2021年高考数学一轮复习单元滚动检测六数列理新人教B版

数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一 形如a n ＋1＝pa n ＋f (n )型命题点1 a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)例1 (1)数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2)且a 1＝0，则a 2 024等于( )A ．22 023－1B ．42 023－1C ．22 023＋1D ．42 023＋1(2)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且1a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为__________．听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)例2 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N +)，a 1＝3，求数列{a n }的通项公式． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3 a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3 (1)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n ＋2·3n ＋1，n ∈N +.则数列{a n }的通项公式为() A ．a n ＝(2n ＋1)·3n B ．a n ＝(n －1)·2nC ．a n ＝(2n －1)·3nD ．a n ＝(n ＋1)·2n(2)在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝6a n ＋3n ，则a n ＝________.听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 形式 构造方法a n ＋1＝pa n ＋q 引入参数c ，构造新的等比数列{a n －c }a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c 引入参数x ，y ，构造新的等比数列{a n ＋xn ＋y }a n ＋1＝pa n ＋q n 两边同除以q n ＋1，构造新的数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n q n跟踪训练1 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．n ·2n －1B ．n ·2nC ．(n －1)·2nD ．(n ＋1)·2n(2)(2023·黄山模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，(2＋a n )·(1－a n ＋1)＝2，设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则a 2 023(S 2 023＋2 023)的值为( )A ．22 023－2B ．22 023－1C ．2D ．1(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋n ，a 1＝2，则a n ＝________.题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1)例4 (1)已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝2，a n ＝3a n －1＋4a n －2(n ≥3)，则a 9＋a 10等于( )A ．47B ．48C ．49D ．410(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N +)．则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }．跟踪训练2 若x ＝1是函数f (x )＝a n ＋1x 4－a n x 3－a n ＋2x ＋1(n ∈N +)的极值点，数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.题型三 倒数为特殊数列⎝⎛⎭⎫形如a n ＋1＝pa n ra n＋s 型 例5 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N +)，则满足a n >137的n 的最大取值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10(2)(多选)数列{a n }满足a n ＋1＝a n 1＋2a n (n ∈N +)，a 1＝1，则下列结论正确的是( ) A.2a 10＝1a 3＋1a 17B.1{2}n a 是等比数列 C ．(2n －1)a n ＝1 D ．3a 5a 17＝a 49 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华两边同时取倒数转化为1a n＋1＝sp·1a n＋rp的形式，化归为b n＋1＝pb n＋q型，求出1a n的表达式，再求a n.跟踪训练3已知函数f(x)＝x3x＋1，数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n)(n∈N+)，则数列{a n}的通项公式为____________．。

单元评估检测(六)(第十、十一章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.167B.137C.123D.93【解析】选B.初中部女教师的人数为110×70%=77,高中部女教师人数为150×40%=60,则该校女教师的人数为77+60=137.2.若-n的展开式中第四项为常数项,则n= ( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.依题意,T4=·-3·,因为其展开式中第四项为常数项,所以-1=0,所以n=5.3.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<5)=0.8,则P(1<X<3)=( ) B.0.4【解析】选C.由正态曲线的对称性可知,P(X<3)=P(X>3)=0.5,故P(X>1)=P(X<5)=0.8,所以P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(1<X<3)=P(X<3)-P(X≤1)=0.5-0.2=0.3.4.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,又有X的数学期望为E(X)=3,则a+b= ( )A. B.0C.- D.【解析】选A.依题意可得X的分布列为X 1 2 3 4P a+b 2a+b 3a+b 4a+b依题意得解得a=,b=0,故a+b=.5.某商场进行购物摸奖活动,规则是:在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球(小球除标号外其他完全相同),每次摸奖需要同时取出两个球,每位顾客最多有两次摸奖机会,并规定:若第一次取出的两球连号,则中奖,摸奖结束;若第一次未中奖,则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球相同,则为中奖.按照这样的规则摸奖,中奖的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.分两种情况,第一种第一次摸到连号,则概率为P(A)==,第二种情况对应概率为P(B)=·=,所以中奖的概率为P(A)+P(B)=+=.6.有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节某同学需选择一套服装参加歌舞演出,则有几种不同的选择方式( ) A.24种 B.14种 C.10种 D.9种【解析】选B.第一类:一件衬衣、一件裙子搭配一套服装有4×3=12(种)方式;第二类:选2套连衣裙中的一套,有2种选法.由分类加法计数原理,得共有12+2=14(种)选择方式.7.如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料,其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有世纪金榜导学号( )A.360种B.720种C.780 种D.840种【解析】选B.由题干图可知,区域2,3,5,7不能同色,所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且各区域的颜色均不相同,所以涂色方法有×2=720(种).8.如果{a n}不是等差数列,但若∃k∈N*,使得a k+a k+2=2a k+1,那么称{a n}为“局部等差”数列.已知数列{x n}的项数为4,记事件A:集合⊆,事件B:{x n}为“局部等差”数列,则条件概率P=( ) A. B. C. D.【解析】选C.由题意知,事件A共有·=120个基本事件,事件B:“局部等差”数列共有以下24个基本事件,(1)其中含1,2,3的“局部等差”数列分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3,共3个, 含3,2,1的“局部等差”数列同理也有3个,共6个.(2)含3,4,5的和含5,4,3的与上述(1)相同,也有6个.(3)含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1,共2个,含4,3,2的同理也有2个.(4)含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4,共4个,含5,3,1的同理也有4个,共24个,所以P(B|A)==.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.若随机变量ξ的分布列为ξ0 1P m n其中m∈(0,1),则下列结果中错误的是( )A.E(ξ)=m,D(ξ)=n3B.E(ξ)=m,D(ξ)=n2C.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m-m2D.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m2【解析】选ABD.由分布列可知,随机变量ξ服从两点分布,故E(ξ)=n=1-m,D(ξ)=n(1-n)=(1-m)m=m-m2.故A,B,D错误.10.如图是2019年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述正确的是( )①2019年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个;②与去年同期相比,2019年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长;③去年同期的GDP的总量前三位是D省、B省、A省;④2018年同期A省的GDP总量是第三位.A.①B.②C.③D.④【解析】选BCD.①2019年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个,B省和C省的GDP 总量和增速分别居第一位和第四位,故①错误;由图知②正确;由图计算2018年同期五省的GDP总量,可知前三位为D省、B省、A省,故③正确;由③知,2018年同期A省的GDP总量是第三位,故④正确.11.下列结论正确的是 ( )A.P(B|A)与P(A|B)的含义相同B.若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)C.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立D.抛掷2枚质地均匀的硬币,“第1枚为正面”为事件A,“第2枚为正面”为事件B,则A,B 相互独立【解析】选BD.A×.前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.B√.由相互独立事件和条件概率的定义可知.C×.A与B相互独立时,P(AB)=P(A)P(B)成立.D√.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,所以A,B相互独立.12.已知下列四个变量:①某高铁候车室中一天的旅客数量X1;②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2;③某一天中长江的水位X3;④某次大型车展中销售汽车的车辆数X4.其中是离散型随机变量的是( )A.①中的X1B.②中的X2C.③中的X3D.④中的X4【解析】选ABD.①②④中的随机变量可能取的值,我们都可以按一定次序一一列出,因此它们都是离散型随机变量;③中的X3可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故X3不是离散型随机变量.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.某工厂生产10个产品,其中有2个次品,从中任取3个产品进行检测,则3个产品中至多有1个次品的概率为________.【解析】3个产品中至多有1个次品,拆分为3个产品中没有次品和3个产品中恰有1个次品,所以所求的概率为P=+=+=.答案:【一题多解】因为3个产品中次品的个数为0,1,2,所以“3个产品中至多有1个次品”的对立事件为“3个产品中恰有2个次品”,所以所求的概率为P=1-=1-=.答案:14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为________,仅有一个公共点的概率为________.【解析】若直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点,则≤,整理得a2≤b2.依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有6×6=36(种)结果.满足a2≤b2的数组:当a=1时,b=1,2,3,4,5,6,共6种结果;当a=2时,b=2,3,4,5,6,共5种结果;当a=3时,b=3,4,5,6,共4种结果;当a=4时,b=4,5,6,共3种结果;当a=5时,b=5,6,共2种结果;当a=6时,b=6,共1种结果.所以满足a2≤b2的数组共6+5+4+3+2+1=21(种)结果,因此所求的概率P==.若仅有一个公共点,则a2=b2,共6种结果,所求概率为P==.答案:15.小明口袋中有3X10元,3X20元(因纸币有编号,认定每X纸币不同),现从中掏出纸币超过45元的方法有________ 种;若小明每次掏出纸币的概率是等可能的,不放回地掏出4X,刚好是50元的概率为________. 世纪金榜导学号【解析】超过45元即为掏出纸币50元,60元,70元,80元,90元,如果掏出纸币50元,则2X20元,1X10元,或3X10元,1X20元,共有+=12种方法;如果掏出纸币60元,则2X20元,2X10元,或3X20元,共有+=10种方法;如果掏出纸币70元,则3X20元,1X10元,或2X20元,3X10元,共有+=6种方法;如果掏出纸币80元,则3X20元,2X10元,共有=3种方法;如果掏出纸币90元,则3X20元,3X10元,共有1种方法;所以共有32种方法.设“如果不放回地掏出4X,刚好是50元”为事件A,则所有的基本事件的总数为=15, A中含有的基本事件的总数为3,所以P(A)==.答案:3216.投掷一枚图钉,设钉尖向上的概率为p(0<p<1),连续掷一枚图钉3次,若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率,则p的取值X围为________.【解析】设P(B k)(k=0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉3次,出现k次钉尖向上”的概率,由题意,得P(B2)<P(B3),即p2(1-p)<p3,所以3p2(1-p)<p3,因为0<p<1,所以<p<1.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)进入冬天,大气流动性变差,容易形成雾霾天气,从而影响空气质量.某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性,以确定是否对车辆实施限行.为此,环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表:时间周一周二周三周四周五周六周日车流量10 9 9.5 10.5 11 8 8.5(x万辆)空气质量78 76 77 79 80 73 75指数y(1)根据表中周一到周五的数据,求y关于x的线性回归方程.(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2,则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据周六和周日数据,判定所得的线性回归方程是否可靠?注:回归方程=x+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为==,=-.【解析】(1)==10,==78.所以(x i-)(y i-)=(10-10)(78-78)+(9-10)(76-78)+(9.5-10)(77-78)+(10.5-10)(79-78)+(11-10)(80-78)=5,(x i-)2=(10-10)2+(9-10)2+(9.5-10)2+(10.5-10)2+(11-10)2=2.5,所以===2.所以=-=78-2×10=58,所以y关于x的线性回归方程为=2x+58.(2)当x=8时,=2×8+58=74.满足|74-73|=1<2,当x=8.5时,=2×8.5+58=75.满足|75-75|=0<2,所以所得的线性回归方程是可靠的.18.(12分)某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为三级过滤,使用寿命为十年.如图所示,两个一级过滤器采用并联安装,二级过滤器与三级过滤器为串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立),三级滤芯无需更换,若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个80元,二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个200元,二级滤芯每个400元.现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图,表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数 5 6频数60 40以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率.(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数,求X的分布列及数学期望.(3)记m,n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=28,且n∈{5,6},以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据,试确定m,n的值.【解析】(1)由题意可知,若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30,则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯,二级过滤器需要更换6个滤芯.设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A.因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4,二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4,所以P(A)=0.4×0.4×0.4=0.064.(2)由柱状图可知一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10,11,12的概率分别为0.2,0.4,0.4. 由题意,X可能的取值为20,21,22,23,24,并且P(X=20)=0.2×0.2=0.04,P(X=21)=0.2×0.4×2=0.16,P(X=22)=0.4×0.4+0.2×0.4×2=0.32,P(X=23)=0.4×0.4×2=0.32,P(X=24)=0.4×0.4=0.16.所以X的分布列为X 20 21 22 23 24P 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16E(X)=20×0.04+21×0.16+22×0.32+23×0.32+24×0.16=22.4.(3)方法一:因为m+n=28,n∈{5,6},若m=22,n=6,则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为22×80+200×0.32+400×0.16+6×160=2848;若m=23,n=5,则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为23×80+200×0.16+5×160+400×0.4=2832.故m,n的值分别为23,5.方法二:因为m+n=28,n∈{5,6},若m=22,n=6,设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1(单位:元),则E(Y1)=1760×0.52+1960×0.32+2160×0.16=1888.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2(单位:元),则Y2=6×160=960,E(Y2)=1×960=960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为E(Y1)+E(Y2)=1888+960=2848.若m=23,n=5设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1(单位:元),则P 0.84 0.16E(Z1)=1840×0.84+2040×0.16=1872.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2(单位:元),则Z2800 1200P 0.6 0.4E(Z2)=800×0.6+1200×0.4=960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为E(Z1)+E(Z2)=1872+960=2832.故m,n的值分别为23,5.19.(12分)为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3,其中体重在[50,55]的有5人.(1)求该校报考飞行员的总人数.(2)从该校报考飞行员的体重在[65,75]的学生中任选3人,设X表示体重超过70kg的学生人数,求X的分布列和数学期望.【解析】(1)设该校报考飞行员的总人数为n,前三个小组的频率分别为k,2k,3k,则k+2k+3k+0.030×5+0.020×5=1,解得k=,即第1组的频率为.又因为k=,故n=40,即该校报考飞行员的总人数是40人.(2)由(1)知:这40人中体重在区间[65,70]的学生有40×0.030×5=6人,体重超过70kg的有40×0.020×5=4人,现从这10人中任选3人,则P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P所以期望值为E(X)=0×+1×+2×+3×=.20.(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果,设小孩对四种食物排出的序号依次为x A x B x C x D,家长猜测的序号依次为y A y B y C y D,其中x A x B x C x D,y A y B y C y D都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义X=(x A-y A)2+(x B-y B)2+(x C-y C)2+(x D-y D)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.(i)求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;(ii)求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程).(2)若有一组小孩和家长进行了三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩的饮食习惯是否了解,说明理由.【解析】(1)(i)若家长对小孩的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,所以先考虑小孩的排序x A x B x C x D为1234的情况,家长的排序有=24种等可能的结果.其中满足“家长的排序与1234对应位置的数字完全不同”的有2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321共9种结果,所以相应的概率为=.若小孩对四种食物的排序是其他情况,只需要将角标A,B,C,D按照小孩的排序1234的顺序调整即可,所以他们在一轮游戏中,对四种食物排成的序号完全不同的概率为.(ii)根据(i)的结果,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,列出所有情况,分别计算每种情况下的X的值.所以X的分布列为X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20P(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.理由如下:假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,则由(1)知,在一轮游戏中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为=.这个结果发生的可能性很小,所以可以认为这个家长对小孩的饮食习惯比较了解.21.(12分)某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度,在某年的连续6个月内,月份x i和关注人数y i(单位:百)(i=1,2,3,…,6)数据做了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.世纪金榜导学号(x i-)2(x i-)(y i-)17.5 35 36.5(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明,并建立y关于x的回归方程.(2)经统计,调查材料费用v(单位:百元)与关注人数y满足函数关系v=+,求材料费用的最小值,并预测此时的关注人数.(3)现从这6个月中,随机抽取3个月份,求关注人数不低于1600人的月份个数ξ的分布列与数学期望.参考公式:相关系数r=,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程=x+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.【解析】(1)=×(11+13+16+15+20+21)=16,所以=76,又因为(x i-)2=17.5,(x i-)(y i-)=35,所以相关系数r===≈0.96,由于y关于x的相关系数r≈0.96>0.95,这说明y关于x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系;又===2,且=×(1+2+3+4+5+6)=3.5,所以=-=16-2×3.5=9,所以回归方程为=2x+9.(2)v=+≥2=18,即调查材料最低成本为1800元,此时=, 所以y=207.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)==;P(ξ=1)==;P(ξ=2)==;P(ξ=3)==.所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.5.22.(12分)棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为P n. 世纪金榜导学号(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望.(2)证明:P n+1-P n=-(P n-P n-1)(2≤n≤98).(3)求P99,P100的值.【解析】(1)X的值为3,4,5,6,P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,所以X的分布列如下:X 3 4 5 6P所以期望为E(X)=3×+4×+5×+6×=.(2)因为棋子跳到第n站,可以分解为两个情形:第一种是棋子先跳到第n-2站,再掷出反面,其概率为P n-2;第二种是棋子先跳到第n-1站,再掷出正面,其概率为P n-1,所以P n=(P n-1+P n-2),即P n-P n-1=-(P n-1-P n-2),所以P n+1-P n=-(P n-P n-1)(2≤n≤98).(3)由(2)知数列{P n-P n-1}(n≥1)是首项为P1-P0=-1=-,公比为-的等比数列. 所以P n-P n-1=(P1-P0)=.由此得到P99=++…++1=.又P99-P98=,则P98=,由于跳到第99站时,自动停止游戏,故有P100=P98=.。

全国新课标区模拟精选题：依据高考命题大数据分析，重点关注基础题3，4，力量题12，14. 专项基础测试 模拟精选题 一、选择题1.(2022·陕西西安模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 若数列{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意n ∈N *都成立，于是有3>2λ，λ<32，由λ<1可得λ<32；反之由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A. 答案 A2.(2022·玉溪一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n （n 为正奇数），a n ＋1 （n 为正偶数），则其前6项之和是( ) A.16 B.20 C.33D.120解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 答案 C3.(2021·天津南开中学月考)下列可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ) A.a n ＝1B.a n ＝（－1）n ＋12C.a n ＝2－|sin n π2|D.a n ＝（－1）n －1＋32解析 A 项明显不成立；n ＝1时，a 1＝－1＋12＝0，故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝（－1）2－1＋32＝1，故D 项不正确.由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C. 答案 C4.(2022·济南外国语学校模拟)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 016等于( ) A.0 B.－ 3 C. 3D.32解析 由已知得a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3＝a 2，a 6＝a 3，…，由此归纳得出a n ＋3＝a n ，故a 2 016＝a 3×672＝a 3＝3，选C. 答案 C5.(2022·北大附中模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 013的值是( ) A.8 B.6 C.4D.2解析 a 1a 2＝2×7＝14，∴a 3＝4，4×7＝28，∴a 4＝8，4×8＝32，∴a 5＝2，2×8＝16，∴a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，∴从第三项起，a n 的值成周期排列，周期数为6，2 013＝335×6＋3，∴a 2 013＝a 3＝4. 答案 C 二、填空题6.(2022·山东聊城二模)如图所示是一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为________.解析 每行的第2个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以 a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，由累加法得a n －a 2＝[（2n －3）＋3]×（n －2）2＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2). 答案 n 2－2n ＋3 创新导向题利用递推公式求数列通项公式问题7.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________. 解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1.答案 3n －1利用S n 与a n 关系式求a n 问题8.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝5n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________(n ∈N *). 解析 数列的前n 项和S n ＝5n －3， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝5－3＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(5n －3)－(5n －1－3)＝4×5n －1.此式中令n ＝1，得a 1＝4， ∴a 1不适合a n ＝4×5n －1(n ≥2).故数 列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （n ＝1），4×5n －1 （n ≥2）.答案 ⎩⎨⎧2 （n ＝1），4×5n －1 （n ≥2） 专项提升测试 模拟精选题 一、选择题9.(2022·广东佛山一模)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2a n ＋4cos 2n π2，则a 9，a 10的大小关系为( )二、填空题10.(2021·温州质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案 5或611.(2021·天津新华中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为________.解析 由于S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列. 又由于a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1， 故a n ＝2n －1，而a nn ≤2，即2n －1≤2n ， 所以有n ∈{1，2，3，4}. 答案 {1，2，3，4}12.(2022·河南洛阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 015项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 015＝________. 解析 由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，所以{a n }是以4为周期的数列，而2021＝4×503＋3，a 1a 2a 3a 4＝1，则前2 015项的乘积为1503·a 1·a 2·a 3＝3. 答案 3 三、解答题13.(2021·青岛一中模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值. 解 (1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n .① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，② ②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ， 即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，（n ＋1）a n ＋1nan＝3，∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)， ∴na n ＝2·3n －2， ∴a n ＝2n ·3n －2(n ≥2)，∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2. (2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n （n ＋1），设f (n )＝n （n ＋1）2·3n(n ≥2，n ∈N *)， 则f (n ＋1)－f (n )＝2（n ＋1）（1－n ）2·3n ＋1<0，∴1f （n ＋1）>1f （n ）(n ≥2)，又1f （2）＝13及a 12＝12，可得λ≥1f （2）， ∴所求实数λ的最小值为13. 创新导向题利用S n 求a n 及数列求和问题14.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝a ，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)当a ＝1时，若b n ＝na n ＋1－a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，n ∈N *，证明：T n <2.(1)解 由S n ＋1＝2S n ＋n ＋1得S n ＝2S n －1＋n (n ≥2)，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ≥2). 故数列{a n ＋1}从第2项起，是以a 2＋1为首项，2为公比的等比数列. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝a ，∴a 2＝a ＋2， ∴a n ＝(a ＋3)·2n －2－1(n ≥2)， 又a 1＝a ，不满足a n ＝(a ＋3)·2n －2－1. ∴a n ＝⎩⎨⎧a （n ＝1），（a ＋3）·2n －2－1 （n ≥2）. (2)证明 由a 1＝a ＝1，得a n ＝2n －1(n ∈N *)，则b n ＝n （2n ＋1－1）－（2n －1）＝n 2n ＋1－2n ＝n2n ， ∴T n ＝12＋2·122＋3·123＋…＋n ·12n ①，从而12T n ＝122＋2·123＋…＋(n －1)·12n ＋n ·12n ＋1②， ①－②得：12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1，故12T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n <2.。

2021年高考数学一轮复习数列试题理n n m－1m m＋1则m＝( )．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【xx新课标I版（理）12】设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n ＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a n＋1＝a n，b n＋1＝，c n＋1＝，则( )．A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【答案】：B【xx新课标I版（理）5】已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7【答案】D【xx新课标I版（理）14】若数列{a n}的前n项和，则{a n}的通项公式是a n＝__________. 【答案】：【xx新课标I版（理）16】数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为__________．【答案】1830【xx新课标I版（理）17】已知数列的前项和为，，，，其中为常数，（I）证明：；（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.【答案】（I）由题设，两式相减得由于，所以……6分（II）由题设，，，可得由（I）知，令，解得故，由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，.所以，.因此存在，使得数列为等差数列. ……12分1 ．（河北省唐山市xx届高三摸底考试数学（理）试题）设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S5=13,S15=63,则S20= （）A．100 B．90 C．120 D．110【答案】B2 ．（河北省邯郸市xx届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等比数列中,,则（）A．3 B．C．3或D．或【答案】C3 ．（河北省邯郸市武安三中xx届高三第一次摸底考试数学理试题）数列是首项为1,且公比的等比数列,是的前项和,若,则数列的前5项和为（）A．B．5 C．D．【答案】C4 ．（河北省保定市八校联合体xx届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在等差数列中,a1+ a5 = 16,则a3等于（）A．8 B．4 C．-4 D．-8【答案】A5 ．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）已知为等差数列,其前项和为,若,,则公差等于（）A．B．C．D．【答案】C6．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）等比数列中,已知对任意自然数,,则等于（）A．B．C．D．【答案】D7．（河北省邯郸市武安三中xx届高三第一次摸底考试数学理试题）设等差数列的前项和为,若,则等于（）A．45 B．60 C．D．【答案】B8．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）若数列满足:存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列为周期数列,周期为. 已知数列满足, 则下列结论中错．误．的是 （ ） A ．若,则B ．若,则可以取3个不同的值C ．若,则数列是周期为的数列D ．且,数列是周期数列 【答案】D 9．（河北省张家口市蔚县一中xx 届高三一轮测试数学试题）在首项为57,公差为的等差数列中,最接近零的是第( ) 项. （ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 【答案】C 10．（河北省唐山市xx 届高三摸底考试数学（理）试题）已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,,则{a n }的前n 项和S n =_______________. 【答案】（河南省安阳市xx 届高三第一次调研）设等差数列{}的前n 项和为，若，是方程－3x ＋2＝0的两个实数根，则＝______________． 答案：11．（河北省邯郸市xx 届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等差数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)设**122(),()(12)n n n n b n N T b b b n N n a =∈=+++∈-,求.【答案】设的公差为,由题意得解得 得: (2)∵ ∵1)111()3121()211(321+=+-+⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=n nn n b b b b T n n 12．（河北省容城中学xx 届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知数列{a n }的前n 项和(其中),且S n 的最大值为8. (1)确定常数k,求a n . (2)求数列的前n 项和T n . 【答案】(1)当时,取最大值,即,13．（河北省张家口市蔚县一中xx 届高三一轮测试数学试题）已知二次函数,其导函数为,数列的前项和为点均在函数的图像上. (1)求数列的通项公式;(2)若231231(2),22223n n n n n c a b b b b c =+++++=,求数列的通项公式.【答案】14．（河北省保定市八校联合体xx 届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足. (1)求数列的通项公式及前项和; (2)试求所有的正整数,使得为数列中的项.【答案】[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力.满分14分.(1)设公差为,则,由性质得,因为,所以,即,又由得,解得,,(2)(方法一)=,设,则=, 所以为8的约数(方法二)因为1222222(4)(2)86m m m mmm m ma a a aaa a a+++++++--==-+为数列中的项,故为整数,又由(1)知:为奇数,所以经检验,符合题意的正整数只有15．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）已知为两个正数,且,设当,时,.(Ⅰ)求证:数列是递减数列,数列是递增数列;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)是否存在常数使得对任意,有,若存在,求出的取值范围;若不存在,试说明理由.【答案】(Ⅱ)证明:.(Ⅲ)解:由,可得.若存在常数使得对任意,有,则对任意,.即对任意成立.即对任意成立.设表示不超过的最大整数,则有.即当时,.与对任意成立矛盾.所以,不存在常数使得对任意,有（河南省安阳市xx 届高三第一次调研）已知等差数列{}的前n 项和为，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设{}是首项为1,公比为3的等比数列，求数列{}的前n 项和. （Ⅰ）依题意得解得， 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……6分 （Ⅱ），n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=-2123232323(21)3n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-+13(13)32(21)32313n n n n n --=+⋅-+=-⋅- ∴ . ………12分16．（河南省中原名校xx 届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知等差数列中,首项a 1=1,公差d 为整数,且满足数列满足前项和为. (1)求数列的通项公式a n ;(2)若S 2为S l ,的等比中项,求正整数m 的值. 【答案】解:(1)由题意,得解得< d <.又d ∈Z,∴d = 2∴a n =1+(n -1)2=2n -1. 4分(2)∵,∴111111[(1)()()]23352121n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+∵,,,S 2为S 1,S m (m ∈)的等比中项, ∴,即, 解得m =12.12分17．（河北省石家庄市xx 届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）已知公差不为0的等差数列{a n }的首项为2,且a 1,a 2,a 4成等比数列. (I )求数列{a n }的通项公式; (II)令,求数列{b n }的前n 项和.【答案】解:(I)设等差数列的公差为d,由, 又首项为,得, 因为,所以,所以(Ⅱ)设数列的前n 项和,由(Ⅰ)知,所以===, 所以==,即数列的前n项和=18．（山西省康杰中学xx届高三第二次模拟数学（理）试题）已知数列的前项和,满足.(Ⅰ)求数列的前三项;(Ⅱ)求证:数列为等比数列,并求出的通项公式.【答案】解:(Ⅰ)在中分别令得:解得:(Ⅱ)由得:两式相减得:故数列是以为首项,公比为2的等比数列.所以32069 7D45 絅 27073 69C1 槁23055 5A0F 娏 25203 6273 扳^28413 6EFD 滽35110 8926 褦38236 955C 镜a26180 6644 晄 28859 70BB 炻。

1单元质检卷六 数列(B )(时间:45分钟 满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2018全国1,理4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A .-12B .-10C .10D .122.(2019宁夏高三联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若1a 1+1a 2+1a 3=2,a 2=2,则S 3=( )A.8B.7C .6D.43.(2019福建联考,12改编)在数列{a n }中,a 1=2,且a n +a n-1=na n -a n -1+2(n ≥2),令b n =(a n -1)2,则b 10=( )A.50B.55 C .60 D.654.(2019贵州遵义模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 9=12a 12+6,a 2=4,若数列1S n的前k 项和为1011,则k=( )A.11B.10 C .9 D.8二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.已知数列{a n }是公差不为0的等差数列,前n 项和为S n ,满足a 1+5a 3=S 8,下列选项正确的有( ) A.a 10=0 B.S 7=S 12 C.S 10最小 D.S 20=06.在数列{a n}中,若a n2−a n-12=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{a n}为“等方差数列”,下列对“等方差数列”的判断正确的是()A.若{a n}是等差数列,则{a n2}是等方差数列B.{(-1)n}是等方差数列C.若{a n}是等方差数列,则{a kn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列D.若{a n}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019浙江温州中学模拟)已知等比数列{a n}的前n项和S n=3n+r,则a3-r=.8.设等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),若a1=3,a5=-11,则a3=,S5=.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019湖北八校联考一,17)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且a n+1=2+S n对一切正整数n 恒成立.(1)求a1和数列{a n}的通项公式;(2)求数列{S n}的前n项和T n.10.(15分)(2019安徽宣城八校联考)已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=2a n2(n∈N*).2(1)证明:数列{1+log2a n}为等比数列;(2)设b n=n,求数列{b n}的前n项和S n.1+log2a n,其中n∈N*.11.(15分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1-14a n(1)设b n=2,求证:数列{b n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式;2a n-13(2)设c n=4a n,数列{c n c n+2}的前n项和为T n,是否存在正整数m,使得T n<1m m+1对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.参考答案单元质检卷六数列(B)1.B因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.2.A因为等比数列{a n}的前n项和为S n,且1a1+1a2+1a3=2,a2=2,则1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2,则S3=8.故选A.3.B∵a n+a n-1=na n-a n-1+2(n≥2),∴a n2−a n-12-2(a n-a n-1)=n,整理得(a n-1)2−(a n-1-1)2=n,由累加法得(a n-1)2−(a1-1)2=n+(n-1)+…+2,又a1=2,∴b n=(a n-1)2=n(n+1)2,可得b10=55.故选B.454.B 设等差数列{a n }的公差为d ,则{a 1+8d =12(a 1+11d )+6,a 1+d =4,解得{a 1=2,d =2.∴S n =2n+n (n -1)2×2=n 2+n , ∴1S n=1n (n+1)=1n −1n+1, ∴1S 1+1S 2+…+1S k =1-12+12−13+…+1k −1k+1=1-1k+1=1011,解得k=10.故选B . 5.AB 因为{a n }是等差数列,设公差为d ,由a 1+5a 3=S 8,可得a 1+9d=0,即a 10=0,即选项A 正确;又S 12-S 7=a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,即选项B 正确;当d>0时,则S 9或S 10最小,当d<0时,则S 9或S 10最大,即选项C 错误; 又S 19=19a 10=0,a 20≠0,所以S 20≠0,即选项D 错误.故选AB .6.BCD 对于A 选项,取a n =n ,则a n+14−a n 4=(n+1)4-n 4=[(n+1)2-n 2]·[(n+1)2+n 2]=(2n+1)(2n 2+2n+1)不是常数,则{a n 2}不是等方差数列,故A 错误;对于B 选项,[(-1)n+1]2-[(-1)n ]2=1-1=0为常数,则{(-1)n }是等方差数列,故B 正确;对于C 选项,若{a n }是等方差数列,则存 在常数p ∈R ,使得a n+12−a n 2=p ,则数列{a n 2}为等差数列,所以a k (n+1)2−a kn 2=kp ,则数列{a kn }(k ∈N *,k 为常数)也是等方差数列,故C 正确;对于D 选项,若数列{a n }为等差数列,设其公差为d ,则存在m ∈R ,使得a n =dn+m ,则a n+12−a n 2=(a n+1-a n )(a n+1+a n )=d (2dn+2m+d )=2d 2n+(2m+d )d ,由于数列{a n }也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得a n+12−a n 2=p ,则2d 2n+(2m+d )d=p ,对任意的n ∈N *恒成立,则{2d2=0,(2m +d )d =p ,得p=d=0,6此时,数列{a n }为常数列,故D 正确,故选BCD .7.19 等比数列前n 项和公式具有特征S n =aq n -a ,据此可知,r=-1,则S n =3n -1,a 3=S 3-S 2=(33-1)-(32-1)=18,a 3-r=19. 8.-4 -20 依题意,a 3=a 1+a 52=3-112=-4;S 5=a 1+a 52×5=5a 3=5×(-4)=-20.9.解 (1)当n ≥2时,a n =2+S n-1,与a n+1=2+S n 相减得a n+1=2a n (n ≥2).∴数列{a n }是公比q=2的等比数列,a 2=2a 1,又∵a 2=2+S 1=2+a 1,∴a 1=2,∴a n =2n .(2)由a n+1=2+S n 得S n =2n+1-2,∴T n =(22+23+…+2n+1)-2n=22(1-2n )-2n=2n+2-2n-4.10.(1)证明 由a n+1=2a n 2,两边取以2为底的对数,得log 2a n+1=1+2log 2a n ,则log 2a n+1+1=2(log 2a n +1),所以{1+log 2a n }为首项为2,公比为2的等比数列.且log 2a n +1=(log 2a 1+1)×2n-1=2n .(2)解 由(1)得b n =n2n .因为S n 为数列{b n }的前n 项和,所以S n =12+222+…+n 2n ,则12S n =122+223+…+n 2n+1.两式相减得12S n =12+122+…+12n−n 2n+1=12(1-12n )1-12−n 2n+1=1-12n −n2n+1,所以S n =2-n+22n.11.(1)证明∵b n+1-b n=22a n+1-1−22a n-1=22(1-14an)-1−22a n-1=4a n2a n-1−22a n-1=2(常数),∴数列{b n}是等差数列.∵a1=1,∴b1=2,因此b n=2+(n-1)×2=2n,由b n=22a n-1得a n=n+12n.(2)解存在.由c n=4a nn+1,a n=n+12n得c n =2n,∴c n c n+2=4n(n+2)=21n−1n+2,∴T n=21-13+12−1 4+13−15+…+1n−1n+2=21+12−1n+1−1n+2<3,依题意要使T n<1c m c m+1对于n∈N*恒成立,只需1c m c m+1≥3,即m(m+1)4≥3, 解得m≥3或m≤-4,又m为正整数,∴m的最小值为3.7。

§6.2 等差数列及其前n 项和考纲展示►1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考点1 等差数列的基本运算1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2.答案：(1)2 同一个常数 d 2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________． (2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d 或S n ＝n a 1＋a n2.答案：(1)a n ＝a 1＋(n －1)d(1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________． 答案：52(2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：16 知三求二．等差数列中，有五个基本量，a 1，d ，n ，a n ，S n ，这五个基本量通过________，____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．答案：通项公式 前n 项和公式[典题1] (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6B ．－4C ．－2D ．2[答案] A[解析] 解法一(常规解法)：设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S 8＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3， 所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.(2)[2017·河北武邑中学高三期中]等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝( )A ．0B ．－9C ．10D ．－10[答案] A[解析] 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且公差为d ＝1，故S 1010＝a 11＋1×(10－1)＝－9＋9＝0，故选A.(3)[2017·河北唐山模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.[答案] 30[解析] 解法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 6＝6a 1＋15d ＝30.解法二：∵等差数列{a n }，故可设S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1， 即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.[点石成金] 等差数列运算的解题思路及答题步骤 (1)解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 步骤二：根据已知条件列方程求出未知量； 步骤三：利用前n 项和公式求得结果．考点2 等差数列的判断与证明等差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数.(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则该数列的通项公式为a n ＝__________. 答案：2n －1解析：由a n ＋1＝a n ＋2，知{a n }为等差数列，其公差为2，故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝__________. 答案：1＋n n －12解析：由a n ＋1－a n ＝n ，得a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，…，a n －a n －1＝n －1，各式相加，得a n－a 1＝1＋2＋…＋n －1＝n －11＋n －12＝nn －12，故a n ＝1＋n n －12.[典题2] 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)[证明] 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)[解] 由(1)，可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.[题点发散1] 若将母题条件变为：数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n .求证：{a n}为等差数列．证明：∵2S n－na n＝n，①∴当n≥2时，2S n－1－(n－1)a n－1＝n－1，②①－②，得(2－n)a n＋(n－1)a n－1＝1，则(1－n)a n＋1＋na n＝1，∴2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，∴数列{a n}为等差数列．[题点发散2] 若母题变为：已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝2－1a n－1(n≥2，n∈N*)，设b n＝1a n－1(n∈N*)．求证：数列{b n}是等差数列．证明：∵a n＝2－1a n－1，∴a n＋1＝2－1a n.∴b n＋1－b n＝1a n＋1－1－1a n－1＝12－1a n－1－1a n－1＝a n－1a n－1＝1，∴{b n}是首项为b1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．[点石成金] 等差数列的判定与证明方法n n34 117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， 所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解， 所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4， 故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n 1＋4n －32＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.解法一：所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c，b 3＝153＋c(c ≠0)． 由2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．解法二：由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．考点3 等差数列的性质及应用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋________(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则____________． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为________． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，公差为d ，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为________的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 答案：(1)(n －m )d (2)a k ＋a l ＝a m ＋a n (3)2d (5)md等差数列的基本公式：通项公式；前n 项和公式．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 5－2a 1＝27，则a 5＝________. 答案：13解析：设等差数列的公差为d ，则有2a 1＋3d ＝1,4d －a 1＝27，解得d ＝5，a 1＝－7，所以a 5＝a 1＋4d ＝13.(2)等差数列{a n }的首项为1，公差为4，前n 项和为120，则n ＝________. 答案：8解析：a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3，所以S n ＝n 1＋4n －32＝120，解得n ＝8或n ＝－152(舍去).等差数列运算的两个方法：应用性质；巧妙设元．(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 10＝12，则该数列前13项和S 13＝__________. 答案：78解析：由等差数列的性质与前n 项和公式，得S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝78.(2)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8，则{a n }的通项公式是__________．答案：a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7解析：设等差数列{a n }的前三项为a 2－d ，a 2，a 2＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝－3，a 2－d a 2a 2＋d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，d ＝－3 或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，d ＝3，所以a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.[典题3] [2017·河南洛阳统考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．36D ．27[答案] B[解析] 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.[点石成金] 在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具.1.[2017·宁夏银川模拟]已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32.若a m ＝8，则m ＝( )A ．8B ．12C ．6D ．4答案：A解析：由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得 (a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，即4a 8＝32， ∴a 8＝8，∴m ＝8.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案：60解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.考点4 等差数列前n 项和的最值问题[典题4] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17 [答案] A[解析]∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋30n＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．[题点发散1] 若将条件“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 1>0，S 5＝S 12”，如何求解？ 解：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝S 12，得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ， 解得d ＝－18a 1<0.所以S n ＝na 1＋n n －12d＝na 1＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722＋28964a 1.因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 解法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 同解法一得d ＝－18a 1<0.设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a n＝a 1＋n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≥0，a n ＋1＝a 1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 解法三：设等差数列{a n }的公差为d ， 同解法一得d ＝－18a 1<0.由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[题点发散2] 若将条件“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 3＝12，S 12>0，S 13<0”，如何求解？ 解：因为a 3＝a 1＋2d ＝12， 所以a 1＝12－2d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧144＋42d >0，156＋52d <0，解得－247<d <－3.故公差d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. 解法一：由d <0可知，{a n }为递减数列，因此，在1≤n ≤12中，必存在一个自然数n ，使得a n ≥0，a n ＋1<0， 此时对应的S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由于⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝6a 6＋a 7>0，S 13＝13a 7<0，于是a 7<0，从而a 6>0，因此S 6最大．解法二：由d <0可知{a n }是递减数列，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 3＋n －3d ≥0，a n ＋1＝a 3＋n －2d <0，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤3－12d ，n >2－12d.由－247<d <－3，可得⎩⎨⎧n ≤3－12d <3＋123＝7，n >2－12d >2＋12247＝5.5，所以5.5<n <7，故n ＝6，即S 6最大．[题点发散3] 若将“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 5>0，a 4＋a 7<0”，如何求解？解：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.[点石成金] 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 的值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大.1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B解析：依题意，得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0.又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，故选B.2．[2017·安徽望江中学模拟]设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11 答案：C解析：由题意，得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，故选C.[方法技巧] 1.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为：(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．2．数列{a n }为等差数列．(1)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1.3．若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a m b m. 4．若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠0)，则a m ＋n ＝0. [易错防范] 1.公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n (n 为正整数)；若对称轴对应在两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n 值．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 答案：C解析：由等差数列性质知，S 9＝9a 1＋a 92＝9×2a 52＝9a 5＝27， 解得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．[2015·北京卷]设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0答案：C解析：A ，B 选项易举反例．C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立．D 中，若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故D 选项错误．故选C.3．[2016·江苏卷]已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案：20解析：设等差数列{a n }公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.课外拓展阅读巧用三点共线解等差数列问题1．等差数列的求解由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }，其通项公式为a n ＝dn ＋(a 1－d )，则点(n ，a n )(n ∈N *)共线，又d ＝a n －a m n －m(n ≠m )，所以d 为过(m ，a m )，(n ，a n )两点的直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．[典例1] 若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝________.[思路分析][解析] 解法一：设数列{a n }的公差为d ，因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d .因为p ≠q ，所以d ＝－1.所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q (－1)＝0.解法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )(n ∈N *)在一条直线上．不妨设p <q ，记点A (p ，q )，B (q ，p )，则直线AB的斜率k ＝p －q q －p＝－1，如图所示， 由图知OC ＝p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q,0)，故a p ＋q ＝0.[答案] 0[典例2] 已知{a n }为等差数列，且a 100＝304，a 300＝904，求a 1 000.[思路分析][解] 因为{a n }为等差数列，则(100,304)，(300,904)，(1 000，a 1 000)三点共线，所以904－304300－100＝a 1 000－9041 000－300， 解得a 1 000＝3 004.2．等差数列前n 项和的求解在等差数列前n 项和公式的变形S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 中，两边同除以n 得S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2.该式说明对任意n ∈N *，所有的点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在同一条直线上，从而对m ，n ∈N *(m ≠n )有S n n －S m m n －m ＝d 2(常数)，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列． [典例3] 已知在等差数列{a n }中，S n ＝33，S 2n ＝44，求这个数列的前3n 项的和S 3n .[解] 由题意知，⎝⎛⎭⎪⎫n ，33n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，442n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ，S 3n 3n 三点在同一条直线上， 从而有442n －33n 2n －n ＝S 3n 3n －442n 3n －2n，解得S 3n ＝33. 所以该数列的前3n 项的和为33.。

45分钟滚动基础训练卷(一)(考查范围：第1讲～第3讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·肇庆模拟] 已知集合M＝{0，1，2}，集合N满足N⊆M，则集合N的个数是() A．6 B．7C．8 D．92．[2012·延吉质检] 设非空集合A，B满足A⊆B，则()A．∃x0∈A，使得x0∉BB．∀x∈A，有x∈BC．∃x0∈B，使得x0∉AD．∀x∈B，有x∈A3．命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”的否定为()A．∀x∈R，cos2x>cos2xB．∃x∈R，cos2x>cos2xC．∀x∈R，cos2x<cos2xD．∃x∈R，cos2x≤cos2x4．[2012·沈阳、大连联合模拟] 已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|log x4＝2}，则A∪B ＝()A．{－2，1，2} B．{1，2}C．{－2，2} D．{2}5．[2012·鹰潭一模] 关于x的不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是()A．a<1 B．a≤1C．0<a<1 D．a<06．[2012·威海模拟] 设集合A＝{－1，p，2}，B＝{2，3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．[2012·泉州四校联考] 命题p：∀x∈R，函数f(x)＝2cos2x＋3sin2x≤3，则() A．p是假命题；綈p：∃x∈R，f(x)＝2cos2x＋3sin2x≤3B．p是假命题；綈p：∃x∈R，f(x)＝2cos2x＋3sin2x>3C．p是真命题；綈p：∃x∈R，f(x)＝2cos2x＋3sin2x≤3D．p是真命题；綈p：∃x∈R，f(x)＝2cos2x＋3sin2x>38．[2013·邯郸模拟] 给出以下命题：①∃x∈R，sin x＋cos x>1；②∀x∈R，x2－x＋1>0；③“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知a，b都是实数，命题“若a＋b>0，则a，b不全为0”的逆否命题是________．10．[2012·淄博模拟] 由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．11．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x的一元二次方程①mx2－4x＋4＝0；②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，m∈Z，试求方程①和②的根都是整数的充要条件．13．命题p：－2<m<0，0<n<1；命题q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件．14．[2013·徐水模拟] 已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若p，q都是假命题，求a的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(二)(考查范围：第4讲～第12讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·江西师大附中] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0.若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1.函数h (x )＝f (x )－log 2x 零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．[2012·湖北黄冈] 设n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3，则使得f (x )＝x n 为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．a 是f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定5．设函数y ＝f (x )是定义在R 上以1为周期的函数，若g (x )＝f (x )－2x 在区间[2，3]上的值域为[－2，6]，则函数g (x )在[－12，12]上的值域为( )A ．[－2，6]B ．[－20，34]C ．[－22，32]D ．[－24，28]6．[2012·郑州质检] 定义在(－1，1)上的函数f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ；当x ∈(－1，0)时f (x )>0.若P ＝f ⎝⎛⎭⎫15＋f ⎝⎛⎭⎫111，Q ＝f ⎝⎛⎭⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为( ) A ．R >Q >P B ．R >P >Q C ．P >R >Q D ．Q >P >R7．[2012·石家庄教学质检] 设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12（x ∈A ），2（1－x ）（x ∈B ），x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，14 B.⎝⎛⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎣⎡⎦⎤0，388．[2012·哈三中等四校三模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0.则下列关于函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9．如果实数x 满足方程9x －6·3x －7＝0，则x ＝________．10．已知函数y ＝f (x )为奇函数，若f (3)－f (2)＝1，则f (－2)－f (－3)＝________．11．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·山西四校联考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋12x ，x <0，ln （x ＋1），x ≥0，若函数y ＝f (x )－kx 有三个零点，求实数k 的取值范围．13．[2013·山西忻州一中月考] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)．(1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求a 的取值范围．14．[2012·福建德化一中模拟] 某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y(万元)与技术改造投入x(万元)之间的关系满足：①y与a－x和x的乘积成正比；②x＝a2时，y＝a2；③0≤x2（a－x）≤t，其中t为常数，且t∈[0，1]．(1)设y＝f(x)，求f(x)的表达式，并求y＝f(x)的定义域；(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入．45分钟滚动基础训练卷(三)(考查范围：第4讲～第16讲，以第13讲～第16讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·济南一中模拟] 如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2，0)C ．(－2，1)D ．(0，1) 2．若0<x <y <1，则( ) A ．3y <3x B ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.⎝⎛⎭⎫14x <⎝⎛⎭⎫14y3．[2012·山西四校联考] 曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－124．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．b >c >a5．[2012·济宁检测] 函数y ＝ln 1|x ＋1|的大致图象为( )图G3－16．[2012·金华十校联考] 设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象上的点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图象大致为( )图G3－27．[2012·哈尔滨六中一模] 曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．4－2ln2B ．2－ln2C ．4－ln2D ．2ln2 8．[2012·宁夏二模] 抛物线y ＝x 2在A (1，1)处的切线与y 轴及该抛物线所围成的图形面积为( )A.13B.12C ．1D ．2 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．曲线y ＝x 3和y ＝ x 13所围成的封闭图形的面积是________．10．[2012·威海一模] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集是________．11．[2013·山西诊断] 已知函数f (x )＝e x ＋x 2－x ，若对任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤k恒成立，则k 的取值范围为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y (元)与每公斤蘑菇的出厂价x (元)的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．13．设函数f (x )＝1x ln x(x >0且x ≠1)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)已知21x>x a 对任意x ∈(0，1)恒成立，求实数a 的取值范围．14．[2012·景德镇质检] 设f (x )＝a x －ln x (a >0)． (1)若f (x )在[1，＋∞)上递增，求a 的取值范围； (2)求f (x )在[1，4]上的最小值．45分钟滚动基础训练卷(四)(考查范围：第17讲～第20讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1，3] C ．[0，3] D ．[－3，0]2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π43．[2013·南阳模拟] sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值为( ) A.23 B.12 C.14 D.134．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2π D.π45．已知函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－cos2x ，则它的周期T 和图象的一条对称轴方程是( )A ．T ＝2π，x ＝π8B ．T ＝2π，x ＝3π8C ．T ＝π，x ＝π8D ．T ＝π，x ＝3π86．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A.16B.14C.13D.127．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )图G4－18．如图G4－2，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )图G4－2A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．函数y ＝lgsin x ＋cos x －12的定义域为________．10．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．11．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式； (2)问哪几个月能盈利？13．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的取值范围．14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．45分钟滚动基础训练卷(五)(考查范围：第17讲～第24讲，以第21讲～第24讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·开封模拟] 设sin π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.792．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D. 23．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.11164．[2013·长春模拟] 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.则cos(α－β)的值为( )A.13B.23C.35D.455．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( )A ．2 B.12C ．3 D.136．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.17B.15C.152D ．37．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α＝( ) A.π3 B.π4 C.π2 D.π68．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位长度，平移后的部分图象如图G5－1所示，则平移后的图象图G5－1所对应函数的解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________．10．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．11．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的图象具有相同的对称中心，则φ＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)若a ∥b ，求sin x 和cos2x 的值；(2)若a ·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫12k π＋13π6＋x (k ∈Z )，求tan ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的值．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．14．如图G5－2，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？图G5－245分钟滚动基础训练卷(六)(考查范围：第25讲～第27讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 2．若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a ≠±b ，则a 与b 一定满足( ) A ．a 与b 的夹角等于α－β B ．a ⊥b C ．a ∥bD ．(a ＋b )⊥(a －b )3．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a|＝|b| D ．|a|≠|b|4．已知下列命题：①若k ∈R ，且k b ＝0，则k ＝0或b ＝0；②若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③若不平行的两个非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |，则(a ＋b )·(a －b )＝0；④若a 与b 平行，则a·b ＝|a |·|b |.其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．已知向量a ，e 满足：a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )6．如图G6－1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )图G6－1A ．0B ．4C ．8D ．－47．等腰直角三角形ABC 中，A ＝π2，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边界上运动，则BP →·AM →的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－2，0]8．已知两点M (－3，0)，N (3，0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3，0)的距离d 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．10．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________．11．在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|a －k b |＝3|k a ＋b |，其中k >0. (1)试用k 表示a·b ，并求出a·b 的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值； (2)当a·b 取得最大值时，求实数λ，使|a ＋λb |的值最小，并对这一结果作出几何解释．13．[2013·郑州模拟] 已知二次函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，设向量a ＝(sin x ，2) ，b ＝⎝⎛⎭⎫2sin x ，12，c ＝(cos2x ，1)，d ＝(1，2)，当x ∈[0，π]时，求不等式f (a ·b )＞f (c ·d )的解集．14．如图G6－2，平面上定点F 到定直线l 的距离|FM |＝2，P 为该平面上的动点，过P作直线l 的垂线，垂足为Q ，且(PF →＋PQ →)·(PF →－PQ →)＝0.(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点N ，已知NA →＝λ1AF →，NB →＝λ2BF →，求证：λ1＋λ2为定值．图G6－245分钟滚动基础训练卷(七) (考查范围：第28讲～第32讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 6＝12，则数列{a n }的前10项的和为( ) A ．100 B ．110 C ．120 D ．1302．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且有a 4a 6＝4a 27，则a 3＝( ) A ．1 B ．2 C.14 D.123．在等差数列{a n }中，已知a 6＝5，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．604．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 5．设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( ) A ．等于－2 B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在6．已知等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 6＝8，a 3a 4＝12，则a 2 012a 2 007＝( )A ．2B ．3C ．6D ．3或67．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －2，则a 2＝( ) A ．4 B ．12 C ．24 D ．368．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14nD.23⎝⎛⎭⎫1－12n 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9．[2012·江西卷] 设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________．10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n ＝________．11．某数表中的数按一定规律排列，如下表所示，从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式a n ＝________．1 1 1 1 1 1 … 123456 … 1 3 57 9 11 … 1 4 7 10 13 16 … 1 5 9 13 17 21 … … … … … … … …三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知等差数列{a n}，S n为其前n项的和，a5＝6，S6＝18，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝3a n，求数列{b n}的前n项的和．13．等差数列{a n}的公差为－2，且a1，a3，a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n（12－a n）(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.14．已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两个根，数列{b n}的前n项和为S n，且S n＝1－b n2(n∈N*)．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n＝a n·b n，求数列{c n}的前n项和T n.45分钟滚动基础训练卷(八)(考查范围：第33讲～第36讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a 、b ∈R ，则“a >1且0<b <1”是“a －b >0且ab>1”成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件2．不等式1x≤1的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)∪[1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)3．[2012·山东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1，6] D.⎣⎡⎦⎤－6，32 4．设a ，b ，c ，d ∈R ，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是( )A ．a ＋b ≤2cdB ．a ＋b ≥2cdC ．|a ＋b |≤2cdD ．|a ＋b |≥2cd5．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋1y的最小值是( )A ．2 3B ．4 3C ．2＋ 3D ．4＋2 3 6．爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v 1，下山的速度为v 2(v 1≠v 2)，乙上下山的速度都是v 1＋v 22(甲、乙两人中途不停歇)，则甲、乙两人上下山所用的时间t 1，t 2的关系为( )A ．t 1>t 2B ．t 1<t 2C ．t 1＝t 2D ．不能确定7．实数对(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，若目标函数z ＝kx －y 在x ＝3，y ＝1时取最大值，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D ．(－∞，－1]8．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9．[2012·天津卷] 已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．图G8－110．如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图G8－1中的阴影部分(包括边界)，则这个不等式组是________．11．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用(单位：万元)恰好为每次的购买吨数，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物________吨．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．13．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲乙两种产品每吨所需要的原材料A、B、C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A 1150B 40160C 25200如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？14．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？45分钟滚动基础训练卷(九)(考查范围：第37讲～第41讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·兰州一模] 直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线2．如图G9－1是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()图G9－13．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α4．[2012·广州模拟] 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知正方体的外接球的体积是4π3，则这个正方体的棱长是( )A.23B.33C.223D.2336．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或都交于同一点7．设m ，l 表示直线，α表示平面，若m ⊂α，则l ∥α是l ∥m 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．[2012·西安一模] 已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ⊥α⇒ m ∥n ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α； (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n . 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)9．在空间中， ①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线； ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)10．[2012·济南一模] 一个几何体的三视图如图G9－2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.图G9－211．[2013·哈尔滨期中测试] 在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是________．图G9－3三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·合肥一模] 定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP、BP与α分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．13．[2012·太原二模] 直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)若P为A1B1的中点，求证：DP∥平面BCB1，且DP∥平面ACB1.14. 如图G9－4，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，AB＝BC＝2CD.(1)在线段BE上是否存在一点F，使CF∥平面ADE?(2)求证：平面ADE⊥平面ABE.图G9－445分钟滚动基础训练卷(十)(考查范围：第37讲～第44讲，以第42讲～第44讲为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·长沙二模] 已知平面α内有一个点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．P (2，3，3)B ．P (－2，0，1)C ．P (－4，4，0)D ．P (3，－3，4)2．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ等于 ( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－2553．[2012·杭州二模] 已知a ＝(λ＋1，0，2)，b ＝(6，2μ－1，2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3，2D ．2，24．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1 B.32C ．2 D.345．[2012·银川二模] 已知二面角α－l －β的大小为120°，点B 、C 在棱l 上，A ∈α，D ∈β，AB ⊥l ，CD ⊥l ，AB ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则AD 的长为( )A.14B.13 C ．2 2 D ．2 5 6．[2012·哈尔滨三模] 已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657 7．[2013·济南期中] 已知△ABC 的三个顶点分别是A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 长为( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5 8．[2012·石家庄三模] 正四棱锥P －ABCD 的所有棱长相等，E 为PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值等于( )A.12B.22C.23D.33二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________．10．如图G10－1，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．图G10－111．如图G10－2，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则直线B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值为________．图G10－2三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·沈阳、大连联考] 如图G10－3，在底面为长方形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AP ＝AD ＝2AB ，其中E ，F 分别是PD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ；(2)在线段AD 上是否存在一点O ，使得BO ⊥平面P AC ？若存在，请指出点O 的位置并证明BO ⊥平面P AC ；若不存在，请说明理由．图G10－313．[2013·武汉期中] 如图G10－4所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB ，AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点．设AB→＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．图G10－414．[2012·长春三模] 如图G10－5所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．图G10－545分钟滚动基础训练卷(十一)(考查范围：第45讲～第48讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·青岛一模] 已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1 2．[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能3．以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋16＝0D ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0 4．[2012·广东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．15．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则|PM |的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．如图G11－1，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )图G11－1A．210 B．6C．3 3 D．2 57．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是()A．[－1，1＋22] B．[1－22，1＋22]C．[1－22，3] D．[1－2，3]8．[2012·天津卷] 设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A．[1－3，1＋3]B．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C．[2－22，2＋22]D．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·金华十校联考] 已知点A(－2，0)，B(1，3)是圆x2＋y2＝4上的定点，经过点B的直线与该圆交于另一点C，当△ABC面积最大时，直线BC的方程是________．10．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上恰有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为22，则k＝________．11．[2012·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．13．设点C 为曲线y ＝2x(x >0)上任一点，以点C 为圆心的圆与x 轴交于点E ，A ，与y 轴交于点E ，B .(1)证明：多边形EACB 的面积是定值，并求这个定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|EM |＝|EN |，求圆C 的方程．14．已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2，0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若OP →·OQ →＝－12，求直线l 的方程；(2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．45分钟滚动基础训练卷(十二)(考查范围：第45讲～第53讲，以第49讲～第53讲为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·茂名二模] 双曲线y 29－x 24＝1的焦距为( )A.13 B ．26 C ．213 D ．2 52．设双曲线以椭圆x 225＋y 29＝1长轴的两个端点为焦点，实轴长为45，则双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±2B ．±43C ．±12D ．±343．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )A.1617B.41717C.45D.2554．[2013·山西大学附中月考] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上存在一点P ，满足|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，3]B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)5．定义：离心率e ＝5－12的椭圆为“黄金椭圆”，已知E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F (c ，0)(c ＞0)，则E 为“黄金椭圆”是a ，b ，c 成等比数列的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件6．[2012·山东卷] 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝83yB ．x 2＝163yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y7．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．38．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 24＝1的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)且|PF 1|＝λ|PF 2|，则λ的值为( )A ．2 B.12 C ．3 D.13二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．10．F 是抛物线x 2＝2y 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．11．[2012·辽宁卷] 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交椭圆于点M 和N ，若PM→＝λ1MF →，PN →＝λ2NF →，则λ1＋λ2＝－2a 2b 2.在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中，λ1＋λ2的值是什么，并证明你的结论．13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (2，0)，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△OMF 是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2.14．[2012·陕西师大附中等五校联考] 到定点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比到y 轴的距离大12.记点P 的轨迹为曲线C .(1)求点P 的轨迹方程；(2)设圆M 过A (1，0)，且圆心M 在P 的轨迹上，BD 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时弦长BD 是否为定值？说明理由；(3)过F ⎝⎛⎭⎫12，0作互相垂直的两直线交曲线C 于G ，H ，R ，S ，求四边形GRHS 面积的最小值．。

姓名，年级：时间：单元质量测试（六)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分）1．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是( )A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱答案B解析易知仅圆锥的三视图中一定不会出现正方形，故选B。

2．(2019·长春质量监测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1C1与B1C所成角的余弦值为（）A．0 B．错误!C．错误!D．错误!答案B解析由题意知异面直线A1C1与B1C所成角为错误!，余弦值为错误!。

故选B。

3．(2020·陕西咸阳高三阶段测试)将正方体(如图1所示）截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（)答案B解析侧视图中能够看到线段AD1,应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故选B.4．(2019·陕西省咸阳市二模）设a,b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是( ）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α∥β,则a∥bC．若a∥α，a∥β，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β答案D解析由a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，得：若a∥α，b∥α,则a与b相交、平行或异面，故A错误；若a⊂α,b ⊂β，α∥β,则a与b平行或异面，故B错误；若a∥α，a∥β,则α与β相交或平行，故C错误；若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选D。

5．（2019·吉林调研）已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等,则该球的半径长为( ）A．5 B．错误!C．9 D．3答案B解析∵圆锥的底面半径r＝4，高h＝3,∴圆锥的母线l＝5，∴圆锥侧面积S＝πrl＝20π,设球的半径为R,则4πR2＝20π，∴R＝5。

2021版高考数学一轮总复习第六章数列题组训练34数列的基本概念理202105154821．在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 应取( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22答案 C解析 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，∴a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，∴x ＝8＋13＝21，故选C. 2．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝12n ＋1B ．a n ＝1n ＋2C ．a n ＝1n （n ＋2）D ．a n ＝12n －1答案 C解析 观看知a n ＝1（n ＋1）2－1＝1n （n ＋2）. 3．(2020·济宁模拟)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56 B.65 C.130 D ．30 答案 D解析 ∵当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n （n ＋1），∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2 017的值为( ) A ．－1 B.12 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，因此a n ＋1＝1－1a n ，因此a 2＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2，可知数列的周期为3.而2 017 ＝3×672＋1，因此a 2 017＝a 1＝2.故选C. 5．(2020·辽宁省实验中学月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n－1答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为a n ＝2n.故选C. 6．(2020·辽宁)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d<0 B ．d>0 C ．a 1d<0 D ．a 1d>0答案 C解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n >2a 1a n ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d<0.故选C.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n(n∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项答案 B解析 ∵S n ＝n 2－10n ，∴当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式．∴a n ＝2n －11(n∈N *)．记f(n)＝na n ＝n(2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图像的对称轴为直线n ＝114，但n∈N *，∴当n ＝3时，f(n)取最小值．因此，数列{na n }中数值最小的项是第3项． 8．数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序实数对(a ，b)能够是( ) A ．(21，－5) B ．(16，－1) C ．(－412，112)D ．(412，－112)答案 D解析 由数列中的项可观看规律，5－3＝10－8＝17－(a ＋b)＝(a －b)－24＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得a ＝412，b ＝－112.故选D.9．(2021·山东荷泽重点高中联考)观看下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中的小正方形的个数f(n)为( )A.（n ＋1）（n ＋2）2B.（n ＋2）（n ＋3）2C.n 2D.n 2＋n 2答案 A解析 由题意可得f(1)＝2＋1；f(2)＝3＋2＋1；f(3)＝4＋3＋2＋1；f(4)＝5＋4＋3＋2＋1；f(5)＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…；∴f(n)＝(n ＋1)＋n ＋(n －1)＋…＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2.10．(2020·郑州第二次质量推测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n≥2)，a 1＝m ，a 2＝n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017的值为( ) A ．2 017n －m B ．n －2 017m C ．m D ．n答案 C解析 依照题意运算可得a 3＝n －m ，a 4＝－m ，a 5＝－n ，a 6＝m －n ，a 7＝m ，a 8＝n ，…，因此数列{a n }是以6为周期的周期数列，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝0，因此S 2 017＝S 336×6＋1＝a 1＝m.故选C.11．(2020·湖南长沙模拟)已知S n 是各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，S n >1且S n ＝（a n ＋3）（a n ＋1）8(n∈N *)，则a n ＝( )A ．4n －1B ．4n －3C ．4n －3或4n －1D ．n ＋2 答案 A解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝（a 1＋3）（a 1＋1）8，解得a 1＝1或a 1＝3，∵S n >1，∴a 1＝3，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（a n ＋3）（a n ＋1）8－（a n －1＋3）（a n －1＋1）8，即(a n ＋a n －1)(a n －a n－1－4)＝0，∵a n >0，故a n －a n －1＝4，∴{a n }是首项为3，公差为4的等差数列，∴a n ＝3＋4(n－1)＝4n －1.12．(2020·湖北宜昌一中月考)定义a n ＝5n＋(15)n ，其中n∈{110，15，12，1}，则a n 取最小值时，n 的值为( ) A.110 B.15 C.12 D ．1答案 A解析 令5n＝t>0，考虑函数y ＝t ＋1t (t>0)，易知其中(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小．再考虑函数t ＝5n，当0<n≤1时，t ∈(1，5]，可知当n ＝110时，a n 取得最小值．故选A.13．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式能够是________． 答案 a n ＝2n ＋114．(2020·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________．答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，∴当n≥2时，a n ＝－2a n －1.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.15．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 013＝________；a 2 014＝________． 答案 1，0解析 a 2 013＝a 504×4－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.16．(2020·广东梅州质量检测)已知数列2 016，2 017，1，－2 016，－2 017，…，那个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则那个数列的前2 017项之和S 2 017等于________． 答案 2 016解析 依照题意可将该数列多写几项出来，以便观看：2 016，2 017，1，－2 016，－2 017，－1，2 016，2 017，1，….观看发觉该数列是周期为6的周期数列，且前6项的和为0.而要求的2 017＝6×336＋1，则S 2 017＝0×336＋a 2 017＝0＋a 1＝2 016.17．(2020·广州一模)设数列{a n }的各项差不多上正数，且对任意n∈N *，都有4S n ＝a n 2＋2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________． 答案 2n解析 当n ＝1时，由4S 1＝a 12＋2a 1，a 1>0，得a 1＝2； 当n≥2时，由4a n ＝4S n －4S n －1＝(a n 2＋2a n )－(a n －12＋2a n －1)， 得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n ＋a n －1>0， 因此a n －a n －1＝2，则数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.18．(2020·北京海淀区一模)数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n－1，n ≤4，－n 2＋（a －1）n ，n ≥5，(n∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范畴是________． 答案 [9，12]解析 当n≤4时，a n ＝2n－1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15. 当n≥5时，a n ＝－n 2＋(a －1)n ＝－(n －a －12)2＋（a －1）24.∵a 5是{a n }中的最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －12≤5.5，－52＋5（a －1）≥15，解得9≤a≤12.∴a 的取值范畴是[9，12]．19．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．答案 (1)a 2＝3，a 3＝6 (2)a n ＝n （n ＋1）2解析 (1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n>1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1.因此a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n （n ＋1）2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.1．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94，0.96，0.98，0.99中属于该数列中某一项值的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C2．关于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a 2>|a 1|不成立，即a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件． 3．已知数列2，5，22，…，则25是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项答案 C解析 由数列2，5，22，…的前三项2，5，8可知，数列的通项公式为a n ＝2＋3（n －1）＝3n －1，由3n －1＝25，可得n ＝7.4．已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n≥1)，则当n≥1时，a n 等于( ) A ．2nB.12n(n ＋1) C ．2n －1D ．2n－1答案 C解析 由题设可知a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2. 代入四个选项检验可知a n ＝2n －1.故选C.5．(2021·上海松江一模)在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把如此的操作叫做该数列的一次“H 扩展”．已知数列1，2.第一次“H 扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”，后得到1，4，3，5，2.那么第10次“H 扩展”后得到的数列的项数为( ) A ．1 023 B ．1 025 C ．513 D ．511答案 B解析 设第n 次“H 扩展”后得到的数列的项数为a n ，则第n ＋1次“H 扩展”后得到的数列的项数为a n ＋1＝2a n －1，∴a n ＋1－1＝2(a n －1)．∴a n ＋1－1a n －1＝2.又∵a 1－1＝3－1＝2，∴{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n －1＝2·2n －1，∴a n ＝2n ＋1，∴a 10＝210＋1＝1 025.故选B.6．(2020·辽宁沈阳二中月考)数列{a n }中，a n ＝n － 2 016n － 2 017，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44 C ．a 45，a 44 D ．a 45，a 50答案 C 解析 a n ＝1＋2 017－ 2 016n － 2 017，∴a 44<0，a 45>0，且从a 1到a 44递减，从a 45到a 100递减．7．(2020·河北省衡水中学模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n 2(a n >0，n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．10n －2B ．10n －1C ．102n －1D ．22n －1答案 D解析 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n 2(a n >0，n ∈N *)， 因此log 2a n ＋1＝2log 2a n ，即log 2a n ＋1log 2a n ＝2.又a 1＝2，因此log 2a 1＝log 22＝1.故数列{log 2a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 因此log 2a n ＝2n －1，即a n ＝22n －1.故选D.8．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 7＋a 8的值为________． 答案 28解析 a 7＋a 8＝S 8－S 6＝82－62＝28.9．(2021·广东广州5月月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋a n ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则[1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 017＋1]＝________．答案 0解析 因为a n ＋1＝a n 2＋a n ，因此1a n ＋1＝1a n （a n ＋1）＝1a n －1a n ＋1，即1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，因此1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2021＋1＝(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a 2 017－1a 2 018)＝1a 1－1a 2 018.因为a 1＝1，a 2＝2>1，a 3＝6>1，…，可知1a 2 018∈(0，1)，则1a 1－1a 2 018∈(0，1)，因此[1a 1－1a 2 018]＝0.10．(2020·安徽屯溪一中月考)已知函数f(x)＝2x －2－x，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n(n∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)讨论数列{a n }的单调性，并证明你的结论． 答案 (1)a n ＝n 2＋1－n (2)略解析 (1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log 2a n )＝－2n ， 因此2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n ＝－2n ，因此a n 2＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n±n 2＋1. 因为a n >0，因此a n ＝n 2＋1－n. (2)数列{a n }是递减数列．证明如下： 因为a n ＋1a n ＝（n ＋1）2＋1－（n ＋1）n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n（n ＋1）2＋1＋（n ＋1）<1， 又a n >0，因此a n ＋1<a n ，即数列{a n }是递减数列．11．(2020·河南洛阳第二次统一考试)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n－λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范畴． 答案 (1)a n ＝n(n∈N *) (2)(－∞，2)解析 (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1， ∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ， 即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1， ∴a n ＝n(n∈N *)． (2)b n ＝3n－λn 2. b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n－λ(2n＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，则c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1.∴{c n}为递增数列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范畴为(－∞，2)．。