高等代数知识结构

高等代数知识结构二、高等代数知识结构内容（一）线性代数： 工具：线性方程组1.行列式：1行列式的计算设有2n 个数，排成n 行n 列的数表nnn n nn a a a a a aa a a 212222111211，即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n 21nj j 2j 1a a a⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，， 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=()()n21n21n21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-，这里∑n21j j j 表示对所有n 级排列求和.a.行列式的性质：性质1.行列互换，行列式不变。

性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。

性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。

性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。

（两行相同就是说两行对应元素都相同)性质5.如果行列式中两行成比例。

那么行列式为零。

性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。

2.矩阵：a.矩阵的秩：矩阵A 中非零行的个数叫做矩阵的秩。

b.矩阵的运算定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵． 矩阵相等：设n m ij a A ⨯=)(,n m ij b B ⨯=)(, 若 ij ij b a =),,2,1;,,2,1(n j m i ==, 称B A =.线性运算：n m ij a A ⨯=)(,n m ij b B ⨯=)( 加法：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++=+=+⨯mn mn m m n n nm ij ij b a b a b a b a b a B A11111111)( 数乘：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==⨯mn m n nm ij a k a k a k a k a k kA 1111)( 负矩阵：n m ij a A A ⨯-=-=-)()1( 减法：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=-=-⨯mn mn m m n n nm ij ij b a b a b a b a b a B A11111111)( 矩阵的乘法定义：设 s m ij a A ⨯=)(,n s ij b B ⨯=)(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ms m s a a a a AB 1111∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡sn s n b b b b 1111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=mn m n c c c c 1111其中元素[]is i i ij a a a c 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡sj j j b b b 21sj is j i j i b a b a b a +++= 2211),,2,1;,,2,1(n j m i ==A 的列数 =B 的行数。

AB 的行数 = A 的行数；AB 的列数 = B 的列数． A 与B 的先后次序不能改变．(5)矩阵的初等变换矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元；3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去。

3.线性方程组一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为11112211211222221122,,.n n n n s s s n n s ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩()i()i 式中(1,2,,)i xi n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==称为方程组的系数，(1,2,,)j b j n =称为常数项. 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s bb b ====. 令111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12s b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()i 可用矩阵乘法表示为A XB =，,,.m n n mA C X CBC ⨯∈∈∈a.线性方程组的解法 1)消元法在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用. 2)应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有 定理1 如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n n n n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式111212122212det 0n n n n nna a a a a a A a a a =≠，那么线性方程组有唯一解：d e t (1,2,,),d e t jjB x j n A== 其中d e t j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，即111,111,11222,122,121,1,1d e t ,1,2,,.j j nj j njn n j n n j n na ab a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+== 此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系数矩阵的行列式d e t 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的. 广义逆矩阵A -法设m n A C ⨯∈.如果存在n mG C⨯∈，使得A G A A =，则称G 为矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵，记作A -.矩阵A 的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵A 的{1}-逆的全体记为{1}A .若m n A C ⨯∈，A -n m C ⨯∈为A 的一个{1}-广义逆矩阵，则对,n mV W C⨯∈为任意的n m ⨯矩阵，矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵为G A V A A V A A---=+-, 同时还可以表示为()()m n G A V E A AE AA W ---=+-+-. 广义逆矩阵A -的计算：(1)设(0)mn r A C r ⨯∈>，且有m m m P C ⨯∈和n 阶置换矩阵Q 使得 (),(),r r nr E K P A Q KC OO ⨯-⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则对任意的()()nr m r L C-⨯-∈，n m ⨯矩阵 r E O G Q P O L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是A 的一个{1}-广义逆矩阵.若存在n nn T C ⨯∈使得,rE O P A T O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则矩阵的{1}-逆的全体12()()()()1221222122{1},,.r r m r n r r n rm r E L A T P L C L C L C L L ⨯--⨯-⨯-⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭(2)设m nA C ⨯∈，则A 有惟一{1}逆的充分必要条件是m n =，且()r A n =，即A 可逆.这个惟一的{1}逆就是1A -. 4.向量相关性a.判断向量组线性相关的方法 1)线性相关2)的对应分量成比例线性相关 3)含有零向量的向量组是线性相关的4)向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出5)部分相关则整体相关6)设向量组可由向量组线性表出,如果r>s,则线性相关；7)n+1个n维向量必线性相关(个数大于维数)8)该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关9)n个n维的向量构成的行列式=0 该向量组是线性相关的10)线性相关向量组中每个向量截短之后还相关b.判断向量组线性无关的方法1)线性无关2)的对应分量不成比例线性无关3)向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出4)整体无关则部分无关5)线性无关向量组中每个向量加长之后还无关6)该向量组的秩等于它所含向量的个数向量组线性无关7)n个n维的向量构成的行列式0 该向量组是线性无关的(二)中心课题：线性规范型1.二次型线性流型：二次型及其矩阵表示二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，x n的二次齐次多项式f(x1，x2，…，x n)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1n x1x n+a22x22+ … +a2n x2x n+ (3)+a nn x n2称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。

矩阵的合同关系：对于数域P上的两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC则称A和B是合同的，记为A~B。

合同关系性质：1) 反身性：A~A；2) 对称性：A~B，则B~A；3) 传递性：A~B，且B~C，则A~C。

二次型的标准形1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：d1y12+d2y22+…+dnyn2其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。

上述形式的二次型称为二次型的标准形。

2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。

3）复二次型的规范形：任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12+y22+…+yr2，其中r唯一确定，等于该二次型的秩。

上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。

2.线性函数（三）研究范围：线性空间1.线性空间简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

1）V对加法成Abel群，即满足：（1）（交换律）x+y=y+x；（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；2）数量乘法满足：（5）1x=x；（6）k(lx)=(kl)x；3）数量乘法和加法满足：（7）（k+l）x=kx+lx；（8）k（x+y）=kx+ky．其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。