数学-福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考试题(扫描版)

福建省厦门2017-2018学年高一12月月考数学试题（普及组）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}lg 3 5A x y x B x x ==-=≤，，则A B = （ ） A ．{}35x x <≤ B ．{}5x x ≥ C ．{}3x x < D ．R 2.下列函数中，既是奇函数，又在区间()0 +∞，上为增函数的是（ ） A ．1ln1xy x+=- B ．3y x = C ．3x y = D ．22x x y -=- 3.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（ ）A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均气温高于20℃的月份有5个4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石 C.338石 D ．1365石5.甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的 m n ，的比值mn=（ ）A ．1B ．13 C.38D ．296.如图，点O 为坐标原点，点()1 1A ，，若函数()01x y a a a =>≠且及()log 01b y x b b =<≠且的图象与线段OA 分别交于点 M N ，，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则 a b ，满足（ ）A ．1a b <<B ．1b a << C.1b a >> D ．1a b >>7.已知函数()()223 1log 1a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，，的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1 2-，B ．[)1 2-， C.(] 1-∞-， D ．{}1- 8.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于x 轴的直线():0l x t t a =≤≤经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y （图中阴影部分），若函数()y f t =的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是（ ）A ．B ． C. D ．9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．510.设函数()f x x x a =-，若对[)12 3 x x ∀∈+∞，，，12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(] 3-∞-，B ．[)3 0-， C.(] 3-∞， D ．(]0 3， 11.若函数()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，已知()12xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()22f g +的值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．512.若函数())0f x x a =>没有零点，则a 的取值范围为（ ）A ．()0 1，B ．())0 1 +∞ ，， C.(()0 2 +∞ ， D ．()()0 1 2 +∞ ，， 第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设全集为R ，集合{}{}24 14A x R x B x x =∈<=-<≤，，则()R A C B = ．14.若函数()()22log f x x ax =-+的图象过点()1 2，，则函数()f x 的值域为 ．15.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为 8.57.5y x =+.则表中的m 的值为 ．16.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ．（参考数据：lg1.120.05 lg1.30.11 lg 20.30≈，≈，≈） 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22240 B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈，，.（Ⅰ）若[]0 3A B = ，，求实数m 的值；（Ⅱ）若R A C B A = ，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数()()2220f x ax ax b a =-++≠，若()f x 在区间[]2 3，上有最大值5，最小值2. （Ⅰ）求 a b ，的值；（Ⅱ）若1b <，()()g x f x mx =-在[]2 4，上单调，求m 的取值范围.19.（本小题满分12分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下. （Ⅰ）试估计使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数； （Ⅱ）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i ）能否认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？ （ii ）如果你要从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由.20.（本小题满分12分）某地一渔场的水质受到了污染，渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为()*m m N ∈个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足()y mf x =，其中()()3log 4 056 52x x f x x x ⎧+<≤⎪=⎨>⎪-⎩，，，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化. （Ⅰ）如果投放的药剂质量为6m =，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天？（Ⅱ）如果投放的药剂质量为m ，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围.21.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投放某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量i y （ 1 2 8i =，，…，）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中，18i i i w w w ===∑，（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与 x y ，的关系为0.2z y x =-，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122 n n u v u v u v ，，，，…，，，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ()()()121nii i ni i uu v v v u u uβαβ==--==--∑∑ ，.22.（本小题满分12分）已知函数()221x x t f x +=+.（Ⅰ）若()f x 是奇函数，求证：方程()ln f x x =-恰有一个实数；（Ⅱ）若对任意实数 a b c ，，，都有()()() f a f b f c ，，是某个三角形的三边长，求实数t 的取值范围.福建省厦门2017-2018学年高一12月月考数学试题（普及组）参考答案一、选择题1-5:DBDBC 6-10:ABCCC 11、12：DD 二、填空题13.{}21x x -<≤- 14.225 log 4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，15.60 16.2019 三、解答题17.解：由已知得{}13A x x =-≤≤，{}12B x m x m =-≤≤+.……………………2分18.解：（Ⅰ）()()212f x a x b a =-++-.当0a >时，()f x 在[]2 3，上为增函数，故()()35962514422022f a a b a a a b b f ⎧=-++==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-++===⎩⎩⎪⎩， 当0a <时，()f x 在[]2 3，上为减函数，故()()32962214425325f a a b a a a b b f ⎧=-++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-++===⎩⎩⎪⎩. （Ⅱ）∵1b <，∴1a =，0b =，即()222f x x x =-+，()()222222g x x x mx x m x =-+-=-++， ∵()g x 在[]2 4，上单调，∴222m +≤或242m +≥，∴2m ≤或6m ≥. 故m 的取值范围为(][) 2 6 -∞+∞ ，，.……………………12分 19.解：（Ⅰ）依题意可得，使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55（分钟），使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.……6分（Ⅱ）（i ）使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为： 0.040.200.560.8080%75%++==>.………………………………8分故可认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.……9分 （ii ）使用B 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<，所以选B 款订餐软件.……12分20.解：（Ⅰ）由题设，投放的药剂质量为6m =，渔场的水质达到有效净化()()661f x f x ⇔≥⇔≥()305log 41x x <≤⎧⎪⇔⎨+≥⎪⎩或5612x x >⎧⎪⎨≥⎪-⎩05x ⇔<≤或58x <≤，即08x <≤. 所以如果投放的药剂质量为6m =，水质达到有效净化一共可持续8天.……6分 （Ⅱ）由题设，任意(]0 8x ∈，，()618mf x ≤≤，0m >.∵()()3log 4 056 52x x f x x x ⎧+<≤⎪=⎨>⎪-⎩，，，∴任意(]0 5x ∈，，()36log 418m x ≤+≤，且(]5 8x ∀∈，，66182m x ≤≤-，∴3log 46218m m ≥⎧⎨≤⎩，且6218m m ≥⎧⎨≤⎩59m ⇔≤≤且69m ≤≤，∴69m ≤≤， 投放的药剂质量m 的取值范围为[]6 9，.………………………… 12分 21.解：（Ⅰ）由散点图可判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.……2分（Ⅱ）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于()()()8121108.86816iii ni i w w yyd w w==--===-∑∑， ∴56368 6.8100.6d y dw =-=-⨯=，∴y 关于x 的线性回归方程为100.668w =+＄， ∴y 关于x的回归方程为100.6d =+分（Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y的预报值100.6576.6d =+， 576.60.24966.32d =⨯-=.……………………9分（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值(0.2100.620.12z x x =+-=-+，13.66.82=，即46.24x =时，z 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.………………12分22.解：（Ⅰ）由()221x x t f x +=+是奇函数知()()2122211221x x x x x xt t tf x f x --++⋅+-===-=+++， 所以122x x t t +⋅=--，即()()1210xt +⋅+=，所以1t =-，()21212121x x xf x -==-++.因为函数21x y =+在R 上单调递增且210x +>，函数21y x=-在()0 +∞，上单调递增， 所以()y f x =是增函数，又因为函数ln y x =在()0 +∞，上单调递增， 设()()ln h x f x x =+，则()y h x =在()0 +∞，上单调递增， 又()()111211ln10 0321eh f h e ⎛⎫=+=>=-< ⎪⎝⎭+，，即()110h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()y h x =恰有一个零点，即方程()ln f x x =-恰有一个实根.（Ⅱ）()2112121x x xt t f x +-==+++， （1）当1t =时，()1f x =，所以()()()1f a f b f c ===，可构成三角形三边长，符合题意；（2）当1t >时，()2112121x x xt t f x +-==+++在R 上单调递减，()()()() 1 f a f b f c t ∈，，，， 要使()()() f a f b f c ，，是某个三角形的三边长，则2t ≤，此时12t <≤；（3）当1t <时，()2112121x x xt t f x +-==+++在R 上单调递增，()()()() 1f a f b f c t ∈，，，， 要使()()() f a f b f c ，，是某个三角形的三边长，则21t ≥，即12t ≥，此时112t ≤<.。

x y O x y O x y O xyO“平和一中、华安一中、长泰一中、南靖一中”四校联考2017-2018学年第二学期第二次月考高一数学考试时间120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、直线013=++y x 的倾斜角为A ．30º B.60º C.120º D. 150º 2．两数12+与12-的等比中项是 A ．1B ．1-C ．1±D ．21 3．如图所示的直观图中，OAB △的原来平面图形的面积为 A ．3 B ．223 C ．23 D ．6 4．已知等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a +等于A ．12 B. 24 C. 36 D. 48 5．直线y ax =与y x a =+在同一直角坐标系中的图象可能是A B C D6. 若直线01=--y x 被圆心坐标为（2，-1）的圆截得的弦长为22，则这个 圆的方程是A ．()()41222=++-y x B ．()()41222=-++y xC ．()()21222=-++y x D ．()()21222=++-y x7．设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是 A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④8．在ABC △中，若BC b c cos cos =，则此三角形为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知E 是棱C 1D 1的中点，则异面直线B 1D 1与CE 所成角的余弦值的大小是A ．54B ．55C ．510D ．101010．已知一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的表面积为A ．24a πB ．23a π C ．(25a +π D．(23a +π11(1)2k x =-+有两个不等实根，则k 的取值范围是A ．423⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．4220,33⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 12. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝log n (n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)．定义：使乘积a 1·a 2·a 3……a k为正整数的k (k ∈N *)叫做“和谐数”，则在区间[1，2018]内所有的“和谐数”的和为 A ．2036B ．2048C ．4083D ．4096二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省厦门第一中学2017-2018学年度第二学期6月考试高一年数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用斜率公式求出斜率，进而得到直线的倾斜角.详解：由题直线经过两点，设直线倾斜角为，则故选D.点睛：本题考查直线斜率公式与倾斜角，属基础题.2. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】分析：A选项，则，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项，则，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项，则，可由线面的位置关系进行判断；D选项若，则，可由面面平行的判定定理进行判断；详解：A选项不正确，因为平行，相交，异面都有可能；B选项正确，因为，时，可以证明；C.选项不正确，因为，时，可能有与相交，不一定垂直；D选项不正确，可由面面平面的判定定理说明其是不正确的，必须相交.故选B.点睛：本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力，属基础题．3. 若圆关于直线对称，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a的值，然后求出直线的斜率．详解：圆关于直线对称，则直线通过圆心），故，∴直线的斜率，故选A．点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查对称知识、计算能力，基础题，4. 已知两点关于直线对称，则直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意可知，且线段的中点在直线上．由垂直关系可得斜率，可得直线的点斜式方程，化为一般式即可详解：由题意可知，且线段的中点在直线上．又线段的斜率为由垂直关系可得直线的斜率为2再由线段的中点在直线上可得化为一般式可得.故选A.点睛：本题考查直线的一般式方程和直线的截距，属基础题．5. 直线与平行，则的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】分析：当时，检验两直线是否平行，当时，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求出的值．详解：当时，两直线重合；当时，由，解得，综合可得，，故选A．点睛：本题考查两直线平行的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．6. 与点距离为，且与点距离为的直线的条数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：把已知问题划归为两圆的公切线条数，只需判断两圆的位置关系即可．详解：到点距离为1的直线可看作以为圆心1为半径的圆的切线，同理到点距离为3直线可看作以为圆心3半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线，又，故两圆相离，则两圆由4条公切线.故选D.点睛：本题考查直线的方程，涉及圆与圆的位置关系，划归为公切线条数是解决问题的关键，属基础题．7. 已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，则二面角的大小（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由已知中三棱锥C的三个侧面与底面全等，且，取中点为，连接，易得到即为二面角的的平面角，解三角形即可得到二面角的大小．详解：取中点为，连接，则即为二面角的的平面角，∵，为等腰三角形；∵为中点；在直角中，由勾股定理得；∵三个侧面和底面全等；；；所以的三边所以为等边三角形，所以二面角的大小为；故选：C．点睛：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中构造出∠BED即为BCD和ABC所成二面角的平面角，将二面角问题转化为解三角形问题，是解答本题的关键．8. 如图，长方体中，，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D详解：设，以所在直线方向轴，，建立空间直角坐标系，则可得A1设异面直线与所成角的为，则，故选：D．点睛：本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．9. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．详解：联立两直线方程得：解得，所以两直线的交点坐标为因为两直线的交点在第一象限，所以得到解得：设直线的倾斜角为，则，所以故选：B．点睛：此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．10. 已知空间一个平面与一个正方体的个面所成的二面角都等于，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先找出与共顶点的三个面所成二面角相等的平面，求出二面角的余弦值，另外三个面与这三个面平行，所与6 个面所成的二面角都相等详解：正方体中，连接，则平面与6个面所成的二面角都相等，设正方体的棱长为1，取中点，连接，则为二面角的0平面角。

厦门双十中学2017-2018学年高一（下）数学期中考试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.67cosπ的值为（ ） A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-2.已知)3,(),1,2(x b a =-=，且b a ∥=（ ） A ．3 B ．5 C ．5 D ．533.75tan 75tan 12-的值是（ ）A ．332 B ．332- C ．32 D ．32- 4.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =，若点P 为BC 的中点，且AE AB AP μλ+=，则=+μλ（ ）A ．3B ．2 C.1 D ．255.已知32)tan(=-βα，21)6tan(=-βπ则)6tan(πα-等于（ ） A ．41 B ．87 C.81 D ．976.函数)2,0,0)(sin(πϕωϕωA x A y +=的部分图像如图所示，则（ ）A ．)(x f 的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,34π B ．)(x f 的图像关于直线π121-=x 对称 C ．)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ上是增函数 D ．)(x f 的周期为2π 7.如图，在圆C 上，点B A ,在圆上，⋅的值（ ）A ．只与圆C 的半径有关B ．只与弦AB 的长度有关C.既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 D ．是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值 8.函数)4(sin 2π-=x y 的图像沿x 轴向右平移m 个单位（0 m ），所得图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ） A ．π B ．43π C.2π D ．4π 9.过x 轴上一点P 作x 轴的垂线，分别交函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像于321,,P P P ，若2383PP PP ==（ ） A ．31 B ．21 C.33 D ．322 10.已知函数()06sin )( ωπω⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0π上单调递增，在⎥⎦⎤⎝⎛ππ2,34上单调递减，当]2,[ππ∈x 时，不等式3)(3+≤≤-m x f m 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21B ．)2,(--∞ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,25 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-27,211.已知函数x b x a x f cos sin )(-=b a ,(为常数，),0R x a ∈≠，在4π=x 处取得最大值，则函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4πx f y 是（ ） A ．奇函数且它的图像关于点)0,(π 对称 B ．偶函数且它的图像关于点)0,23(π对称 C.奇函数且它的图像关于点)0,23(π对称 D ．偶函数且它的图像关于点)0,(π 对称 12.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈0,2,23,2πβππα，且01cos 28,02sin 2233=++=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-ββαπα，则⎪⎭⎫⎝⎛+βα2sin 的值为（ ） A ．0 B ．22C.21 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知37,3,4=-==b a b a ，则向量a 与b的夹角是 ．14.已知()53)sin(,1312cos ,432-=+=-βαβαπαβπ，则=α2cos ． 15.已知直线)10( a a y =与函数x x f ωsin )(=在y 轴右侧的前12个交点横坐标依次为12321,,,,x x x x ⋅⋅⋅，且49,43,4321πππ===x x x ，则=+⋅⋅⋅+++12321x x x x ． 16.如图，在直角梯形ABCD 中，)0(,1,2,, a a BC CD AB BC AB CD AB ===⊥∥，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设,,y x =⋅=对于函数)(x f y =，给出以下三个结论：①当2=a 时，函数)(x f 的值域为]4,1[； ②对于任意的0 a ，均有1)1(=f ；③对于任意的0 a ，函数)(x f 的最大值均为4. 其中所有正确的结论序号为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在平面直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，其终边经过点)4,2(P . （1）求αtan 的值；（2）求⎪⎭⎫⎝⎛+-+-4sin 212cos 2)sin(22παααπ的值18.根据平面向量基本定理，若21,e e 为一组基底，同一平面的向量可以被唯一确定地表示为=21e y e x +，则向量与有序实数对),(y x 一一对应，称),(y x 为向量的基底21,e e 下的坐标；特别地，若21,e e 分别为y x ,轴正方向的单位向量j i,，则称),(y x 为向量的直角坐标.（I ）据此证明向量加法的直角坐标公式：若),(),,(2211y x b y x a ==，则),(2121y y x x b a ++=+；（II ）如图，直角OAB ∆中，3190===∠AOB，C 点在AB 上，且AB OC ⊥，求向量在基底,下的坐标.19.已知函数)0)(4sin()4sin(sin cos 32sin )(2ωπωπωωωω-+++=x x x x x x f ，且)(x f 的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2） 求函数)(x f 在区间),0(π上的单调增区间.20. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，C B A ,,三点满足OB OA OC 3231+=. （I ）求证：C B A ,,三点共线；（II ）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+2,0),cos ,sin 1(),cos ,1(πx x x B x A ，m x f ⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅=322)(2的最小值为21，求实数m 的值. 21. 已知向量b a ,满足1==b a ，且()03 k b k a b a k -=+，令b a k f⋅=)(.（I ）求b a k f⋅=)(（用k 表示）；（II ）若212)(2--≥tx x k f 对任意0 k ，任意[]1,1-∈t 恒成立，求实数x 的取值范围. 22. 已知函数12sin 94)cos sin ()(--+=x x x a x f ，若91324-=⎪⎭⎫⎝⎛πf（1）求a 的值，并写出函数)(x f 的最小正周期（不需要证明）；（2）是否存在正整数k ，使得函数)(x f 在区间[]πk ,0内恰有2017个零点？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由.厦门双十中学2017年高一（下）数学期中考试答案一、选择题1-5:DDDBC 6-10:ABDAD 11、12：BB 二、填空题13.120° 14.6533- 15.π66 16.②③ 三、解答题17.解：（1）由任意角三角函数的定义可得：224tan ==α （2）原式=ααααcos sin cos sin 2++=1tan 1tan 2++αα =351214=++ 18. （I ）证明：根据题意：),(),,(2211y x b y x a ==⇒j y i x b j y i x a2211,+=+=∴j y y i x x b a )()(2121+++=+，（4分）∴),(2121y y x x b a ++=+.（II ）解：法一（向量法）：根据几何性质，易知232160==⇒=∠OAB， 从而CB AC 31=，所以OB OA OC OB CO OC AO 3134)(31+=⇒+=+， 化简得：4143+=，所以在基底,下的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛41,43. 法二（向量法）：同上可得：AB AC 41=，所以4143)(41+=⇒+=+.上法也可直接从开始∴()41434141+=-+=+=+=. 法三（向量法）：设y x +=，则y x -=-+=-=,)1(利用,共线可解得.法四（坐标法）：以O 为坐标原点，OB OA ,方向为y x ,轴正方向建立直角坐标系（以下坐标法建系同），则)3,0(),0,1(B A ，由几何意义易得C 的直角坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛43,43.设y x +=，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛43,43=)3,()3,0()0,1(y x y x =+，又知)3,0(),0,1(B A ，则由C B A ,,三点共线易得y x ,.法六（坐标法）：完全参照《必修4》P99例8（2）的模型和其解答过程，此处略. 法七（几何图形法）：将分解在,方向，利用平几知识算出边的关系亦可. 法八（向量法）：设y x +=，则1=+y x ①； 由⇒=-⋅+⇒=⋅⇒⊥0)()(,0y x 030)(22=-⇒=⋅-+-x y y x x y ②，由①，②解得41,43==y x . 所以在基底,下的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛41,43.（12分，还有其它方法，各方法酌情分两道三段给分） 19. 解： （1）x x x x f ωωω2cos 212sin 322cos 1)(-+-==2162sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πωx 由题意得πωπ=22，即可得1=ω （2）由（1）知2162sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x f 则由函数单调递增性可知：Z k k x k ∈+≤-≤-,226222πππππ整理得Z k k x k ∈+≤≤-,36ππππ所以)(x f 在),0(π上的增区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛πππ,65,3,0 20. 解：（1）∵OB OA OC 3231+=，∴OB OA OB OC 3131-=- ∴31=∴BA BC ∥，又∵BC 与BA 有公共点B ∴C B A ,,三点共线.（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+2,0),cos ,sin 1(),cos ,1(πx x x B x A . ∴⎪⎭⎫⎝⎛+=+=x x cos ,sin 3213231， )0,(sin x =x x sin sin 2==，从而x m x f sin 322)(2⎪⎭⎫⎝⎛+-=⋅= =()2sin 2sin 2sin 1sin 2cos 4222222+++-=+--=+-mm x x m x x m x ，又[]1,0sin ∈x ，∴当1sin =x 时，)(x f 取最小值.即()2121422=+++-m m，∴412=m ，∴21±=m . 21. 解：（1）由题设得122==b a ，对b k a b a k -=+3两边平方得，()222222232b k b a k a b b a k a k +⋅-=+⋅+.整理易得)0(41)(2 k kk b a k f +=⋅=. （2）2141441)(2≥+=+=k k k k k f ，当且仅当1=k 时取等号， 欲使212)(2--≥tx x k f 对任意的0 k 恒成立，等价于212212--≥tx x ， 即012)(2≥+-=x xt t g 在[]1,1-∈t 上恒成立，而)(t g 在[]1,1-为单调函数或常函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+--=-≥+-=012)1(012)1(22x x g x x g ， 解得1221-≤≤-x ，（III ）故实数x 的取值范围为[]12,21--， 22.解：（1）π==T a ,1（2）存在504=n ，满足题意 理由如下： 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，12sin 94)cos (sin )(--+=x x x x f ，设x x t cos sin +=，则[]2,1∈t ，12sin 2-=t x ，则09594,9594)(22=-+--+-=t t t t t g 可得1=t 或45=t ，由cos sin +=x t 图像可知，x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有4个零点满足题意.当⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,2x 时，12sin 94)cos (sin )(---=x x x x f ，x x t cos sin -=，则(]2,1∈t ，212sin t x -=，091394,91394)(22=-+-+=t t t t t h ，1=t 或413-=t ，因为(]2,1∈t ，所以x 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2上不存在零点。