第一章有限差分法 ppt课件

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《有限差分方法基础》课件

应用前景
总结了有限差分方法在科学计算、工程仿真、金融建模等领域的应用前景，以及在未来的发展趋势和挑战。
展望
技术发展
展望了有限差分方法在未来的技术发展趋势，如高精度、高效率、并行化等，以及与其他数值方法的结合应用。
应用领域拓展
探讨了有限差分方法在解决复杂问题中的应用潜力，如多物理场耦合、非线性问题等。
有限差分方法的重要性
有限差分方法是一种通用、有效的数值计算方法，适用于各种微分方程的求解，尤其在偏微分方程的数值求解中应用广泛。
它能够处理复杂的边界条件和初始条件，提供精确度和稳定性较高的数值解，是科学研究、工程技术和实际应用中常用的数值计算工具之一。
有限差分方法的历史与发展
有限差分方法最早可以追溯到19世纪中叶，随着计算机技术的发展，有限差分方法得到了广泛的应用和发展。有限差分方法的实现有限差分方法的编程实现
编程语言选择
选择适合的编程语言，如Python、C或Matlab，以便高效地实现有限差分方法。
离散化过程
将连续的问题离散化，将连续的时间和空间变量转换为离散的数值。
迭代过程
使用迭代法逐步逼近问题的解，每一步使用差分公式进行计算。
有限差分方法的数值稳定性
数值稳定性定义
数值稳定性是指随着迭代次数的增加，解的数值误差不会无限增大，而是逐渐收敛到真实解。
稳定性和差分方案的关系
不同的差分方案对应不同的数值稳定性，需要选择稳定的差分方案以获得可靠的数值结果。
数值稳定性的判定方法
通过分析差分方案的系数矩阵的特征值来判断数值稳定性，确保特征值在稳定区域内。
理论完善
展望了有限差分方法的理论研究前景，如数学证明、误差估计、收敛性分析等。

数值方法课件_有限差分法

土
工
数
值
计
算
方
法
法分差限有讲二第
2.5 基本原理
1)问题的提出 1)问题的提出 2)稳定性和收敛性 2)稳定性和收敛性 3)差分法的求解步骤 3)差分法的求解步骤
土
工
数
值
计
算
方
法
法分差限有讲二第
2.5 基本原理
3)差分法的求解步骤 3)差分法的求解步骤
①对求解区域进 ①对求解区域进行网格划分；行网格划分； ②选择逼近微分 ②选择逼近微分方程定解问题方程定解问题的差分格式；的差分格式；
¶ 2V c ¶V 2 c -1 ¶V = ( ) + V ¶T ¶ 2 z V ¶z v
1.7
土
工
数
值
计
算
方
法
2.6 例子
法分差限有讲二第
软粘土地基非线性一维固结分析软粘土地基非线性一维固结分析
定解条件变为：定解条件变为： V = 1 ; （1） T v = 0 : （2） Z = 0 : V = b ; （3） Z = 1 :
算
方
法
法分差限有讲二第
2.1 优点与局限性
不适应
规则边界的问题规则边界的问题
应适
简便、易编程简便、易编程不规则边界的问题不规则边界的问题
土
工
数
值
计
算
方
法
法分差限有讲二第
2.2 基本思路
1
3
2
将求解区域将求解区域划分成网格划分成网格
差分方程解差分方程解作为微分方作为微分方程近似解。程近似解。

有限差分法PPT课件

有限差分法在求解导热微分方程中的应用
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
12
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为步长对其进行网格划分。（3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组否
收敛？是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分

有限差分法(1)FLAC2D精品PPT课件

i=10, j=21
i=21, j=21
i=1, j=21
I
II
i=1, j=1
i=10
i=21, j=1
3.5 特殊形状的网格（1）圆形 gen circle xc,yc rad
rad xc,yc
3.5 特殊形状的网格（2）弧线 gen arc xc,yc xb,yb theta
xc,yc
1. 整个迭代过程需要遵循非线性定律。
2. 解算时间增加 N2 甚至 N3。 2. 对同样问题，计算时间增加N3/2 。
3. 模拟物理不稳定性困难。 3. 物理不稳定不会引起数值不稳定。
4. 因为无需存储矩阵，用少量内存可以模拟大型问题。
4. 需要大内存，或大容量硬盘存储。
5. 大应变、大位移和转动模拟无需额外机时。
下式用于计算应变增量, eij :
ui 1
x j 2 A S
ui(a) ui(b) n jS
eij
1 2
ui x j
u j xi
t
一旦计算出全部应力，可以从作用每个三角形边界上产生的牵引力计算得到结点力。例如：
Fi
1 2
ij
(n
j
(1)
S
(1)
n j(2)S (2) )
然后，用“传统”的中间差分公式获得新的速度和位移：
bar cm/s2
Bar/cm
Imperial ft
slugs/ft3 Ibf
Ibf/ft2 ft/sec2
Ibf/ft3
In snails/in3
Ibf psi in/sec2
Ib/in3
（2）参数换算 K E
3(1 2)
(bulk mod ulus)

有限差分法基本原理PPT课件

uin1

uin

a
t x
(uin

un i 1
)

ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）
uin1 uin uin1 uin 0
t
x

ui0 u (xi )
uin 1

uin

a
t x
(uin1

uin )

ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
限差分方程的解是收敛T的(i。, n)

lim
x0,t
0
Ti
t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
3.稳定性稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。
在数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
T n1 i
Ti n

t x 2
(Ti
n 1

2Ti n

Ti
n 1
),
S

t x 2
Ti n1

STi n1

(1
2S )Tin

STi
n 1
上式T中i n 近似数值

有限差分方法基础ppt课件

t

x
0
(x,0) (x)
这里 (x) 为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：
（2-7）

n1 i

n i

n i 1

n i 1
0
t
2x

0 i

(xi )
（2-8）
初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。
图1-3 均匀和非均匀网格实例2
22
第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）
差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。
FTCS格式的截断误差为
Rin O(t, (x)2 )
FTFS和FTBS格式的截断误差为
Rin O(t, x)
3种格式对 t 都有一阶精度。
（2-12）（2-13）
30
第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）
25
第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为 O(t) ,
用空间中心差商代替空间导数时的误差为 O((x)2 ) ，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
表2

有限差分法基本原理47页PPT

1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
文家。汉族，东晋浔阳柴桑人（今江西九江）。曾做过几年小官，后辞官回家，从此隐居，田园生活是陶渊明诗的主要题材，相关作品有《饮酒》、《归园田居》、《桃花源记》、《五柳先生传》、《归去来兮辞》等。
有限差分法基本原理
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新来燕，双双入我庐，先巢故尚在，相将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，于我若 Nhomakorabea浮
烟
。
9、陶渊明（约 365年 —427年），字元亮，（又一说名潜，字渊明）号五柳先生，私谥“靖节”，东晋末期南朝宋初期诗人、文学家、辞赋家、散

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f(x)f(x h )f(x)
lim f'(x)df
f(x)
dx x 0 x
f'(x) f(x)f(xh)f(x)
x
h
4
差分与差商
前向差分
df f(x)f(xh)f(x)
dx x
h
后向差分
df f(x)f(x)f(xh)
dx x
h
中心差分
df f(x)f(xh)f(xh)
dx x
2h
断误差来计算系数
10 x 0h 12 1 ! x 22 0h 1 2 3 1 ! x 22 0h 1 3 L
10
差分格式
(1 0 )(3 0 ) x 0 (h 1 h 3 ) 2 1 ! x 2 2 0 (h 1 2 h 3 2 ) L
y0h42(2h 2h4 0()h2h 22h ( 4)40)
11
差分格式
(1 0 )(3 0 ) x 0 (h 1 h 3 ) 2 1 ! x 2 2 0 (h 1 2 h 3 2 ) L
二阶偏导数的差分格式
令方程右边的一阶偏导数的系数为0，得到系数间的表达
式
h3
h1
代入上式得到精度为O(h3)的二阶偏导数的差分格式
x 2 2 0 2(1 h 0 1 2 ) ( h 3 2 3 0 ) 2 h 3 (1 h 1 h 0 3 ) (h 1 h 1 h ( 3 ) 3 0 )
12
差分格式
当 h1 h3 h 时，上式可以简化为
6
差分与差商
前向、后向差分截断于h2 f ''(x0)/2! ，具有h的一阶精度，而中心差分法截断于2h3 f '''(x0)/3!，具有h的二阶精度，中心差分的精度比较高。
函数f（x）的二阶导数
d2 f dx2
1 x
df dx
x x
df dx
x
前向差分前向差分
1 h
f (x h) h
5
差分与差商
通过泰勒公式分析上面差分精度，在点上的一阶导数的逼近度可由泰勒公式展开
f(x 0 h )f(x 0) h f'(x 0 ) 2 1 !h 2f''(x 0 ) L
f(x 0 h )f(x 0) h f'(x 0) 2 1 !h 2f''(x 0 ) L
两式相减
f(x 0 h ) f(x 0 h ) 2 h f'(x 0 ) 3 2 !h 3 f'''(x 0 ) L
8
差分格式
二维Possion方程差分格式
2(x,y)22F(x,y)
2x 2y
有限差分法的网格划分，通常采用完全有规律的分布方式，这样可使每个离散点上得到相同形式的差分方程，有效的提高解题速度。对能填满平面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六边形）的划分方式，经常采用的是正方形网格划分，
9
差分格式
h3
h1
一阶偏导数差分格式
x
x
0 0
1 0
h1
0 3
h3
O(h2 ) O(h2 )
h2 3
h4 3
i-1
2
2
j+1
0
1
0
1
j
4
4
j-1
i
i+1
可采用待定系数的方法，提高差分格式的精度，它的思路： 1、3结点与0结点在x方向的差分用泰
勒公式展开，它们各自占有一定的权系数，以截
忽略h3以上的高次幂的项，并且令 2 / x2 项的系数为零，这样处理可以保证得到的差分格式误差为h3量级。系数为零的条件
h12h32 0hh1322
求出二阶精度精度为一阶偏导数差分格式
x 0(1 0 h 1 ) h (3 3 0 ) h 3 2 (1 h 1 h 0 3 ) (h 1 h 1 2 h ( 3 ) 3 0 )
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值——离散解。
3
1、差分与差商
用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于零时，差分变成微分
14
不同媒质分界面上的差分格式
其次，假设在分界面上没有自由电荷
a
a
n
b
b
n
B o u n d a r y :n v ( D v 1 D v 2 ) s
中心差分格式表示
a a 1a 3b b 1 b 3
把前面关于 a 1 和 b 3 式子代入上式
0 1 4 1 2 Kb 12 1 2 K Ka 34 1 K K h 2 F a
第一章有限差分法
1
主要内容
一．差分和差商二．有限差分格式三．不同媒质分界面上的差分格式及定解
问题的差分格式四．有限差分法的求解五．场强与电、磁积分量的计算六．典型算例分析
2
介绍
有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种数值方法。
h2 3
0
1
j
a 1a 3a 4a 2 4a 0 h 2 F ah4 3 b 1 b 3b 4b 2 4b 0 0 i-1
0
1
4 4
ai
b
i+1
j-1
两式中 a 1 和 b 3 是假设“虚”电位，可以利用分界面上场
量遵循的边界条件，削去它们
a ib ii
(i 0 ,2 ,4 )
f (x)
f (x) f (x h)
h
f (x h) 2 f (x) h2
f (x h)
7
差分与差商
对偏导数，可仿照上述方法，将表示为u u (x h ,y ,z) 2 u (x ,y ,z) u (x h ,y ,z)
x 2
h 2
2
x2
0
1
20
h2
3
Possion方程五点差分格式
i 1 ,ji 1 ,ji,j 1 i,j 1 4i,j h 2 F i,j
i 1 ,j i 1 ,j i,j 1 i,j 1 4 i,j 0
13
不同媒质分界面上的差分格式
L
h3
h1
2 2
j+1
分界面与网格线重合的情况