A的一个特征值，A*为A的伴随矩阵，则A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是（分数：1.00）A.λ-1a n-1．B.λ-1a n-2．C.λa n-2．D.λa n-1．20.设二次型f(x1，x2，…，x n)=x T Ax，其中A T=A，x=(x1，x2，…，x n)T，则f为正定二次型的充分必要条件是（分数：1.00）A.f的负指数是0．B.存在正交矩阵Q，使Q T AQ=E．C.f的秩为n．D.21.设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果（分数：1.00）A.r(Ａ)=r(Ｂ)．B.A，B为同型矩阵．C.A，B的正惯性指数相等．D.上述三项同时成立．22.设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α2，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则（分数：1.00）A.当λ1=λ2时，α1与α2必成比例．B.当λ1=λ2时，α1与α2必不成比例．C.当λ1≠λ2时，α1与α2必成比例．D.当λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例．23.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是（分数：1.00）A.B-1Q T AQB．B.(B-1)T Q T AQB-1．C.D.BQ T AQ(B T)-1．24.1.00）A.B.C.D.25.A既相似又合同的是1.00）A.B.C.D.26.正定实二次型的矩阵必是（分数：1.00）A.实对称矩阵且所有元素为正数．B.实对称矩阵且对角线上元素为正数．C.实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数．D.实反对称矩阵且行列式值为正数．27.设矩阵A与B相似，则必有（分数：1.00）A.A，B同时可逆或不可逆．B.A，B有相同的特征向量．C.A，B均与同一个对角矩阵相似．D.矩阵λE-A与λE-B相等．二、填空题(总题数：24，分数：35.00)28.已知α=(1，3，2)T，β=(1，-1，2)T，B=αβT，苦矩阵A，B相似，则(2A+E)*的特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________29.设4阶方阵A满足|3E+A|=0，AA T=2E，|A|＜0，其中E是4阶单位矩阵，则方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________30.设n阶方阵A的各列元素之和都是1，则A的特征值是______．（分数：1.00）填空项1:__________________31.设A为n阶方阵，且A2-5A+6E=0，其中E为单位矩阵，则A的特征值只能是______．（分数：1.00）填空项1:__________________32.设A为n阶方阵．A≠E，且r(A+3E)+r(A-E)=n，则A的一个特征值是 1，（分数：1.00）填空项1:__________________33. 1.00）填空项1:__________________34.设A为n阶可相似对角化的矩阵，且r(A-E)=r＜n，则A必有特征值λ=______，且其重数为______，其对应的线性无关的特征向量有______个．（分数：3.00）填空项1:__________________35.设AP=PB 2.00）填空项1:__________________36.设A是2阶实对称矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2是分别对应于λ1，λ2的单位特征向量，则矩阵B=A+ξ 1.00）填空项1:__________________37. 2.00）填空项1:__________________38. 1.00）填空项1:__________________39. 1.00）填空项1:__________________40.已知3阶方阵A的特征值为1，-1，0，对应的特征向量分别为α1=(1，0，-1)T，α2=(0，3，2)T，α3=(-2，-1，1)T，则矩阵A=______．（分数：1.00）填空项1:__________________41.设2阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，已知B=A2-3A+4E，则B=______．（分数：1.00）填空项1:__________________42.设-1，5，λ 3.00）填空项1:__________________43.设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________44.f(x1，x2，x3，x4A=______(Ⅱ 3.00）填空项1:__________________45. 2.00）填空项1:__________________46.若二次型f(x1，x2，x3 1.00）填空项1:__________________47. 2.00）填空项1:__________________48. 2.00）填空项1:__________________49.若二次型1.00）填空项1:__________________50.若实对称矩阵A 1.00）填空项1:__________________51.设A为n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，已知(A-E)B=0，(A+2E)C=0，r(B) +r(C) =n，且r(B) =r，则二次型x T Ax的标准形为______．（分数：1.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：24，分数：123.00)52.已知矩阵A=(a ij)n×n的秩为n-1，求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 53.已知n阶矩阵A的每行元素之和为a，求A的一个特征值，并求A k的每行元素之和，其中k为正整数．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 54.设A是3阶矩阵，λ0是A的特征值，对应的特征向量为ξ=(1，1，1)T，已知|A|=1，又A*是A的伴随矩阵，且5.00）__________________________________________________________________________________________ 已知A=E+αβT，其中α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3，)T，且αTβ=2．（分数：5.01）(1).求矩阵A的特征值与特征向量；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (2).证明A可逆，并求A-1；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (3).求行列式|A*+E|的值．（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ 设A和B均是n阶非零方阵，且满足A2=A，B2=B，AB=BA=0．证明：（分数：5.00）(1).0和1必是A和B的特征值；（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是β的属于特征值0的特征向量．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 设A，B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0，B2+B=0，证明：（分数：5.00）(1).-1是A，B的特征值；（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).若AB=BA=0，ξ1，ξ2分别是A，B的对应于特征值λ=-1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________设A是4阶矩阵，λ=0是A 5.00）(1). 2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).问s，t满足什么条件时，sη1+tη2是A的对应于λ=0的特征向量．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________55.设A是3阶实对称阵，满足|A+2E|=0，AB=A 5.00）__________________________________________________________________________________________ 已知n阶非零矩阵A1，A2，A3满足5.01）(1).证明：A i(i=1，2，3)的特征值有且仅有1和0；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (2).证明：A i属于λ=1的特征向量是A j属于λ=0的特征向量(i≠j)；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (3).若α1，α2，α3分别是A1，A2，A3属于λ=1的特征向量，证明α1，α2，α3线性无关．（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________已知2 5.00）(1).若|A|＜0，判断A可否对角化，并说明理由；（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).若ad-bc=1，|a+d|＞2，判断A可否对角化，并说明理由．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________5.00）(1).求参数a，b的值；（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).问A能否相似于对角阵?说明理由．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________56.设3r(A) ＜3，并已知矩阵B有3个特征值λ1=1，λ2=-1，λ3=0，对应的特征向量分别为5.00）__________________________________________________________________________________________57. 5.00）__________________________________________________________________________________________ 设α，β是3维单位正交列向量，令A=αβT+βαT，证明：（分数：5.01）(1).|A|=0；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________(2).α+β，α-β是A的特征向量；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (3).A相似于对角阵，并写出该对角阵．（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=8，λ2=λ3=2，矩阵A属于特征值λ1=8的特征向量为α1=(1，k，1)T，属于特征值λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(-1，1，0)T．（分数：8.00）(1).求参数k及λ2=λ3=2的另一个特征向量；（分数：4.00）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，a，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(0，1，-1)T都是矩阵A属于特征值6的特征向量．（分数：5.01）(1).求a的值；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (2).求A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (3).若β=(-2，2，-1)T，求A nβ．（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ 58.求一正交变换，将二次型5.00）__________________________________________________________________________________________59. 5.00）__________________________________________________________________________________________60. 5.00）__________________________________________________________________________________________61.已知A为3阶实对称矩阵，二次型f=x T Ax经正交变换x=Qy Q=(α1，α2，α3)，5.00）__________________________________________________________________________________________ 62.已知(1，-1，0)T是二次型5.00）__________________________________________________________________________________________5.00）(1).试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用坐标变换；（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).如果A*+kE是正定矩阵，求k的取值．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________63.已知二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax经正交变换x=Py P的第1数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 64.设A为n×n实对称矩阵，证明：r(A) =n的充分必要条件是存在n×n实矩阵B，使得AB+B T A正定，其中B T为B的转置．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________。

特征值、特征向量与二次型

特征值、特征向量与二次型

4、特征多项式性质 1）、若x是A的对应于λ的特征向量，则对于任意k ≠ 0, kx也是A的对应于λ的特征向量. 2）、设λ1, λ2是方阵A的两个不同特征值， p1, p2分别 是与之对应的特征向量，则p1+ p2不是A的特征向量 3）、方阵A的对应于λ的特征向量不是唯一的, 而是有 的对应于λ 无限多个. 4）、对于方阵A的对应于λ的所有特征向量, 其非零的 的对应于λ 非零的
3）、以这n个两两正交的单位特征向量为列向量构 成正交矩阵P,这时P-1AP = PTAP = Λ,其中对角方阵Λ 的元素排列顺序依次与P的列向量的排列顺序相对应 三、二次型及其标准形 1、实二次型及矩阵 含n个变量的二次齐次函数
f (x1, x2 ,L, xn )
= a x + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +L+ 2a1n x1xn 2 + a22 x2 + 2a23x2 x3 +L+ 2a2n x2 xn +L 2 + ann xn
Step1 计算A的特征多项式|A - λE|. Step2 令|A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值. Step3 对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有非零解即得A的对应于λ的全部特 征向量. 更具体地说, 先求出(A - λE)x = 0的一个基础解系ξ1, ξ2,…, ξn-r,其所有非零的线性组合k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn(只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于λ的全部 k 0) A r( 特征向量, 其中R(A) = r.
线性组合 k x + k x +L+ k x 1 1 2 2 m m 也是A的对应于λ的特征向量. 的对应于λ

二次型

2 T
= y T
2
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f = xT Ax , 求出 A;
2. 求出A的所有特征值 λ1 , λ 2 ,L, λ n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量 ξ 1 ,ξ 2 ,L ,ξ n ;
且有
2 2 2 f = 9 y1 + 18 y 2 + 18 y 3 .
此时， 表示椭球面。 此时，容易看出 f = 2 表示椭球面。
例5 求一个正交变换 x = Py , 把二次型
f = 2 x1 x 2 + 2 x 1 x 3 − 2 x1 x 4 − 2 x 2 x 3 + 2 x 2 x4 + 2 x3 x4 化为标准形 . 解
1 1 − 1 0 0 −1 1 1 , 二次型的矩阵为 A = 1 −1 0 1 −1 1 1 0
它的特征多项式为
− λ −1 A − λI = . 1 −1 − λ 1 1 −λ −1 1 计算特征多项式 : 把二, 三,四列都加到第一列上 , 有
3．将特征向量正交化 < α 2 ,ξ 3 > α2, 取 α 1 = ξ 1 , α 2 = ξ 2 , α 3 = ξ3 − < α 2 ,α 2 > 得正交向量组 T = (1 2 , 1, 1) , α 2 = ( − 2 ,1,0 )T , α1
α 3 = ( − 2 5,− 4 5,1) .
a11 a12 a21 a22 = ( x1 , x2 ,L, xn ) L L a n1 an 2
L L L L
a1n x1 a2n x2 L M ann xn

特征值特征向量


Fibonacci（斐波那契）数列
三、二次型
1 二次型及矩阵表示
f ( x1 ,
2 , xn )=a11 x1 + 2 +ann xn +2a12 x1 x2 +
+2an-1,n xn-1 xn
设A=(aij )nn，则A为实对称阵，x ( x1 ,
, xn )
T
则上述二次型也可记为 f ( x1 , , xn )=x Ax
2
例23 已知二次型f x Ax在正交变换x Qy
T
下的标准型为y1 y2 , 且Q的第三列为
2 2 T
2 2 0 , 2 2 （1）求A ；
（2）证明A I 是正定阵.
例24 二次型 f (x1 , x2 , x3 ) (x1 +x2 ) +(x2 -x3 ) +(x3 +x1 )
11）若n阶矩阵A的各行元素之和均为k，则k一定 是A的特征值，对应的特征向量为(1,1,
-1 -1 -1
,1)T .
若A可逆，则k 是A 的特征值，A 的各行元素之 和为k -1 .
例1 设A为5阶方阵，且已知r ( A - I ) 3, r ( A - 2 I ) 2，求 A .
例2 设A为3阶方阵，且 A - I 0, A+2 I = 2 A+3 I 0，求 2 A -3 I .
2
(7) A的各阶顺序主子式都为正数.
当正定矩阵有参数
Hale Waihona Puke 3) 正定矩阵的性质若A为正定矩阵，则有以下结论：
(1) A的主对角元aii >0, i =1,2, 且 A >0，于是A可逆；

特征向量 二次型

特征向量二次型特征向量是线性代数中的重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用。

而二次型则是特征向量的一个重要应用，它在几何学、物理学、经济学等领域中都有着重要的作用。

我们来了解一下什么是特征向量。

在线性代数中，特征向量是指在线性变换下，仅由一个标量因子进行缩放的非零向量。

简单来说，特征向量是指在线性变换后，方向不变的向量。

特征向量通常与特征值一起使用，特征值表示特征向量的缩放因子。

特征向量和特征值是线性代数中一对非常重要的概念，它们可以帮助我们理解线性变换的性质和特点。

而二次型则是特征向量的一个重要应用。

二次型是指由多个变量的平方和与变量的乘积构成的多项式。

二次型在数学中有着广泛的应用，特别是在矩阵理论中。

矩阵可以看作是一个特殊的线性变换，而二次型则是矩阵的一个重要特性。

通过对矩阵进行特征值分解，我们可以将二次型转化为一个对角矩阵，从而更好地理解和分析二次型的性质。

特征向量和二次型在几何学中也有重要的应用。

通过特征向量和特征值，我们可以将线性变换表示为对空间的拉伸、压缩和旋转，并且可以确定变换的方向和比例。

而二次型则可以表示为二次曲线或者二次曲面，通过分析二次型的特征向量和特征值，我们可以了解曲线或曲面的形状、方向和比例。

在物理学中，特征向量和二次型也有广泛的应用。

例如，在量子力学中，量子态可以表示为一个特征向量，而量子测量的结果则对应着特征值。

通过分析特征向量和特征值，我们可以获得物理系统的能量、动量和自旋等性质。

在经济学中，特征向量和二次型也有着重要的应用。

例如，在投资组合理论中，我们可以使用特征向量和特征值来衡量不同资产之间的相关性和风险。

通过分析特征向量和特征值，我们可以找到最佳的投资组合，从而实现风险的最小化和收益的最大化。

特征向量和二次型是线性代数中的重要概念，它们在几何学、物理学、经济学等领域中都有着广泛的应用。

通过分析特征向量和特征值，我们可以更好地理解和分析线性变换、二次曲线和二次曲面的性质。

考研数学一-线性代数特征值与特征向量、二次型

考研数学一-线性代数特征值与特征向量、二次型(总分：138.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：7，分数：4.00)1.设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是∙ A.λ-1|A|n．∙ B.λ-1|A|．∙ C.λ|A|．∙ D.λ|A|n．（分数：0.50）A.B. √C.D.解析：2.设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于A．．B．．C．．D．．（分数：0.50）A.B. √C.D.解析：3.设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T属于特征值λ的特征向量是∙ A.P-1α．∙ B.P Tα．∙ C.Pα．∙ D.(P-1)Tα．（分数：0.50）A.B. √D.解析：4.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的（分数：0.50）A.充分必要条件．B.充分而非必要条件．√C.必要而非充分条件．D.既非充分也非必要条件．解析：5.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似．E为n阶单位矩阵，则（分数：0.50）A.λE-A=λE-B．B.A与B有相同的特征值和特征向量．C.A与B都相似于一个对角矩阵．D.对任意常数t，tE-A与tE-B相似．√解析：6.A相似于B，则r(A-2E)与r(A-E)之和等于（分数：0.50）A.2．B.3．C.4．√D.5．解析：7.设A，B为同阶可逆矩阵，则∙ A.AB=BA．∙ B.存在可逆矩阵P，使p-1AP=B．∙ C.存在可逆矩阵C，使C T AC=B．∙ D.存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.矩阵 1。

（分数：2.00）解析：49.矩阵 1。

（分数：2.00）10.若二次型t的取值范围是 1。

（分数：2.00）11.二次型f(x 1，x 2，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2的秩为 1。

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任给实二次型f X AX , 总有正交变换X TY , 使f 化为标准形
2 f 1 y1 2 y2 2
n y n,
2
其中 1, 2,
, n是f 的矩阵A (a ij )的特征值.
第一步 写出f 的矩阵A 第二步 求A的特征值
第三步 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 并将属于λi的特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 得单位正交特征向量组1 ,2 ,
(3)当A可逆时, 1
a m m, 1 A 是 A的特征值.
4.对角阵 D diag（1，2， ，n） 的特征值是1 , 2 , 5.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．

是 A 的特征值;
1

, n .
一、矩阵的相似
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使P1 AP B, 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.
[br 1 , a r ] br a r b1 b2 br 1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br 1 , br 1 ]
1 r 2 r
[b , a ] [b , a ]
那么b1 ,, br 两两正交, 且b1 ,, br 与a1 ,ar 等价.
1. 若A与B相似, 则Am与Bm相似 m为正整数 . A的多项式 ( A)与B的多项式 ( B)相似。 2、 相似矩阵的特征多项式相同, 从而特征值亦相同. 3、 若 n阶方阵A与对角阵 D diag（1，2， ，n） 相似，
则1 , 2 , , n即是A的n个特征值.
4, 若可逆矩阵P使P1 AP D=diag(1,2 , ,n ), k k 1 k k k 1 则 A PD P Pdiag (1 , 2 , , n )P ,
正定性的相关结论 n X R , 若X 0,则X AX 0 1)实二次型X AX 正定 2）(定理2) n元实二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 正定 秩 f ＝ n＝ p （ f 的正惯性指数）.
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.
4）正定二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的标准形为 d1 y12 d 2 y2 2 d n yn 2 , i 0, i 1,2, , n
,n
第五步
得到正交变换X=TY
T =(1 ,2 ,
,n )
正定二次型
定义 设有实二次型f ( x ) x T Ax, 如果对任何x 0,
都有f ( x ) 0(显然f (0) 0), 则称f为正定二次型, 并 称对称矩阵A是正定的 ; 如果对任何x 0, 都有f ( x ) 0, 则称f为负定二次型, 并称对称矩阵A是负定的.
相 似 实对称阵隐含的信息
一、特征值与特征向量
1. A E 0
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2 a1 n a2n 0
称未知数的一元n次方程 A E 0 为A的特征方程.
a nn
记f A E , 是的n次多项式, 称为方阵A的特征多项式. 2. 设 n 阶方阵 A aij 的特征值为1 , 2 , , n , 则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann ;
2 2 z z 规范形为 1 2
zn 2 .
等价描述： 实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同.
5）实二次型X´AX正定的充分必要条件是实对称 阵A的特征值都是正数 。 6）正定矩阵A的行列式大于0. n 二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) aij xij 是正定的充分 7） i , j 1 必要条件是实对称矩阵 A (a ) 的各阶顺序主子 ij nn 式都大于0。 n 8） 二次型 X AX aij xij 是负定的充分必要条件 是实对称矩阵 A (aij )nn的奇数阶顺序主子式都小 于0，而偶数阶顺序主子式都大于0。
g ( A)的所有特征值为g (1), g ( 2), g ( 3), A 5 E g( A) g(1) g( 1) g( 2) 72.
（2）单位化，取 b1 b2 br 1 , 2 , , r , b1 b2 br
那么 1 , 2 ,, r为一个正交单位向量组 .
上述由线性无关向量组 a1 ,, a r 构造出正交 向量组b1 ,, br的过程, 称为施密特正交化过程 .
四、实对称矩阵隐含的信息
(1)实对称矩阵的特征值为 实数.
（2）n阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量. （3）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交. （4）n阶实对称矩阵有n个两两正交的单位特征向量.
（5）对于n阶实对称矩阵A，一定有正交阵T，对角阵D，使得 T 1 AT T AT D
其中对角阵D对角线上的元素是T的各列所对应的特征值。
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化;
4. 将特征向量单位化.
5. 构造正交阵T.
n元二次型
T T 二次型可记作 f Ax , 其中 1、 x A A. A称为二次型f 的矩阵, f 称为对称阵A的二次型,
定义1 设有 n 维向量x ( x , x , 1 2
, xn ),
y ( y1, y2 ,
, yn ),
令 （x, y） x1 y1 x2 y2 xn yn
称 （x, y）列向量,内积可表示为（ : x, y） xT y.
对称阵A的秩称为二次型f 的秩.
二次型与它的矩阵是一一对应的．
2 只含平方项的二次型 f k 1 y1 k 2 y2 2 称为二次型的标准形. A与B合同： B C AC ，其中C可逆。
k r y2 r
定理 二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY A与B合同.
正交变换法化二次型为标准形
三、方阵对角化 1、 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是
A有n个线性无关的特征向量. 2、 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 如果是A的r重特征根，则有r线性无关的特征向量.
3、如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似． 4、 如果A的特征方程有r重根λ ，而λ 没有r个线性无关的特征向 量，则矩阵A不能对角化. 5、 实对称阵一定能对角化.
特征值、特征向量、 二次型
定义
求 法
定义 特征值 特征多项式 特征向量 不同特征值的特征向量线性无关 k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
特 征 值
性 质
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
概念 矩阵对角化 应用
i , j 1
例1 设A是3阶矩阵, 它的3个特征值为 1 1, 2 1, 3 2, 设B A3 5 A2, 求 B ; A 5E .
解 利用 A 1 2 n来计算 A . , 令f ( x ) x3 5 x2 , 因为 1 , 2 , 3 是A的全部特征值 所以f ( i)(1 i 3)是f ( A) A3 5 A2 B的全部特征值故 . B f ( A) f ( 1) f ( 2 ) f ( 3 ) ( 4)( 6)( 12) 288. 同理，令g ( x) x 5,
( 2) 12 n A .
显然，如果矩阵A可逆，则A的特征值不等于0.
3. 设 是A (a ij ) nn的特征值, 则 (1)也是 AT的特征值; (2) k是 Ak的特征值( k 为任意自然数); ( )是
( A)的特征值.其中 ( ) a 0 a1 ( A) a 0E a1A a m Am.
2. 如果x, y都是行向量,内积可表示为（ : x, y） xyT . 定义2 当（x, y） 0时, 称向量x与y 正交.
正交向量组：非零向量组中的向量两两正交。
定理1
正交的非零向量组一定线性无关。
三、Schmidt正交化规范化过程 （1）正交化，取 b1 a1 ， b1 , a2 b2 a2 b1 , b1 , b1 [b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
一、正交矩阵
定义1 如果矩阵A满足 : A1 A, 则A叫做正交矩阵。 1、n阶方阵A是正交阵的充要条件是 AA AA E;
2、单位阵E是正交阵; 3、两个n阶正交阵A，B的积AB是正交阵;
4、 A为正交矩阵的充要条件是A的行、列向量组都是两两正交 的单位向量．
二、向量的内积