教案5__有限差分法
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数值方法课件_有限差分法
土
工
数
值
计
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
1)问题的提出 1)问题的提出 2)稳定性和收敛性 2)稳定性和收敛性 3)差分法的求解步骤 3)差分法的求解步骤
土
工
数
值
计
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
3)差分法的求解步骤 3)差分法的求解步骤
①对求解区域进 ①对求解区域进 行网格划分； 行网格划分； ②选择逼近微分 ②选择逼近微分 方程定解问题 方程定解问题 的差分格式； 的差分格式；
¶ 2V c ¶V 2 c -1 ¶V = ( ) + V ¶T ¶ 2 z V ¶z v
1.7
土
工
数
值
计
算
方
法
2.6 例子
法分差限有 讲二第
软粘土地基非线性一维固结分析 软粘土地基非线性一维固结分析
定解条件变为： 定解条件变为： V = 1 ; （1） T v = 0 : （2） Z = 0 : V = b ; （3） Z = 1 :
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.1 优点与局限性
不 适 应
规则边界的问题 规则边界的问题
应 适
简便、易编程 简便、易编程 不规则边界的问题 不规则边界的问题
土
工
数
值
计
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.2 基本思路
1
3
2
将求解区域 将求解区域 划分成网格 划分成网格
差分方程解 差分方程解 作为微分方 作为微分方 程近似解。 程近似解。
有限差分法PPT课件
有限差分法在求解导热微分方程中的应用
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
12
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
12
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分
数学物理方程--有限差分法
数学物理方法课程报告题目：声波有限差分法数值模拟学生姓名：xxx学号：xxx学院：地球科学与技术学院专业班级：xxxx教师：xxx2016年 4月12日声波有限差分法数值模拟Xxx（地球科学与技术学院研15级 学号：xxx ）摘要：数值模拟是最常用的正演模拟的方法。
它通过给出的结构模型和物理参数，模拟地震波的传播轨迹，了解其规律以及过程，然后通过计算来推断观测点的地震记录。
根据求解方法，地震波方程数值解法可分为有限元法、伪谱法、有限差分法。
根据本门课程的要求，并且有限差分法具有内存占用较小，精度较高等优点，本文主要采用这种方法进行模拟。
关键词：数值模拟，声波，有限差分正文1、 引言在勘探过程中，数值模拟的作用很大。
例如：1、采集上，可用于设计或者优化野外观测系统；2、处理上，可以通过数值模拟来检验是否采用了正确的反演方法。
将正演反演不断的逼近，从而使结果更加准确；3、解释上，还可以检测一下解释的资料是否正确。
而有限差分法是数值模拟最常用的方法，本文利用有限差分法，通过对声波进行正演模拟，来了解其在地下的传播规律及特点。
2、 二维各向同性介质声波方程数值模拟 使用规则网格差分对二阶方程进行求解。
具体过程：在x 方向上，关于0x 对称分布的2N 个网格节点的坐标分别为x q x N ∆-0， x q x N ∆--10，……，x q x ∆-10，x q x ∆+10，……x q x N ∆+-10，x q x N ∆+0。
其中，x ∆表示节点间的最小间距；i q 表示任意正整数。
2N 个网格节点所对应的函 数值已知，分别为()x q x f N ∆-0，()x q x f N ∆--10，……，()x q x f ∆-10， ()x q x f ∆+10……，()x q x f N ∆+-10，()x q x f N ∆+0。
利用Taylor 级数展开求解 ()x f 在点0x 处的一阶导数近似值。
有限差分法的基本知识2-PPT文档资料
函 数P( x, y )及Q( x, y )在 上有 一 阶 连 续 偏 导 数有， 则
(
D
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Q
dy
L
(
P
cos
Qcos
)ds
其 中L是D的 取 正 向 的 边 界 曲 线 。
其 中( x, y )、( x, y )为 有 向 曲 线L上 弧( x, y )处 的 切 线
f(x)f(x0)f(x0)x (x0) f(nn )(!x0)(xx0)nR n(x)
R n(x)是余 R n(项 x)o (， x (x 0)且 n) (xx0).
设u是方程(1.1)的解，对于任何节(点j, n)，u的微商 与差商之间的关系式
u( x j
,
tn1)
u( x j
,
tn )
t
tn
)
x
u(
xj
,
tn
)
o(h2 ),(中心差商）(1.
由于 u是方(1.程 1)的解，所以满足
tu(xj,tn)cxu(xj,tn)0,
(1.6)
因(1 此 .2 )和 (1 .从 3 )得 到
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn ) cu (x j 1 ,tn ) u (x j,tn ) 0 ( h ),(1 .7 ) h
1 2
( u nj 1
unj ),
于是h~ h，~ ,从(1.15)得到
unj 1
unj 1
c
h
( u nj 1
unj1 )
(1.16)
这 是 一 个 常 用 的 差 分 格式 ， 称 为 蛙 跳 格 式 。
计算电磁学-第4章-有限差分法
同样对微分方程的解y(x)在点(xn,yn)进行泰勒展开
yn1 yn hf ( xn , yn )
1 ' 2 1 '' 3 y ( xn 1 ) y ( xn ) f n h f n h f n h 2! 3!
比较上面两式，只要它们前面项的系数尽可能多的相等，就 保证了截断精度。
1、差分与差商
用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。 这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于 零时，差分变成微分
f ( x) f ( x h) f ( x)， h x
df f ( x) f ( x) lim dx x 0 x
'
f ( x) f ( x h) f ( x) f ( x) x h
龙格-库塔法
选取α、β、ω系数，使两式项的系数相等
1 fn , 2 f , 3 f , 4 f ,
' n '' n ''' n
如果该关系式能够一直维持到第m阶仍能成立， 但m＋1阶不再成立，就称为m阶龙格-库塔法
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
CST粒子仿真
Pierce Gun
ＭＡＧＩＣ
cem@
dy f ( x, y ) dx y x x 0 y0
y( x) y0 f (t , y(t )dt
x0
x
欧拉近似法在函数图上用阶梯的折线代替曲线
f(x) y(x)
yn+1 yn y(x n+1)1) f(n+
5有限差分法及其应用
5 有限差分法及其应用
微分方程及其解法
材料科学中的许多实际问题都可以归结为一个 微分方程的求解问题，例如扩散问题、传热问 题、焊接应力等。 一般来说，处理一个特定的物理问题，除了需 要知道其演化方程外，还应同时知道问题的定 解条件。 然而只有在十分简单的情况下并作许多简化的 假定，才有可能求得这些方程的解析解。
如采用向前差公式 ( y n 1 y n ) / h f ( x n , y n ) 向后差分公式 ( y n 1 y n ) / h f ( x n 1 , y n 1 ) 中心差分公式 ( y n 1 y n 1 ) / 2h f ( x n , y n )
移项整理解出yn+1 ，可以写出递推公式
2014-12-26
application of computer in materials
12
§5.2 FD的计算方法
很多物理问题都可抽象称微分方程或 方程组的求解，下面用一个例子来讨 论用差分法解微分方程和方程组的问 题。 设有微分方程及初始条件为
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y 0
y dy x dx
application of computer in materials
5
§5.1 FD的基本思想
为了建立差分方程，首先应将定 义域离散化 , 通过网络划分方法 将函数定义域划分成大量相邻而 不重合的子区域。 网络分割是任意的,但通常根据边 界的形状 , 采用最简单 , 最有规律 , 和边界的拟合程度最佳的方法来 分割。 常常采用规则的分割方式，便于 计算机自动实现和减小计算复杂 性，如正方形、矩形和三角形分 割。对圆形场域,应用极网络。
2014-12-26 application of computer in materials 4
微分方程及其解法
材料科学中的许多实际问题都可以归结为一个 微分方程的求解问题，例如扩散问题、传热问 题、焊接应力等。 一般来说，处理一个特定的物理问题，除了需 要知道其演化方程外，还应同时知道问题的定 解条件。 然而只有在十分简单的情况下并作许多简化的 假定，才有可能求得这些方程的解析解。
如采用向前差公式 ( y n 1 y n ) / h f ( x n , y n ) 向后差分公式 ( y n 1 y n ) / h f ( x n 1 , y n 1 ) 中心差分公式 ( y n 1 y n 1 ) / 2h f ( x n , y n )
移项整理解出yn+1 ，可以写出递推公式
2014-12-26
application of computer in materials
12
§5.2 FD的计算方法
很多物理问题都可抽象称微分方程或 方程组的求解，下面用一个例子来讨 论用差分法解微分方程和方程组的问 题。 设有微分方程及初始条件为
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y 0
y dy x dx
application of computer in materials
5
§5.1 FD的基本思想
为了建立差分方程，首先应将定 义域离散化 , 通过网络划分方法 将函数定义域划分成大量相邻而 不重合的子区域。 网络分割是任意的,但通常根据边 界的形状 , 采用最简单 , 最有规律 , 和边界的拟合程度最佳的方法来 分割。 常常采用规则的分割方式，便于 计算机自动实现和减小计算复杂 性，如正方形、矩形和三角形分 割。对圆形场域,应用极网络。
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第五讲——显式差分和隐式差分(5)
回顾
1. 有限差分法基础 2. 差分格式 3. 差分方程 4. 边界条件的处理
5. 相容性、稳定性和收敛性
回顾
1. 有限差分法的相容性、稳定性和收敛性 相容性：针对差分格式而言，在时间步长和空间步长趋近于零的情况下， 如果差分格式的截断误差（差分格式与原有偏微分方程之差）的模趋近于零， 则该差分格式与原偏微分方程是相容的，或称该差分方程与原偏微分方程 具有相容性。
一般差分格式
Forward-Time Central-Space method Backward -Time Central -Space method
1/ 2
Crank-Nicolson 隐式差分格式
一种隐式差分格式的程序实现
1 求解区域：
2
3
4 边界条件： 初始条件：
5
6
内部节点：
n1 n1 n1 n n n sTi (2 2 s ) T sT sT (2 2 s ) T sT 1 i i 1 i 1 i i 1
Crank-Nicolson 隐式差分格式
n1 n1 n1 n n n sTi sTi 1 (2 2s)T i 1 sTi 1 (2 2s)Ti sTi 1
隐式有限差分格式
Crank-Nicolson 隐式差分格式
Ti n1 Ti n n 1 n 1 n 1 n n n (( T 2 T T ) ( T 2 T T i 1 i i 1 i 1 i i 1 )) 2 t 2(x)
Ti n1 Ti n n 1 n 1 n 1 n n n (( T 2 T T ) ( T 2 T T i 1 i i 1 i 1 i i 1 )) 2 t 2(x)
1. 有限差分法基础 2. 差分格式 3. 差分方程 4. 边界条件的处理
5. 相容性、稳定性和收敛性
回顾
1. 有限差分法的相容性、稳定性和收敛性 相容性：针对差分格式而言，在时间步长和空间步长趋近于零的情况下， 如果差分格式的截断误差（差分格式与原有偏微分方程之差）的模趋近于零， 则该差分格式与原偏微分方程是相容的，或称该差分方程与原偏微分方程 具有相容性。
一般差分格式
Forward-Time Central-Space method Backward -Time Central -Space method
1/ 2
Crank-Nicolson 隐式差分格式
一种隐式差分格式的程序实现
1 求解区域：
2
3
4 边界条件： 初始条件：
5
6
内部节点：
n1 n1 n1 n n n sTi (2 2 s ) T sT sT (2 2 s ) T sT 1 i i 1 i 1 i i 1
Crank-Nicolson 隐式差分格式
n1 n1 n1 n n n sTi sTi 1 (2 2s)T i 1 sTi 1 (2 2s)Ti sTi 1
隐式有限差分格式
Crank-Nicolson 隐式差分格式
Ti n1 Ti n n 1 n 1 n 1 n n n (( T 2 T T ) ( T 2 T T i 1 i i 1 i 1 i i 1 )) 2 t 2(x)
Ti n1 Ti n n 1 n 1 n 1 n n n (( T 2 T T ) ( T 2 T T i 1 i i 1 i 1 i i 1 )) 2 t 2(x)
有限差分法(1)FLAC2D精品PPT课件
i=10, j=21
i=21, j=21
i=1, j=21
I
II
i=1, j=1
i=10
i=21, j=1
3.5 特殊形状的网格 （1）圆形 gen circle xc,yc rad
rad xc,yc
3.5 特殊形状的网格 （2）弧线 gen arc xc,yc xb,yb theta
xc,yc
1. 整个迭代过程需要遵循非线性定律。
2. 解算时间增加 N2 甚至 N3。 2. 对同样问题，计算时间增加N3/2 。
3. 模拟物理不稳定性困难。 3. 物理不稳定不会引起数值不稳定。
4. 因为无需存储矩阵，用少量内存 可以模拟大型问题。
4. 需要大内存，或大容量硬盘存储。
5. 大应变、大位移和转动模拟无需 额外机时。
下式用于计算应变增量, eij :
ui 1
x j 2 A S
ui(a) ui(b) n jS
eij
1 2
ui x j
u j xi
t
一旦计算出全部应力，可以从作用每个三角形边界上 产生的牵引力计算得到结点力。例如：
Fi
1 2
ij
(n
j
(1)
S
(1)
n j(2)S (2) )
然后，用“传统”的中间差分 公式获得新的速度和位移：
bar cm/s2
Bar/cm
Imperial ft
slugs/ft3 Ibf
Ibf/ft2 ft/sec2
Ibf/ft3
In snails/in3
Ibf psi in/sec2
Ib/in3
（2）参数换算 K E
3(1 2)
(bulk mod ulus)
2有限差分法及热传导数值计算PPT演示课件
t1
1 a11
(b1
a12t2
a13t3 )
t2
1 a 22
(b2
a 21t1 a 23t3 )
1 t3 a 33 (b3 a 31t1 a 32t2 )
•24
（2）假设一组解（迭代初场），记为： t1(0)、t2(0)并、t代3(0) 入迭代方程求得第一 次解
每次计算t1(1)均、t用2(1)、最t3(1新) 值代入。
(1) 平直边界上的节点
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向 该元体传递的热流密度为q ，据能量守恒定律对该元体有：
tm1,n tm,n ytm,n1tm,n x
x
y 2
x
2
tm,n1 tm,n y
Φm,n
2xyyqw
0
Байду номын сангаас
xy tm ,n1 4 2 tm 1 ,n tm ,n 1 tm ,n 1 x2 Φ m ,n 2 x q w
非稳态项 的离散有三种不同的格式。如果将函数在节 点(n，i+1)对点(n，i)作泰勒展开，可有
•30
•31
由式(b)可得在点(n，i)处一阶导数的一种差分表示式 , 的向前差分:
类似地，将t在点(n，i-1)对点(n，i)作泰勒展开，可得 的向后差分的表达式：
如果将t在点(n，i+1)及(n，i-1)处的展开式相加，则可得 一阶导数的中心差分的表达式：
qw
y x
•16
(3) 内部角点
如图所示内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的假设条 件下有
tm1,ntm,ny tm,n1tm,nx tm,n1tm,n x
x
数学物理方程--有限差分法
数学物理方法课程报告题目：声波有限差分法数值模拟学生姓名：xxx学号：xxx学院：地球科学与技术学院专业班级：xxxx教师：xxx2016年 4月12日声波有限差分法数值模拟Xxx（地球科学与技术学院研15级 学号：xxx ）摘要：数值模拟是最常用的正演模拟的方法。
它通过给出的结构模型和物理参数，模拟地震波的传播轨迹，了解其规律以及过程，然后通过计算来推断观测点的地震记录。
根据求解方法，地震波方程数值解法可分为有限元法、伪谱法、有限差分法。
根据本门课程的要求，并且有限差分法具有内存占用较小，精度较高等优点，本文主要采用这种方法进行模拟。
关键词：数值模拟，声波，有限差分正文1、 引言在勘探过程中，数值模拟的作用很大。
例如：1、采集上，可用于设计或者优化野外观测系统；2、处理上，可以通过数值模拟来检验是否采用了正确的反演方法。
将正演反演不断的逼近，从而使结果更加准确；3、解释上，还可以检测一下解释的资料是否正确。
而有限差分法是数值模拟最常用的方法，本文利用有限差分法，通过对声波进行正演模拟，来了解其在地下的传播规律及特点。
2、 二维各向同性介质声波方程数值模拟 使用规则网格差分对二阶方程进行求解。
具体过程：在x 方向上，关于0x 对称分布的2N 个网格节点的坐标分别为x q x N ∆-0， x q x N ∆--10，……，x q x ∆-10，x q x ∆+10，……x q x N ∆+-10，x q x N ∆+0。
其中，x ∆表示节点间的最小间距；i q 表示任意正整数。
2N 个网格节点所对应的函 数值已知，分别为()x q x f N ∆-0，()x q x f N ∆--10，……，()x q x f ∆-10， ()x q x f ∆+10……，()x q x f N ∆+-10，()x q x f N ∆+0。
利用Taylor 级数展开求解 ()x f 在点0x 处的一阶导数近似值。
有限差分法基本原理PPT课件
uin1
uin
a
t x
(uin
un i 1
)
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）
uin1 uin uin1 uin 0
t
x
ui0 u (xi )
uin 1
uin
a
t x
(uin1
uin )
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
限差分方程的解是收敛T的(i。, n)
lim
x0,t
0
Ti
t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。
在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
T n1 i
Ti n
t x 2
(Ti
n 1
2Ti n
Ti
n 1
),
S
t x 2
Ti n1
STi n1
(1
2S )Tin
STi
n 1
上式T中i n 近似数值
详细版第四章偏微分方程的有限差分法.ppt
算
物 理
ui,k1 ui1,k (1 2 )ui,k ui1,k
学 ui,0 (ih)
u0,k g1(k ) ul,k g2 (k )
i=0,1, ,N k=0,1, ,M
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 显示差分递推公式的稳定性：
算
物 理
ui,k ui',k i,k k i,k
计
算 一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：
物 理 学
u 2u
t x2
0t T 0 xl
为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初 始条件。
定解条件：边界条件和初始条件。
定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 对于一维热传导问题（第一类边界条件）
计 同样，在节点（xi,tk）上
算
物
理 学
( x, t )
u xi ,tk u xi ,tk
t xxi
t tk
ui,k 1 ui,k
一阶向前差商O(h)
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 一维热传导方程可以近似为
算 物 理 学
ui,k 1 ui,k ui1,k 2ui,k ui1,k
理
学
u t0
f1(x, y, z)
u t
t0
f2 (x, y, z)
边界条件：边界受到外界的影响
常见的物理问题可以归结为三大类边界条件
.精品课件.
4.1 有限差分法原理
1 第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
计
算
u u0(r,t)
电磁场课件5 分离变量法、有限差分法、有限元法
(1)
右式 ＝ 代入式（1）
0
mn
a
0
nπ a E n sin ( x )dx E n m n a 2
2
2 aU 0 a a E n Fn ' sh( n π ) mπ 2 2 4U 0 Fn ' m n 1,3,5,... n πsh n π
代入通解
4U 0 1 nπ nπ ( x, y ) sin( x )sh( y ) π n 1 nsh nπ a a ncos （自然边界条件），得 当 ， n 1 时，A0 B 0 0， A1 E
当 ， n 1 时，A0 B o An 0
1 ( , ) E cos
2 2 0
1 2 2
0
1 2 0
0 a
a
0， 1 根据对称性
Ex E cos
自然边界条件
( , ) ( , ) 及 ( , ) 0 2
2）分离变量,设
x x x x
若 k 0，
2 n
双曲函数 ( x, y ) 1 ( x ) 2 ( y ) ( An cos k n x Bn sin k n x )(C n chk n y Dn shk n y )
( An chk n x B n shk n x )(C n cos k n y D n sin k n y )
Bn ' Dn 'sin kn a Fn 'sin kn a 0
kn
n n ( x , y ) Fn ' sin( x ) sh y a a n 1
有限差分方法基础ppt课件
t
x
0
(x,0) (x)
这里 (x) 为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：
（2-7）
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
0 i
(xi )
（2-8）
初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起， 称为相应微分方程定解问题的差分格式。
图1-3 均匀和非均匀网格实例2
22
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）
差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表 示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中 的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。 现以对流方程为例，列出对应的差分方程。
FTCS格式的截断误差为
Rin O(t, (x)2 )
FTFS和FTBS格式的截断误差为
Rin O(t, x)
3种格式对 t 都有一阶精度。
（2-12） （2-13）
30
第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）
25
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为 O(t) ,
用空间中心差商代替空间导数时的误差为 O((x)2 ) ，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
表2
第二章 有限差分法
xr
(u x ) r =
ur +1 − u r −1 2h
xr
h % % − 2 u xx x = x = o(h) , (xr < x < xr + h) h % Er = u xx x = x = o(h) , (xr − h < x < xr ) % 2 h2 % − u xxx x = x = o(h 2 ) , (xr −1 < x < xr +1 ) % 6
第二章 有限差分法
不同算子间关系
∆ur = ur +1 − ur = Eur − ur = ( E − 1)ur
∆ = E −1
∇ur = ur − ur −1 = ur − E ur = (1 − E )ur
−1
−1
∇ = 1 − E −1
µ (δ ur ) =
δ ur +1/2 +δ ur −1/2
xr
xr
+L
ux r
ur +1 − ur −1 h2 = - uxxx r +L 2h 3!
第二章 有限差分法
不同形式一阶导数差分公式及其截断误差
ux ux = (u x ) r ≈ = (u x ) r ≈ u ( xr + h) − u ( xr ) u r +1 − ur = h h u ( xr ) − u ( xr − h) ur − ur −1 = h h
xr
h2 + u xx 2!
−L
xr
h3 − u xxx 3!
xr
+L
ux
xr
ux
xr
有限差分法基本原理-较好
如折射、反射、散射等现象。
电磁波控制
03
在电磁场模拟中，有限差分法还可以用于研究电磁波的调控技
术，如波导、滤波器等器件的设计和优化。
有限差分法在气候模拟中的应用
气候模型
气候模拟是有限差分法的另一个重要应用领域，用于研究地球气 候系统的演变和预测。
大气环流模型
通过有限差分法，可以建立大气环流模型，模拟大气中温度、湿 度、风速等变量的变化和传播。
有限差分法的稳定性分析
稳定性定义
有限差分法的稳定性是指当时间步长趋于无 穷小时，数值解的误差不会发散，而是趋于 零。
稳定性条件
为了确保有限差分法的稳定性，需要满足一定的条 件，例如CFL条件（Courant-Friedrichs-Lewy条件 ）等。
不稳定性分析
对于某些初始条件和参数，有限差分法可能 会出现数值不稳定的情况，需要进行不稳定 性分析并采取相应的措施。
3
边界条件处理
在流体动力学应用中，有限差分法需要考虑复杂 的边界条件，如固壁、滑移边界等，以实现准确 的数值模拟。
有限差分法在电磁场模拟中的应用
麦克斯韦方程
01
有限差分法可以用于求解电磁场中的麦克斯韦方程，以模拟电
磁波的传播和散射等行为。
电磁波传播
02
通过有限差分法，可以模拟电磁波在复杂介质中的传播特性，
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未来研究方向与展望
研究方向 展望
针对有限差分法的局限性和不足，未来的研究可 以关注如何改进算法，提高计算精度和稳定性， 以及如何拓展该方法的应用范围。
随着计算机技术的不断发展和数值计算方法的进 步，有限差分法有望在未来得到更广泛的应用和 更深入的研究，为解决各种科学和工程问题提供 更加有效的数值计算方法。
04有限差分法.ppt
uin n 1 n 1 a n n n ui ui ui 1 ui 1 2 ui 1 2uin uin 1 2h h uin n a n n 1 n n ui ui ui 1 ui 1 2 ui 1 2uin uin 1 或 2h h
n Rj
O t x
2
无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a，b]区间的内点，可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j
-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。
2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j
n Rj
O t x
2
无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a，b]区间的内点，可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j
-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。
2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j
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差分格式
(1
0
)
(3
0
)
x
0
(
h1
h3
)
1 2!
2
x2
0
(
h12
h32
)
L
二阶偏导数的差分格式
令方程右边的一阶偏导数的系数为0，得到系数间的表达
式
h3
h1
代入上式得到精度为O(h3)的二阶偏导数的差分格式
2
x2
0
2 (1
0 ) h12
(3 h32
0 )
n
b
b
n
a
aM
aN
b bM
bN
对M、N结点应用线性插值
aM
a1 a4
2
bN
b2
b3
2
aN
a2
a3
2
bM
b1 b4
2
a 2
N 30
L j+1 1 1 j
4
M
b j-1
i-1 i i+1
cem@
不同媒质分界面上的差分格式
把前面的 a1 ＋ a4 和 b2 ＋ b3 代入上式，得网格线
LL
LL
i1, j1 i, j2 4i, j1 i, j i1, j1 h2Fi, j1
前处理
差分方程组（代数方程组） 计算方程组（迭代法）
数据计算
离散解
插值计算其他值或可视化显示结果
cem@
后处理
有限差分法格式特点
仔细分析离散的差分方程组，例如泊松方程，从离散方程
式不难看出，该方程组的系数一般是有规律的，且方程都 很简单，每个方程的项数不多（待求量最多不超过5项）
零的条件
h12
h32
0
h32 h12
求出二阶精度精度为一阶偏导数差分格式
x
0
(1
0 ) h1
(3 h3
0 )
h32 (1
0 )
h1h3 (h1
h12 (3
h3)
0 )
y
0
h42 (2
0 ) h22 (4 0 )
h2h4 (h2 cehm4@)
呈对角线的差分格式：
0
1 4
2 1 K
(b1
b4 )
2K 1 K
(a 2
a
3
)
1
K K
h2 Fa
K a /b
cem@
定解条件的离散化 L
2
第一类边界条件的差分离散化 应用多元函数的泰勒公式，
h
2 h2
3
3
0
0
1 1
结点1、3的位函数值和可通过0 表示为 D
h1
4 4
1
0
x
0
h1
1 2!
2
x2
0
h12
1 3!
2
x2
0
h13
L
1
0
x
0
h
1 2!
2
x2
0
h2
1
3!
2
x2
0
h3
L
以h和h1分别与以上两式相乘且相加，削去一阶偏导项，然 后截断与h的二次项，便得到关于结点0的二阶偏导数的差 分格式
cem@
定解条件的离散化
j-1
(i+1,j-1)
i+1 i increase
有限差分法格式特点
LL
i1, j1 i1, j1 i, j i, j2 4i, j1 h2Fi, j1
i1, j i1, j i, j1 i, j1 4i, j h2Fi, j
j increase
i1, j1 i1, j1 i, j2 i, j 4i, j1 h2Fi, j1
x
h
cem@
差分与差商
前向差分
df f (x) f (x h) f (x)
dx x
h
后向差分
df f (x) f (x) f (x h)
dx x
h
中心差分
df f (x) f (x h) f (x h)
dx x
2h
cem@
cem@
不同媒质分界面上的差分格L式
h3
h1
2 2
j+1
分界面与网格线重合的情况 h2 3
0
1
j
a1 a3 a4 a2 4a0 h2 Fa
b1 b3 b4 b2 4b0 0
h4 3
0
1
i-1
4 4
ai
b
i+1
j-1
两式中 a1和 b3 是假设“虚”电位，可以利用分界面上场
各离散结点上的方程组形式
j increase
（结点顺序按坐标先从y轴增加
、再x轴增加（从下到上、从左
(i-1,j+1) (i,j+1) (i+1,j+1) j+1
到右，即先列后行）排列
(i, j)
j
(i-1,j) (i,j)
(i+1,j)
(i-1,j-1)
i-1
(i,j-1)
i
cem@
x
h
2u x2
u(x
h,
y,
z)
2u(x, y, h2
z)
u(x
h,
y,
z)
cem@
差分格式
二维Possion方程差分格式
2 ( x,
y)
2
2x
2
2 y
F ( x,
y)
有限差分法的网格划分，通常采用完全有规律的 分布方式，这样可使每个离散点上得到相同形式 的差分方程，有效的提高解题速度。对能填满平 面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六 边形）的划分方式，经常采用的是正方形网格划 分，
cem@
1、差分与差商
用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。 这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于 零时，差分变成微分
f (x) f (x h) f (x)
lim f '(x) df
f (x)
dx x 0 x
f '(x) f (x) f (x h) f (x)
cem@
差分格式
一阶偏导数差分格式
x
x
0 0
1 0
h1
0 3
h3
O(h2 ) O(h2 )
h3
h2 3
h4 3
i-1
h1
2
2
0
1
0
1
4
4
i
i+1
j+1 j
j-1
可采用待定系数的方法，提高差分格式的精度， 它的思路： 1、3结点与0结点在x方向的差分用泰 勒公式展开，它们各自占有一定的权系数，以截 断误差来计算系数
1
0
x
0
h1
1 2!
2
x2
0
h12
1 3!
2
x2
0
h13
L
cem@
差分格式
(1
0
)
(3
0
)
x
0
(
h1
h3
)
1 2!
2
x2
0
(
h12
h32
)
L
忽略h3以上的高次幂的项，并且令 2 / x2 项的系数为零，
这样处理可以保证得到的差分格式误差为h3量级。系数为
0
1 4
2 1 K
b1
2
2K 1 K
a3
4
K 1 K
h2 Fa
K a / b cem@
不同媒质分界面上的差分格式
分界面与网格线呈对角线的情况
a1 a3 a4 a2 4a0 h2 Fa
b1 b3 b4 b2 4b0 0
h3
h1
a 2 2
L j+1
2
0
1 4
21 2 4 h2F
3
3
上面也是对称边界条件的离散公式
0
1
D
0
1
4
4
cem@
有限差分法的求解
综上所述，对场域D内各结点（包括所有场域内结点和边
界结点）逐一列出对应的差分计算格式，即构成以这些离
散结点上的位函数 为待求量的差分方程组（代数方程 组）。求解这些代数方程组，得到场域中的电位值 计算步骤通常是： 离散场域，采用一定的网格剖分方式离散化计算区域。 离散化场方程，即基于差分原理的应用，对场域内场的
cem@
定解条件的离散化
第三类边界条件的差分离散化
f1 (rv, t )
n
S
f2 (rv,t)
第一种情况，当结点刚好着落
于边界线L上时，这还取决于边
界结点处的外法线与网格线重合，
L
h
3
3
y
D
0n
0
x
0
f1(r0 ) 0
3
h
f2 (r0 )
cem@
定解条件的离散化
外法线与网格线不重合情况，边界结点上的外向法向方向
与水平夹角为ā，其法向导数显然是在x和y方向的导数在
法向的投影组合，
L
n
0
x
cos
y
sin
0
3
h
n
0
0
0 3 cos 0 2 sin
2
h
h
y
DHale Waihona Puke 0f1(r0
)
3
0
h
cos
0