高中数学第三章变化率与导数章末复习课课件北师大版选修1_1
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高中数学 第三章 变化率与导数章未分层突破课件 北师大版选修1-1.ppt
＝6x＋cos x－xsin x.
(2)法一：y′＝tan
x′·x－tan x2
x＝coxs2x－x2 tan
x
＝x－xc2ocso2sx2·txan
x＝x－xs2icnosx2coxs
x .
法二：y′＝xscionsxx′＝sin
x′xcos x－sin x2cos2 x
xxcos
x′
＝xcos2
x－sin xcos x2cos2 x
x－xsin
x
＝x－xs2icnosx2coxs
x .
(3)∵y＝1x－x22＋x53＝x－1－2x－2＋5x－3，
∴y′＝－x－2－2×(－2)x－3＋5×(－3)x－4
＝－x12＋x43－1x54 .
方程思想
利用方程的思想解题，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，需列 出这些量满足的方程(或方程组)，通过解方程(或方程组)求出它们．
[再练一题] 1．已知曲线 f(x)＝x3－3x，过点 A(0,16)作曲线 y＝f(x)的切线，求该切线方 程． 【解】 设切点坐标 M(x0，x30－3x0)． 则切线的斜率 k＝f′(x0)＝3x20－3， 切线方程 y＝(3x20－3)x＋16. 又因为点 M 在切线上， 所以 x30－3x0＝(3x20－3)x0＋16，得 x0＝－2. 所以切线方程为 y＝9x＋16.
——得方程”的过程．
已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程．
【精彩点拨】 切点坐标 → 切线斜率 → 切线方程 .
【规范解答】 (1)∵P(2,4)在曲线 y＝13x3＋43上， 且 y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 k＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为：y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt章末复习课件
������
������ =
=
2������������+(������)2
������[ (������+������)2+������+ ������2+������]
(������ + ������)2 + ������- ������2 + ������ ������
=
2������+������
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
网络构建
专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 1 设点 P 是曲线 y=f(x)=ex 上的任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.
提示:利用导数求得与直线 y=x 平行且与曲线 y=ex 相切的直线的切点, 再利用点到直线的距离公式求解.
解:
设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0),由平面几何知识
·������l→im������0[f(x)+f(x0)]
=f'(x0)·[f(x0)+f(x0)]=2f'(x0)f(x0).
答案:D
网络构建
专题探究
专题一
高中数学北师大版选修1-1课件：阶段复习课 第3章 变化率与导数
这个知识点是近几年高考的热点问题.
2.导数几何意义的应用技巧
导数几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点
是找“切点”，应注意：(1)在表示切线斜率、切线方程时均
需用切点坐标 .(2) 切点既在曲线上又在切线上，因此可用切
线方程求切点坐标 .(3) 若已知点不在曲线上，则该点与切点
连线斜率等于在切点处的导数值，这也是求切点坐标的主要 方法.
即a>1，[(1-a)x-1][(1+a)x-1]>0，
∴
1 1 x , 1 a 1 a 1 a
又∵ 0 1 1,
∴ 3 1 2,
1 a
∴直线l的方程为y=13x，切点坐标综合应用
1. 导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很
多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，
即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这是解决
问题的关键所在.
2.导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、 不等式等知识结合出综合大题.遇到解决一些与距离、面积相
关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义
分析.
【典例4】设函数f(x)=a2x2(a>0).
(1)若函数y=f(x)图像上的点到直线x-y-3=0距离的最小值
为 2，求a的值.
(2)关于x的不等式(x-1)2 >f(x)的解集中的整数恰有3个，
求实数a的取值范围.
【解析】(1)∵f(x)=a2x2，∴f'(x)=2a2x，
类型 三
导数的几何意义
1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y=f(x) 在x=x0处的瞬时变化率，导数f'(x0)的几何意义就是函数 y=f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y-y0=
2.导数几何意义的应用技巧
导数几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点
是找“切点”，应注意：(1)在表示切线斜率、切线方程时均
需用切点坐标 .(2) 切点既在曲线上又在切线上，因此可用切
线方程求切点坐标 .(3) 若已知点不在曲线上，则该点与切点
连线斜率等于在切点处的导数值，这也是求切点坐标的主要 方法.
即a>1，[(1-a)x-1][(1+a)x-1]>0，
∴
1 1 x , 1 a 1 a 1 a
又∵ 0 1 1,
∴ 3 1 2,
1 a
∴直线l的方程为y=13x，切点坐标综合应用
1. 导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很
多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，
即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这是解决
问题的关键所在.
2.导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、 不等式等知识结合出综合大题.遇到解决一些与距离、面积相
关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义
分析.
【典例4】设函数f(x)=a2x2(a>0).
(1)若函数y=f(x)图像上的点到直线x-y-3=0距离的最小值
为 2，求a的值.
(2)关于x的不等式(x-1)2 >f(x)的解集中的整数恰有3个，
求实数a的取值范围.
【解析】(1)∵f(x)=a2x2，∴f'(x)=2a2x，
类型 三
导数的几何意义
1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y=f(x) 在x=x0处的瞬时变化率，导数f'(x0)的几何意义就是函数 y=f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y-y0=
高中数学第三章变化率与导数3.3计算导数课件北师大版选修1_1
函 数 导函数 y'=0 y'=αxα-1 y'=axln a y'=
1 1 x������������ a
函
数
导函数 y'=cos x y'=-sin x y'=ex y'=
1 x 1
y=c(c 是常数) y=xα(α 为实数) y=ax(a>0, a≠1) y=loga x (a>0, a≠1) y=tan x
(2)f'(x)是关于 x 的函数, 且 f'(x)= lim
f(x+ ������x)-f(x) , ������x Δ������ →0
称f'(x)为f(x)的导函数,简称为导数. 名师点拨导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数 的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点处的导数,就是求函数 在某点处的导数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在x0处的导数就 是导函数f'(x)在x0处的函数值.
【做一做1】 若f(x)=2x2+3x+1,则 f'(x)= ,f'(1)= ,f'(-2)= . 解析:Δy=f(x+Δx)-f(x)=2(x+Δx)2+3(x+Δx)+1-2x2-3x1=2(Δx)2+4x·Δx+3Δx,
f'(x)= lim
������y Δ������ →0 ������x
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
利用导数公式求导数
【例2】 求出下列函数的导数. 4 (1)y=ex;(2)y=10x;(3)y=x2· x3 ;(4)y= x3;(5)y=lo������1x.
1 1 x������������ a
函
数
导函数 y'=cos x y'=-sin x y'=ex y'=
1 x 1
y=c(c 是常数) y=xα(α 为实数) y=ax(a>0, a≠1) y=loga x (a>0, a≠1) y=tan x
(2)f'(x)是关于 x 的函数, 且 f'(x)= lim
f(x+ ������x)-f(x) , ������x Δ������ →0
称f'(x)为f(x)的导函数,简称为导数. 名师点拨导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数 的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点处的导数,就是求函数 在某点处的导数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在x0处的导数就 是导函数f'(x)在x0处的函数值.
【做一做1】 若f(x)=2x2+3x+1,则 f'(x)= ,f'(1)= ,f'(-2)= . 解析:Δy=f(x+Δx)-f(x)=2(x+Δx)2+3(x+Δx)+1-2x2-3x1=2(Δx)2+4x·Δx+3Δx,
f'(x)= lim
������y Δ������ →0 ������x
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
利用导数公式求导数
【例2】 求出下列函数的导数. 4 (1)y=ex;(2)y=10x;(3)y=x2· x3 ;(4)y= x3;(5)y=lo������1x.
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
解
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
21＋Δx2－2×12 Δx
4Δx＋2Δx2
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (4＋2Δx)＝4， Δx→0
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程.
解 点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设 f2－f1＝ 2－1
a，则下列不等式正确的是 A.f′(1)<f′(2)<a
√B.f′(1)<a<f′(2)
C.f′(2)<f′(1)<a
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的 值及切点坐标.
D.a<f′(1)<f′(2)
解析 由图像可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越
来越大，
f2－f1
∵
＝a，∴易知 f′(1)<a<f′(2).
2－1
(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积 为 16，则a＝__±_1__.
高中数学北师大版选修1-1课件：第3章 §1 变化的快慢与变化率
【知识点拨】 1.对函数平均变化率的两点说明 (1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球
的膨胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念 .
定义为函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值 y . x (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线 陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
为
二、瞬时变化率 对于函数y=f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中 (1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为___________ 平均变化率 ，
y f x1 f x 0 f (x 0 x) f x 0 记作：__________________________________. x x1 x 0 x
类型 一
求函数的平均变化率
【典型例题】1.在曲线 y=x2+1的图像上取一点(1，2)及附近 一点(1+Δ x,2+Δ y),则 y 为( ) x A. x 1 2 B. x 1 2 x x C.Δ x+2 D.2 x 1 x 2.求y=2x2+1在x0到x0+Δ x之间的平均变化率，并求x0=1，
2.平均变化率与瞬时变化率的关系
(1)区别：平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数
值在区间［x1,x2］上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在
x0点处变化的快慢.
y 趋于一个常数， x 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
(2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率
3.对瞬时变化率的两点说明 (1) 平均变化率随着自变量，区间的变化而变化，在某一点 处的瞬时变化率是一个固定值. (2)用平均变化率估计瞬时变化率不一定是精确值，但在一 定精确度的情况下，不影响其取值的严谨性.
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt章末归纳总结课件
函数 y＝f(x)的导函数 f ′(x)，就是当 Δx→0 时，函数的增
量 Δy 与自变量的增量 Δx 之间的比值ΔΔxy的极限，即 f ′(x)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
2．导数的意义 (1)几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是曲 线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k，即 k＝f ′(x0)． (2)物理意义：函数 s＝s(t)在点 t 处的导数 s′(t)，就是当物 体的运动方程为 s＝s(t)时，运动物体在时刻 t 时的瞬时速度 v， 即 v＝s′(t)．而函数 v＝v(t)在 t 处的导数 v′(t)，就是运动物 体在时刻 t 时的加速度 a，即 a＝v′(t)．
• 6l求． 1，KQ设若的直l长2线交．lx1轴与于曲Q线点y，＝又相作切P于K垂P，直直于线x轴l2过，P垂且足垂为直K于，
• [分析] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变 形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算 量，提高运算速度，减少差错．
[解析] (1)y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
1
1
(2)先化简，得 y＝－x2 ＋x－2
∴y′＝－12x－12 －12x－23 ＝－2x＋ x 1x.
(3)y′＝x2′sinsxi－n2xx2sinx′ ＝2xsinsxi－n2xx2cosx. (4)解法 1：y′＝2csoisnxx＋3scionsxx′ ＝2csoinsxx′＋3csoinsxx′ ＝2cos2cxo＋s22xsin2x＋－3sins2ixn－2x3cos2x ＝co2s2x－sin32x.
[解析] (1)y＝u－4，u＝1－3x. ∴y′＝y′u·u′＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4·u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝1－123x5.
北师大版数学高二选修1-1课件 第三章 变化率与导数 章末复习
跟踪训练1 设函数f(x)＝1 x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的 3
一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行. (1)求a的值； 解 ∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9， ∴f′(x)min＝－a2－9， 由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去). 故a＝1.
1 f′(x)＝_x_l_n_a_
1 f′(x)＝__x__
1 f′(x)＝_c_o_s_2x_
f′(x)＝_－__s_in_12_x_
4.导数的四则运算法则 设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝__f′__(_x_)＋__g_′__(_x_)__
差的导数 [f(x)－g(x)]′＝_f_′__(x_)_－__g_′__(_x_)
题型探究
类型一 导数几何意义的应用
例 1 求过曲线 y＝sin x 上点 Pπ6，12且与过这点的切线垂直的直线方程. 解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
曲线在点 Pπ6，12处的切线斜率 k＝cos π6＝ 23， ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为－ 23， 故所求的直线方程为 y－12＝－ 23(x－π6)， 即 2x＋ 3y－ 23－π3＝0.
＝
x4
xsin x＋2cos x
＝－
x3
.
解答
反思与感悟 有关导数的计算应注意以下两点 (1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、 商的导数运算法则. (2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化 简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四 则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化 为和、差的形式，尽量少用积、商求导.
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章变化率与导数3计算导数
其中正确的有
A.0个
B.1个
解析
5 ∵② x3
＝
5
x
2
3，
3
√C.2个
D.3个
∴②错误，故选C.
12345
2.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于
√A.
3 6
B.0
1 C.2 x
3 D. 2
解析 ∵f′(x)＝( x)′＝21 x，
∴f′(3)＝2 1 3＝
3 6.
12345
1 3.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝__e__. 解析 ∵f′(x)＝xln1 a， 又 f′(1)＝ln1a＝－1，∴a＝1e.
＝x＋1Δx＋5－1x＋5
－Δx
＝
，
x＋Δx·x
∴ΔΔyx＝x＋－Δ1x·x，
∴f′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
x＋－Δ1x·x＝－x12.
∴f′(2)＝－14.
题型二 导数公式表的应用
例2 求下列函数的导数. (1)y＝sin π3； 解 y′＝0.
(2)y＝x x；
3
解 因为 y＝x x＝x 2，
1 2
x0
1 2
＝xa0，
即
a＝
1 2
Байду номын сангаас
1
x0 2，
①
∵点(x0，y0)为两曲线的交点，
∴ x0＝aln x0，
②
由①②可得x0＝e2， 将 x0＝e2 代入①得 a＝2e.
3 达标检测
PART THREE
1.下列结论：
①(sin
x)′＝cos
x；②
5 x3
高中数学北师大版选修1-1第三章《变化率与导数》ppt章末复习课件2
在点x处也有导数，且 y'x y'u u'x 或
f′x( (x))=f′(u) ′(x).
例题探析
例1、求下列函数的导数：
⑴ y x3 x3 ln x
⑵ y x2 (x 3)( x 3)
⑶yx
x2
1 sin 2x, x (0, ) ⑷
4
y
e 2 x1 (1 3x)3
解： x 1 是方程 f (x) 0 的根，即
3ax 2
2bx
c
0
的两根，
2b。 3a
0
①
又 f (1) 1
c
1
②
，∴ a b c 1
3a
③由①②③得
a 1 ,b 0, c 3
2
2
【课堂小结】
1 . 了解导数的概念，初步会用定义式解决一 些问题；
直线l的斜率为k。C1：y
x 2，y
2x，k
2
x1，P1
(
k 2
,
k2 4
)
C2：y (x 2)2，y 2(
P2
(2
k 2
,
k2 4
)由斜率公式得
x 2)，k
k 2 ( k 2 )
4
4
k (2 k )
2
2
2(x2 2) ，
k，解得：k
或k
内的导函数，
记作 f / (x)＝
y/＝
y lim x0 x
lim x0
f (x x) x
f (x)
。
f′x( (x))=f′(u) ′(x).
例题探析
例1、求下列函数的导数：
⑴ y x3 x3 ln x
⑵ y x2 (x 3)( x 3)
⑶yx
x2
1 sin 2x, x (0, ) ⑷
4
y
e 2 x1 (1 3x)3
解： x 1 是方程 f (x) 0 的根，即
3ax 2
2bx
c
0
的两根，
2b。 3a
0
①
又 f (1) 1
c
1
②
，∴ a b c 1
3a
③由①②③得
a 1 ,b 0, c 3
2
2
【课堂小结】
1 . 了解导数的概念，初步会用定义式解决一 些问题；
直线l的斜率为k。C1：y
x 2，y
2x，k
2
x1，P1
(
k 2
,
k2 4
)
C2：y (x 2)2，y 2(
P2
(2
k 2
,
k2 4
)由斜率公式得
x 2)，k
k 2 ( k 2 )
4
4
k (2 k )
2
2
2(x2 2) ，
k，解得：k
或k
内的导函数，
记作 f / (x)＝
y/＝
y lim x0 x
lim x0
f (x x) x
f (x)
。
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1 xln a f′(x)＝_____
1 x f′(x)＝___
1 2 cos x f′(x)＝_____
1 － 2的运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数 f′(x)＋g′(x) [f(x)＋g(x)]′＝______________ f′(x)－g′(x) [f(x)－g(x)]′＝_____________ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) [f(x)g(x)]′＝____________________
fx0＋Δx－fx0 Δ y lim f ′ ( x ) Δ x→0 Δx 记作 ＝ . 0 ，即f′(x0)＝ lim → Δx 0 Δx
切线 2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处____ 的斜率 ，在点P处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) .
跟踪训练2
已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的
答案 解析
1 切线与x轴交点的横坐标为－2.则a的值是____.
∵f′(0)＝a， ∴y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y－2＝ax， 由题意知x＝－2时，y＝0，可得a＝1.
类型三 例3 求下列函数的导数：
2x·Δx＋Δx2 ＝Δ lim x→0 Δx[ x＋Δx2＋1＋ x2＋1] ＝Δ lim x →0 2x＋Δx x ＝ 2 . 2 2 x＋Δx ＋1＋ x ＋1 x ＋1
反思与感悟
(1)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和 Δx趋于0的方式， 函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比趋于一个固定的值.
x′· x2－cos x· x2′ x4
－sin x· x2－cos x· 2x xsin x＋2cos x ＝ ＝－ . x4 x3
反思与感悟
有关导数的计算应注意以下两点
4 3 4 3
3
3
4 3
3 2
1 3
1 2
＝4 x＋6 x.
3
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； 解答
因为y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
所以y′＝3x2＋12x＋11.
cos x (4)y＝ x2 .
解答
cos x cos y′＝ x2 ′＝
fx f′xgx－fxg′x ′＝ g2x gx
差的导数
积的导数 商的导数
题型探究
类型一
利用导数的定义解题
例1 利用导数的定义求函数y＝ x2＋1 的导数. 解答
fx＋Δx－fx Δy y′＝Δ lim ＝Δ lim x→0 Δx x→0 Δx ＝Δ lim x →0 x＋Δx2＋1－ x2＋1 Δx
知识点二
导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为
fx＋Δx－fx f′(x) ，f′(x)＝ lim ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x) Δx→0 Δx
为f(x)的导函数，通常也简称为 导数 .
知识点三 原函数 f(x)＝c(c是常数) f(x)＝xα(α为实数) f(x)＝sin x f(x)＝cos x
第三章 变化率与导数
章末复习课
学习目标
1.会求函数在某点处的导数.
2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算.
内容索引
知识梳理
题型探究 当堂训练
知识梳理
知识点一
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的 瞬时变化率 称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
fx0＋Δx－fx0 Δy 即Δx＝Δ lim . x→0 Δx
(2)在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单
变形.
跟踪训练 1
s5＋Δt－s5 2 已知 s(t)＝t＋ t ，求Δ lim . x→0 Δt
解答
s5＋Δt－s5 ∵Δ lim ＝ s ′ (5) ， x→0 Δt 2 又 s′(t)＝1－t2， s5＋Δt－s5 2 23 ∴Δ lim ＝ s ′ (5) ＝ 1 － ＝ . x→0 Δt 25 25
类型二
导数的几何意义
例2 函数y＝f(x)的图像如图，下列数值的排序正确的是
A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)
B.0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
答案
解析
C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)
D.0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
Δy f3－f2 过点(2，f(2))和点(3，f(3))的割线的斜率 k＝Δx＝ ＝f(3)－f(2)， 3－2
导数的计算
(1)y＝x2－ln x＋ax＋π； 解答
y′＝(x2－ln
3
x＋ax＋π)′＝(x2)′－(ln
＝2x－ x)′＋(ax)′＋π′
1 x ＋ a ln a. x
(2)y＝3 x4＋4 x3； 解答
(3 x )＋ (4 x ) 4 x 6 x y′＝(3 x ＋4 x )′＝(3 x )′＋(4 x )′
又由导数的几何意义并结合题干中的图像可知
0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选B.
反思与感悟
导数的几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点是找 “切点”，应注意： (1)在表示切线斜率、切线方程时均需用切点坐标； (2)切点既在曲线上又在切线上，因此可用切线方程求切点坐标； (3)若已知点不在曲线上，则该点与切点连线斜率等于在切点处的导数 值，这也是求切点坐标的主要方法.
基本初等函数的导数公式 导函数 f′(x)＝0
αxα－1 f′(x)＝_____ cos x f′(x)＝_____ sin x f′(x)＝－ ______
axln a f′(x)＝_____ ex f′(x)＝__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f(x)＝ln x f(x)＝tan x f(x)＝cot x